XXXI Olimpíada Brasileira de Matemática GABARITO Segunda Fase

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1 XXXI Olimpíada Braileira de Matemática GBRITO Segunda Fae Soluçõe Nível Segunda Fae Parte PRTE Na parte erão atribuído ponto para cada repota correta e a pontuação máxima para ea parte erá 0 NENHUM PONTO deverá er atribuído para repota que não coincidirem com o gabarito oficial, abaixo: Problema Repota 0 0 [Repota: 0] Inicialmente temo, litro de água e, litro de álcool Colocado x litro de água, para 0 termo 0% de álcool na mitura, bata que 9 + x,, então x 00 [Repota: ] É fácil ver que ab + b c + c d + da b a + c + d c + a a + c b + d Suponha em perda de gen eralidade que a Com io, { a, c} {, }, {, } o u {, } e coneqüentemente { b,d}{,}, {,} ou {,}, repectivamente im o poívei valore do produto ão, e e o máximo é [Repota: ] O algarimo da centena não pode er zero Vamo contar então todo o número que têm um determinado algarimo x, não nulo, poi há mai dele H á 9 9 número em que x aparece uma única vez, como algarimo da centena H á 9 número em que x aparece uma única vez, como algarimo da dezena lembree que o da centena não pode er 0 e há número em que o x aparece uma única vez, como algarimo da unidade H á 9 número com x na centena e na dezena, meno na unidade, 9 número com x na centena e na unidade, meno na dezena e número com x na dezena e na unidade, meno na centena e um único número formado inteiramente de x quantidade total de número em que figura o algarimo não nulo x é [Repota: ] Seja n 0 + B o número d e d o i d í g i t o S e d i v i d e n, então divide B Se >, então B, p o i B não pode er 0 e B < 0 < Litemo a poibilidade: Se então B pode er,, Se, então B pode er, Se, então B pode er, Se, então B pode er, Se, então B pode er Se, então B pode er Se, então B pode er XXXI Olimpíada Braileira de Matemática Gabarito Segunda Fae Nível wwwobmorgbr

2 Se, então B pode er Se 9, então B pode er 99 Logo, o total de número é [Repota: 0] Sejam K a intereção do lado D e FG, e L a intereção do lado B e EH Por imetria, veja que KD KF e K KG Conidere FK x D e a forma, K x Uando teorema de Pitágora no triângulo FK, temo: + x x Q u e n o d á x gora, veja que o triângulo FK e LE ão emelhante Portanto, E EL FK F im, EL Para achar a área procurada, bata ubtrair a área do quadrado EFGH da área do triângulo FK e EL Portanto a área erá 0 E L B F K H D G C XXXI Olimpíada Braileira de Matemática Gabarito Segunda Fae Nível wwwobmorgbr

3 Soluçõe Nível Segunda Fae Parte B PROBLEM : r e p o t a é Completou a tabela corretamente a tabela [0 ponto] ; Cao exita um ou doi erro na tabela [ ponto] ; Separou em grupo o número de 0 a 0 que deixam reto 0 ao erem dividido por, que deixam reto ao erem dividido por, que deixam reto ao erem dividido por, que deixam reto 0 ao erem dividido por, que deixam reto ao erem dividido por, que deixam reto ao erem dividido por, que deixam reto ao erem dividido por, que deixam reto ao erem dividido por, que deixam reto ao erem dividido por e que deixam reto ao erem dividido por ma não completou a tabela corretamente [ ponto] PROBLEM : S r + S r S r + r r + r r + S r S r + r r + r S Com io, encontramo que r + e r Daí, S r + S rs + Montar e reolver o itema de equaçõe r + r e r + r [ ponto] Concluir o problema [ ponto] Outra maneira: Decobrir de alguma maneira correta r + e r [ ponto] Concluir o problema [ ponto] XXXI Olimpíada Braileira de Matemática Gabarito Segunda Fae Nível wwwobmorgbr

4 PROBLEM : S e BP é uma media na do triângulo então P C P e PN Como G é o baricentro do PG PN triângulo então e, aim, pela recíproca do teorema de Tale, G N é paralelo G B N C o a BC e B 90 Como o triângulo BC é retângulo então P C P BP Com io, B G e G P BG Prolongar B G até encontrar C em P e dizer que [ ponto]; G P Determinar a medida de P, PN e C N [ ponto] ; o Perceber q u e GN e BC ão paralelo e concluir que B 90 [ ponto]; P e r c eber que P BP CP [ ponto]; Concluir [ ponto] Qualquer outra olução correta [0 ponto] PROBLEM : a pó trê rodada, um jogador pode acumular no máximo ponto Como a pontuaçõe ão múltiplo inteiro de ½, o poívei valore de pontuação apó a terceira rodada ão: 0,/,, /,, /, Como exitem jogadore e apena poibilidade, doi jogadore terão pontuaçõe iguai b S e k é a pontuação do primeiro colocado e toda a pontuaçõe ão ditinta, a oma da pontuaçõe do oito jogadore erá no máximo: k + k + + k k + k k + k + k + k Como foram diputado exatamente x ponto, temo XXXI Olimpíada Braileira de Matemática Gabarito Segunda Fae Nível wwwobmorgbr

5 k Logo, k + poi a pontuaçõe ão múltiplo inteiro de exemplo onde ete valor é atingido Bata motrarmo um Na tabela abaixo, marcamo na intereção da linha i com a colu na j o número de ponto q u e i ganh ou na partida diputada contra j Total X ½ 0 +½ 0 x x ½ +½ X X X ½ +½ ½ ½ x ½ x +½ Item a Comentar que a pontuação máxima de um jogador apó trê rodada é : [ ponto]; firmar que exitem no máximo poívei pontuaçõe [ ponto] ; Concluir uando o Princípio da Caa do Pombo [ ponto] I t e m b char a equação k + k + k + k + k + k + k + k k o u algo imilar [ ponto]; char que a pontuação máxima é k + [ ponto]; C o n truir o exemplo [ ponto]; OBS: Cao o aluno apena contrua uma tabela correta deverá receber todo o [ ponto] dete item OBS: Cao o aluno ecreva algum exemplo para k deverá receber [ ponto] d o ponto dete item XXXI Olimpíada Braileira de Matemática Gabarito Segunda Fae Nível wwwobmorgbr