No dimensionamento à flexão simples, os efeitos do esforço cortante podem

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1 FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EQUAÇÕES CAPÍTULO 7 Libânio M. Pinheiro, Caiane D. Muzardo, Sandro P. Santo. 12 maio 2003 FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EQUAÇÕES 7.1 HIPÓTESES No dimenionamento à flexão imple, o efeito do eforço ortante podem er oniderado eparadamente. Portanto, erá oniderado omente o momento fletor, ou eja, flexão pura. Admite-e a perfeita aderênia entre a armadura e o onreto que a envolve, ou eja, a deformação epeífia de ada barra da armadura é igual à do onreto adjaente. A reitênia do onreto à tração é deprezada, ou eja, na região do onreto ujeita à deformação de alongamento, a tenão no onreto é oniderada nula. Na peça de onreto ubmetida a oliitaçõe normai, admite-e a validade da hipótee de manutenção da forma plana da eção tranveral até o etado limite último, dede que a relação abaixo eja mantida: l 0 > d l 0 ditânia entre a eçõe de momento fletor nulo d altura útil da eção 2 Com a manutenção da forma plana da eção, a deformaçõe epeífia longitudinai em ada ponto da eção tranveral ão proporionai à ditânia até a linha neutra.

2 USP EESC Departamento de Engenharia de Etrutura 7.2 DIAGRAMA DE TENSÕES NO CONCRETO Permite-e ubtituir o diagrama parábola-retângulo pelo retangular, om altura y 0,8x e tenão σ 0,85f d 0,85f k /γ, exeto no ao em que a eção diminuir a partir da linha neutra no entido da borda mai omprimida. Nete ao, σ 0,95. 0,85f d 0,80f d. O diagrama de tenõe e algun tipo de eção enontram-e na Figura 7.1 e 7.2, repetivamente. 3,5 0,85 f d 0,85 f ou 0,80 f d d 2,0 x y 0,8x h Figura 7.1 Diagrama de tenõe σ 0,85f σ 0,85f σ 0,80f σ 0,80f d d d d d d d d Figura 7.2 Algun tipo de eção e repetiva tenõe, para diagrama retangular 7.3 DOMÍNIOS POSSÍVEIS Na flexão, omo a tração é reitida pela armadura, a poição da linha neutra deve etar entre zero e d (domínio 2, 3 e 4), já que para x < 0 (domínio 1) a eção etá toda traionada, e para x > d (domínio 4a e 5) a eção útil etá toda omprimida. O domínio itado etão indiado na Figura

3 USP EESC Departamento de Engenharia de Etrutura Figura 7.3 Domínio de deformação Domínio 2 No domínio 2, a ruína e dá por deformação plátia exeiva do aço, om a deformação máxima de 10 ; portanto, σ d f. A deformação no onreto varia de 0 até 3,5 (Figura 7.4). Logo, o onreto não trabalha om ua apaidade máxima e, portanto, é mal aproveitado. A profundidade da linha neutra varia de 0 até 0,259d (0< β x < 0,259), poi: β 3,5 (3,5 + 10) x 23 ( + ) 0,259 Figura 7.4 Deformaçõe no Domínio 2 7.3

4 USP EESC Departamento de Engenharia de Etrutura Domínio 3 No domínio 3, a ruína e dá por ruptura do onreto om deformação máxima 3,5 e, na armadura traionada, a deformação varia de até 10, ou eja, o aço etá em eoamento, om tenão σ f (Figura 7.5). É a ituação ideal de projeto, poi há o aproveitamento pleno do doi materiai. A ruína é dútil, poi ela oorre om avio, havendo fiuração aparente e fleha ignifiativa. Diz-e que a eção é ubarmada. A poição da linha neutra varia de 0,259d até x 34 (0,259 < β x < β x34 ). 3,5 β ; x34 ( + ) (3,5 + ) f E u u 3,5 x d < < 10 Figura 7.5 Deformaçõe no Domínio Domínio 4 Aim omo no domínio 3, o onreto enontra-e na ruptura, om 3,5. Porém, o aço apreenta deformação abaixo de e, portanto, ele etá mal aproveitado. A deformaçõe podem er verifiada na Figura 7.6. O dimenionamento nee domínio é uma olução antieonômia, além de perigoa, poi a ruína e dá por ruptura do onreto e em eoamento do aço. É uma ruptura brua, ou eja, oorre em avio. Quando a peça de onreto ão dimenionada nee domínio, diz-e que ela ão uperarmada, devendo er evitada; para io pode-e uar uma da alternativa: 7.4

5 USP EESC Departamento de Engenharia de Etrutura Aumentar a altura h, porque normalmente b é fixo, dependendo da epeura da parede em que a viga é embutida; Fixar x omo x lim34, ou eja, β x β x34, e adotar armadura dupla; Outra olução é aumentar a reitênia do onreto (f k ). u u 3,5 x d 0 < < Figura 7.6 Deformaçõe no Domínio EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO Para o dimenionamento de peça na flexão imple om armadura dupla (Figura 7.7), onidera-e que a barra que ontituem a armadura etão agrupada, onentrada no entro de gravidade dea barra. h d b A' d' M d R' R ' 3,5 x σd y 0,8x A Figura Reitênia e deformaçõe na eção 7.5

6 USP EESC Departamento de Engenharia de Etrutura A equaçõe de equilíbrio de força e de momento ão repetivamente: R + R R 0 M d γ f x M k R (d - y/2) + R (d - d ) A reultante no onreto (R ) e na armadura (R e R ) ão dada por: R b y σ d b. 0,8x. 0,85f d 0,68 bd β x f d R A σ R A σ Para diagrama retangular de tenõe no onreto, tem-e que: y 0,8x d y/2 d (1-0,8x/2d) d (1-0,4β x ) Com ee valore, reultam a eguinte equaçõe para armadura dupla: 0,68 bd β x f d + A σ - A σ 0 (1) M d 0,68 bd² β x f d (1-0,4β x ) + A σ (d d ) (2) Para armadura imple, A 0. A equaçõe (1) e (2) reultam: 0,68 bd β x f d - A σ 0 (1 ) M d 0,68 bd² β x f d (1-0,4 β x) (2 ) 7.5 EXEMPLOS A eguir apreentam-e algun exemplo de álulo de flexão imple Exemplo 1 Cálulo da altura útil (d) e da área de aço (A ) para eção retangular. a) Dado Conreto C25, Aço CA-50, b 30 m, M k 210 kn.m, β x β x23 β 3,5 (3,5 + 10) x 23 ( + ) 0,

7 USP EESC Departamento de Engenharia de Etrutura b) Equaçõe de equilíbrio 0,68 bd β x f d - A σ 0 (1 ) M d 0,68 bd² β x f d (1-0,4β x ) (2 ) ) Cálulo de d (equação 2 ) 1, ,68 30 d 2 2,5 0,259 (1 0,4 0,259) 1,4 d 58,93 m (h m) d) Cálulo de A (equação 1 ) 2,5 50 0, ,93 0,259 A 0 1,4 1,15 A 12,80 m² Exemplo 2 Idem exemplo anterior om β x β x34. a) Cálulo de β x34 β β x34 f E 3,5 (3,5 ( + ) + ) 50 /1, ,5 (3,5 + 2,07) x 34 2,07 0,628 b) Cálulo de d (equação 2 ) 1, ,68 30 d d 41,42 m 2 2,5 0, 628 (1 0,4 0,628) 1,4 (h m) 7.7

8 USP EESC Departamento de Engenharia de Etrutura ) Cálulo de A (equação 1 ) 2,5 50 0, ,42 0,628 A 0 1,4 1,15 A 21,81 m² Exemplo 3 Cálulo da altura útil (d) e da área de aço (A ) para eção retangular. a) Dado Conreto C25, Aço CA-50, b 30 m, h 45 m, d 42m, M k 252 kn.m. b) Cálulo de β x Na equação (2 ), upondo armadura imple: M d 0,68 bd² β x f d (1 0,4β x ) 2 2, ,4 0, βx (1 0,4 βx ) 1, β x ² β x β x ² - 2,5β x + 1, β x 0,814 (β x > β x34 : Domínio 4) β x 1,686 (x > d, portanto deartado) ) Conluão Como β x > β x34, σ < f (domínio 4): há olução melhor om armadura dupla Exemplo 4 Idem exemplo anterior, om M k 315 kn.m. 7.8

9 USP EESC Departamento de Engenharia de Etrutura a) Cálulo de β x (equação 2 ) M d 0,68 bd² β x f d (1 0,4β x ) 2 2, ,4 0, βx (1 0,4 βx ) 1, β x ² β x β x ² - 2,5β x + 1, (-2,5)² - 4 x1 x 1,7157-0,6128 < 0 b) Conluão Não há olução para armadura imple. Nete ao ó é poível armadura dupla (exemplo 5) Exemplo 5 Solução do exemplo anterior om armadura dupla. a) Dado M k 315 kn.m, β x β x34 0,628, d 3 m b) Cálulo de A (Equação 2) M d 0,68 bd² β x f d (1-0,4β x ) + A σ (d d ) 1, , ,628. 2,5/1,4 (1-0,4. 0,628) +A 50/1,15. (42 3) A 8,19 m² ) Cálulo de A (equação 1) 0,68 bd β x f d + A σ - A σ 0 0, ,628. 2,5/1,4 + 8,19. 50/1,15 - A. 50/1,15 0 A 30,29 m² 7.9

10 USP EESC Departamento de Engenharia de Etrutura d) Armadura poívei A : 6 Ø 25 (A e 30 m²) 2 amada 8 Ø 22,2 (A e 31,04 m²) 2 amada A : 2 Ø 25 (A e 10 m²) 3 Ø 20 (A e 9,45 m²) f) Solução adotada (Figura 7.8) Figura 7.8 Detalhamento da eção 7.10