(aulas de 14/11/2014 e 18/11/2014) (Observação: esta aula será complementada e ilustrada no quadro de aula)

Transcrição

1 Uiversidade do Estado do Rio de Jaeiro UERJ Istituto de atemática e Estatística Deartameto de Estatística Discilia: Processos Estocásticos I Professor: arcelo Rubes (aulas de 4//24 e 8//24) (Observação: esta aula será comlemetada e ilustrada o quadro de aula) PROCESSOS AROVIAOS DE PARÂETRO DISCRETO: O CASO FIITO E IRREDUTÍVE (caítulo 8 do livro texto) as duas aulas ateriores foram aresetados resultados associados aos Processos Estocásticos (P.E.) maroviaos com robabilidades de trasição de -asso estacioárias e com somete dois estados ossíveis. Esta aula (ca. 8) estede os assutos abordados as aulas ateriores ara o caso dos P.E. maroviaos com robabilidades de trasição de -asso estacioárias, irredutíveis, de estado discreto com mais de 2 estados. A otação é ligeiramete diferete da otação das aulas ateriores e foi adatada ara cosiderar uma ova coveção, ode o temo e o estado iiciais são ambos de valor igual a zero, o lugar de um (). Assim as fórmulas e otações ateriormete derivadas ficam (trocado-se o i elo, o elo e começado do zero o lugar do u: a) P.E.: {X }={X, X, X 2,...} b) ova versão ara a fórmula (5) da aula de 24//24: (,,, ) = ( ) ( ) ( ) (5 ) (eq. 8.4 livro) ode, R X X 2 = {,,2,, }, =,,2,,, são os estados do P.E.; R é também cohecido como esaço de estado, que é o couto que descreve todos os estados ossíveis de um P.E., ou sea, o cotradomíio da variável aleatória X ( fixo); ( ( = X = ) ) = P X são as robabilidades de trasição de -asso c) ova versão ara a fórmula (7) da aula de 24//24: (,,, ) = (7 ) (eq. 8.8 livro) 2 ode,

2 = ( asso estacioárias ) = P X ( = X = ) são as robabilidades de trasição de - Itroduzimos os seguites coceitos e otações: Vetor de robabilidades iicial ( ): = (,,, ) = (,,, ) = ( P(X = ),P(X = ),,P(X = ) ) Vetor de robabilidades (icodicioais) de estado aós -assos ( () ): () () () () = (,,, ) = ( P(X = ),P(X = ),,P(X = ) ) atriz de robabilidades de trasição de -asso (P): P = ( ) i = O (+ ) (+ ) Ilustrações a árvore de ossibilidades: Vetor ihas de P temo X X 2

3 Vetor () () () () ihas de P temo X X + Exemlos de matrizes de trasição: (8. do livro) - Ruía do ogador: 2 ogadores, A e B, ogam um ogo que cosiste uma seqüêcia de artidas ideedetes com aostas de R$, or artida, ode: Probabilidade de A vecer = Probabilidade de B vecer = q Probabilidade de emate = r Riqueza iicial de A = R$ Riqueza iicial de B = R$ => riqueza total em ogo = R$ Sea X a quatia de diheiro (riqueza) que A ossui aós ogos. Teremos: X = e, x +, com robabilidade Se X =x, etão X + = x, com robabilidade q x, com robabilidade r As robabilidades ão deedem de, deedem só do valor do estado aterior x, logo {X } é P.E. de arov com robabilidades de trasição estacioárias: x,x+ =P(X + =x+ X =x)= (se A gaha o ogo realizado em ) x,x =P(X + =x X =x)=q (se A erde o ogo realizado em ) x,x =P(X + =x X =x)=r (se A e B ematam o ogo realizado em ) (Obs: resolução com o vetor de robabilidades iicial e a matriz de trasição de um asso o quadro de aula) (8.4 do livro) exemlo do disaro do taque revisitado (Obs: resolução com o vetor de robabilidades iicial e a matriz de trasição de um asso o quadro de aula) 3

4 O exemlo 8. ossui 2 estados absorvetes: o e o, cuas robabilidades de trasição de - asso são uitárias, ou sea, uma vez alcaçado este estado ão será mais ossível sair dele. este exemlo da ruía do ogador, quado um dos ogadores erde todo o seu diheiro, ele ão oderá mais ogar, e ortato ão ode mais sair da ruía. Cadeias de arov com estados absorvetes, como o exemlo 8., são classificadas com a omeclatura de ão-irredutíveis.já as cadeias que ão ossuem estados absorvetes, como o exemlo 8.4, são classificadas com a omeclatura de irredutíveis. O restate das fórmulas aresetadas o caítulo 8 alica-se somete às cadeias irredutíveis Probabilidades de trasição de -assos (seção 4 ca.8) Vimos a aula do dia 7//24 a defiição/otação de robabilidades de trasição de -assos ( ) e a aula assada (//24) um exemlo desevolvido algebricamete ara obter este tio () i de robabilidade como fução das robabilidades de trasição de -asso ara o caso mais simles, ode o esaço de estados do P.E. cotiha somete 2 elemetos, ou sea, = {,},,,2, R X = () esta seção aresetamos uma abordagem geral ara a obteção de em um P.E. cuo esaço i de estados = {,,2,, },,,2, cotém 2 ou mais elemetos ( ), a artir da R X = álgebra liear (matricial) alicada à matriz de robabilidades de trasição de -asso (P). Sea P () a matriz de robabilidades de trasição de -assos que cotém todas as robabilidades () : i P ( ) () () = i = () () () () () () O () () () (+ ) (+ ), ilustração a árvore de ossibilidades: () () () () () () () () () ihas de P () temo X X 4

5 Prova-se que um P.E. maroviao com robabilidades de trasição estacioárias e matriz de robabilidades de trasição de -asso irredutível, temos: () P P P P = P (8) (8.4 do livro) = multilicação de matrizes Decorre de (8) que: P (+ + m m () ( (9) (8.5 do livro) = P 4243 P P 4243 P = P matrizes m matrizes = P P = P P Da relação (9), resulta a equação de Chama-olmogorov: (+ i = (8.6 do livro) = () i ( Ilustração da equação de Chama-olmogorov ela árvore de ossibilidades: iha de P () Estado de origem i Colua de P ( Estado de destio i -assos m-assos temo X X + X +m+ m+-assos Probabilidades (icodicioais) de estado o -ésimo asso (seção 6 ca.8) As robabilidades (icodicioais) de estado são obtidas através da fórmula: ode, (+ = = () ( () () =,, () ( ( 5

6 o vetor colua à direita equivale à colua corresodete ao estado a matriz de robabilidades de trasição de m-assos. Ilustração da fórmula de obteção das robabilidades icodicioais ela árvore de ossibilidades: Vetor () () ( Colua de P ( Estado de destio () ( () ( m-assos temo X X X m+ Fazedo-se variar de a, odemos reuir os resultados da formula acima o vetor de robabilidades (icodicioais) de estado o rimeiro asso: (+ (+ (+ () m ( ) = () ( () ( () (,,,,,, P (+ = = = = = Casos articulares da fórmula de obteção do vetor de robabilidades icodicioais: () = (-) P, () = P, =,2,3,... =,2,3,... (Alicações destas fórmulas serão exemlificadas com os dados do exemlo 8.4 o quadro de aula) 6