Aplicação de Métodos Espectrais ao Cálculo Numérico de Escoamentos Compressíveis

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1 Aplicação de Métodos Espectrais ao Cálculo umérico de Escoametos Compressíveis Adré Rosale Istituto Tecológico de Aeroáutica Praça Marechal Eduardo Gomes, 50 - Vila das Acácias São José dos Campos São Paulo. CEP: Bolsista PIBIC CPq adre.rosale@gmail.com... O obetivo do presete estudo é eteder e aplicar os métodos espectrais como ferrameta a solução, por cálculo umérico, de equações difereciais parciais que modelam escoameto compressíveis. A metodologia empregada foi, em uma primeira aproximação, cohecer o método através de referêcias bibliográficas e posterior aplicação umérica em equações difereciais, para verificação das características que esse modero método traz cosigo. Coforme será mostrado adiate, os resultados obtidos mostraram traços da potecialidade do método, ão em sua pleitude), o etato é possível idetificar as características do método. 1. Itrodução A proposta da bolsa de iiciação cietífica é o desevolvimeto de um algoritmo umérico para o estudo de escoameto através de bocais trasôicos, assim como aerofólios, através dos métodos espectrais. Como o estudo realizado para tal são através de equações difereciais parcias resolvidas umericamete, o ituito é estudar um dos métodos mais moderos que existe atualmete em termos de covergêcia de resultados e mostrar suas vatages quato a tempo e requisito de capacidade de processameto que são exigidos para se obter os mesmos resultados (coforme veremos, melhores aida) para o estudo de uma equação diferecial qualquer, que veha a modelar um dos obetos descritos acima. Como sabemos, o cálculo umérico para resolução de equações difereciais parciais ocorre fudametalmete devido às aproximações das derivadas as equações por discretizações, e esse aspecto há iúmeras formas de se realizar tal feito, os quais se aprimoram cada vez mais. Uma grade característica da maioria das formas de discretização das derivadas existetes para o método espectral é que aquela, para um determiado poto uma malha discretizada, sua derivada depede de como a fução do problema se comporta em sua vizihaça, equato que o método espectral, para qualquer poto estudado em questão, sua derivada tomará a iformação da malha iteira; aqui vemos uma difereça muito importate, pricipalmete a acuracidade que o método traz cosigo, pois esse utiliza mais iformações do domíio da fução estudada que os demais métodos.

2 . Apresetação e desevolvimeto de algumas ferrametas do método espectral Para mostrarmos o estudo, veamos primeiramete um caso oscilatório. Para tal, precisaremos dos coceitos de expasão em série de Fourier, para posteriormete chegarmos ao coceitos de poliômio iterpolador e matriz de derivação de uma fução dada, para uma determiada discretização o domíio da mesma. Cosiderado-se uma fução escalar de duas variáveis, (, ) determido istate de tempo, com domiío x [ 0, l, período l e t [ 0, u x t, x deotado uma distâcia e t um, etão a fução pode ser represetada por uma expasão em série de Fourier, e em sua forma complexa é dada por (supoha que L = semi período da fução): ( ) ( ) u x, t a t. e sedo: π x i. L =, (1) L 0 π x i. L 1 a ( t) =. u ( x, t). e dx L () π x i. L teremos a represetação de ossa fução em série de Fourier. Tomado-se a ( ) lim t. e Para chegarmos ao osso poliômio iterpolador da fução, primeiramete vamos discretizar o domíio em x da fução. Sea etão: π x =. x =., 0,..., + 1 Com isso, para a ( ) [ t (realizado-se a itegral pela quadratura trapezoidal), teremos que: (3) π x 1 i. L ~ 1 a ( t ) =. u ( x, t). e, (4). c com c = se = 0 =, ou c = 1 se <. Por essa aproximação, chegamos etão ao poliômio iterpolador de (, ) espacial (ode a fução possuí a característica odulatória): ( ) ( ) I u a t. e π x i. L u x t, apeas o domíio = (5) Escrevedo a equação acima em termos de cosseos e seos, e realizado-se as devidas somas, é demostrável que o poliômio iterpolador pode ser dado por:

3 1 ( ) = (, ). ( ), (6) = 0 I u u x t g x ode: g x e 1 ( ) ( ) ( x x ) ( ) x x =.s 1..cot (7) Com esse resultado, podemos agora determiar a derivada com respeito a x da fução (ote que a iformação do tempo está cotida os coeficietes a ( ) difereciais parciais. o etato, o elemeto g ( ) ~ t ), para posterior aplicação as equações x é a aproximação para a derivada de primeira ordem. É possível demostrar (a demostração ecotra-se em Ja S. Hesthave, Sigal Gottlieb, David Gottlieb) que para derivadas de ordem superior, a aproximação se dá a seguite forma segudo os elemetos x i das discretizações da malha espacial: ξ p se ( 1) ( p ) 1 d gi, ( xi ) =, i p dξ ξ se ξ = xi x (8) 0, i =, p = ímpar (9) ( p ) ( ) ( 1) p p gi, xi = k, i =, p = par k = (10) Para o osso caso, como ão há derivada, chegamos ao resultado de g ( x ). Difereciado-se e aplicado-se a derivada a um determiado poto da malha (sea teremos etão que a derivada será dada por: I ( u) x 1 g u ( x, t ). x ( x) x= x = 0 x= x i = i x i, por exemplo), (11) i+ ( 1) ( xi x ) Di, =.cot, i (1) Di, = 0, i = (13)

4 Como também é usual obtermos derivadas de seguda ordem o modelameto de problemas, segue abaixo a forma de g ( x) = D i, i, x : i+ + 1 ( 1) 1 Di, =. se, i xi x se (14) + 1, Di, = i = (15) 6 Possuímos etão capacidade para aplicarmos a discretização de derivadas de qualquer ordem, tomado-se iformação de todos os potos a malha do domíio, que o caso, etra o ramo dos métodos espectrais. Apesar da formulação espectral ser relativamete recete, há algus métodos para resolução umérica, como o método de Galerki e o da Colocação. Para se traduzir matematicamete é relativamete simples, o importate é a filosofia associada a cada um dos métodos para se obter as equações ecessárias para a obteção dos resultados da fução os potos deseados da malha. Método de Galerki: Selecioa-se uma base de fuções e impõe-se ortogoalidade com o resíduo da equação diferecial. Aqui, o ituito é miimizar o resíduo, e esse processo levatam-se um couto de equações para determiar-se os coeficietes lieares que acompaham cada um dos elemetos da base de fução, obtedo-se assim uma solução aproximada pelo método espectral; Método da Colocação: Aqui impõe-se resíduo ulo em um couto de potos colocados o domíio. Para simplificações, geralmete utilizam-se os próprios potos escolhidos como malha da equação..1. Características de covergêcia e erros de trucametos a aplicação do método espectral Ates de prosseguirmos, é importate mostrar algumas características da covergêcia espectral, por exemplo, apreseta comportameto expoecial se a fução a ser discretizada a dada variável segue algumas características. 1 - Sea a idetidade de Parseval: L 0, [ π u P u = π. uˆ (16) > r Se u ( x) H [ 0, π p, segudo a orma-r de Sobolev, etão C tal que: ( q) u P u C.. u (17) q L [ 0,π L 0, Aida, se u(x) é aalítica, etão q q q! q. e, e assumido q [ π ( q) u C q u π, etão segue que:.!., e segudo a fórmula de Stirlig: [ 0,π L [ L 0,

5 q.. q q C.... L 0, L 0, L 0, u P u C [ ( ) e u K e u (18) π [ π [ π Vemos aqui o fator expoecial idicado a característica da covergêcia. Em Ja S. Hesthave, Sigal Gottlieb, David Gottlieb, é possível demostrar as seguites características para a acuracidade das derivadas expadidas em série de Fourier: r a) Se u ( x) W [ 0, π p, etão C tal que: C u P u p. u r (19) Wq [ 0,π r q Wp [ 0,π otemos aqui a covergêcia de ordem r-q em para a derivada expadidade em série de Fourier. q b) Se u ( x) C [ 0, π p, etão C tal que: 1 ( q) 1 [ 0,π u P u C.. u, q > (0) L q 1 L ovamete, para esse caso vemos que a covergêcia ocorre em ordem q-1/ em.por último, verifiquemos o erro de trucameto para o operador diferecial: 3 Para um operador L com coeficietes costates tal que: s d u =., (1) Lu a = 1 dx etão para, q r com 0 q + s r, C tal que: ( r q s) Lu LP u C.. u () q r Wp [ 0,π Wp 0, [ π ovamete, otemos a covergêcia do operador diferecial, para esse caso, de ordem r-q-s em. Apesar das características expostas específicas, a iterpretação a se retirar é que as depedêcias de covergêcias estão fortemete ligadas a ordes em (úmero de potos da malha discretizada a variável escolhida), sea expoecialmete ou por ordem de decaimeto. Esse tipo de aspecto é de grade valia, sobretudo a acuracidade dos cálculos e a capacidade de processameto computacioal requerida, pois se reduz substacialmete para se obter os resultados deseados segudo um determiado ível de qualidade de dados, quado comparados a outros métodos utilizados até etão (Ruge-Kutta, por exemplo)... Exemplo de aplicação do método espectral, pelo método da Colocação Como forma de demostrar a aplicação do coceito, estudou-se problemas de atureza oscilatória. Segue abaixo um exemplo: (, ) u ( x, t) u x t t u x (,0) = se( x) [ π =, x 0,, t 0 x com froteiras periódicas., (3)

6 Aqui foi dado o formato iicial da oda, pois assim poderemos comparar os resultados uméricos com o aalítico para o problema proposto acima. Sabemos que esse problema se trata de uma oda viaado da esquerda para direita com fução u ( x, t) se( x t) =. Para tal, tomou-se uma malha com 16 potos o domíio em x, discretizou-se a parcela o tempo por Ruge-Kutta de seguda ordem e utilizou-se a razão t = 0, x ( t = 0,01s); o domíio em x, utilizou-se a derivada de primeira ordem deduzida acima. Em cotraste com a solução aalítica, foram obtidos os seguites resultados:

7 Tabela 4.1. Dados relativos a discretização da malha por uma uiforme, de espaçameto π x = úmero de potos a malha Ídice dos potos observados[i Potos a malha associados o itervalo *pi ,00 1 0,39 0,79 3 1,18 4 1,57 5 1,96 6,36 7,75 8 3,14 9 3, , ,3 1 4, , , ,89

8 Tabela 4.. Dados obtidos pelo método umérico em cotraste com a solução aalítica, para istate iicial em t = 0 s Tempos tomados (discretização) Codição de partida para os valores em da fução (tempo t) Derivada temporal da fução o poto determiado segudo o tempo dado fução para o tempo t + Dt fução exata para (x,t) dados 0 0, , , , , , , , , , , , , , ,9166 0, , , , , , , , , , , ,7149 0, , , , , ,000000, , , , , , , , , , , , , ,9166-0, , , , , , , , , , , ,7149-0, , , , , , , , , , , Solução aalítica Solução umérica -1, Figura 4.1. Apresetação gráfica das soluções obtidas para o tempo t = 0 s

9 Tabela 4.3. Dados obtidos pelo método umérico em cotraste com a solução aalítica, para istate iicial em t = 0,01 s Tempos tomados (discretização) Codição de partida para os valores em da fução (tempo t) Derivada temporal da fução o poto determiado segudo o tempo dado fução para o tempo t + Dt fução exata para (x,t) dados 0,01-0, , , , ,01 0, , , , ,01 0, , , ,6984 0,01 0,9166-0,803 0, , ,01 1, , , , ,01 0, , , , ,01 0,7149 1, , , ,01 0, ,8345 0, , ,01 0,00000, , , ,01-0, , , , ,01-0, , , ,6984 0,01-0,9166 0,803-0, , ,01-1, , , , ,01-0, , , , ,01-0,7149-1, , , ,01-0, ,8345-0, , , , , , , Solução aalítica Solução umérica -1, , Figura 4.. Apresetação gráfica das soluções obtidas para o tempo t = 0,01 s

10 Tabela Dados obtidos pelo método umérico em cotraste com a solução aalítica, para istate iicial em t = 0,0 s Tempos tomados (discretização) Codição de partida para os valores em da fução (tempo t) Derivada temporal da fução o poto determiado segudo o tempo dado fução para o tempo t + Dt fução exata para (x,t) dados 0,0-0, , , , ,0 0, , , , ,0 0, , , , ,0 0, , , , ,0 0, , , , ,0 0, , , , ,0 0, , , , ,0 0, , , ,4104 0,0 0, , , , ,0-0, , , , ,0-0, , , , ,0-0, , , , ,0-0, , , , ,0-0, , , , ,0-0, , , , ,0-0, , , ,4104 1, , , , , Solução aalítica Solução umérica -1, , Figura 4.3. Apresetação gráfica das soluções obtidas para o tempo t = 0,0 s

11 Os resultados obtidos acima aida ão possuem a característica precisão que o método espectral propõe, pois: 1. Há discretização de seguda ordem a parcela temporal, o que dimiui a precisão do método; t. A razão = 0, x grosseira;, apesar da discretização optada para a parcela temporal, aida é Esses resultados foram apresetados para demostrar a potecialidade do método espectral. ote que a covergêcia ocorre até o máximo a seguda casa decimal, o que aida é comum ecotrar em procedimetos pouco sofisticados de discretização. Alterado t t x para 0,000393s), veamos os resultados para o istate em t = 0,001s: para 10-3 (portato, alterado apeas Tabela Dados obtidos pelo método umérico em cotraste com a solução aalítica, para istate iicial em t = 0,001 s Tempos tomados (discretização) Codição de partida para os valores em da fução (tempo t) Derivada temporal da fução o poto determiado segudo o tempo dado fução para o tempo t + Dt fução exata para (x,t) dados 0,001-0, , , , ,001 0,3813-1, , , ,001 0, , , , ,001 0,9378-0, ,9976 0,9348 0,001 0, , , , ,001 0, , , , ,001 0, , , , ,001 0, , , , ,001 0, , , , ,001-0,3813 1, , , ,001-0, , , , ,001-0,9378 0, ,9976-0,9348 0,001-0, , , , ,001-0, , , , ,001-0, , , , ,001-0, , , ,38377 Aqui á otamos que a covergêcia ocorre a terceira casa decimal, com boa aproximação a quarta casa. Aida, a precisão dos resultados é dimiuída devido a parcela temporal ser derivada por um método de seguda ordem. Esse exemplo foi para ilustrar que o método espectral, depededo da forma como é aplicado, pode possuir precisão acima daquelas obtidas por outros métodos. Por exemplo, se tivéssemos aplicado discretização de seguda ordem o domíio em x, coseguiríamos o máximo precisão a seguda casa t decimal, com a razão utilizada. x

12 3. Agradecimetos Os agradecimetos seguem ao meu orietador Marcos Aurélio Ortega, pela disposição e auda realizadas durate os estudos do trabalho, ao ITA, pela oportuidade oferecida de igressar em um estudo de alta qualidade em uma área que foi iteresse do orietado, e ao CPq, pela oportuidade de um cotrato para o estudo em questão. 4. Referêcias Cauto, C., Hussaii, M. Y., Quarteroi, Z., Zag, T. A., Spectral methods i fluid dyamics, Spriger- Verlag, (1988). Ja S. Hesthave, Sigal Gottlieb, David Gottlieb, Spectral Methods for Time-Depedet Problems, , Cambridge Uiversity Press. MIT Opecourse ware: