Questão 1. Espaço para rascunho. Solução
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- Vasco Casqueira Espírito Santo
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1 Graduação FGV-Rio Vestibular 007 Questão No primeiro turno da eleição para governador em certo estado, suponha que todas as urnas tenham, aproximadamente, o mesmo número de votos. Tendo sido apuradas 75% das urnas, verificou-se que o candidato X possuía 75% do total de votos apurados. Você pode concluir que: a) o candidato X ganha no primeiro turno. (um candidato ganha no primeiro turno se tiver mais de 50% dos votos) b) haverá certamente o segundo turno. c) até o momento a situação está indefinida. Escolha uma das alternativas acima e justifique sua resposta. Solução Opção A. 75% de 75%= = 6 > [ ]
2 Prova dicursiva de Matemática Questão Em um depósito há caixas grandes e pequenas. Cada caixa grande pesa 70kg, e cada caixa pequena pesa 40kg. Sabe-se que 70% das caixas são grandes e 30% são pequenas. a) Qual é o peso médio dessas caixas? b) Se há no depósito 40 caixas distribuídas como descrito acima, e se essas caixas devem ser transportadas por um elevador que pode transportar, no máximo, 360kg, determine quantas viagens, no mínimo, serão necessárias para transportar todas as caixas. Justifique. Solução A m = 70x70x30x40 = 6kg 00 Solução B 8 caixas grandes = 960kg caixas pequenas = 480kg Total=440kg ou 40x6kg=440kg Como 7x360kg=50kg>440kg, aparentemente 7 viagens são suficientes. É necessário verificar se há uma disposição de caixas para transportar tudo em 7 viagens. Observe que 4x70+x40=360. Então. 4 grandes + pequenas = 360kg. 4 grandes + pequenas = 360kg 3. 4 grandes + pequenas = 360kg 4. 4 grandes + pequenas = 360kg 5. 4 grandes + pequenas = 360kg 6. 4 grandes + pequenas = 360kg 7. 4 grandes = 80kg Resp: 7 viagens. [ 3 ]
3 Graduação FGV-Rio Vestibular 007 Questão 3 No antigo Egito uma das unidades usadas para medir comprimentos era o cúbito, equivalente a cerca de 5cm. O jovem Abdal, que viveu no século II a.c. e curioso em Matemática, desejava saber a altura da grande pirâmide que tinha sido construída mais de dois mil anos antes. Ele sabia que a pirâmide foi construída de forma que, no primeiro dia do verão, suas faces ficavam voltadas para os quatro pontos cardeais e, nesse dia, fez a seguinte experiência. No meio da manhã, a sombra da pirâmide era um triângulo isósceles de vértice P (veja o desenho). Ele mediu a distância de P ao ponto M, médio do lado da base (portanto a altura do triângulo da sombra) e achou 30 cúbitos. Nesse momento, ele percebeu que uma vara reta PA de 4 cúbitos de comprimento, colocada verticalmente, projetava uma sombra PB de 5 cúbitos. Abdal mediu também o lado da base da pirâmide, que é quadrada, e achou 440 cúbitos. Determine, em metros, um valor aproximado para altura da grande pirâmide do Egito. Solução 4 = h h=80 cúbitos=45,60m [ 4 ]
4 Prova dicursiva de Matemática Questão 4 Considere a seqüência cujo termo geral é a n = ( ) n ( + 3n), onde n =,, 3,. a) Escreva os seis primeiros termos dessa seqüência. b) Calcule a soma dos 007 primeiros termos dessa seqüência. Solução A 5, 8,, 4, 7, 0 Solução B a 007 = ( ) = 6 S = ( 5 + 8) + ( + 4) ( 603) 003 pares S = = 304 [ 5 ]
5 Graduação FGV-Rio Vestibular 007 Questão 5 Os números reais x, y e z são tais que x + y + z = 6 e 3x + 4y + z = 7. a) Encontre uma solução do sistema formado por essas duas equações. b) Determine todas as soluções do sistema. c) Calcule o valor de 9x + y + 7z. Solução A Fazendo, por exemplo, x=, temos: o que dá y= e z=3. y+ z= 5 4y+ z= 4 (,, 3) é uma solução do sistema. Solução B y+ z= 6 t Fazendo x=t, temos: 4y+ z= 7 3t Resolvendo, encontramos y = 5 t, z = 7 t. O conjunto de todas as soluções do sistema é: S= { } t t t, 5, 7 ; t R Solução C 9x+ y+ 7z= 9t+ 5 t t = 8t+ 55 t+ 49 7t = 5 ou 9x+y+7z=3 x+y+z ( ) ( x y z) = = 5 [ 6 ]
6 Prova dicursiva de Matemática Questão 6 No retângulo ABCD da figura abaixo, AD = 6m e AB = 4m, e os pontos M, N, P e Q dos lados AD, AB, CB e CD, respectivamente, são tais que AM = AN = CP = CQ. Determine o valor máximo da área do quadrilátero MNPQ. Solução Observe que 0 < x 4. S=6.4-x -(4-x).(6-x) S=-x +0x, 0 < x 4. ( ) ( ) Smax= Δ = =, 5m 4a 4 [ 7 ]
7 Graduação FGV-Rio Vestibular 007 Questão 7 O polinômio P(x) = ax 5 + bx 4 + é divisível por D(x) = (x ). a) Determine os coeficientes a e b. b) Encontre o quociente da divisão de P(x) por D(x). Solução A a+ b= 5a+ 4b= 0 Resolvendo, a=4, b=-5. Solução B Refazendo o algoritmo: O quociente é Q(x)=4x³+3x²+x+. [ 8 ]
8 Prova dicursiva de Matemática Questão 8 Dois jogadores de pingue-pongue X e Y jogaram entre si, no passado, muitas partidas e cada um ganhou metade das partidas disputadas. Na rodada final de um torneio recente, os mesmos jogadores, X e Y, disputam o prêmio de R$ 600,00. Segundo as regras, partidas serão realizadas até que um dos jogadores consiga 3 vitórias, sendo declarado o vencedor do torneio. Entretanto, quando X tinha duas vitórias e Y tinha uma, faltou luz no local, e a rodada foi interrompida. Na impossibilidade de adiar a continuação para outro dia, o diretor do torneio determinou que o prêmio fosse dividido entre os dois finalistas. Qual é a forma correta de dividir o prêmio entre os dois jogadores? Solução Um espaço amostral equiparável é formado pelos vencedores de duas partidas a mais. Mesmo que x vença a primeira, haveria uma segunda amistosa. Portanto, E={xx, xy, yx, yy} Logo x ganha o prêmio com probabilidade 3 4 e y com 4. A forma correta de dividir é: x = R$ y 600 = R$ 50 4 [ 9 ]
9 Graduação FGV-Rio Vestibular 007 Questão 9 Considere a função x f( x)=, para todo x 0. x + 9 a) Resolva a equação f( x)=. b) Calcule x f(x) e use o resultado para mostrar que f(x) > x. Solução A x 9 x 9x 8 0 x + = = x 6 x = 9 ± 8 = 44 4 x = 3 Como 3 não está no domínio de f, x=6. Solução B x f( x) = x x = x + x x x + x + = x x + Para todo x 0,a fração ( ) x f x < fx ( ) < x+ fx > x ( ) x x + é menor que. Logo x x + é menor que. [ 0 ]
10 Prova dicursiva de Matemática Questão 0 Sejam A, B e C pontos da hipérbole xy =, mostre que o ortocentro do triângulo ABC pertence à hipérbole. Obs.: ortocentro de um triângulo é o ponto de interseção de suas alturas. Solução Sejam: A = a,, B = b,, C = c,. a b c Como os pontos são distintos, a b c. m c b BC = = c b bc Reta r: y = bc( x a) ou y = bcx abc + a a m c a AC = c a = ac Reta s: y = ac( x b) ou y = acx abc + b b r s: bcx abc + = acx abc + a b bcx acx = b a cx( b a) = a b x = ab abc Substituindo na equação de r: y = bc abc + = abc abc a Assim: H =, abc abc que pertence à hipérbole xy=. [ ]
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