Capítulo 4. VERIFICAÇÃO DE ERROS NUMÉRICOS 1D EM MALHAS UNIFORMES

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1 Caítulo 4. Verificação de erros uméricos D em malas uiformes 4 Caítulo 4. VERIFICAÇÃO DE ERROS NMÉRICOS D EM MALHAS NIFORMES Coforme visto o caítulo, três tios de métodos odem ser emregados a solução de um roblema: exerimetais, aalíticos e uméricos. Os erros evolvidos estes métodos, mostrados a Fig. 4., são: os resultados exerimetais: erros exerimetais; as soluções aalíticas: erros de modelagem; e as soluções uméricas: erros de modelagem e erros uméricos. VALOR VERDADEIRO DO FENÔMENO REAL Erro de modelagem Erro exerimetal SOLÇÃO ANALÍTICA Erro umérico RESLTADO EXPERIMENTAL SOLÇÃO NMÉRICA Figura 4. Erros evolvidos os métodos da egearia. Erro exerimetal é a difereça etre o valor verdadeiro de uma variável de iteresse e o seu resultado exerimetal (ABNT, 997. Erro de modelagem é a difereça etre o valor verdadeiro de uma variável de iteresse e a sua solução aalítica exata (Ferziger & Peric, 999. Ele é causado elas simlificações feitas sobre

2 Caítulo 4. Verificação de erros uméricos D em malas uiformes 43 o feômeo real a coceção do modelo matemático. Os erros de modelagem afetam tato as soluções aalíticas quato as uméricas orque ambas se baseiam em modelos matemáticos. Erro umérico (E é a difereça etre a solução aalítica exata (Φ de uma variável de iteresse e a sua solução umérica (φ, isto é, (Ferziger & Peric, 999 E ( φ Φ φ (4. Portato, a solução umérica ideal é igual à solução aalítica exata do roblema, ou seja, é aquela em que o erro umérico é ulo. Na rática, o valor verdadeiro é descoecido e, ortato, cosegue-se aeas estimar o valor do erro exerimetal ou do erro de modelagem. Este valor estimado é deomiado de icerteza (. A mesma situação ocorre com relação ao erro umérico. Normalmete, em situações ráticas uma solução umérica é obtida orque a solução aalítica é descoecida. Assim, o erro umérico também tem que ser estimado. Os rocessos usados ara estimar cada tio de erro da Fig. 4. são: aálise de icerteza (ABNT, 997, ara erros exerimetais; validação (AIAA, 998, ara erros de modelagem; e verificação (AIAA, 998, ara erros uméricos. Este caítulo é dedicado ao rocesso de verificação de soluções uméricas. Em outras alavras, como estimar o erro umérico ou calcular a icerteza umérica, que é defiida or ( φ φ φ (4. ode φ solução umérica φ solução aalítica estimada (φ icerteza umérica de φ A icerteza de uma solução umérica é calculada com os camados estimadores de erro. A magitude aceitável ara o erro umérico deede: da fialidade da solução umérica (exercício acadêmico, ré-rojeto, rojeto; dos recursos fiaceiros disoíveis; do temo disoível ara realizar as simulações; e dos recursos comutacioais (memória e velocidade de rocessameto disoíveis. Imortâcia de se estimar o erro umérico: E > aceitável: comromete-se a cofiabilidade do uso da solução umérica;

3 Caítulo 4. Verificação de erros uméricos D em malas uiformes 44 E < ecessário: á deserdício de recursos; 3 ara validar e desevolver modelos matemáticos; or exemlo, escoametos turbuletos; este caso o erro umérico deve ser muito meor do que o erro de modelagem; e 4 ara otimizar o uso da mala através da omogeeização do erro, dimiuido as ecessidades comutacioais. A qualidade de uma estimativa de erro ode ser avaliada através da razão etre o erro estimado ( e o erro verdadeiro (E (Marci, 00. Quato mais róximo da uidade estiver esta razão, mais acurada é a estimativa do erro. Quado esta razão é maior ou igual à uidade, a estimativa de erro é cosiderada cofiável. O que se busca é uma estimativa de erro ideal, isto é, quado o erro estimado ( é igual ao erro verdadeiro (E. O erro umérico é causado or quatro fotes (Ferziger & Peric, 999: erros de trucameto; erros de iteração; 3 erros de arredodameto; e 4 erros de rogramação. 4. ERROS DE TRNCAMENTO Os erros de trucameto resultam das aroximações uméricas feitas a discretização de um modelo matemático (Ferziger & Peric, 999; Taeill et al., 997; Roace, 998. Quado o erro umérico é causado aeas or erros de trucameto, admite-se que (Ferziger & Peric, 999; Roace, 998: L 3 E( φ C + C + C... ( ode C, C, C 3,... coeficietes que ideedem de L,, 3,... ordes verdadeiras de E(φ ; úmeros iteiros ositivos L ordem assitótica de E(φ ; L ; icliação da curva do erro um gráfico log( E versus log( ara 0 φ variável de iteresse tamao dos elemetos da mala

4 Caítulo 4. Verificação de erros uméricos D em malas uiformes 45 Neste caso, o erro umérico também é deomiado de erro de discretização. Existe uma ítida corresodêcia etre as Eqs. (4.3 e (.47. Há dois tios de estimativas do erro de discretização: a riori e a osteriori das soluções uméricas. 4.. Estimativas a Priori O objetivo de uma estimativa a riori é obter a ordem assitótica da equação diferecial discretizada. No caso de 0, a Eq. (4.3 se reduz a E( φ C L (4.4 Assim, ates de se obter qualquer solução umérica, é ossível rever o comortameto assitótico do erro de discretização com relação a e L, coforme esquematizado a Fig. 4.. Não é ossível obter o valor de E (φ orque C é descoecido. Tato C quato L deedem das aroximações uméricas emregadas. Da Eq. (4.4, E ( φ 0 ara 0. 0, 0,0 módulo do erro 0,00 0,000 L L 0,0000 E-6 0,00 0,0 0, Figura 4. Efeito da ordem assitótica ( L sobre o erro (E. Exemlo: E( φ C L E( φ C L (mala fia (mala grossa

5 Caítulo 4. Verificação de erros uméricos D em malas uiformes 46 Portato, E( φ E( φ L L C C Isto é, quato maior é L, maior é a redução do erro com. Para o caso de L e L, temos E( φ E( φ 4 Ou seja, a redução à metade do tamao dos elemetos da mala reduziu a ¼ o erro. Quato maior o L, mais raidamete o erro cai com a redução de. 4.. Estimativas a Posteriori As estimativas de erro a osteriori são usadas ara estimar efetivamete a magitude do erro de discretização. Existem vários métodos que odem ser emregados. Eles odem ser divididos em dois grades cojutos:. E (φ é baseado a solução umérica obtida uma úica mala. Em geral o método de elemetos fiitos (Zu & Ziekiewicz, 990 se equadra este cojuto.. E (φ é baseado as soluções uméricas obtidas em múltilas malas. Em geral os métodos de difereças fiitas e de volumes fiitos se equadram este cojuto. Algus estimadores deste tio são (Marci, 00: delta, de Ricardso, GCI, multicoeficietes e covergete. Praticamete todos os estimadores existetes são alguma variação do estimador de Ricardso Estimador de Ricardso baseado a ordem assitótica A icerteza ( de uma solução umérica (φ segudo o estimador de erro de Ricardso (Roace, 994 é obtida admitido-se que Ri (φ K L (4.5 ode K coeficiete que é admitido ideeder de tamao dos elemetos da mala L ordem assitótica dos erros de trucameto Com a Eq. (4. em (4.5,

6 Caítulo 4. Verificação de erros uméricos D em malas uiformes 47 φ φ K L (4.6 Alicado-se esta equação a duas malas diferetes ( fia e grossa cujas soluções uméricas são φ e φ, obtém-se φ K L φ (4.7 φ K L φ (4.8 Nestas duas equações são coecidos os valores de φ, φ,, e L, e as icógitas são φ e K. A solução ara φ é ( φ φ φ ( L φ + (4.9 L ( q ode a razão de refio de mala (q é dada or q (4.0 A Eq. (4.9 rereseta a extraolação de Ricardso (Roace, 994. Com sua substituição a Eq. (4., a icerteza ou a estimativa do erro de discretização, segudo o estimador de Ricardso, ara a solução umérica φ a mala fia ( é Ri ( φ φ ( L ( q L (4. Deve-se erceber que a estimativa do erro dada ela Eq. (4. tem sial, que ode ser ositivo ou egativo Estimador de Ricardso baseado a ordem aarete A Eq.(4.6 ode ser reescrita da seguite forma:

7 Caítulo 4. Verificação de erros uméricos D em malas uiformes 48 φ φ K (4. ode é a ordem aarete (Marci, 00 da icerteza. Para malas grossas, ou ráticas, L, mas ara 0, L. Alicado-se a Eq. (4. a três malas diferetes ( fia, grossa e 3 suergrossa cujas soluções uméricas são φ, φ e φ 3, obtém-se φ φ (4.3 K φ φ (4.4 K φ φ (4.5 3 K 3 Nestas três equações são coecidos os valores de φ, φ, φ 3,, e 3, e as icógitas são φ, K e. Para razão de refio (q costate etre as malas, e 3, isto é, q 3 (4.6 a solução das Eqs. (4.3 a (4.5 resulta em ( φ φ φ ( φ + (4.7 ( q ode φ φ3 log φ φ log( q (4.8 A Eq. (4.7 rereseta a extraolação de Ricardso com base a ordem aarete (. Com a Eq. (4.8 é ossível verificar se ara 0, L, sem qualquer solução aalítica, emregado aeas as soluções uméricas. Com a substituição da Eq. (4.7 a Eq. (4., tem-se

8 Caítulo 4. Verificação de erros uméricos D em malas uiformes 49 Ri ( φ φ ( ( q (4.9 que é a icerteza da solução umérica (φ a mala fia (. O estimador de Ricardso só forece o valor correto do erro, isto é, ( L Ri ( E( φ (4.0 Ri em duas situações: o caso-limite de 0; e quado a equação do erro de discretização, Eq. (4.3, é comosta aeas elo rimeiro termo. Em geral, euma destas duas situações ocorre a rática, e assim, Ri ( L Ri ( E( φ (4. Aesar disto, ode-se demostrar (Marci e Silva, 00 que ( E Ri ( < < (4. E Ri L quado L mootoicamete com valores iferiores a L, Fig No caso iverso, isto é, quado L mootoicamete com valores sueriores a L, Fig. 4.4, tem-se ( E Ri ( L < < (4.3 E Ri Além disso, só faz setido emregar Ri, Eq. (4.9, quado > Estimador GCI De acordo com o estimador GCI (Grid Covergece Idex, a icerteza de uma solução umérica (φ é calculada através de (Roace, 994

9 Caítulo 4. Verificação de erros uméricos D em malas uiformes 50 GCI ( L F s φ φ ( q L (4.4 itervalo subcovergete L 0 C Figura 4.3 Defiição do itervalo subcovergete da ordem aarete. itervalo suercovergete L 0 C Figura 4.4 Defiição do itervalo suercovergete da ordem aarete. ode F s é um fator de seguraça com valor igual a três, ara alicações em geral. Este estimador também ode ser emregado com a ordem aarete (. Neste caso,

10 Caítulo 4. Verificação de erros uméricos D em malas uiformes 5 GCI ( F s φ φ ( q (4.5 Pode-se demostrar (Marci, 00 que GCI E( φ F s ara 0 (4.6 A reresetação correta da solução umérica (φ e sua resectiva icerteza ( GCI obtida com o estimador GCI é φ φ ± GCI ( Estimador delta De acordo com o estimador delta ( usado or Demirdzic et al. (99, a icerteza de uma solução umérica (φ é calculada com ( φ φ φ (4.8 A icerteza calculada com a Eq. (4.8 rereseta uma bada ou um itervalo em toro da solução umérica (φ. O cálculo da icerteza segudo o estimador delta também usa duas soluções uméricas (φ e φ obtidas em duas malas diferetes ( e, da mesma forma que o estimador de Ricardso. Mas ao cotrário deste, ão leva em cota a razão de refio de mala (q, ou os valores de e, em a ordem assitótica ( L do erro de discretização. Coseqüetemete, ode ser feito arbitrariamete muito equeo, quado q, ou muito grade, quado q >>. ma relação facilmete verificável é que a magitude do estimador delta ( coicide com o resultado do estimador de Ricardso ( Ri ara o caso em que q e L, coforme ode ser visto comarado-se as Eqs. (4. e (4.8. Pode-se demostrar (Marci, 00 que

11 Caítulo 4. Verificação de erros uméricos D em malas uiformes 5 E L q ara 0 (4.9 Para L e q, or exemlo, da Eq. (4.9, / E. No caso de L e q, / E 3. Nestes dois casos, é cofiável. Mas, ara L e q,, da Eq. (4.9, / E 0,, isto é, ão é cofiável orque subestima a magitude do erro, reresetado aeas cerca de 5 do seu valor. A subestimativa ode ser aida ior quado < Ordem efetiva A ordem efetiva do erro verdadeiro é defiida or (Marci, 00 E E( φ log E( φ log( q (4.30 Coforme a Eq. (4.30, a ordem efetiva ( E é fução do erro verdadeiro da variável de iteresse. Assim, ara os roblema cuja solução aalítica é coecida, ela ode ser usada ara verificar a osteriori se, à medida que 0, obtém-se a ordem assitótica ( L do erro de discretização, que é um resultado teórico obtido a riori Procedimeto recomedado Para malas uidimesioais uiformes e razão de refio costate etre as malas, recomeda-se o seguite rocedimeto ara estimar o erro de discretização de cada variável de iteresse: Para as aroximações uméricas usadas a discretização do modelo matemático do roblema, determiar a ordem assitótica ( L. Obter três soluções uméricas (φ, φ, φ 3 em três malas diferetes (, e 3. 3 Com a Eq. (4.6, calcular a razão de refio (q costate etre as malas, e 3. 4 Com a Eq. (4.8, calcular a ordem aarete (. 5 Se > L, calcular a icerteza ( GCI da solução umérica (φ, a mala fia (, com a Eq. (4.4 e F s 3. 6 Se < L, calcular a icerteza ( GCI da solução umérica (φ, a mala fia (, com a Eq. (4.5 e F s 3. 7 Exressar a solução umérica e sua icerteza através da Eq. (4.7.

12 Caítulo 4. Verificação de erros uméricos D em malas uiformes ERROS DE ITERAÇÃO A discretização de uma equação diferecial através de um método umérico resulta em [ A ][ λ ] [ B] (4.3 ode [A] é a matriz dos coeficietes, [λ] é o vetor icógita e [B] é o vetor do termo fote. No caso do roblema abordado a seção 3., A λ B (ara j k (4.3 k, j j + Ak, j λ j + Ak, j+ λ j+ k ode j e k reresetam cada ó da mala. O erro de iteração (E da solução umérica (φ de uma variável de iteresse, a iteração, é defiido or (Fergiger & Peric, 999 E( φ φ (4.33 φ ode φ rereseta a solução exata do sistema (4.3, isto é, sem erros de arredodameto e de rogramação. A variável φ ode reresetar λ o sistema (4.3 ou qualquer outra variável obtida a artir de λ. Quado o sistema (4.3 tem coeficietes [A] costates e se usa um método direto ara resolvê-lo, como or exemlo elimiação de Gauss, a solução de λ ão cotém erros de iteração. Algumas causas de erros de iteração são: emrego de métodos iterativos ara resolver o sistema (4.3; roblemas ão-lieares, isto é, quado os coeficietes [A] deedem de λ; modelos matemáticos costituídos or mais de uma equação, sedo cada uma resolvida searadamete; e utilização de métodos multigrid ara resolver o sistema (4.3. Três características fudametais dos erros de iteração: em geral eles dimiuem com o aumeto do úmero de iterações; ara, E(φ 0; e 3 ara covergêcia mootôica e,

13 Caítulo 4. Verificação de erros uméricos D em malas uiformes 54 C E( φ 0 L (4.34 ode C coeficiete que ideede de L ordem assitótica do erro de φ O valor da ordem assitótica ( L é semre um úmero real maior do que zero e rereseta a icliação da curva do erro de iteração um gráfico log( E versus ara. Essas características odem ser ilustradas elo exemlo a seguir. Cosidere a seguite equação: ( λ ( λ 3 0 ou λ 5λ (4.35 A solução umérica de uma das raízes desta equação ode ser obtida elo método da iteração liear (Barroso et al., 987; or exemlo, através de λ + 6 λ ( Para λ 0 0, a curva de erro obtida é mostrada a Fig A solução exata este caso é e L log(5/4 0,0969. Também á dois tios de estimativas do erro de iteração: a riori e a osteriori das soluções uméricas. 4.. Estimativas a Priori As estimativas a riori de E(φ se baseiam a Eq. (4.34. A artir dela temos E E( φ ( φ+ 0 L (4.37 Isto é, quato maior a ordem assitótica, mais raidamete o erro de iteração é reduzido com o aumeto do úmero de iterações. Mas, em geral, L só ode ser obtido a riori ara roblemas muito simles. Para a maioria das alicações, L é descoecido. Normalmete esta dificuldade só é suerada com o método exosto a róxima seção.

14 Caítulo 4. Verificação de erros uméricos D em malas uiformes Estimativas a Posteriori Dois métodos ara estimar a magitude do erro iterativo são aresetados or Ferziger & Peric (999 e Roy & Blotter (00. Eles são semelates ao método aresetado a seguir. A artir da Eq.(4.3, vamos admitir que K ( φ 0 (4.38 ode K coeficiete que é admitido ideeder de úmero da iteração ordem aarete da icerteza 0, 0,0 0,00 0,000 erro 0,0000 E-6 E-7 E-8 E iteração Figura 4.5 Comortameto mootôico do erro de iteração. Com a Eq. (4. em (4.38, K φ φ 0 (4.39

15 Caítulo 4. Verificação de erros uméricos D em malas uiformes 56 ode, aqui, φ rereseta uma estimativa da solução exata do sistema (4.3. Escrevedo-se a Eq. (4.39 ara soluções uméricas obtidas em três iterações sucessivas (-, - e, tem-se ( φ φ K ( ( φ φ K (4.4 0 φ 0 (4.4 φ K Nestas três equações, φ -, φ -, φ e são coecidos. As icógitas são φ, K e. Com a solução deste sistema, obtém-se ( φ φ φ + φ (4.43 (0 ode φ φ log φ φ (4.44 A substituição da Eq. (4.43 em (4. fialmete forece a icerteza ( da solução umérica a iteração, dada or ( φ φ ( φ (0 (4.45 Esta estimativa do erro de iteração só deve ser emregada ara > 0. Note que o erro de trucameto é elimiado a Eq. (4.45 devido à subtração das soluções uméricas a mesma mala. Pode-se demostrar que ( φ E( φ ara (4.46

16 Caítulo 4. Verificação de erros uméricos D em malas uiformes Critério de covergêcia baseado o resíduo Para o sistema dado a Eq. (4.3, o resíduo do sistema de equações algébricas é defiido geericamete or (Ferziger e Peric, 999 R B Aλ (4.47 ode λ é a solução da icógita a iteração. Para o caso articular da Eq. (3.3, a defiição da Eq. (4.47 resulta em R ( a T + ( a T + b ( a T (4.48 P W P W E P E P P P P O critério ara iterromer o rocesso iterativo com base o resíduo das equações é L Se Tol 0 L arar (4.49 ode L orma dos resíduos a iteração L 0 orma dos resíduos a iteração 0, isto é, ates de iiciar o rocesso iterativo; este caso, os resíduos são calculados com base a estimativa iicial da solução. Tol tolerâcia admitida ara iterromer o rocesso iterativo, em geral, 0-4 ou 0-5 São usadas, geralmete, as ormas (Kreyszig, 999 L, L e L. No caso da rimeira, N L RP (4.50 P 4..4 Critério de covergêcia baseado a variação da icógita O critério ara iterromer o rocesso iterativo com base a variação da icógita é (Ferziger e Peric, 999 Se L Tol arar (4.5

17 Caítulo 4. Verificação de erros uméricos D em malas uiformes 58 ode L orma da variação da icógita a iteração Tol tolerâcia admitida ara iterromer o rocesso iterativo, em geral, 0-3 a 0-8 rimeira, Aqui, também são usadas, geralmete, as ormas (Kreyszig, 999 L, L e L. No caso da L N TP TP (4.5 P 4..5 Procedimeto recomedado Para iterromer o rocesso iterativo de solução de cada sistema de equações algébricas, reresetada ela Eq. (4.3, recomeda-se: Com as Eqs. (4.48 e (4.50, calcular L 0 com base a estimativa iicial da solução. Para cada iteração, com as Eqs. (4.48 e (4.50, calcular L. 3 Plotar um gráfico semi-log, semelate à Fig. 4.5, a razão L /L 0 ao logo das iterações até que o valor desta razão atija o míimo ossível, isto é, o erro de máquia. Em roblemas muito simles, o erro de máquia é um valor costate, mas a maioria é uma oscilação em toro de um valor médio que ermaece fixo ao logo das iterações. 4 Aotar o valor do erro de máquia e aresetá-lo como uma idicação do erro de iteração. Recomeda-se também emregar semre recisão dula, ou maior. 4.3 ERROS DE ARREDONDAMENTO O erro de arredodameto de um variável de iteresse (φ é defiido or E ( φ Φ (4.53 π φ π ode Φ solução aalítica exata da variável de iteresse φ π solução umérica sem erros de discretização, de iteração e de rogramação

18 Caítulo 4. Verificação de erros uméricos D em malas uiformes 59 A causa dos erros de arredodameto é a reresetação fiita das variáveis as comutações uméricas, que está ligada à recisão dos úmeros. Esta recisão deede do comilador (software usado ara gerar o código comutacioal e do comutador (ardware emregado em sua execução. Os erros de arredodameto rovocam erda de recisão dos úmeros, que ocorre basicamete or dois motivos: Número de oerações os cálculos: rovoca erda de recisão o lado direito dos úmeros. Ocorre or exemlo, a obteção da solução do sistema (4.3. Cacelameto subtrativo os cálculos: rovoca erda de recisão o lado esquerdo dos úmeros. Ocorre, or exemlo, o cálculo de erros e icertezas. m modelo grosseiro que ermite estimar a erda de recisão ( devido ao úmero de oerações é O( N a O( N (4.54 max ode N é o úmero máximo de elemetos as dimesões do roblema, e O (N idica a ordem de gradeza da variável etre arêteses. Algus exemlos são aresetados a seguir. Exemlo : N 00 0 O(N N ( O( N 4 Portato: max a 4 algarismos Se φ,345678x0 3,, 3 ou 4 algarismos do lado direito odem estar afetados or erros de arredodameto. Exemlo : N ,536x0 4 O(N 4 N ( ,9x0 9 O( N 9 Portato: max 4 a 9 algarismos Se φ,345678x0 3, é ossível que todos os algarismos deste úmero estejam afetados or erros de arredodameto e, assim, seu valor ão tem utilidade. Exemlo 3: Mala D 64 x 04 N max 04,4x0 3 O(N 3 (N max (04,049x0 6 O( N 6

19 Caítulo 4. Verificação de erros uméricos D em malas uiformes 60 Portato: max 3 a 6 algarismos O efeito do úmero de oerações sobre os erros de arredodameto da solução umérica de uma variável de iteresse é mostrado a Fig Grosseiramete, quato meor o tamao dos elemetos da mala ( ou maior o úmero de ós (N, maior é o valor do erro de arredodameto. m exemlo de cacelameto subtrativo é dado a seguir. Duas soluções uméricas obtidas são φ,345678x0 3 e φ,344567x0 3. Ao se calcular a icerteza ( com as Eqs. (4., (4.9, (4.4, (4.5 ou (4.45, o umerador tem-se a difereça etre estas soluções, isto é, φ,345678x0 3 φ,344567x0 3 φ φ,x0 - Portato, este caso, o cacelameto subtrativo rovocou a erda de 4 algarismos do lado esquerdo do úmero. módulo do erro E-6 E-7 E-8 E-9 E-0 E- E- E-3 E-4 E-5 E-6 0,0000 0,000 0,00 0,0 0, Figura 4.6 Exemlo do comortameto geral dos erros de arredodameto.

20 Caítulo 4. Verificação de erros uméricos D em malas uiformes ERROS DE PROGRAMAÇÃO O erro de rogramação de uma variável de iteresse (φ ode ser defiido or E( φ Φ φ (4.55 ode Φ solução aalítica exata da variável de iteresse φ solução umérica sem erros de discretização, de iteração e de rogramação Os erros de rogramação odem ser causados (Roace,998: elo uso icorreto de um modelo umérico a aroximação do modelo matemático; ela imlemetação icorreta do modelo umérico o rograma comutacioal; elo uso icorreto do rograma comutacioal durate a obteção da solução umérica; e or qualquer outra evetual fote de erro. Nos livros de Ferziger & Peric (999, Maliska (004 e Roace (998b existem discussões sobre erros de rogramação, de como evitá-los e detectá-los. Sugestões gerais são: Iicialmete, imlemete um rograma exuto, esecífico, deois tete geeralizá-lo. Imlemete o rograma em módulos. Isso facilita a detecção e elimiação dos erros de rogramação. se, or exemlo, um módulo ara calcular coeficietes e termos fotes e outro ara resolver o sistema de equações. 3 Teste o solver ara um sistema de equações simles com resultados exatos coecidos. 4 sado uma mala equea, verifique se a solução coverge. Isto é, se o erro de iteração atige o ível do erro de máquia ou erro de arredodameto. 5 Resolva um roblema fabricado ara verificar se, ara 0, o erro de discretização 0, e E,, L. Na Fig. 4.7 rereseta-se o erro de rogramação detectado o tio de teste mecioado o item 5 acima Método das soluções fabricadas Si (985 e Roace (00 aresetam rocedimetos ara fabricar ou coceber soluções de roblemas com o ituito de verificar erros de rogramação, em articular, e erros uméricos, em geral. O objetivo é ecotrar ou fabricar uma solução aalítica exata ara um roblema similar ao

21 Caítulo 4. Verificação de erros uméricos D em malas uiformes 6 que se deseja resolver umericamete. O método é útil quado ão se coece a solução aalítica do roblema origial. Procedimeto: Proor uma solução ara o roblema origial. Calcular as derivadas evolvidas o roblema origial com a solução roosta. 3 Substituir a solução e suas derivadas o roblema origial. A equação origial ão será satisfeita, isto é, ão averá igualdade etre os membros à esquerda e à direita. 4 Calcular o resíduo que resulta do asso 3, com ele o membro da direita da equação. 5 Substituir o resíduo o membro da direita da equação origial, multilicado or uma costate C, ara que ela asse a ser satisfeita ara a solução roosta (fabricada Erro e-007 e-006 e Figura 4.7 Exemlo de erro de rogramação. Exemlo seguido os cico assos descritos acima. Equação origial: d dx Λ + dλ X dx + Λ X Proor uma solução ara o roblema origial: Λ X (4.56 (4.57

22 Caítulo 4. Verificação de erros uméricos D em malas uiformes 63 Calcular as derivadas evolvidas o roblema origial com a solução roosta: dλ d Λ X (4.58 dx dx 3 Substituir a solução e suas derivadas o roblema origial. A equação origial ão será satisfeita, isto é, ão averá igualdade etre os membros à esquerda e à direita: 4 + X X + X X ( Calcular o resíduo que resulta do asso 3, com ele o membro da direita da equação: R X X 4 + X + ( Substituir o resíduo o membro da direita da equação origial, multilicado or uma costate C, ara que ela asse a ser satisfeita ara a solução roosta (fabricada: d Λ dλ + X + Λ X + RC (4.6 dx dx A Eq. (4.6 se costitui o roblema fabricado. O coeficiete C é usado ara ativar (C ou desativar (C 0 a solução fabricada a solução umérica. Desta forma, verificado-se o erro umérico ara a Eq. (4.6, esera-se que automaticamete o erro umérico também esteja verificado ara a Eq. (4.56, a equação origial. 4.5 EXERCÍCIOS E xercício 4. (seção 4. Através de uma estimativa de erro a riori, determie as ordes verdadeiras e assitóticas do erro de trucameto das seguites equações difereciais discretizadas: Eq. (3., da seção 3. Eq. (3.54, da seção Eq. (3.7, da seção 3.5 E xercício 4. (seção 4. Deduza as Eqs. (4.9, (4., (4.7, (4.8 e (4.9. E xercício 4.3 (seção 4. Execute o rograma POISSON, que resolve o roblema da seção 3., disoível em se os ft.demec.ufr.br/discilias/tm797 seguites dados fixos: S 0 ½; S 3 ; S ; T 0 0 e T L k L. Variáveis de iteresse: T(½, T m,,, q 0 e,, q L.

23 Caítulo 4. Verificação de erros uméricos D em malas uiformes 64 Resultados a aresetar ara cada variável de iteresse: Solução umérica com N, e 4 ós. Valor da ordem assitótica ( L. 3 Valor da razão de refio (q. 4 Valor da ordem aarete (. 5 Erro verdadeiro da solução umérica da mala mais fia. 6 Icerteza ( GCI da solução umérica da mala mais fia, ara F s 3, de acordo com o rocedimeto da seção Exressar a solução umérica e sua icerteza através da Eq. ( Valor da razão etre icerteza e erro. E xercício 4.4 (seção 4. Cosidere o rograma comutacioal que foi imlemetado ara resolver o exercício 3., 3.3, 3.4 ou 3.5 com o método TDMA. Altere-o ara resolver o roblema com o método Gauss-Seidel. Siga o rocedimeto recomedado a seção Aresete um gráfico semi-log, semelate à Fig. 4.5, 0 com a razão L /L ao logo das iterações. E xercício 4.5 (seção 4.3 Execute o rograma POISSON, que resolve o roblema da seção 3., disoível em ft.demec.ufr.br/discilias/tm797 se os seguites dados fixos: S 0 S S T 0 0 e T L k L. Obtea a solução umérica de T(½ com N, 0, 00, 000 e 0000 ós. Aresete um gráfico log-log, semelate à Fig. 4.6, com o módulo do erro verdadeiro da solução umérica de T(½ versus.