Cap. 6. Definição e métodos de resolução do problema de valores de fronteira

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1 Ca. 6. Definição e métodos de resolução do roblema de valores de fronteira 1. Pressuostos. Formulação clássica do roblema de elasticidade linear.1 Condições no interior. Condições de fronteira.3 ios dos roblemas de elasticidade.4 Condições iniciais.5 Desvantagens da formulação clássica 3. Métodos de resolução do roblema de elasticidade 3.1 Método dos deslocamentos 3.1 Método das forças 4. Resolução dos roblemas simles

2 análise fisicamente linear 1. Pressuostos: Ou seja material linearmente elástico análise geometricamente linear Análise linear lento e gradual aumento das cargas Análise estática ou seja a teoria dos equenos deslocamentos, que imlica: (i) a teoria das equenas deformações, ou seja a linearidade de deformações em função de derivadas dos deslocamentos (ii) não se distingue a forma inicial da final do MC Materiais não lineares ainda ara eq. deformações: betão Elementos estruturais não lineares ainda ara eq. deformações: cabos Caso clássico de análise não linear: roblema de contacto

3 A análise com os ressuostos do slide anterior ou seja a análise linear estática costuma-se designar o roblema de elasticidade linear que faz arte do conjunto dos roblemas de valores de fronteira. Formulação clássica do roblema de elasticidade linear.1 Condições no interior O roblema de elasticidade define-se da seguinte maneira: V Encontrar camos de deslocamentos (3 comonentes), de deformações (6 comonentes) e de tensões (6 comonentes) ara as quais as 15 equações fundamentais (3 tios) 6 Equações deformações - deslocamento u 3 Equações de equilíbrio f 0 6 Equações constitutivas C sejam satisfeitas em cada onto interior do MC, x V

4 . Condições de fronteira Igualmente os camos das entidades incógnitas têm que satisfazer as condições de fronteira Geométricas Estáticas u u 0 t n 0 em cada onto da suerfície do MC, nomeadamente geométricas na arte da fronteira e estáticas na arte da fronteira x S x S u S A necessidade das condições de fronteira é a consequência do facto, que as equações fundamentais são diferenciais S u Mais é válido S S S u S Ø de facto os conjuntos oderão ser sobreostos desde que se relacionam às diferentes comonentes Suerfícies sem carga e sem deslocamentos imostos fazem arte da suerfície S com a carga t 0

5 .3 ios dos roblemas de valores de fronteira S S S u S S Ø &S u Ø 1º roblema de valores de fronteira.4 Condições iniciais º roblema de valores de fronteira roblema de valores de fronteira misto Habitualmente assume-se o estado inicial sem carga, sem tensões e sem deformações, mas igualmente odem-se estudar casos com um camo de tensões iniciais imosto, ou com um camo de deformações iniciais imosto, que odem corresonder às deformações térmicas.5 Desvantagens da formulação clássica Exige-se demasiada continuidade, que restringe o número dos roblemas que se odem resolver A tensão tem que ser contínua incluindo as rimeiras derivadas (e. equilíbrio), que imlica a deformação contínua incluindo as rimeiras derivadas (e. constitutivas) e os deslocamentos contínuos até as segundas derivadas (e. deform. deslocam.) Quando é reciso imlementar as condições de comatibilidade, os deslocamentos têm que ter as derivadas de terceira ordem contínuas, o que aumenta a continuidade das tensões e das deformações até segundas derivadas

6 3. Métodos de resolução do roblema de elasticidade 3.1 Método dos deslocamentos incógnita básica: u f 0 C C u C f u f 0 = condições de equilíbrio em termos de deslocamentos 0 Equações de Lamé Exemlo da rimeira equação de 3 u x x v y w z G Gu f 0 x + condições de fronteira em termos de deslocamentos u u 0 x Su t nˆ 0 nˆ C geométricas estáticas nˆ C C 0 u 0 u x S Gabriel Lamé,

7 Resolvendo: u Não são recisas as condições de comatibilidade u C 3. Método das forças incógnita básica: Ponto de artida: Condições de comatibilidade Podem-se escrever na forma: 0 Eugenio Beltrami, onde é uma matriz de oeradores D D 0 condições de equilíbrio, reordenação 6 Equações de Beltrami-Michell = condições de comatibilidade em termos de tensões

8 Exemlo da rimeira equação do rimeiro bloco de 3 x x y z 1 x 3 1 m x x 1 x y z Exemlo da rimeira equação do segundo bloco de 3 f + condições de fronteira em termos de tensão Resolvendo: D u 1 f f 1 y 3 1 z xy m x y z y (difícil exrimir desta maneira as condições geométricas) ela integração f do camo de deformação que é já comatível f f John-Henry Michell ( )

9 4. Resolução dos roblemas simles Existe aenas o número finito dos materiais distintos, igualmente o número de interfaces entre os materiais diferentes é finito Há ossibilidade de assumir a distribuição das tensões e das deformações uniforme em cada material distinto que forma o MC Como consequência o camo de deslocamento é linear Alicam-se aenas as cargas normais e o camo de temeratura Como consequência desenvolvem-se aenas as comonentes normais das tensões e das deformações Resolução a artir das condições de fronteira Interfaces Comonente tensão deformação normal erendicular igual diferente aralela diferente igual