Método do Lugar das Raízes

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1 étodo do Lugar da Raíze Coceito de Lugar da Raíze; O Procedimeto do Lugar da Raíze; Proeto de Parâmetro pelo étodo do Lugar da Raíze; Seibilidade e Lugar da Raíze; Cotrolador de Trê Termo (PID); Exemplo de Proeto; Lugar da Raíze uado TLB.

2 Procedimeto para Lugar da Raíze raíze da EC de um itema forecem uma vião do couto valioa com referecia à repota do itema 2 Pao para o eboço do Lugar da Raíze: Pao : Ecrever a EC como + F( ) = Reorgaizar a equação de modo que o parâmetro apareça como um fator multiplicativo ob a forma + P ( ) = Pao 2: Fatorar P() e ecrever a forma de pólo e zero como egue: i i= + = = ( + z ) ( + p ) Pao 3: Localizar o pólo e zero o plao com íbolo elecioado. Geralmete, há iteree em determiar o lugar da raíze à medida que varia o itervalo ( + p ) + ( + z ) = = i= i 2

3 ( + p ) + ( + z ) = = i= Nota-e que o lugar da raíze da EC +P()= iicia-e o pólo de P() e termia o zero de P() à medida que aumeta a partir de zero até ifiito. Numero de zero o ifiito é igual a -. Pao 4: Localizar o egmeto do eixo real que ão lugare da raíze. O lugar da raíze o eixo real eta empre em uma eção do eixo real à equerda de um umero impar de pólo e zero. Exemplo de Sitema de 2a. Ordem: Um itema de malha úica com retroação poui a eguite EC (pao ): GH ( ) = i 3

4 Pao 2: FT GH() reecrita em termo de pólo e zero: ( + ) ( + 4) = Determiar o Lugar da raíze para o gaho (Pao 3) Pao 4: Determiar o Lugar da raíze obre o eixo real. O Critério do âgulo é atifeito o eixo real etre o valore e -2. Por exemplo, o Gaho a raiz = =- é = ou = =

5 étodo do Lugar da Raíze Pao 5: Determiar o úmero de lugare eparado, LS. Como o lugare e iiciam o pólo e termiam o zero, o umero de lugare eparado é igual ao úmero de pólo. Pao 6: O lugar da raíze deve er imétrico em relação ao eixo real, porque a raíze complexa devem aparecer ao pare de raíze complexa cougada. Pao 7: O lugare avaçam em direção ao zero o ifiito egudo aítota cetrada em com âgulo. Quado o umero de zero fiito de P(), z, é meor do que o úmero de pólo, p, de um umero N= p - z, etão N eçõe de lugare devem fializar em zero o ifiito. Eta reta aítota etão cetrada em um poto o eixo real σ ( p ) ( zi) polo de P( ) zero de P( ) = i= = = p z p z O âgulo da aítota com relação ao eixo real ( 2q + ) 8 φ = ode q =,,2,,( p z ), p z 5

6 Exemplo: Sitema de 4 a. Ordem Um itema de cotrole com retroação, de malha úica, tem uma EC ( + ) + GH ( ) = + 2 ( + 2)( + 4) Deea-e eboçar o lugar da raíze a fim de determiar o efeito do gaho. ( q + ) 6, q 8, q 3, q 2 σ 2 φ = 8 ode q =,,2,,( ), φ φ φ p z p z = + = = = = = ( p ) ( zi) = i= ( 2) + 2( 4) ( ) 9 = = = = p z 6

7 Pao 8: Determiar o poto o qual o lugar cruza o eixo imagiário (e ito ocorrer). O poto o qual o lugar da raíze itercepta o eixo imagiário é calculado uado-e o critério de Routh-Hurwitz. Pao 9: Determiar o poto de aída do eixo real (e exitir). aída do lugar da raíze do eixo real ocorre ode a variação líquida o âgulo cauada por um pequeo delocameto é zero. O lugar deixa o eixo real ode exitem raíze múltipla. aaliticamete ecotra-e o máximo de =p(), derivado-e o poliômio, e igualado a zero. p( ) = Exemplo, edo d d dp( ) = = d G( ) = + G( ) = + ( + 2)( + 4) ( + 2)( + 4) = p = + + = ( ) ( 2)( 4) ( 6 8) dp( ) d = (2 + 6) = a = 3 7

8 Pao : Determiar o âgulo de aída do lugar a partir de um pólo e o âgulo de chegada do lugar em um zero, uado o critério de fae O âgulo de aída do lugar a partir de um pólo é a difereça etre o âgulo líquido devido a todo o outro pólo e zero e o âgulo do critério ±8 º (2q+). É particularmete de iteree para pólo complexo (e zero). Exemplo: ea a FT a malha aberta de 3a. ordem F( ) = G( ) H ( ) = 2 2 ( + p )( + 2 ζω + ω ) localizaçõe do pólo e o âgulo do vetore o pólo complexo p O âgulo um poto de tete, a uma ditacia ifiiteimal de p, deve atifazer o critério de âgulo. θ = 9 e θ + θ + θ = θ θ = θ = 9 θ 3 = = 9 + θ2 θ3 γ θ γ 3 8

9 étodo do Lugar da Raíze Pao : Determiar que atifazem o critério de fae a raiz x, x=,2,... p. O critério de fae é P( ) = 8 ± q36, ode q =,2, Pao 2: Determiar o valor do parâmetro x em uma raiz epecifica x uado o requiito de magitude. O requiito de magitude e x é x = = i= + p + z i = x 9

10 2 Pao Regra. Ecrever a EC de modo que ea um multiplicador 2. Fatorar P() em termo do p pólo e z zero 3. ialar o pólo e zero malha aberta de F() o plao com ímbolo elecioado 4. ialar o egmeto do eixo real que ão lugare da raíze. 5. Determiar o o. de lugare eparado, LS 6. O lugar da raíze ão imétrico em relação ao eixo real horizotal 7. O lugare pereguem em direção ao zero o ifiito ao logo de aitota cetralizada em e com âgulo de 8. Determiar o poto em que o lugar cruza o eixo imagiário, uado o critério de Routh-Hurwitz. 9. Determiar o poto de aída obre o eixo real (e exitir). Determiar o âgulo de partida e âgulo de chegada, uado o critério do âgulo de fae.. Determiar a localizaçõe da raíze que atifazem o critério do âgulo de fae + P( ) = 2. Determiar o valor do parâmetro x a raíz epecifica x. i i= + = = ( + z ) ( + p ) x = pólo, O = zero, = raíze da EC. O lugar começa o pólo e termia o zero. O lugar e itua a equerda de um o. ímpar de pólo e zero. LS= p, quado z p; z =o. de zero fiito, p = o. de pólo fiito σ = ( p ) ( z ) = i= p z i φ = ( q + ) 2 8 a)fazer =p(); b) Obter dp()/d=; c)determiar a raíze (b) ou uar o método gráfico para obter o máximo de p(). P q em p ou z ( ) = 8 ± 36, = i P q a localização da raiz ( ) = 8 ± 36, x x = = i= + p + z i = x p z

11 Exemplo: Sitema de 4a. Ordem. Deea-e traçar o lugar da raíze para a EC de um itema à medida que varia para >, o cao em que + = Determiado o pólo, tem-e + = ( + 4)( )( + 4 4) À medida que varia de zero a ifiito. O itema ão poui zero fiito. 3. O pólo ão localizado obre o plao. 4. Exite um egmeto do lugar da raíze obre o eixo real etre = e =-4 5. Como o o. de pólo p é igual a 4, tem-e LS=4. 6. O lugare da raíze ão imétrico com repeito ao eixo real. 7. O âgulo da aítota ão ( 2q + ) φ = 8, q =,,2,3 4 = + 45,35,225,35 O cetro da aítota é φ σ = = 3 4

12 8. EC é reecrita como ( + 4)( ) + = = O arrao de Routh erá b c b c 2(64) 28 = = 53, ,33(28) 2 = 53,33 O valor limite de gaho para garatir etabilidade é =568,89. E a raíze da equação auxiliar ão , ,89 = 53,33( +,67) = 53,33( + 3, 266)( 3, 266) Poto ode cruza o eixo imagiário 9. O poto de aída é etimado pelo cálculo = p( ) = ( + 4)( )( + 4 4) 2

13 8. EC é reecrita como ( + 4)( ) + = = O arrao de Routh erá b c b c 2(64) 28 = = 53, ,33(28) 2 = 53,33 9. O poto de aída é etimado pelo calculo = p( ) = ( + 4)( )( + 4 4) Etre =-4 e =. O aximo de p() é ecotrado a poição aproximada =,5. p() 5 68, , -3, -2,5-2, -,5 -, 3

14 . O âgulo de aída o pólo complexo p pode er etimado utilizado-e o critério de âgulo, como e egue: θ θ = 8 3 Ode 3 é o âgulo ubtedido por um vetor que ai do pólo p 3. O âgulo de =-4 e =-4-4 ão ambo iguai a 9. Como 3 =35, etão θ = 35 = Determiar a localizaçõe da raíze que atifaçam o critério de fae, a Fig. 2. Determie o valor de em =. O gaho pode er obtido graficamete ( =,77). O comprimeto do vetore que ligam o polo a malha aberta ao lugar da raíze em ão calculada e reulta um gaho em de = + 4 p p = (,9)(2,9)(3,8)(6,) = 26 Repota Traitória y t c e e ω t c e e ω t σt σ 2t ( ) = + ( + ) + ( + ) 2 2 y t c e e ω t σt ( ) + ( + ) Raíz Domiate 4