Eletromagnetismo II 1 o Semestre de 2007 Noturno - Prof. Alvaro Vannucci. i ω

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1 Eletromagetimo II 1 o Semetre de 7 Noturo - Prof. Alvaro Vaui 8 a aula 3/mar/7 i ω Na última aula vimo: Oda laa: t ik (oeradore Da equaçõe de Maxwell, oiderado a amlitude do amo, úmero omlexo: i( K uˆ r ωt E = E e ; edo que : E ˆ ˆ = E + E ω K B = E ; e K E B ε = ω A arte real: E( r, t = E ˆ o t K r + E o t K r edo K = Kuˆ ( ω φ ˆ ( ω ; (1 φ = ou π Para φ = ± π Vimo que B E e K E = ωb ; K oda liearmete olarizada oda elitiamete (irularmete olarizada. ( + à direita e - à equerda ω = ( K = Kuˆ. Etão: B = E ˆ o ˆ ωt K r φ E o( ωt K r ( Lei de Malu adiação ão-olarizada, quado atravea erto materiai (olaróide ode torare olarizada! Um olaróide ode er otruído a artir de um material om adeia de moléula aralelamete direioada. De forma que o elétro de valêia dea moléula aam a mover-e ao logo da adeia (em reota a um amo elétrio aliado aborvem eergia.

2 No etato, ete elétro ão oeguem aar de uma adeia ara outra (ão e movem erediularmete à adeia. Na iidêia de uma oda EM om E oilado a direção que faz âgulo θ om Eixo do Polarizador: Cadeia Moleulare θ E ( da oda Eixo do Polarizador Etão, omoete aralela do amo (E //, em relação ao Eixo do Polarizador ( à adeia ão é aborvida e atravea o olaróide. A omoete erediular (E ao Eixo do Polarizador, o etato, ão atravea o olaróide (elétro aborvem a eergia iidete. Portato: E tramitido = E (iidete o θ ( E = E oθ Em termo da Iteidade de adiação, ou eja, otêia tramitida ( I E : I = I o θ Lei de Malu eoda: o que oorre (om a luz quado uo doi olaróide? Deidade e fluxo de eergia Temo verifiado que a rereetação omlexa de E e B é útil, edo que ara e obter a quatidade fíia reai, bata tomar a arte reai da gradeza omlexa.

3 Ito, orém, ode er feito orque, a equaçõe de Maxwell, o amo etão a forma liear, emre; e a equaçõe ão atifeita earadamete ela arte real e imagiária da gradeza omlexa. 1 u = E D + B H (deidade de eergia No etato, exreõe evolvedo S = E H (eergia/área/temo ão ão fuçõe lieare om relação ao amo. Nete ao, faz-e eeário rimeiro tomar a arte reai, ate de e efetuarem a multiliaçõe eeária: 1 u = e E e D + e B e H S = e E e H ; B D = ε E e H = Aim, egado a arte reai do amo e realizado a multiliaçõe (eq. 1 e, obtemo: E = E o ωt K r φ + E o ωt K r e B E ( t K r E o ( t K r E D = ε E De forma que, alulado: ε B H = 1 B = E = o ω φ ω = E = ε E Etão, a deidade volumétria de eergia, traortada or uma oda EM é: = ε e = ε u = ( ε E + ε E = ε E = E, ode uamo que: edo ε ε = ε aqui, vemo que o doi amo otribuem a mema roorção ara a eergia de uma oda EM (em meio dielétrio. Da mema forma, ara o Vetor de Poytig: ˆ ˆ uˆ 1 S = E H = E o( ωt Kz φ E o( ωt Kz E o( ωt Kz E o( ωt Kz φ ; om H = 1 B

4 S = E H = E o o ˆ ωt K r φ + E ωt K r u Comoete ˆ do amo elétrio Comoete ˆ do amo elétrio ao quadrado ao quadrado ( ( E + E = E Portato: ( em módulo 1 S = E uˆ S = E Ou eja, a eergia da oda é roorioal ao quadrado do amo elétrio. Agora, ubtituido ete último reultado a exreão da deidade de eergia u: u = 1 S u S = u u ˆ (vetorialmete = S Em termo de veloidade de roagação da oda: v ˆ = u S = u v Deidade de eergia Veror Itereate otar, dete último reultado, a aalogia om J = ρv, que defie o vetor deidade de orrete elétria. Ou eja, talvez oamo eteder S omo uma deidade de orrete eergétia, ou deidade de eergia (a verdade otêia que e deloa om a veloidade v da oda. Outra obervação itereate: a deedêia de u e S (da oda om o temo deede do etado de olarização da oda! Ito orque, do que vimo a aula aada: ( ω φ + ( ω E E t E t (real, ara z= = o o Para olarização irular: E = E e φ = ± π, daí: ( π E = E o ωt + E o ωt = E i ωt + E o ωt = ( iωt = i ωt Na ituação que E ( = E = E E = E i ωt + o ωt = 1 E = E = E otate o temo! Por outro lado, ara oda liearmete olarizada (φ =,π: ( ω + ( ω = ( + ( ω E = E o t E o t E E o t varia de a 1 E é emre oitivo

5 Ma, e o valore de E ão diferete ete doi ao, omo aaliar S? Veja que ete último reultado, em termo de valore médio: 1 E = ( E + E, que oderia ter ido alulado fazedo: (ver aêdie: 1 E = e * ( E E 1 1 u = e E D + B H Igualmete, oo fazer: 1 * o álulo do S = e( E H valore médio * * (ão imorta qual da gradeza eu eolho ojugada Oda laa mooromátia em meio odutore A olução de oda laa, ete ao, ode er obtida de maeira batate aáloga ao que fizemo om meio dielétrio. Vamo otiuar oiderado ρ = e J ó exitirá em reota ao amo elétrio da oda EM: J = σ E; E amo da oda EM. Deta forma, da 4 a equação de Maxwell: i( K r ωt ( He ( i K r ωt D e D iω H = σ E + t ik H = σ E iωd t ik B= H K H = ωd iσ E uado D = ε E i( K r ωt ( E e ω iσ K B = ε + E ε ω Note que, fazedo σ aímo o ao do meio dielétrio! (veja aula 7. Agora, ermitido que a otate dielétria eja um gradeza omlexa: iσ ε ε = ε +, ε ω

6 etão, eta 4 a equação de Maxwell adquire a mema forma que tíhamo ara meio dielétrio: K B ω = ε E, (3 de forma que o memo roedimeto ateriore de aálie odem er eguido. Veja que ete é um modelo matemátio e a uoição, que etá edo feita, irá failitar a abordagem do roblema. Aim, da 3 a equação de Maxwell: B E = i K E = iω t Multiliado vetorialmete ambo o lado( K : K K E = ωk B B A B C = B A C -C A B K K E E ω K K = ε E = = K (uado a relação e a equação (3 aima Portato: K ω ω ω = ε K = ε = Note que eu etou imodo ε =, em vita do reultado aterior, om dielétrio! Igualmete, da equação aima, vemo que (matedo ω real K também orreode a uma gradeza omlexa (ara meio odutore: Etão, oo fazer: K = K + i K = ( K + i K uˆ = K uˆ r i r i Aim roededo, ratiamete toda o reultado obtido ateriormete ara meio dielétrio também valerão, omo veremo, ara meio odutore, om a realva: ε, e K ε, e K. Deta forma, a exreõe do amo, om K K ( K r = Kr r + i Ki r Ki r i( Kr r ωt K i i r ( Kr r ωt E( r, t = E e e B( r, t = B e e Que orreodem a uma oda laa roagado-e a direção e etido de K r, om π λ =, ma om amlitude que ão é mai otate (deai ex. ao roaga-e! K r :

7 Aêdie i ˆ ( K r ωt φ i ˆ ( K r ωt E = E r t = E e + E e (, * i( K r ωt φ i( K r ωt i( K r ωt φ i( K r ωt E = E E = ( E ˆ ˆ ˆ ˆ e + E e E e + E e = = E = E E = E + E