Quantas pétalas tem a rosácea r = sin(nθ)?

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1 Quatas pétalas tem a rosácea r = si(θ)? Nota de Aula 1 Elisadra Bar de Figueiredo Professora, Uiversidade do Estado de Sata Cataria- UDESC elis.b.figueiredo@gmail.com Ivaete Zuchi Siple Professora, Uiversidade do Estado de Sata Cataria- UDESC ivazuchi@gmail.com Resumo Nesta proposição de aula apresetamos uma abordagem para curvas polares, especificamete sobre o úmero de pétalas e a variação míima do âgulo a costrução de uma rosácea. Questões iteressates surgem este cotexto, tais como: será sempre ecessária uma variação de 0 a 2π para costruir a rosácea r = si (θ)? Por que se é ímpar temos pétalas e se é par temos um total de 2 pétalas? No ituito de respoder tais questões abordaremos a fudametação teórica e a simulação prática da costrução geométrica das curvas com o uso do software de geometria diâmica GeoGebra. Palavras-chave: Curvas polares. Rosácea. Geometria Aalítica. Cálculo Diferecial e Itegral. Tecologia. How may petals does the rose r = si(θ) have? Abstract I this lesso proposal, we preset a approach for polar curves, specifically o the umber of petals ad miimal variatio of the agle i the costructio of a polar rose. Iterestig questios arise i this cotext, such as: is it always ecessary to chage from 0 to 2π to build the polar rose r = si(θ)? Why if is odd do we have petals, ad if is eve ad we have a total of 2 petals? I order to address these issues this paper will discuss the theoretical ad practical simulatio of geometric costructio of curves usig the dyamic geometry software GeoGebra. Keywords: Polar curves. Polar rose. Aalytic Geometry. Differetial ad Itegral Calculus. Techology. Itrodução Existem muitos tipos de sistemas de coordeadas e um dos mais utilizado é o cartesiao. Embora, em muitos casos, é mais simples usarmos o sistema polar, pelas vatages importates deste a represetação de certas curvas e em problemas relativos a lugares geométricos. Nesse sistema, precisamos de duas iformações para descrever um poto um âgulo, em graus ou radiaos, e a distâcia etre o poto e a origem, que chamamos de raio. A importâcia deste sistema de represetação ecotra-se em problemas de geometria, avegação, aviação e estudo de movimeto de plaetas, por exemplo. Nas aplicações de Cálculo Diferecial e Itegral este sistema de coordeadas possibilita descrever uma circuferêcia como o gráfico de uma fução, bem como calcular trivialmete, com o uso da itegral defiida, áreas e perímetros de regiões circulares. Além disso, algumas curvas, tais como as rosáceas, apeas são descritas como fuções se usarmos coordeadas polares, e desta forma apeas este sistema é 1 Boletim Gepem (Olie) ISSN: Ja./Ju (texto em diagramação).

2 possível explorar sua área e seu perímetro. Também a atureza muitas formas são mais bem descritas por curvas em coordeadas polares, tais como caracóis, flores e folhas, sedo assim possível explorar estes objetos em termos matemáticos. Trabalhar com o sistema de coordeadas polares ão é uma tarefa simples para os estudates, haja vista que há uma cultura do sistema de coordeadas cartesiao. O aluo apreseta muitas dificuldades, tato de recohecimeto da fução quato da sua represetação gráfica. Uma maeira de ameizar esta dificuldade é trabalhar em paralelo com os recursos tecológicos em sala de aula. A utilização da tecologia é atualmete imprescidível quado os referimos ao esio de matemática e, em particular ao da Geometria. As potecialidades das ferrametas de geometria diâmica possibilitam aos aluos ivestigar propriedades das figuras, explorar relações formular e testar hipóteses. A tecologia é essecial o processo da visualização e essa por sua vez ocupa um papel fudametal a compreesão de coteúdos matemáticos (...). Stewart (2008) ao efatizar a compreesão dos coceitos o esio de cálculo, lembra que a visualização e as experiêcias uméricas e gráficas, etre outras ferrametas, alteram fudametalmete a forma como esiamos os raciocíios coceituais. A aimação proporcioada pelos recursos computacioais costitui um elemeto fudametal a visualização de forma que as images podem ser diâmicas e iterpretadas pelos aluos em outras formas de produzir o cohecimeto (SILVA e FERREIRA, 2009, p. 1) Etretato, apeas a utilização das ferrametas tecológicas o ambiete escolar ão garate a melhoria a qualidade do esio, é importate saber como potecializar esses recursos, de maeira que possibilitem aos aluos um apredizado mais sigificativo. Com este objetivo propomos uma sequêcia didática, com o uso do software GeoGebra, para explorar o úmero de pétalas e a variação míima do âgulo a costrução de uma rosácea. Atividade Proposta Neste trabalho descrevemos uma atividade a ser realizada com aluos de Esio Superior que cursam as disciplias de Geometria Aalítica ou Cálculo Diferecial e Itegral e que teham cohecimetos prévios de trigoometria e de coordeadas cartesiaas e polares. O problema cosiste em ivestigar a quatidade de pétalas das rosáceas de equações r = si(2θ) e r = si (3θ) e a variação míima do âgulo θ para a costrução destas. Tabela 1: esboço o GeoGebra da rosácea r = si(2θ) Passo Ferrameta Descrição Ícoe Nome 1 No campo de etrada digite a fução: r(x) = si (2x) 2 Na Jaela de Álgebra desabilite a fução r(x) = si (2x) (clicado (habilitada) sobre a boliha azul) (desabilitada) 3 Cotrole Deslizate Isira a jaela de visualização a ferrameta Cotrole Deslizate, selecioe a opção Âgulo omeado θ e delimitado o itervalo de 0 a 360. Após clique em Aplicar.

3 4 No campo de etrada digite: Curva [r(t) cos(t), r(t) si(t), t, 0, θ] 5 Mover Selecioe a ferrameta mover e em seguida movimete o Cotrole Deslizate, observado o que acotece. Questioametos: 1. Quatas pétalas tem a curva o itervalo de 0 θ 2π? 2. Qual a variação do âgulo θ para a costrução de uma pétala? 3. A curva é simétrica em relação ao eixo x? 4. A curva é simétrica em relação ao eixo y? 5. A curva é simétrica em relação à origem? 6. É ecessário variar o âgulo de 0 θ 2π para costruir a curva completa? 7. O que acotece se alteramos a curva r(x) = si(2x) o âgulo para 4x, 6x, 8x? 8. Qual a cojectura para r(θ) = si (θ), com = 2k, k Z? Repetir o procedimeto, o Geogebra, para a curva r = si(3θ). Na sequêcia respoder os seguites questioametos. 1. Quatas pétalas tem a curva o itervalo de 0 θ 2π? 2. Qual a variação do âgulo θ para a costrução de uma pétala? 3. A curva é simétrica em relação ao eixo x? 4. A curva é simétrica em relação ao eixo y? 5. A curva é simétrica em relação à origem? 6. É ecessário variar o âgulo de 0 θ 2π para costruir a curva completa? 7. O que acotece se alteramos a curva r(x) = si (3x) o âgulo para 5x, 7x, 9x? 8. Qual a cojectura para r(θ) = si (θ), com = 2k + 1, k Z? Discussão O objetivo desta atividade é explorar a variação míima ecessária do âgulo para descrever uma curva completa, bem como a quatidade de pétalas a curva. Geralmete, a Geometria Aalítica, em todos os esboços das curvas o aluo faz a variação do âgulo o itervalo 0 θ 2π. Etretato, o Cálculo Diferecial e Itegral, o que diz respeito às aplicações de itegral defiida, como por exemplo, o cálculo de área e comprimeto em coordeadas polares, a compreesão da variação do âgulo é fudametal. Porém, é comum os aluos apresetarem muitas dificuldades a este tema, bem como a quatidade de pétalas das rosáceas descritas acima. Explorar as potecialidades dos recursos tecológicos a represetação geométrica de tais curvas, bem como permitir a costrução iterativa da relação etre domíio e a imagem (variação do âgulo e úmero de pétalas) pode auxiliar o aluo este processo, possibilitado ao aluo observar, aalisar e cojecturar sobre as relações etre as curvas. Geeralização Com embasameto matemático, apoiado pelas ferrametas tecológicas o aluo poderá perceber que: Caso 1. r(θ) = si (θ), com = 2k, k Z

4 Em relação à simetria, cosiderado A(si(θ), θ) um poto o primeiro quadrate, temos (como podemos observar a Figura 1) que a curva é: simétrica em relação ao eixo y, pois si( θ) = si (θ); simétrica em relação ao eixo x, pois si ((π θ)) = si (θ); simétrica em relação à origem, pois si ((π + θ)) = si (θ). Figura 1: simetrias do poto A(si(θ), θ) com par. A partir das simetrias, podemos cocluir que a variação míima do âgulo para descrever toda a curva é 0 θ 2π. Além disso, para costruir uma pétala a variação do âgulo é 0 θ π, pois si(θ) = 0 θ = 0 ou θ = π Portato, a curva r(θ) = si (θ) tem 2 pétalas. Caso 2. r(θ) = si (θ), com = 2k + 1, k Z Em relação à simetria, cosiderado A(si(θ), θ) um poto o primeiro quadrate, temos (como podemos observar a Figura 2) que a curva é simétrica em relação ao eixo y, pois si( θ) = si (θ). Figura 2: simetrias do poto A(si(θ), θ) com ímpar. Além disso, observamos que si ( θ) = si (θ) garatido que todos os âgulos pertecetes ao IV quadrate terão sua imagem o II quadrate (a Figura 2: B = D) e si ((π + θ)) = si (θ) garate que todos os âgulos do III quadrate terão sua imagem o I quadrate (a Figura 2: A = C). A partir destas cosiderações podemos

5 cocluir que a variação míima do âgulo para descrever toda a curva é 0 θ π. Assim, para costruir uma pétala a variação do âgulo é 0 θ π, pois si(θ) = 0 θ = 0 ou θ = π Portato, a curva r(θ) = si (θ) tem pétalas. Cosiderações Na atividade proposta, observamos tato com a utilização da ferrameta tecológica, quato pelo uso de propriedades algébricas da trigoometria que em sempre é ecessário variar o âgulo o itervalo de 0 a 2π para costruir uma rosácea. Provamos que para uma rosácea da forma r = si (θ) o itervalo míimo da variação do âgulo depede de. No caso de ser um úmero par ecessita-se de uma variação míima de 0 a 2π, o etato para ímpar é suficiete que o âgulo varie o itervalo de 0 a π. Se para descrevermos uma pétala demostramos que é ecessário uma variação 0 θ π, etão quado é ímpar temos que o úmero de pétalas será dado pelo itervalo míimo da variação dividido pela variação de uma pétala, ou seja, π π =. Da mesma forma quado é par, obtemos 2π π = 2. Assim, podemos cocluir que o úmero de pétalas de uma curva do tipo r = si (θ) será: pétalas se for ímpar e 2 pétalas, se for par. Com observações aálogas podemos cocluir os mesmos resultados para as rosáceas do tipo r = cos(θ). Referêcias SILVA, J.I.G; FERREIRA, D.H.L. O uso de tecologias a disciplia de Cálculo Diferecial e Itegral I. Aais: XIV Ecotro de Iiciação Cietífica da PUC-Campias [olie] < 402_res08C.pdf>. Acesso em: 01 de outubro de VENTURI, J.J. Álgebra Vetorial e Geometria Aalítica. Curitiba: Editora Uificado, STEWART, J. Cálculo. 2v. São Paulo: Cegage Learig, HOHENWARTER, M. Software Livre GeoGebra, versão [olie]: < Acesso em: 01 de outubro de Recebido em outubro de 2012 Aprovado em outubro de 2013