Um sistema pode ser dito estável, se entradas limitadas (finitas) geram saídas limitadas.

Transcrição

1 Etabilidade Uma araterítia importte para o itema de ontrole é qe ele eja etável. Sem ela qalqer otra araterítia, omo a de m bom deempenho, não faz entido. Para itema lineare, a araterítia de etabilidade podem er definida em termo de pólo e zero da fnção de trferênia de malha fehada. DEFINIÇÃO E ESTABILIDADE Um itema pode er dito etável, e entrada limitada (finita) geram aída limitada. Por exemplo: Um itema é etável, qdo jeito a ma entrada em implo a aída tende ao valor iniial a medida qe o tempo tende a infinito. Um itema é intável e a aída tende a infinito qdo o tempo tende a infinito. Um itema é ritiamente etável e a aída não tende ao valor iniial nem a infinito, ma tende a m finito diferente do iniial. EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA Como ponto de partida para álie de etabilidade, onideremo diagrama de bloo em malha fehada. Em malha fehada, temo: GG fgp Y GG GG Y Gd GG GG d p f p m f p m De forma implifiada, temo:

2 Etabilidade GG fgp Y G Y Gd G d p ol ol Onde: G OL é a fnção de trferênia em malha aberta (Open Loop). G OL Y m () GG GG Y p f p m Malha aberta - é o itema onde a entrada não depende da aída. Coniderdo o problema ervo, temo Y Y p GG G f p G ol G O denominador é m polinômio onde a raíze ão obtida da eqação hamada Eqação Caraterítia. PÓLOS E ZEROS Gol por: A fnção de Trferênia em malha fehada m m m K am am aa G n n n b b b b n n Gde m itema pode er repreentada e e a raíze do denominador e do nmerador ão onheida: G K z z z m p p p Onde: Zero - ão a raíze do nmerador ( z, z,, z m ) Pólo - ão a raíze do denominador,,, p p p n Gho - ontte o gho do itema (K) n O zero ão o valore de para o qai a fnção de trferênia é zero. Sitema de Controle 54 Prof. Joemar do Sto

3 Etabilidade O pólo ão o valore de para o qai a fnção de trferênia é infinito, ito é, o denominador é zero. Em geral o pólo e zero podem er erito omo: j Onde: j - é a parte real - é a parte omplexa o imaginária DIAGRAMA DE PÓLOS E ZEROS O pólo e zero de ma fnção de trferênia podem er repreentado em m diagrama de pólo e zero. A figra a egir motra o eixo dete tipo de diagrama. Eixo x Eixo y - Parte real (Re) do pólo o zero - Parte imaginária (Im) do pólo o zero Pólo - Marado om x Zero - Marado om ESTABILIDADE E PÓLOS Critério geral de etabilidade O itema de ontrole feedbak é etável e e omente e, toda a raíze da eqação araterítia (+G ol ) tem parte real negativa. Sitema de Controle 55 Prof. Joemar do Sto

4 Etabilidade Comportamento do itema em fnção da raíze (repota ao Degra) Raiz real negativa - Etável Raiz real poitiva - Intável Raíze omplexa om parte real negativa - Etável Sitema de Controle 56 Prof. Joemar do Sto

5 Etabilidade Raíze omplexa om parte real poitiva - Intável Raiz real na origem - Critiamente Etável CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH - HURWITZ A determinação da etabilidade reqer o onheimento da raíze da eqação araterítia. Atalmente a raíze do polinômio ão obtido failmente por meio omptaionai, ma exite m método imple qe permitem determinar o número de raíze om parte real poitiva, qe é onheido omo Tete de Roth. A maior tilidade é permitir m állo rápido de m determinado parâmetro (ex: k, qe oloa a malha fehada no limite de etabilidade). O tete não e aplia a itema om o tempo morto. Proedimento. Expdir a eqação araterítia na forma polinomial. n n G a a a a OL Onde: a n n n Sitema de Controle 57 Prof. Joemar do Sto

6 Etabilidade. Se algm oefiiente for negativo o zero, pelo meno ma raiz poi parte real poitiva, portto o itema é intável.. Se todo o oefiiente forem poitivo, exite a poibilidade de ter raize om parte real poitiva, então monta-e a matriz de Roth. n n n n 4 6 a a a a a a a a n n n5 n7 b b b b4 bn 4 x x x y y z A B E C D E A C B D Onde: b a a n n b a a 4 n n 5 b a a a i n i n b b ni i Sitema de Controle 58 Prof. Joemar do Sto

7 Etabilidade z b b 5 a bi b i n i x x y y 4. Se algm do oefiiente da primeira olna for negativo,então há raíze om parte real poitiva, portto o itema é intável EXEMPLOS: ) Determinar a etabilidade de m itema om a eqação araterítia. 4 5 Solção: Repreentdo a forma ompleta, temo: 4 5 O itema é intável, poi tem m oefiiente igal a zero ) Determinar a faixa de valore qe o parâmetro k pode ter, enqto mtém a etabilidade. Solção: Sitema de Controle 59 Prof. Joemar do Sto

8 Etabilidade Eqação Caraterítia k 5 7 8k Todo o oefiiente ão poitivo, dede qe +K > k k A matriz de Roth é: 8 7 K b b 8 k k 7 8 k 6, 7 7 k k k b Para o itema er etável: k 6, MÉTODO DE SUBSTITUIÇÃO DIRETA No limite de etabilidade a raíze da eqação araterítia etá obre o eixo imaginário. Nete ponto o itema etará oildo permentemente om freqüênia. Eta freqüênia e o gho último (K ) podem er determinado reonheendo qe a raíze, no limite ão da forma. j Sbtitindo j na eqação araterítia e igaldo a zero a parte real e imaginária reltte, obtém-e da eqaçõe algébria qe permitem a determinação de k e. Sitema de Controle 6 Prof. Joemar do Sto

9 Etabilidade EXEMPLO Ue o método de btitição direta para determinar o K máximo do itema om eqação araterítia. Solção: 7 8k Sbtitindo j na eqação araterítia temo: j 7 j 8 j k j 7 8 j k Separdo a parte real e imaginária, temo: k j 7 8 Re A eqação aima é atifeita, e: 7 (I) k 8 (II) Reolvendo ( II ), temo: (8 ) 8 Im 8, 894, 894, Sbtitindo em (I), temo: k 78, k, 6 Conlímo qe k, 6 para o itema er etável. Sitema de Controle 6 Prof. Joemar do Sto

10 Etabilidade Em k, 6 temo ma oilação de freqüênia =,894 rad /min, e a nidade da ontte de tempo for em min. Correpondendo a m período. P 894, 7, min ESTABILIDADE RELATIVA O ritério de etabilidade de Roth fornee a repota à qetão de etabilidade abolta. Em mito ao não é fiiente, freqüentemente é neeário aber qão próximo m itema etável etá de e tornar intável, ito é, de a etabilidade relativa. Um método útil de examinar a etabilidade relativa é deloar o eixo do plo e apliar o ritério de etabilidade de Roth em relação ao novo eixo. O eja, btitímo: onde on t te na eqação araterítia, erever o polinômio em termo de e depoi apliamo o tete de Roth para o novo polinômio. O deloamento do eixo para - ignifia qe, no denominador da fnção de trferênia, todo o valore de etão btitído por Eqematiamente: EXEMPLO: O itema, qe tem ma fnção de trferênia om denominador abaixo, tem algma raiz mai próxima do eixo do qe -? Sitema de Controle 6 Prof. Joemar do Sto

11 Etabilidade 4 84 Solção: Verifido a etabilidade abolta O itema é Etável Verifido a etabilidade relativa Delodo o eixo para Aplido o tete de Roth 4 O itema é Intável Exite apena ma raiz à direita do eixo -. Sitema de Controle 6 Prof. Joemar do Sto