D i s c i p l i n a : P e s q u i s a O p e r a c i o n a l T e o r i a d a s f i l a s

Transcrição

1 P r i m e i r o e m e t r e d e 2 2 evião da Poion e da Exonenial. Suonha ue o aeo a um ervidor de web iga uma Poion om taxa de uatro aeo or minuto. (i) Enontre a robabilidade de ue oorram aeo num eríodo de doi minuto. (ii) Se oorrerem mai do ue aeo num dado minuto um ervidor adiional deve entrar em oeração. Determine ual o erentual de veze ue o ervidor adiional erá aionado. 2. O número de falha or dia em uma fábria egue uma Poion om arâmetro 3. A emrea tem reuro interno ue lhe ermitem rearar até trê máuina or dia. Quando a falha ultraaam trê em um ó dia, é ontratada aitênia externa ara exeutar o onerto exedente. (i) Qual a robabilidade de ue, em um dado dia, e tenha ue reuiitar aitênia externa? (ii) Qual o número eerado de onerto diário realizado ela emrea? (iii) Qual o número eerado de onerto diário realizado ela aitênia externa? 3. O número de navio etroleiro ue hegam à determinada refinaria or dia tem uma ditribuição de Poion de arâmetro trê. A intalaçõe atuai do orto odem atender, no máximo, uatro navio or dia. O eventuai exedente deverão eguir ara outro orto. (i) Num dia, ual a robabilidade de haver navio ue não oam er atendido? (ii) Qual o número eerado de navio ue ão atendido diariamente na refinaria? (iii) Qual o número eerado de navio ue terão de e dirigir diariamente a outro orto? (iv) De uanto deverão er aumentada à intalaçõe atuai ara ermitir atender todo o navio em aroximadamente 99,5% do dia de erviço? 4. Suonha ue a duração de uma hamada de elular (em minuto) é exonenialmente ditribuída om arâmetro de,4. Determine: (i) O temo médio e a variabilidade da duração da hamada. (ii) A robabilidade de ue uma hamada dure entre 2 e 5 minuto. (iii) A mediana, o rimeiro, o tereiro e a amlitude interuartília do temo de hamada. (iv) A robabilidade de ue a duração uere o valor eerado. Prof. orí Viali, Dr. - htt:// - Eeialização em Engenharia

2 P r i m e i r o e m e t r e d e O temo de eera, numa arada, ela hegada de um ônibu é, em média, de 5 minuto. Admitindo ue ee temo é uma variável exonenial, determine a robabilidade de ue alguém: (i) Eere mai de 5 minuto or ônibu. (ii) Eere mai de 5 minuto or ônibu. eolva utilizando a Poion. (iii) Pegue um ônibu no minuto imediatamente eguinte à hegada na arada. (iv) Eere or mai de minuto or um ônibu dado ue á eerou 5 minuto. O Modelo M/M/ GD/ /. Um lava ráido Automátio funiona om omente uma baia. O arro hegam onforme uma ditribuição de Poion om uma média de 4 arro or hora e odem eerar no etaionamento ofereido e a baia etiver ouada. O temo ara lavar um arro egue uma ditribuição exonenial, om média de minuto. Carro ue não oneguem vaga no etaionamento odem eerar na rua onde etá ituado o lava ráido. Io ignifia ue, de fato, na rátia, não há limite ara o tamanho do itema. (i) Determine o erentual de utilização da baia de lavagem. (ii) Determine a robabilidade de um arro ue hega ter ue eerar no etaionamento ante de entrar na baia de lavagem. (iii) Se houver ino vaga no etaionamento, determine a robabilidade de ue um arro ue hega ahar uma vaga. (iv) Quanta vaga devem er ofereida, no etaionamento, ara ue um arro ue hega tenha meno de % de robabilidade de não enontrar uma vaga. (v) Quanto minuto, em média, odem er gato ara lavar um arro e o temo de eera na fila for fixado em no máximo 5 minuto (reolva analitiamente). 2. Um retaurante de omida ráida tem um únio guihê de atendimento ara arro. O arro hegam de aordo om uma ditribuição de Poion a uma taxa de 2 arro a ada 5 minuto. O eaço na frente do guihê omorta no máximo arro (inluindo o ue etá endo atendido). Outro arro devem eerar fora do eaço (na rua) e for neeário. O temo de atendimento de ada liente (arro) egue uma exonenial om média de,5 minuto. Determine: (i) A robabilidade de o atendente etar oioo. Prof. orí Viali, Dr. - htt:// - Eeialização em Engenharia

3 P r i m e i r o e m e t r e d e 2 2 (ii) O número eerado de liente ara erem atendido. (iii) O temo de eera de um liente até hegar ao guihê de atendimento. (iv) A robabilidade de ue um liente (arro) tenha ue eerar na rua. 3. Suonha ue rorietário de arro abateçam uando o tanue etá exatamente na metade. Uma média de 7,5 liente or hora hegam a um oto om uma únia bomba. O frentita leva em média 4 minuto ara atender ada arro. Auma ue o temo envolvido ão exoneniai. (i) Determine e W ara a ituação. (ii) Suonha ue etea faltando gaolina em algun oto e o onumidore mai reavido etão abateendo uando o tanue etá agora ¾ heio ainda. Cada arro etá ondo meno ombutível em ada viita ao oto e então aumimo ue o temo gato or ada arro no oto é agora de 3 minuto. Como a falta de gaolina afetou o valore de e W Suonhamo ue a hegada de eoa a uma abine telefônia igam uma Poion, om ritmo de 5 hegada or hora. A duração média de um telefonema é de 3 minuto e egue uma ditribuição exonenial negativa. Determine: (i) Qual a robabilidade de uma eoa hegar à abine e não ter ue eerar? (ii) Qual o número médio de eoa na fila? (iii) Qual o número médio de eoa no itema? (iv) Qual o número médio de liente uando o telefone? (v) Qual o temo médio de fila? (vi) Para ue taxa de hegada o temo médio de eera erá de aroximadamente 3 minuto? (vii) Qual a fração do dia durante a ual o telefone etá em uo? 5. Carro hegam ao oto de edágio automatizado de aordo om uma ditribuição de Poion, om uma média de 9 arro or hora. O temo ara aar elo oto de edágio e ditribui de aordo om uma exonenial de média 36 egundo. O motorita têm relamado do temo de eera e a oneionária da via etá diota a reduzir o temo de médio de aagem elo oto ara 3 egundo intalando um novo dioitivo mai efiiente, ma bem mai aro. Para ue o uto eam amortizado em um temo razoável ela etabeleeu dua ondiçõe ara efetuar a troa: (a) o número Prof. orí Viali, Dr. - htt:// - Eeialização em Engenharia

4 P r i m e i r o e m e t r e d e 2 2 médio de arro na fila do itema atual deve er uerior a 5 e (b) a robabilidade de um arro eerar na fila mai do ue um minuto deve er maior do ue 75%. (i) Verifiue e a troa de dioitivo deve er feita. Jutifiue. (ii) Se a troa for feita: (a) Qual erá o temo médio de eera na fila? (b) Qual erá o temo médio de eera na fila? O Modelo M/M//GD/ /. Etudante hegam a um laboratório de omutação de aordo om Poion a uma taxa média de 5 or hora. Cada etudante gata em média 5 minuto no omutador e aume-e ue ete temo ea exonenialmente ditribuído. O laboratório tem atualmente 4 omutadore e algun aluno têm relamado ue o temo de eera ão muito longo. (i) Determine o tamanho médio da fila e o temo médio de eera. Calule a robabilidade de um aluno hegar e enontrar um omutador dionível. (ii) Se o oordenador do laboratório oloar mai um omutador, omo fiam o valore do item (a)? 2. Um eueno bano tem doi aixa ue ão igualmente efiiente e ue ão aaze de atender uma média de 8 liente or hora om temo de erviço exonenialmente ditribuído. Um aixa demora em média,2 minuto ara atender um liente. Conidere ue ee temo exonenial. Determine: (i) O número eerado de liente no bano. (ii) O temo médio ue um liente gata no bano. (iii) A fração de temo ue um aixa etá livre. (iv) A robabilidade de ue um onumidor gate mai do ue trê minuto no bano. (v) Determine o valor da fórmula C de Erlang ara ee itema. 3. Uma euena idade é atendida or dua emrea de tele-táxi, endo ue ada uma tem doi táxi e dividem o merado igualmente. O telefonema hegam a entral de ada emrea, de aordo om uma Poion de média oito or hora. O temo médio de ada orrida é de 2 minuto e egue um modelo exonenial. Um invetidor omrou a dua emrea e tem interee em onolidá-la em uma únia entral de atendimento. Prof. orí Viali, Dr. - htt:// - Eeialização em Engenharia

5 P r i m e i r o e m e t r e d e 2 2 (i) Analie e a unção da dua emrea em uma ó é vantaoa ara o novo rorietário. Utilize omo ritério o temo médio ue um liente eera or um táxi na dua ituaçõe. (ii) Se o temo médio or viagem foe de 4,5 minuto (ao invé de 2 minuto), a união da dua emrea eria reomendável? 4. Um trailer de Xi tem doi atendente. O liente hegam de aordo om uma ditribuição de Poion a ada 3 minuto e 2 egundo em média e ão atendido elo rimeiro ervidor ue etiver livre. O temo ue um atendente leva ara fazer um Xi no ariho é, em média, de 5 minuto e 48 egundo. O trailer tem atualmente ei vaga ara eerar entado. Como o lanhe é bom e o reço também o liente etão dioto a fazer fila e eerar em é ao neeário. (i) Determine o número lugare ue o trailer deve ter, de modo ue a robabilidade de ue um liente tenha ue eerar em é, ea de no máximo,5. (ii) Qual a robabilidade de ue um liente tenha ue eerar mai do minuto na fila ara er atendido. 5. Um entro ue trabalha om eoa em rie é gereniado or uma euie de voluntário treinado ue atendem telefonema de eoa dereiva. A exeriênia motrou ue à medida ue o Natal e aroxima ele devem etar rearado ara atender uma demanda reente ue hega a uma taxa de hamada de uma a ada minuto. Cada hamada reuer aroximadamente 2 minuto de um atendente ara aalmar e onvener a eoa ue ligou a não tomar nenhuma atitude imenada. No momento o entro etá laneando ter 5 atendente ara dar onta da demanda de Natal. (i) Analie a ituação do entro determinando a ua etatítia báia e verifiando e o número mínimo de atendente voluntário laneado é ufiiente ara ue o temo médio, de eera de uma eoa em rie ue ligou, não uere 5 egundo. (ii) Qual eria o temo médio de eera e o entro ontar om ei voluntário. (iii) Se a taxa de hamada aumentar ara uma a ada 8 minuto, ual eria o número mínimo de atendente ara ue o temo de eera ea inferior a egundo? 6. Um itema de fila funionando a ontento tem a eguinte araterítia: 2 ervidore om uma taxa de atendimento de 3 liente or minuto ada um, e uma taxa de hegada de 2 liente or,,, W, W e W Prof. orí Viali, Dr. - htt:// - Eeialização em Engenharia

6 P r i m e i r o e m e t r e d e 2 2 minuto. Suonha ue a taxa de hegada aumenta, de reente, ara 4 liente or minuto. Quanto ervidore devem er adiionado ao itema ara: (i) manter o temo de atendimento gato no itema róximo do atual? (ii) manter o número médio de liente no itema róximo do atual? 7. Sabe-e ue o tamanho médio de uma fila (do ue etão eerando ara erem atendido) de um itema om 2 ervidore é de 3 liente. Sabendo ue a taxa de atendimento é de 3 liente a ada 2 minuto, determinar a robabilidade de um liente ue hega er imediatamente atendido (ito é, não reiar eerar na fila). O Modelo M/M//GD//. Uma etação de erviço é formada or um únio ervidor ue ode atender uma média de doi onumidore or hora. Uma média de trê liente or hora hega oliitando erviço. A aaidade do itema é de trê liente. (i) Na média uanto liente oteniai entram no itema or hora? (ii) Qual a robabilidade de ue o ervidor etea ouado? 2. Uma média de 3 arro or hora tenta utilizar o drive-in do retaurante Mi ofone. Se um total de mai do ue uatro arro etão na fila (inluindo o arro endo atendido) um liente não entrará na fila. eva em média uatro minuto ara ue um liente ea atendido. (i) Qual é o número médio de arro eerando ara erem atendido or hora? (ii) Na média uanto arro erão atendido or hora? (iii) Eu reém entrei na fila. Quanto temo vai levar até reeber minha omida? 3. Um lava ráido automátio funiona om omente uma baia. O arro hegam onforme uma ditribuição de Poion om uma média de 4 arro or hora e odem eerar num etaionamento om uatro vaga. Se o etaionamento etiver heio o liente ue hegam deitem e rouram outro lava ráido. O temo ara lavar e limar um arro egue uma ditribuição exonenial, om uma média de minuto. O rorietário uer determinar o imato da vaga limitada obre a erda de liente ara a onorrênia. Coniderando ea ituação, determine: (i) A robabilidade de ue um arro ue hega ae imediatamente à baia de lavagem. (ii) Temo de eera etimado até o iníio do erviço. Prof. orí Viali, Dr. - htt:// - Eeialização em Engenharia

7 P r i m e i r o e m e t r e d e 2 2 (iii) Número eerado de vaga vazia no etaionamento. (iv) A robabilidade de toda a vaga etarem ouada. (v) A erentagem de redução de temo médio de erviço ue limitará o temo médio no itema a aroximadamente minuto (reolva or tentativa-e-erro). 4. Conidere o lava ráido do exemlo anterior. Determine o número de vaga ue deve exitir no etaionamento ara ue o erentual de arro erdido ara a onorrênia ea inferior a %. 5. A montagem de geradore elétrio na Eletro é realizada à taxa de unidade or hora de aordo om uma ditribuição de Poion. Em eguida, o geradore ão tranortado or uma eteira rolante até o deartamento de ineção ara um tete final. A eteira ode tranortar no máximo ete geradore. Um enor eletrônio ara automatiamente a eteira uando ela etiver heia, o ue imede ue o deartamento de montagem final monte mai unidade até haver eaço dionível. O temo ara ineionar o geradore egue uma exonenial, om média de 5 minuto. (i) Qual é a robabilidade de ue o deartamento de montagem final arar a rodução? (ii) Qual é o número médio de geradore na eteira tranortadora? (iii) O engenheiro de rodução afirma ue a interruçõe no deartamento de montagem oder er reduzida, aumentando a aaidade da eteira. Na verdade, ele afirma ue a aaidade ode er aumentada até o onto em ue o deartamento de montagem oderá trabalhar 95% do temo em interrução. Ea afirmativa é utifiável? 6. Uma lanhonete ode aomodar no máximo eoa entada. O liente hegam de aordo om uma Poion om uma taxa de 5 or hora e ão atendido (um de ada vez) à taxa de 2 or hora. O ue não oneguem lugar vão rourar outro etabeleimento. (a) Qual é a robabilidade de ue um liente não oniga entar na lanhonete orue ela etá heia? (b) Suonha ue trê amigo uerem omer na lanhonete, ma ó irão fazê-lo e todo uderem er aomodado. Qual é a robabilidade de ue ito aonteça. () Qual a robabilidade de a lanhonete etar om aena metade da ua aaidade. (d) Determine o número médio e o devio adrão do número de liente na lanhonete. (e) Qual é o número eerado de lugare vago na lanhonete? Prof. orí Viali, Dr. - htt:// - Eeialização em Engenharia

8 P r i m e i r o e m e t r e d e Um erviço de engraxar aato em um aeroorto tem dua adeira e um únio atendente. Um liente ue hega e enontra uma adeira livre e o atendente ouado enta e eera elo erviço. O liente oteniai ue enontram a dua adeira ouada rouram outro erviço ou deitem. Suondo ue a hegada do liente é de aordo a um roeo de Poion om uma taxa de liente or hora e ue o temo neeário ara engraxar um aato é exonenialmente ditribuído om média de 5 minuto, determine: (i) O erentual de temo ue o atendente etá ouado e o número médio de liente atendido em um dia de 8 hora de trabalho. (ii) Qual o erentual de liente ue oneguem engraxar eu aato? O Modelo M/M//GD//. Uma euena omanhia de tranorte rodoviário oui uma frota homogênea, tanto na aaidade de tranorte uanto na vida útil de eu oito aminhõe. Obervou-e ue o aminhõe uebram egundo uma ditribuição exonenial de média igual a 5 dia, devendo entrar em manutenção. Exite uma únia ofiina ara ee fim ua euie de 2 meânio gata no onerto de ada veíulo um temo exonenialmente ditribuído om média de 4,5 dia. (i) Analie a efiiênia da ofiina, alulando a ua araterítia oeraionai, entre ela a oioidade do meânio e o número médio de aminhõe oerando. (ii) Cada aminhão fatura, em média, $ 2, or dia líuido. Aim ada aminhão arado ode er entendido omo um reuízo diário dee valor. Determine e eria onveniente ontratar mai um meânio om um alário menal de $2375, mai 6% de enargo oiai. (iii) Até uanto eria viável agar a um novo meânio e for oniderado o enargo oiai. 2. Um gruo de 5 máuina é utilizado ara realizar tarefa em uma fábria. Cada máuina uebra egundo um roeo de Poion de taxa de dua veze a hora. A máuina uebrada ão onertada or trê funionário ue realizam o onerto em temo exonenialmente ditribuído om média de 45 minuto. (i) Avalie o funionamento dee gruo de máuina. (ii) Se a robabilidade de toda a máuina etarem uebrada a um memo temo for uerior a % então erá neeário ontratar um novo meânio. Jutifiue e io é neeário, nea ituação. (iii) Faça um diagrama da ditribuição de robabilidade do número de máuina oerando e determine o número mediano de máuina oerando. (iv) Determine o devio adrão do número de máuina em oeração. 3. A Toolo oera uma ofiina de uinagem om um total de 22 máuina. Sabe-e ue ada máuina uebra uma vez a ada dua hora, em média. O onerto demora 2 minuto, em média. Tanto o temo Prof. orí Viali, Dr. - htt:// - Eeialização em Engenharia

9 P r i m e i r o e m e t r e d e 2 2 entre uebra uanto o de onerto eguem uma exonenial. A Toolo uer determinar o número ótimo de meânio de manutenção neeário ara manter a ofiina em funionamento onfortavelmente. Analie a ituação om uma invetigação obre a rodutividade da máuina em função do número de meânio de manutenção. Tal medida é definida omo: Produtividade da máuina (Má. dionívei Má. uebrada)/má. Dionívei. Faça um gráfio da rodutividade da máuina om valore do número de meânio variando no intervalo de a 8. Qual eria a ua reomendação ara a direção da emrea obre o número ótimo de meânio. Conidere ara io o valor ue rooriona o maior aumento na rodutividade da máuina. 4. Um oerador uida de 5 máuina. Aó ada tarefa a máuina deve er reautada ante de iniiar a róxima. O temo ara roear uma tarefa e ditribui de aordo om uma exonenial om média de 45 minuto. O temo de rearação ara a róxima tarefa egue uma exonenial om média de 8 minuto. (a) Determine o número médio de máuina ue etão eerando aute ou endo autada. (b) Calule a robabilidade de toda a máuina etarem funionando. () Determine o temo médio de araliação de uma máuina. (d) Determine a robabilidade de o meânio etar ouado. 5. Conidere um aino om 2 máuina aça-níuei ue onedem rêmio egundo um roeo de Poion de taxa de doi rêmio or hora. Cada vez ue uma máuina onede um rêmio, fia travada até ue um atendente a oloue em funionamento novamente. Exite no aino um únio atendente ara realizar ee erviço em um temo exonenialmente ditribuído om média de 2 minuto. Determine: (a) a robabilidade de exitirem mai do ue 5 aça-níuei travado em um dado intante e (b) o número médio de aça-níuei travado em um dado intante. () o temo médio ue um açaníuel fia fora de erviço. (d) Determine o devio adrão do número de aça-níuei fora de erviço. 6. Suonha ue um meânio tem a reonabilidade de manter 3 máuina. Para ada máuina, a robabilidade de uebra é uma exonenial om média de 7,5 hora. O temo de onerto é também exonenial om média de 4,5 hora. (i) Determine o número eerado de máuina ue não etão funionando e a robabilidade de toda a máuina etarem (a) funionando (b) uebrada. (ii) Como uma aroximação groeira, ode er aumido ue a oulação de máuina é infinita e ue o roeo de uebra é uma Poion om taxa de hegada de 3 a ada nove hora. Comare o reultado da arte (i) om auele ue é obtido aumindo ue temo um modelo (a) M/M/ e (b) M/M//3 Prof. orí Viali, Dr. - htt:// - Eeialização em Engenharia

10 P r i m e i r o e m e t r e d e 2 2 FOMUÁIO DE TEOIA DAS FIAS (QUEUEING THEOY) Na notação de endall uma fila é derita or: A/B/C/Z//m Ou mai reumidamente or A/B/C, onde é aumido ue Z FIFO, e m. Valore de A mai omun. M: ão iid tendo uma ditribuição exonenial; G: ão iid tendo uma ditribuição genéria; D: ão iid e determinítio; Ek: ão iid om ditribuição de Erlang de arâmetro k. Valore de B mai omun. M: ão iid tendo uma ditribuição exonenial; G: ão iid tendo uma ditribuição genéria; D: ão iid e determinítio; Ek: ão iid om ditribuição de Erlang de arâmetro k. A tereira araterítia (C) rereenta o número de ervidore ue atuam em aralelo. A uarta araterítia (Z) rereenta a diilina da fila. A mai omun ão: FIFO Firt In, Firt Out ou FCFS Firt Come, Firt Served; IFO at In, Firt Out ou CFS at Come, Firt Served; SIO Servie In andom Order; GD Diilina Genéria. Ob.: Z erá omitido uando a diilina for FIFO. A uinta araterítia () é o número máximo de liente ermitido no itema. O número de liente inlui o ue etão na fila e o em atendimento. Ob. é omitido uando for infinito. A exta araterítia (m) é o tamanho da oulação ou fonte do itema. A meno ue o número de liente ea o memo ue o de ervidore a oulação é oniderada infinita. A notação utilizada na teoria da fila é variada, ma em geral, a eguinte ão omun: número médio de liente ue entram no itema or unidade de temo; número médio de liente atendido (ue aem do itema) or unidade de temo; Servidore (meânio) no itema; número de máuina ou aarelho no itema; número médio de liente no itema; número médio de liente na fila; número médio de liente endo atendido; W temo médio ue o liente fia no itema; Prof. orí Viali, Dr. - htt:// - Eeialização em Engenharia

11 P r i m e i r o e m e t r e d e 2 2 W temo médio ue o liente fia na fila; W temo médio ue um liente leva ara er atendido; W(t) a robabilidade de ue um liente fiue mai do ue um temo t no itema; W (t) FDA do temo de eera na fila; w (t) fd do temo de eera na fila; W(t) FDA do temo de ermanênia no itema; T temo gato na fila e T temo gato no itema. Aim e um itema de fila etá em etado etaionário, tem-e: (ei de ittle) W W W ereentando or k a robabilidade de ue o itema ontenha k membro (ou etea no etado E k ) em um momento t futuro, tem-e: k. k Para ue o itema etea em euilíbrio é neeário ue em algum momento ue o fluxo uede Entrada, dado or: E k k- k- k k ea igual ao Fluxo de Saída: E k ( k k ) k. Em euilíbrio o doi fluxo devem er iguai e então: k- k- k k ( k k ) k A olução dea euação fornee:... k e k... 2 k k i Então: (Euação báia da TF) e k i i k k i i Condição de etabilidade: < ou Condição de Ergodiidade: <. k k e k k ara k > i Ditribuição de Poion f(x) P(X x) x e x! ara x., 2,... E(X) σ 2 V(X) Ditribuição Exonenial α.e f(t) αt e e t t < e F(t) α - - e t e t < e t E(X) /α e σ 2 V(X) /α 2. Portanto σ /α. Prof. orí Viali, Dr. - htt:// - Eeialização em Engenharia

12 P r i m e i r o e m e t r e d e 2 2 Sitema M/M//GD/ / k P ( ) k N 2 2 ( ) W W ( ) W σ N P (N k) k -(- )t P(T > t) e -( )t P(T > t) e O itema M/M//GD/ / P () i! i ()!( ) i (),! 2,..., () P,, 2,...! P( ) W P( ) W P( ) W P( ) () P!( ) S S S S S S W(t) e () [ t( e!( )( ) ] ) t () W (t) t( ) e!( ) Prof. orí Viali, Dr. - htt:// - Eeialização em Engenharia

13 P r i m e i r o e m e t r e d e 2 2 Prof. orí Viali, Dr. - htt:// - Eeialização em Engenharia Sitema M/M//GD// C ( C ) S C W S ) )( ( ] ) ( [ ) ( W ) ( W ) ( W Se /2...,,, Sitema M/M//GD// (Ofiina de Manutenção)..., 2,, e..,,, e ) (!! P!!..,,, e k P ) ( ) ( W..., 2,, e!! k P ) ( W ) ( W S Ob. O valor é denominado de taxa de ouação do itema.