Método do Lugar das Raízes

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1 Método do Lugar das Raízes Coceito de Lugar das Raízes; O Procedimeto do Lugar das Raízes; Projeto de Parâmetros pelo Método do Lugar das Raízes; Sesibilidade e Lugar das Raízes; Cotrolador de Três Termos (PID); Exemplo de Projeto; Lugar das Raízes usado MATLAB.

2 Método do Lugar das Raízes Itrodução: O método foi itroduzido por Evas em 948 e tem sido utilizado largamete a pratica da egeharia de cotrole. A técica é um método gráfico de esboçar, o plao s, o lugar geométrico das raízes a medida que um parâmetro é variado. Este método forece a medida da sesibilidade das raízes do sistema a uma variação de um parâmetro sob cosideração. Pode ser usada em cojuto com o critério de Routh-Hurwitz. Pode ser um esboço aproximado o setido de obter iformação qualitativa referete a estabilidade e ao desempeho do sistema. Pode-se ivestigar o lugar de raízes da EC de um sistema com múltiplas malhas tão rapidamete quato uma úica malha. Se a localização ão for satisfatória, os ajustes dos parâmetros podem ser facilmete alterados.

3 Coceito do Lugar das Raízes O desempeho diâmico de um sistema de cotrole a malha fechada é descrito pela FT a malha fechada Y ( s) p( s) T ( s) = = R( s) q( s) A EC q(s) determia os modos da resposta do sistema. No caso do sistema de uma malha úica, a EC é + G( s) = 0 A EC deve satisfazer a equação acima ode se posicioam as raízes o plao s. Como s é uma variável complexa, pode ser escrita a forma polar Assim é ecessário que G( s ) = G( s) G( s) = + j0 0 0 G( s) = 80 ± k360 ode k = 0, ±, ±, 3

4 Coceito do Lugar das Raízes O lugar das raízes é o percurso das raízes da EC traçado o plao s à medida que um parâmetro do sistema é alterado. O sistema de a. Ordem simples possui a seguites EC: À medida que se varia o gaho, requere-se ou ( s) = + G( s) = + = 0 s( s + ) q s s s s ζω s ω ( ) = + + = + + = 0 G( s) = = s( s + ) G s = ± 0 0 ( ) m80, 540, Ode pode ser variado desde zero até um valor ifiitamete grade. Para um sistema de a. Ordem, as raízes são s s ζω ω ζ, = ± para ζ < θ = cos ζ 4

5 Lugar das Raízes para um sistema de a. Ordem quado e < <. O lugar é mostrado em lihas cheias Calculo do âgulo e o gaho s, para gaho = s( s + ) s = s = s ( s + ) = (80 θ ) + θ = Este requisito agular é satisfeito em qualquer poto da liha vertical que é uma bissetriz perpedicular ao segmeto de liha que vai de 0 à. 5

6 O gaho este poto particular s é = = = s s + s( s + ) s s + s= s Ode s é a magitude do vetor que vai da origem até s, e s + é a magitude do vetor que vai de - a s. Para um sistema multimalhas a malha fechada, pode-se usar a Fórmula de Maso do gaho do daigrama de fluxo de sial, o que resulta N M, N ( s) = L + L L L L L + m q r s t = m, q Ode Lq é igual ao valor de q-ésima trasmitâcia de malha propria, Portato a EC pode ser escrita q( s) = ( s) = + F( s) Para ecotrar as raízes + F( s) = 0 F( s) = + j0 Em geral, a fução F(s) pode ser escrita como F( s) = ( s + z)( s + z)( s + z3) L ( s + zm) ( s + p )( s + p )( s + p ) L ( s + p ) 3 6

7 Etão os requisitos de magitude e de âgulo exigidos para os lugares da raízes são 0 0 ( L ) s+ z s+ z L F s e F s s z s z s p s p q ( ) = =, ( ) = L = 80 ± 360 s+ p s+ p L Um poto de teste o plao s, s, é verificado como um local da raízes quado a equação acima for satisfeita. Os âgulos são todos medidos o setido ati-horário, a partir de uma horizotal. Dividido pelo fator (s +), tem-se + G( s) = + 0 s( s + a) = + as 0 s + = O critério de magitude é satisfeito a raiz s quado ou a s s + = s s + j + s j = ± 80, ± 540, O critério de âgulo é ( ) 0 0 s as + + = 0 a = s + j s j s 7

8 Procedimeto para Lugar das Raízes As raízes da EC de um sistema forecem uma visão do cojuto valiosa com referecia à resposta do sistema Passos para o esboço do Lugar da Raízes: Passo : Escrever a EC como + F( s) = 0 Reorgaizar a equação de modo que o parâmetro apareça como um fator multiplicativo sob a forma + P ( s ) = 0 Passo : Fatorar P(s) e escrever a forma de pólos e zeros como segue: M i i= + = 0 j= ( s + z ) ( s + p ) Passo 3: Localizar os pólos e zeros o plao s com síbolos selecioados. Geralmete, há iteresse em determiar o lugar das raízes à medida que varia o itervalo M 0 j ( s + p ) + ( s + z ) = 0 j j= i= i 8

9 M ( s + p ) + ( s + z ) = 0 j j= i= Nota-se que o lugar das raízes da EC +P(s)=0 iicia-se os pólos de P(s) e termia os zeros de P(s) à medida que aumeta a partir de zero até ifiito. Numero de zeros os ifiito é igual a -M. Passo 4: Localizar os segmetos do eixo real que são lugares das raízes. O lugar das raízes o eixo real esta sempre em uma seção do eixo real à esquerda de um umero impar de pólos e zeros. Exemplo de Sistema de a. Ordem: Um sistema de malha úica com retroação possui a seguite EC (passo ): s + + GH ( s) = + s s + 4 i 9

10 Passo : FT GH(s) reescrita em termos de pólos e zeros: ( + ) ( + 4) s + = 0 s s Determiar o Lugar das raízes para o gaho 0 (Passo 3) Passo 4: Determiar o Lugar da raízes sobre o eixo real. 0