UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA WILKSON LINHARES TEODORO

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA WILKSON LINHARES TEODORO SOLUÇÕES POR SÉRIES E FUNÇÕES ESPECIAIS FORTALEZA 7

2 WILKSON LINHARES TEODORO SOLUÇÕES POR SÉRIES E FUNÇÕES ESPECIAIS Dissertação submetida à Coordeação do Mestrado Profissioal em Matemática em Rede Nacioal (PROFMAT), da Uiversidade Federal do Ceará, como requisito arcial ara a obteção em grau de Mestre em Matemática. Área de cocetração: Esio de Matemática Orietador: Prof. Dr. Marcelo Ferreira de Melo. Fortaleza 7

3 3 Dados Iteracioais de Catalogação a Publicação Uiversidade Federal do Ceará Biblioteca Uiversitária Gerada automaticamete elo módulo Catalog, mediate os dados forecidos elo(a) autor(a) T89s Teodoro, Wilkso Lihares. Soluções or séries e fuções eseciais / Wilkso Lihares Teodoro f. : il. Dissertação (mestrado) Uiversidade Federal do Ceará, Cetro de Ciêcias, Programa de Pós-Graduação em Matemática, Fortaleza, 7. Orietação: Prof. Dr. Marcelo Ferreira de Melo.. Soluções or séries de otêcia... Fuções eseciais.. 3. Equação diferecial ordiária.. I. Título. CDD 5

4 4 WILKSON LINHARES TEODORO SOLUÇÕES POR SÉRIES E FUNÇÕES ESPECIAIS Dissertação de Mestrado aresetada ao Programa de Pós-Graduação em Matemática em Rede Nacioal, do Deartameto de Matemática da Uiversidade Federal do Ceará, como requisito arcial ara a obteção do Título de Mestre em Matemática. Área de cocetração: Esio de Matemática. Arovada em: 3 / / 7. BANCA EXAMINADORA Prof. Dr. Marcelo Ferreira de Melo (Orietador) Uiversidade Federal do Ceará (UFC) Prof. Dr. Marcos Ferreira de Melo Uiversidade Federal do Ceará (UFC) Prof. Dr. Fábio Eduardo Fraco Rodrigues Ferreira Istituto Federal de Educação, Ciêcia e Tecologia do Ceará (IFCE)

5 "A matemática é o alfabeto com o qual Deus escreveu o uiverso." Pitágoras 5

6 6 AGRADECIMENTOS Agradeço a Deus or semre estar ao meu lado e, or sua misericórdia e graça, oferecer-me o dom da vida. Desde o meu ascimeto até os dias de hoje, Ele ermaece comigo em todos os mometos. Que o Seu ome seja horado, glorificado e louvado em todos os lugares deste mudo. Ao meu ai Atôio Pereira Teodoro (i memoria) que me esiou, equato em vida, que as coisas simles são as mais valiosas. A miha mãe que semre esteve e está comigo. Mulher de fibra e valiosa que é o meu exemlo de ão desistir e de uca erder a fé mesmo diate de tamahas dificuldades. A sehora é a razão do meu viver. Aos meus irmãos William Lihares, Welto Lihares e, em esecial ao Wilto Lihares, que vem assumido, cada vez mais, o ael de ai ara todos. Um filho, esoso, ai e irmão exemlar. Obrigado or tudo. As mihas sobrihas que me esiam e me icetivam a ser uma essoa melhor. À Larissa Siqueira, miha amorada, or estar comigo em todos os mometos e or ter tido comreesão durate esse eríodo do mestrado. Certamete, sem ela, seria muito mais difícil alcaçar os objetivos. Obrigado elo amor e aoio demostrado. Aos meus amigos, em esecial: Djalma Herique, João Victor, Harriso Jea, Edso Rodrigues e Leila Mara, que me acomaham há muitos aos e uca deixaram que eu desistisse de sohar. Gratidão é o setimeto que teho or vocês. À Uiversidade Federal do Ceará or ermitir que o soho de me torar mestre fosse realizado. Ao meu orietador, o rofessor Dr. Marcelo Ferreira de Melo, que além de ser um excelete rofessor é uma essoa de grade coração, tedo bastate sabedoria e aciêcia a rodução deste trabalho. Às essoas que me ajudaram de forma direta ou idireta, durate esses aos, ara esta coquista a miha vida.

7 7 RESUMO O resete trabalho visa mostrar a alicabilidade da matemática a solução de roblemas físicos. Primeiramete, será observado o comortameto de uma solução através da aálise local. Em seguida, demostrar as soluções or séries de otêcia e as fuções eseciais (Bessel, Hermite, Legedre e Laguerre) e, or fim, a alicação or equação diferecial ordiária (EDO). Palavras-chave: Soluções or séries de otêcia. Fuções eseciais. Equação diferecial ordiária.

8 8 ABSTRACT The reset work aims to show the alicability of mathematics i the solutio of hysical roblems. First, the behavior of a solutio will be observed through local aalysis. Next, demostrate the solutios by ower series ad the secial fuctios (Bessel, Hermite, Legedre ad Laguerre) ad, fially, the alicatio by ordiary differetial equatio (ODE). Keywords: Power series solutios. Secial fuctios. Ordiary differetial equatio.

9 9 LISTA DE FIGURAS Figura - Gráfico da fução gama Figura. : Gráfico das fuções de Bessel J(x), ara =, e Figura. 3: Gráficos das fuções de Bessel Y(x), ara =, e Figura 4: Gráfico das fuções de Bessel modificadas I(x) e K(x), ara =, e Figura 5: Gráficos das fuções de ber(x) e bei(x), ara =, Figura 6: Gráficos das fuções de ker(x) e kei(x), ara =, Figura 7: Gráficos dos oliômios de P(x) ara =,,, 3, 4 e Figura 8: Gráficos das fuções de Legedre de seguda esécie Q(x), ara =,, e Figura 9: Fuções de Legedre associadas Pm(x), ara m =, e m Figura : Fuções de Legedre associadas Q ( ) x, ara m =, e Figura : Camo elétrico gerado or um ael circular - ome... 9 Figura : Camo elétrico gerado or um ael circular Figura 3: Potecial gravitacioal gerado or um disco homogêeo Figura 4: Potecial gravitacioal gerado or um disco homogêeo

10 Figura 5: Fatoração das fuções Átomo de Hidrogêio Figura 6: O otecial V(x) (liha cheia), aroximado a região do etoro de seu míimo, em x = a, or um otecial arabólico, tíico de um oscilador harmôico... Figura 7: Fuções de oda do oscilador... 3

11 SUMÁRIO INTRODUÇÃO... 3 SOLUÇÕES POR SÉRIES DE POTÊNCIAS Covergêcia Covergêcia absoluta Covergêcia e divergêcia em um oto Raio de covergêcia Teste de razão Soma e subtração de séries Multilicação e divisão de séries Fução reresetada or série covergete Fução aalítica Classificação de otos sigulares de equações lieares homogêeas Potos ordiários e sigular Teorema Poto sigular regular Teorema Poto sigular irregular Poto o ifiito....7 Soluções a vizihaça de um oto ordiário Método das séries de otêcia Teorema Soluções a vizihaça de um oto sigular I Primeira solução Método de Frobeius Costrução da rimeira equação Teorema Soluções a vizihaça de um oto sigular II seguda solução Raízes distitas diferido de um ão iteiro Teorema Raízes iguais Teorema Raízes diferido or um iteiro ositivo... 4

12 .. Teorema FUNÇÕES ESPECIAIS Fução Gama Fução Bessel Fução de Bessel de rimeira ordem Solução geral da equação de Bessel. Fuções de Bessel de seguda esécie Comortameto das fuções de Bessel A ortogoalidade das Fuções J(λx) Fuções de Bessel com argumeto imagiário Equações redutíveis à equação de Bessel Fução de Legedre Ortogoalidade dos oliômios de Legedre Fuções de Legedre associadas Fução Geratriz ara P(x) Fução de Hermite Fução de Laguerre Fução geradora dos oliômios de Laguerre Exemlos APLICAÇÕES DE FUNÇÕES ESPECIAIS NA FÍSICA Fução de Bessel Vibrações de uma membraa elástica circular Fução de Legedre Camo elétrico gerado or um ael circular Potecial gravitacioal gerado or um disco homogêeo Fução de Laguerre Átomos de hidrogêio Fução de Hermite Oscilador harmôico simles Fuções de oda... 5 CONSIDERAÇÕES FINAIS... 5 REFERÊNCIAS... 6

13 3 INTRODUÇÃO A matemática cotribui ara diversas áreas a solução de roblemas imortates e sigificativos da física, ciêcias sociais e da egeharia. Assim, tomado os adrões matemáticos as questões solucioáveis as áreas já citadas exigem a determiação de uma fução chamada equações difereciais (EDO). Existem algus métodos de resolução de Equações difereciais ordiárias (EDOs) que os levam a soluções fechadas, ou seja, que são reresetadas de forma exlícita ou imlícita or fórmulas aalíticas. Esses métodos são bastate eficazes, orém são restritas a um cojuto dimiuto de casos. Sedo assim, esses métodos odem falhar ou roduzirem solução bastate comlexa. Com isso, uma outra ossibilidade utilizada é a de determiar aroximadamete o comortameto da solução. Logo, este trabalho tem como rioridade iicial observar o comortameto de uma solução através da aálise local. O objetivo dessa aálise local é a forma de reresetar as soluções, que ão odem ser obtidas como exressões simles, em termos de fuções elemetares. Os resultados que são obtidos de uma aálise local são, de forma geral, válidos em uma vizihaça de um oto. Será observado o rimeiro caítulo, a reresetação local em uma vizihaça de um oto x, de soluções de EDOs lieares homogêeas em séries de otêcias. Irá ser realizada a classificação do oto x como um oto ordiário, sigular regular ou sigular irregular e, com isso, a escolha da forma mais rória ara a série, utilizado - se dessa classificação. De forma geral, é de bastate utilidade o cohecimeto de como se obter soluções ara roblemas com certo grau de dificuldade em termos de séries ifiitas. Esse efoque ode os levar a uma aálise extremamete comlicada a uma sequêcia de oerações simles ara a geração de termos da série. Tem se aida que os rimeiros termos da série geram uma aroximação ara o comortameto local da solução de uma equação diferecial.

14 4 Aida serão estudadas as fuções eseciais alicadas a física. Em esecial: a fução de Bessel alicada as vibrações da membraa elástica circular; a fução de Legedre alicada o camo elétrico e otecial gravitacioal; a fução de Laguerre alicada o modelo atômico de hidrogêio e a fução de Hermite alicada a mecâica quâtica.

15 5 SOLUÇÕES POR SÉRIES DE POTÊNCIAS As roriedades e defiições mais imortates serão abordadas, esta seção, ara que sejam utilizadas as soluções em séries de EDO de seguda ordem.. Covergêcia A série de otêcias k ak ( x x ) a a ( x x) a( x x)... é covergete em um oto x quado o k N limite lim ak ( x x ) N k otêcias coverge e seu limite é a. k existe. Para x = x, chamado de cetro da série, a série de A roriedade de Covergêcia ossui algumas articularidades, detre elas:.. Covergêcia absoluta A série a ( ) k k x x coverge de maeira absoluta em um oto x se a série k formada elos valores absolutos dos seus termos, a ( ) k k x x, coverge. Se uma série coverge de forma absoluta, etão ela coverge. Etretato, a recirocidade em semre é ecessariamete verdadeira... Covergêcia e divergêcia em um oto: Cosidere a série, a ( ) k k x x, covergido em um odo x, com isso ela k coverge de maeira absoluta ara todo x tal que x x x x. Se a série diverge o oto x = x, logo ela diverge ara quaisquer oto x que satisfaz x x x x. k..3 Raio de covergêcia: É um úmero R que ertece a série de tal forma que a série coverge absolutamete se x x R e diverge se x x R. Uma série coverge aeas ara x = x quado R =. Caso a série covergir ara quaisquer valor de x, etão R é ifiito.

16 6..4. Teste da Razão: Para aalisar a covergêcia de uma série a ( ) k k x x ode se alicar o k teste da razão. Este teste é baseado o resultado de que se k ak ( x x) lim r k k a ( x x ) k etão a ( ) k k x x coverge absolutamete. k Agora, cosidere que k ak ( x x) lim r, etão k k a ( ) k k x x diverge. a ( x x ) k k Logo, o raio R de covergêcia satisfaz a R lim k. k a k Se o limite r =, etão, o critério ão é coclusivo, ortato, deve se utilizar outro método ara aálise.. Soma e subtração de séries: De termo a termo as oerações de adição e de difereça odem ser k k k, tal que ck ak bk realizadas. Ou seja, ak ( x x ) bk ( x x ) ck ( x x) k k k. A série c ( ) k k x x irá covergir os otos ode as duas séries, aós a k adição ou difereça, covergem. Logo, o raio de covergêcia é igual a elo meos o meor valor etre os raios das séries iiciais..3 Multilicação e Divisão de Séries: Essas oerações odem ser realizadas etre as séries de otêcias. Na multilicação vale ak ( x x) bk ( x x) ck ( x x) k k k c a b a b... a b a b a b. k k k k k k k k k, tal que k

17 7 De maeira aáloga às situações ateriores, o roduto das séries irá covergir em todos os otos ode ambas as séries fatores covergem. Na divisão, tem se que o coeficiete da divisão a série é calculado or: k k a ( x x ) k b ( x x ) k k k k d ( x x ) k k Pode se utilizar a multilicação ara reresetar os coeficietes da divisão da seguite forma: k k k bk ( x x ) dk ( x x) ak ( x x) k k k Através da fórmula do roduto das séries e utilizado a igualdade dos coeficietes dos termos de mesmo grau em ambos os membros, resulta os coeficietes dk.. 4 Fução reresetada or série covergete: Cosidere uma série de otêcias covergetes em um itervalo x x R, ode R é ositivo. Essas séries reresetam, esse itervalo, uma fução cotíua e cotém derivadas de todas as ordes cotíuas. f ( x) a ( x x ), x x R k k k Todas as derivadas de f(x) coseguem se exadir em séries de otêcias, obtidas ela difereciação termo a termo da série matriz, com raios de covergêcia R. Para a rimeira e seguda derivadas de f(x) tem - se: k k e k f '( x) ka ( x x ), x x R f ''( x) k( k ) a ( x x ), x x R k k k. 5 Fução aalítica: Caso uma fução f(x) admita a reresetação em série de otêcia cosiderado o cetro x = x e raio de covergêcia ositivo, R, logo os coeficietes das séries são úicos.

18 8 Podemos chamar essa série, que rereseta f(x), de série de Taylor f ( x ) f x x x, ara x x R. ( k ) k ( ) ( ) k k! Pode se observar que a série é determiada elos valores da fução e de todas as suas derivadas um úico oto, o cetro da série, x. A fução f(x) que ode ser reresetada or uma série de otêcias de cetro x e raio de covergêcia R ositivo é chamada de aalítica o oto x. Para ilustrar, observa se que o oliômio N N k N k P ( x) a a ( x x ) a ( x x )... a ( x x ) ( x x ) N de otêcias. são exemlos de séries No oliômio de grau N, os coeficietes dos termos de grau acima de N são ulos. Os oliômios são fuções aalíticas cujas séries de Taylor ossuem raio de covergêcia ifiito. Ocorre isso ara soma, subtração e multilicação de oliômios. A divisão de oliômios ão é um oliômio em geral, orém uma série de otêcias com um úmero ifiito de termos. Ela forece uma fução que é aalítica em qualquer oto x ode o oliômio do deomiador é ão ulo. Nessa situação, a covergêcia da série é garatida somete em uma vizihaça fiita, xx, do seu cetro x. Exemlo: Determie a reresetação em forma de série de otêcias cetradas a origem a fução f( x) x, bem como o raio de covergêcia da série. Essa fução é a divisão de oliômios, P(x) = e P(x) = + x. Observado o deomiador P(x), ota se que ele ão se aula ara ehum valor real x, vê se que f(x) é bem defiida em IR. Logo, a exasão de f(x) em série de Taylor em toro do oto x = ão coverge em todos os otos de IR. Essa exasão é

19 9 reresetada or f ( x) ( ) x, a qual ossui o raio de covergêcia R = x, aós a verificação utilizado o teste da razão..6 Classificação de otos sigulares de equações lieares homogêeas: Iicialmete, classifica se o oto x como um oto ordiário, sigular regular ou sigular irregular da equação diferecial ordiária de seguda ordem ara começar o rocedimeto da aálise local. y" P( x) y' Q( x) y A classificação citada gera a rimeira idicação da atureza das soluções a vizihaça de x, e sugere o camiho ara uma aálise sistemática. É reciso observar que o ambiete atural ara o estudo da sigularidade de EDOs é a teoria das fuções de uma variável comlexa. Isto ocorre devido as questões como a determiação das sigularidades de uma fução, ou a determiação do raio de covergêcia de uma série de otêcias são resodidas esta teoria..6. Potos ordiários e sigular: O oto x é chamado de oto ordiário de y" P( x) y' Q( x) y se as fuções P(x) e Q(x) forem aalíticas em x, ou seja, se valem as reresetações:, x x R P( x) ( x x ),, x x R Q( x) q ( x x ), ode R e R são úmeros ositivos; do cotrário, x é dito um oto sigular de y" P( x) y' Q( x) y. Exemlo: Classifique o oto x relativo à EDO x x y" e y ' e y isso acotece orque os coeficietes da EDO P( x) ex( x) e Q( x) ex( x), são fuções aalíticas em todos os otos de x.

20 .6. Teorema Todas as soluções y(x) da EDO y" P( x) y Q( x) y são aalíticas o oto ordiário x =, ou seja, odem ser reresetadas da maeira:, y( x) a ( x x ) x x R, tal que R é um úmero ositivo. Pode se afirmar que R é o míimo igual ao meor dos raios de covergêcia, R e R, das exasões em séries de otêcia cetradas o oto x, dos coeficietes da EDO, P(x) e Q(x)..6.3 Poto sigular regular De maeira geral, ode se afirmar que as soluções de uma EDO liear ão são aalíticas em um oto sigular x e mostram sigularidade esse oto. A origem dessas sigularidades é variada e deede do tio da sigularidade que a equação areseta em x. Coveietemete, classificam se os otos sigulares de uma EDO de acordo com algumas características das fuções P(x) e Q(x) estes otos, que iflueciarão o comortameto demostrado elas soluções esses otos. O oto x é um oto sigular regular de y" P( x) y' Q( x) y quado, ao meos uma das fuções P(x) e Q(x) ão é aalítica em x, orém são aalíticas as fuções P( x) ( x x ) P( x) e Q x x x Q x. ( ) ( ) ( ) Nota se que, em termos dos ovos coeficietes Pxe () Qx,a ( ) EDO iicial ode ser escrita a forma ( x x ) y" ( x x ) P( x) y ' Q( x) y, ode Px () e Qxsão ( ) fuções aalíticas em x. Exemlo: Classifique a origem x =, relativamete às EDOs x y" xy ' y e 3 x y" xy ' ( x ) y. Px ( ), Cosidere ara a rimeira EDO Px ( ), Qx ( ), equato ara a seguda, x Qx ( ). x

21 O oto x = é um oto sigular regular da rimeira equação e um oto sigular ão regular da seguda. Cosiderado as exasões em série de otêcias das fuções aalíticas P ( x) ( x x ), e Q( x) q ( ) x x, tem se que o comortameto local das soluções da equação y" P( x) y' Q( x) y em um oto sigular regular x deede das raízes s e s do oliômio idicial f ( s) s( s ) s q. Re( s ) Re( s ) Esecificamete, se estas raízes são ordeadas de modo que, ode Re( z ) corresode à arte real do úmero comlexo z, ortato é aceitável o teorema. Sem erda de geeralidade, cosideramos soluções à direita do oto x. A alicação do método ara a equação obtida através da alteração de variável x ara x os leva a soluções da equação origial à esquerda do oto x..6.4 Teorema Caso x seja um oto sigular regular de y" P( x) y' Q( x) y, etão, esta equação ossui semre uma solução y = y(x) reresetada or: s ( ) ( ) ( ) y x x x a x x, a. A seguda solução liearmete ideedete y = y(x) existe de acordo com as ossibilidades: I Caso s s ão é um iteiro ositivo, logo s ( ) ( ) ( ) y x x x b x x, b. II Caso s s =, logo s ( ) ( )l ( ) ( ) y x y x x x x x b x x, b III Se s s = N, tal que N =,,..., ortato

22 s ( ) ( )l ( ) ( ) y x Cy x x x x x b x x, b, No caso (III), a costate C ode evetualmete se aular. As soluções acima terão validade em um itervalo à direita de x, x x R, com R o míimo igual ao meor dos raios de covergêcia das exasões em série de otêcias de fuções Px ().6.5 Poto sigular irregular: e Qx ( ) ao redor de x. Qualquer oto sigular da equação y" P( x) y' Q( x) y que ão seja um oto regular, é chamado de oto sigular irregular. Não há uma teoria caaz de dar resultados esecíficos sobre o comortameto local de soluções em toro de um oto sigular irregular qualquer. Etretato, caso x seja um oto sigular irregular isolado da equação y" P( x) y' Q( x) y, ou seja, se as fuções P(x) e Q(x) forem aalíticas em uma vizihaça x x, esta ostura ode ser determiada qualitativamete em termos de séries assítotas..6.6 Poto o ifiito: Em várias ocasiões, é imortate observar o comortameto das soluções de uma EDO ara úmeros grades da variável ideedete x. Por exemlo, se em um determiado roblema x rereseta o temo, esse comortameto determia a existêcia de soluções de equilíbrios (as soluções ão mudam com o temo), de soluções eriódicas e a estabilidade dessas soluções. Para que seja feito um estudo do comortameto das soluções da equação y" P( x) y' Q( x) y o ifiito, será cosiderada a mudaça de variável e, com x isso, o estudo do comortameto das soluções da equação alterada y" P( x) y' Q( x) y em. Este último estudo é feito de acordo com a discussão recedete.

23 3.7 Soluções a vizihaça de um oto ordiário: Nesta arte, será mostrado como odemos obter soluções de uma EDO liear de seguda ordem ao redor de um oto ordiário. A forma de obteção das soluções chamado de método das séries de otêcias, é reresetada a seguir..7. Método das séries de otêcia Para que se visualize de uma melhor maeira, utiliza se o exemlo a seguir ara mostra o método das séries de otêcia: Seja y = y(x). Resolva a EDO y" y Observe que elo teorema, temos que os coeficietes da EDO iguais a P(x) = e Q(x) =, ode são fuções aalíticas em todos os otos, tem se a certeza de que as soluções a determiar também ossuirão essa roriedade, ou seja, suas exasões em série de otêcia ao redor de x = covergirão em todos os otos. Logo, terão raios de covergêcia ifiitos. Como reresetado acima, cosidera se y(x) uma solução aleatória de y" ya maeira de uma série de otêcias (covergetes ara todo x) y( x) a x tal que os coeficietes a devem ser determiados. Derivado termo a termo duas vezes a série e substituido a EDO y" y temos que: ( ) ax ax erceba que o rimeiro somatório iicia em =, ois os dois rimeiros termos, corresodetes a = e =, em y( x) ax elimiados elas duas difereciações. Realizado, esse somatório a mudaça de obtém se ídices são a ax, que acarreta a seguite a fórmula de recorrêcia ara os coeficietes de a, a, ara =,, ( )( )...,

24 4 Essa fórmula ermite a determiação de todos os coeficietes ares em fuções de a, e de todos os ímares em fução de a. Perceba que isso sigifica esecificar a rimeira solução or { a, a } e ara a seguda, { a, a }. ( ) ( ) Portato, a a e a a ( )! ( )! ara =,,..., forecedo, assim, ara a solução geral da EDO y" y ( ) ( ) y( x) a x a x ( )! ()!, tal que a e a são costates aleatórias. Perceba que as duas séries em ( ) ( ) y( x) a x a x ( )! ()! iiciam com otêcias de x diferetes, o que garate que as duas soluções que elas reresetam são liearmete ideedetes. Nota se que aida mesmo sedo começado com uma úica série, obteve duas soluções liearmete ideedetes e, cosequetemete, a solução geral da equação y" y. Portato, ercebe se que a rimeira série é a exasão de Taylor de cos x e a seguda a exasão de Taylor de se x. Logo, odemos reresetar a solução geral de ( ) ( ) y( x) a x a x ( )! ()! como sedo y( x) a cos x a sex Os camihos acima, alicados o exemlo, odem ser geeralizados ara uma EDO a forma y = y(x), y" P( x) y' Q( x) y.

25 5.7. Teorema 3 Os coeficietes {a} e {b} de duas soluções liearmete ideedetes y ( x) a ( x x ) e y( x) b ( ) x x ao redor de um oto ordiário x da EDO y" P( x) y' Q( x) y, ode P( x) ( ) x x e Q( x) q ( ) x x odem ser gerados ela relação de recorrêcia a [( k ) kak q kak ] ( )( ), ara todo =,,,..., através, resectivamete, das escolhas {a =, a = } e {a =, a = }. Exemlo: k Seja y = y(x). Resolva a EDO x x y" e y ' e y, em toro da origem. Nessa situação, utiliza se a fórmula de recorrêcia descrita elo teorema 3. As exasões serão: P( x) ( x) x e e! x x Q( x) e, tem se ara os coeficietes {} e {q},! e! q.! k Logo, a [ ( k ) ak ak ] ( )( ) k ( k)!.. 8 Soluções a vizihaça de um oto sigular I - Primeira solução: Será aresetado esta arte, um rocedimeto sistemático, o método de Frobeius, ara a determiação de soluções ao redor de um oto sigular regular. Esse método irá os forecer as duas soluções liearmete ideedetes idicado o teorema.

26 6 A EDO de Bessel visado uma descrição mais oeracioal do método de Frobeius, trabalha se com a sua alicação a um exemlo rotótio, a EDO de Bessel de ordem, a saber, y = y(x), x y xy x y " ' ( ). Nessa equação, cosidera se que o arâmetro é uma costate em geral comlexa com arte real ão egativa (Re( ) ). Para coveietes escolhas de, a EDO acima é caaz de ilustrar os rocedimetos emregados elo método em todos os diferetes casos..8. Método de Frobeius Costrução da rimeira solução Através do teorema, a rimeira solução, y(x), da EDO y" P( x) y' Q( x) y uma vizihaça à direita de um oto sigular regular x tem o formato s y ( x) ( x x ) a ( x x ), a. A série o formato acima é chamada de série de Frobeius, e a variável s seu exoete iidicial. Escolhedo x =, uma vez que a troca x x trasforma o oto x = x o oto e matém a forma da equação y" P( x) y' Q( x) y. Com isso, a, s fórmula y( x) ( x x ) a( x x) a é reduzida ara : s s, y ( x) x a x a x a, x >. Exemlo: Primeira solução da equação de Bessel Costrua a rimeira solução da equação de Bessel x y xy x y " ' ( ) de ordem a região x >. s, a s Para a solução existe a tetativa y( x) x a x, x >, valedo as exressões ara as derivadas s, y '( x) ( s ) a x a,

27 7 s, a y "( x) ( s )( s ) a x através de coveietes mudaças de ídices, odedo ser reduzida um úico somatório, s s s [ s ] a x [( s ) ] a x {[( s ) ] a a } x. Esta equação deve ser válida ara quaisquer x >, a vizihaça ode é satisfeita. Com isso, os seus coeficietes devem se aular. Seguem se, etão as equações [ s ] a, [( s ) ] a, [( s ) ] a a. Cosiderado a codição a, tem se da equação [ s ] a, a relação f ( s) s, chamada de equação idicial. Já a fução f(s) é deomiada de oliômio idicial e as suas raízes, que são as soluções da equação idicial, são s = e s = -. Escolhe se como exoete idicial da rimeira solução a raiz de maior arte real. Cosiderado a ossibilidade de que Re( ), utiliza s =. Substituido essa raiz a equação [( s ) ] a, logo o coeficiete a deve ser ulo. Etretato, iserido s = a equação [( s ) ] a a a se a seguite relação de recorrêcia a. ( )( ) Como a =, ortato os a, tal que é ímar, são ulos. Agora, ara os coeficietes ares, tem se obtém a a ( )( ), a qualquer. Fazedo algus coeficietes, ara =,,, obtém se

28 8 a a a a 4..( ) a a 4..( ) 4...( )( ) 4 a a 4.3.( 3) 4.3!( 3)( )( ) etão, a exressão geral ara a é a ( ) a..!.( )...( ) Ao obter a raiz idicial e a relação de recorrêcia dos coeficietes, está sedo formada a rimeira solução da EDO de Bessel de ordem, ou seja ( ) a y x x a x x x ( )!( )...( ), a deedêcia do coeficiete de ordem zero, aleatório e ossível em uma vizihaça à direita de x =. Cosiderado que os coeficietes da EDO de Bessel Px ( ), Q() x x, são fuções aalíticas em toda a reta (raio de covergêcia ifiito), segue se que a rimeira solução da EDO de Bessel acima obtida é válida ara todo x >. a.! Se é um úmero iteiro, a solução acima ode ser ormalizada com Essa solução ormalizada é cohecida como fução de Bessel de ordem de rimeira esécie, admitido a seguite exressão x ( ) x y( x) J ( x), x >, iteiro.!( )! É coveiete observar que, a artir desse exemlo, se o arâmetro, que aarece a equação de Bessel, ão é um iteiro, ão se ode cosiderar a ormalização a!.

29 9 Com isso, é imortate iserir uma fução esecial (será aresetada e estudada o róximo caítulo) que é deomiada de fução gama, reresetada or () z, como sedo a geeralização da fução fatorial. Logo, a fução ode ser reresetada ela seguite itegral imrória z t z t e dt () tal que Re( z). Utilizado a itegração or artes, obtém se a roriedade fudametal ( z ) z ( z). Através desse resultado, ode se afirmar que ( )!, ode é um iteiro ositivo. É dessa exressão que se coclui que a fução gama é a geeralização da fução fatorial. Logo, ode se trocar de a em a, ou seja,!! or ( ) a escolha a. ( ) Diate dessa escolha, a fução de Bessel de ordem, Re( ), e rimeira esécie, reresetada or J(x), ode ser exosta a forma x ( ) x y( x) J ( x), x >.! ( ) Os camihos utilizados ara que se obtivesse a rimeira solução realizados o exemlo acima odem ser geeralizados ara equações mais gerais. O teorema a seguir é o resumo dos resultados obtidos ara esses casos..8. Teorema 4: A rimeira solução, y(x) da EDO ( x x ) y" ( x x ) P( x) y ' Q( x) y, a vizihaça à direita do oto sigular regular, x, com

30 3 e Q x q x x P( x) ( x x ) ( ) ( ) é dada or uma série de Frobeius s ( ) ( ) ( ) y x x x a x x, tal que s é a raiz de maior arte real do oliômio idicial f ( s) s( s ) s q, e também os coeficietes {a} satisfazem a relação de recorrêcia a [( s k) q ] a, k k k f ( s ) k cosiderado ara quaisquer =,, 3,.... Para que se fixe os resultados do teorema, irá ser aresetado dois exemlos. O rimeiro exemlo será um caso articular da EDO de Bessel de ordem, já o segudo caso, é a EDO de Euler. Exemlo: Equação de Bessel de ordem / 4 Cosidere y = y(x). Comute a rimeira solução da equação de Bessel de ordem / 4. O oliômio idicial dessa equação é: x y" xy ' x y, ara x >. 6 f () s s s, 6 já a relação de recorrêcia a [( s k) q ] a se reduz às equações k k k f ( s ) k a f ( s ), af ( s ) a, ara. Logo, as raízes do oliômio idicial são s = / 4 e s = - / 4, reseitado o critério de que s é a raiz com a maior arte real. Colocado a raiz s = / 4 as equações acima, obtém se

31 3 a, 4 6 a a 4 6, ara. Na rimeira equação, coclui- se que a =, o que imlica, em vista da seguda equação, que todos os coeficietes a, ara ímar, são ulos. Portato, a fórmula de recorrêcia ara s = / 4 é a a, ara 4 ( / 4). Utilizado essa fórmula de recorrêcia e mostrado, de forma exlicita, os coeficietes (ara ar) em fução de a = temos, ara os três coeficietes iiciais, a, 4(5 / 4) 5 a 8.(9 / 4).5.9 a4, a.(3 / 4) a6. Iserido a ormalização a e utilizado as roriedades da 4 (5 / 4) fução gama, obtém se como solução a fução de Bessel de rimeira esécie e de ordem / 4 J ( x) x /4 /4 ( ) ( x / )! ( 5 / 4), x >. Esta série coverge ara qualquer x >, uma vez que, os coeficietes da EDO de Bessel são fuções aalíticas cuja exasão em série tem raio de covergêcia ifiito.

32 3 Exemlo: Equação de Euler Seja y = y(x), ache a rimeira solução da EDO de Euler ara uma vizihaça à direita de x =. x y x y qy " ', ode e q são costates. Utilizado o teorema 4, a equação idicial dada ela equação f ( s) s( s ) s q reduz se a a f ( s ) [( s k) q ] a =,, 3,.... k k k k Para a rimeira raiz, s, sabe se que f ( s ) ara todo =,, 3,...., o que os leva ao resultado a, ara =,, 3,.... Cosiderado a =, obtém se a solução ( ) s y x x, x >..9 Soluções a vizihaça de um oto sigular regular II Seguda solução: A seguda solução de uma EDO será costruída agora em toro de um oto sigular regular. O oto sigular regular estará a origem, x = e as soluções em itervalos à direita desse oto, ou seja, x >. Cosiderado que o oliômio idicial assume, em ricíio, duas raízes, etão, busca se a seguda solução y(x) da EDO usado a mesma estrutura utilizada ara ecotrar a rimeira solução, etretato, utilizado a seguda raiz s = s, ortato s, x >. y ( x) b x

33 33 A seguir, veremos que, mesmo o caso de raízes distititas, s s o uso da série de Frobeius ode, em algus casos isolados, ão coduzir a uma seguda solução. Exemlo: seguda solução da equação de Bessel Costrua a seguda solução da EDO de Bessel de ordem utilizado a série s s de Frobeius ( y ( x) x ax, a, x > ) e idique quais falhas odem ocorrer. O oliômio idicial ara EDO de Bessel de ordem é f () s s, com raízes s = e s = -. Cosiderado =, as raízes do oliômio idicial são iguais, s = s =. Sedo assim, o rocedimeto falha. Cosidere as raízes distitas, as equações de relação de recorrêcia b b articulares ara s = - são b. f ( ) ( ) Aalisado as equações acima, ara que as resolva é reciso suor que o fator ( ) seja ão ulo ara todo iteiro ositivo. Caso ão, se ara algum iteiro ositivo N =,,... tivermos S = s + N, obtém se uma divisão or zero e o rocedimeto falha. Das cosiderações desse exemlo, temos que as raízes são distitas e diferem or um úmero ão iteiro, ou seja, valem as restrições ª: s s ; ª: s s N, ara N =,, 3,..., logo, o método de Frobeius ode ser utilizado ara a seguda raiz, obtedo se uma seguda solução liearmete ideedete da rimeira. A seguir, será feita uma aálise de cada um dos três casos: raízes distitas diferido de um ão iteiro, raízes iguais e raízes distitas diferido de um iteiro.

34 34.9. Raízes distitas diferido de um ão iteiro: Sedo a seguda raiz da equação idicial distita da rimeira raiz e a difereça etre ambas é um valor ão iteiro, a seguda solução é descrita or uma s série de Frobeius, ( y( x) b x, x > ) corresodete à seguda raiz. O exemlo a seguir será utilizado ara mostrar como ecotrar a seguda solução, a artir da seguda raiz do oliômio idicial. Exemlo: equação de Bessel de ordem / 4 Seja y = y(x). Ache a seguda solução da EDO de Bessel de ordem = / 4 x y xy x y " ' ( /6). Sabe se que a rimeira solução que corresode à raiz s = / 4 é J /4 /4 ( ) ( x / ) ( x)! ( 5 / 4). Sabe se que a difereça etre as duas raízes, s s = /, ão é um iteiro ositivo. Logo, ode se alicar ovamete o método de Frobeius ara ecotrar a seguda solução. Ao articularizar as equações de recorrêcias ( a [( s k) k qk ] ak ) ara s = - / 4, obtém se f ( s ) k b, 4 6 b b 4 6, ara. Da rimeira equação acima ( b ), segue que b =, 4 6 cocluido assim, que todos os coeficietes ímares se aulam. A fórmula de recorrêcia ara os coeficietes (ares) é dada or

35 35 b b 4 ( / 4), ara, que relacioa o valor de b com o de b. Os rimeiros coeficietes ares, em fução de b, b b são b, 4(3 / 4) 3 b b 4..(7 / 4).3.7 b4, b b (/ 4) b6. Através das roriedades da fução gama, ( x), segue se que a fórmula geral ara os coeficietes b ode ser escrita como b b ( ) (3 / 4)!( 3 / 4), ara. dada or Sedo assim, a seguda solução de Frobeius corresode a s = - / 4 é /4 ( ) (3/ 4) /4 x y( x) b.! ( 3/ 4) Iserido a ormalização b, o resultado é a exasão em série /4 (3/ 4) De Frobeius da fução de Bessel de rimeira esécie de ordem / 4 J /4 /4 ( ) x ( x).! ( 3/ 4) Coclui se, o caso da equação de Bessel de ordem / 4, que o método de Frobeius forece diretamete duas soluções liearmete ideedetes, corresodetes às duas raízes distitas s / 4 do oliômio idicial. A solução geral da EDO de Bessel de ordem = / 4 ode ser reresetada como y( x) C J ( x) C J ( x) tal que C e C são duas costates aleatórias. Esses /4 /4 resultados, odem ser geeralizados e sumarizados sob forma de um teorema.

36 36.9. Teorema 5: Sob as codições do teorema 4, se ara a seguda raiz do oliômio idicial vale que s s e f s ( ) ara todo, uma seguda solução liearmete ideedete da rimeira ode ser obtida da mesma forma, ou seja, s s ( ) ( ) ( ) ( ), com os coeficietes {b} satisfazedo y x x x b x x b x x às mesmas relações de recorrêcias ( a [( s k) k qk ] ak ) com s f ( s ) o lugar de s. Essa solução é ara uma vizihaça à direita de x, x x R, ode R é o míimo igual ao meor dos raios de covergêcia das séries de otêcias de k Px () e Qx ( ). Exemlo: Equação de Euler Seguda oção Ache, ao redor da origem, x =, a seguda solução da EDO tio Euler x y xy y " 7 ' 4. De acordo com a equação f ( s) s( s ) s q do teorema 4, o oliômio idicial é dado or f ( s) s( s ) 7s 4, tal que as raízes são s 3 5 e s 3 5. Nesta situação, ode se verificar que as raízes diferem or um úmero ão iteiro, ou seja, f ( s ) ara todo =,, 3,.... Portato, obtém se uma seguda solução or y x x, x >, que () s está de acordo com o teorema 5, escolhedo b e, ara =,, 3,.... s s Logo, a solução geral da EDO do tio Euler é y() x C x C x, x >, ode C e C são costates aleatórias.

37 Raízes Iguais Na situação de que se teha duas raízes do oliômio idicial sedo iguais, a seguda solução obtida através da chamada série de Frobeius geeralizada. Essa série se utiliza da rimeira solução, que deve ser obtida iicialmete. No exemlo a seguir, utiliza se a EDO de Bessel, de ordem =, ara que seja iserido a defiição da série da de Frobeius e mostrar sua alicação a obteção da seguda solução liearmete ideedete dessa EDO. Exemlo: equação de Bessel de ordem zero Seja y = y(x). Obteha a seguda solução da EDO de Bessel de ordem =. x y xy x y " ', à direita de x =. A rimeira solução é a fução de Bessel de ordem zero, ( ) x J( x) (!) A seguda solução, liearmete ideedete da rimeira, é gerada a forma de série de Frobeius geeralizada y ( x) cj ( x)l x b x, x >, tal que os coeficietes c e b serão aida determiados. Derivado duas vezes esta equação, substituido o resultado a equação x y xy x y " ' e rearrajado os termos, obtém se 3 b 4b x b b x cj '( x). Derivado a exressão J(x) a equação ( ) x J( x) (!) tem se J ' ( x) ( ) x (!).

38 38 Portato, 4 b b x b b x c x 4 ( ) 3 (!). Otimizado o cálculo dos coeficietes b, multilica se a exressão acima or x e desmembra se o somatório do rimeiro membro em dois somatórios, resectivamete, as otêcias ímares e ares, ou seja, b x b b x 4b x b b x 4 ( ) (!) cx c x. Desta exressão, ode se afirmar que b = b3 = b5 =... =, ou seja, os coeficietes ímares se aulam. Já ara os coeficietes ares temos 4b c, 4 4 b b c( ) x, ara, O que os gera a relação de (!) recorrêcia ara os coeficietes b c b c.4 (!), c b ( )....(!). b, 4 4, x > Substituido estes resultados a série geral ( y( x) cj ( x)l x b x ), obtém se a seguda solução k x y( x) cj( x)l x ( ).... k ( k!) k k Utilizado a ormalização c =, a seguda solução obtida é chamada de fução de Bessel de ordem zero e seguda esécie, sedo reresetada or Y(x). x Y ( x) J( x)l x ( ).... (!) Portato, a solução geral de Bessel de ordem zero ode ser reresetada or y( x) C J ( x) C Y ( x), tal que C e C são costates aleatórias.

39 Teorema 6 Em caso de raízes iguais s s do oliômio idicial, f(s), uma seguda solução, y(x), à direita do oto sigular regular, x, liearmete ideedete com a rimeira, y(x), ode ser obtida ela série de Frobeius y( x) a( x x), suosta cohecida, ode ser dada or y( x) cy ( x)l x x b ( x x),com as a a determiações, b f ( ), e b k k q k bk kak a f( ) k k, ara =, 3, 4,.... Exemlo: equação de Euler Raízes Iguais Seja y = y(x), ecotre, em toro da origem, x =, a solução geral da EDO tio Euler x y xy y " 5 ' 9, Nesta situação, segudo a equação f ( s) s( s ) s q do teorema 4, o oliômio idicial é dado or f ( s) s( s ) 5s 9 ( s 3), cuja raiz s = 3 tem multilicidade igual a dois. A rimeira solução é dada or y ( x) 3. Utilizado o teorema 6, tem se que a seguda solução é reresetada or 3 ( ) ( )l( ). y x cy x x b x x Cosiderado = q = a =, ara =,,..., utilizado as equações a a b f ( ) e b k k q k bk kak a f( ) k k, coclui se que b =, ara =,,.... Logo, a seguda solução é y( x) y( x)l( x), tal que foi escolhido c =, e a solução geral dessa equação de Euler é:

40 4 y( x) C y ( x) C y ( x)l( x), x >, ode C e C são costates aleatórias.. Raízes diferido or um iteiro ositivo Cosidere a seguda raiz idicial do oliômio idicial diferido da rimeira or um iteiro ositivo, s s = N, N =,,..., uma seguda solução, liearmete ideedete com a rimeira, ode ser adquirida or uma série de Frobeius geeralizada. A costrução da seguda solução y(x) através da série de Frobeius geeralizada, recisa de uma rimeira solução y(x), já determiada. Exemlo: equação de Bessel de ordem um Seja y = y(x), ache a seguda solução da equação de Bessel de ordem = x y xy x y " ' ( ), ao redor de x =. Cosiderado a seguda raiz da equação idicial, o caso s = -, resulta em falha (ocorre uma divisão or zero). Utilizado, etão, uma série de Frobeius geeralizada ( )l, x >. y x cj x x b x Utilizado a ormalização c =, a solução ( ) H H x ( ) ( )l!( )! y x J x x x, ode, válida ara x >. Exemlo: equação de Bessel de ordem / H.... A solução é Seja y = y(x), ache a seguda da equação de Bessel de ordem = / x y xy x y " ' ( / 4). As raízes do oliômio idicial são s = / e s = - /, sua difereça sedo, etão, s s =, iteiro ositivo. As equações que determiam os coeficietes a da série Frobeius corresodetes a s = /, solução da equação x y xy x y " ' ( / 4), são

41 4 a 4 ( s ), a ( s ) a 4, ara. Essas equações determiam a rimeira solução, a qual, devidamete ormalizada, costitui se a fução de Bessel de rimeira esécie de ordem = /, y (x) = J/(x). Observe se o que ocorre ao iserir a relação de recorrêcia acima a seguda raiz s = - / o lugar da rimeira raiz s = /. Utiliza se a otação {b} ara os coeficietes a determiar o lugar de {a}, otação já utilizada a obteção da rimeira solução. Com s = - /, a rimeira destas equações se reduz a uma idetidade, ideedetemete do valor do coeficiete b. Por outro lado, as outras equações determiam os coeficietes ares em fução de b, uma costate arbitrária, e os coeficietes ímares em fução de b, também uma costate arbitrária. Esecificamete, b b.! b b 3. 3! b, b3 b b 4.3 4! b b 5.4 5! 3 b4, b5 em geral, b ( ) b ( )!, a ( ) b, ara ( )! Obtém se assim uma solução de Frobeius y(x) a forma ( ) ( ) y( x) b x b x aleatórias. / / ( )! ()!, ara x >, tal que b e b são costates

42 4 Cosiderado a ormalização b / (3/ ) b tedo em vista as roriedades da fução ( x), a solução ( ) ( ) y( x) b x b x / / ( )! ()!, ara x >, reduz se à rimeira solução a fução de Bessel de ordem = / e rimeira esécie, obtida ela série de Frobeius com s = /, a saber / ( ) x y( x) y( x) J/( x).! ( 3/ ) Utilizado a ormalização b, / (/ ) b, a solução ( ) ( ) y( x) b x b x / / ( )! ()! forece a seguda solução / ( ) x y( x) J /( x).! ( / ) Nota se que as fuções de Bessel J ( x) / acima obtidas ode ser reescritas de forma aalítica, utilizado as fuções trigoométricas se x e cos x. Cosiderado se as reresetações em séries de otêcias dessas fuções trigoométricas, obtemos as exressões alterativas J/( x) sex, x / J /( x) cos x, x >. x A solução geral da equação de Bessel de ordem / é, ortato, / y( x) CJ /( x) CJ /( x) Csex C cos x, x >, tal que C e C x são costates aleatórias... Teorema 7 No caso em que as raízes s e s do oliômio idicial, f(s) satisfazem codição s s = N, ode N é um úmero iteiro ositivo, uma seguda solução, y(x) à direita de um oto sigular regular, x, ode ser obtida a forma

43 43 ( ) ( )l( ) ( ) s y x cy x x x b x x série de Frobeius, tal que y(x) é uma rimeira solução em ( ) ( ) s y x a x x, com a, Suosta cohecida e os coeficietes {b} e c são dados or: º Para = e = N, b qualquer, bn º Para =,..., N ( N ) b ( s k) q b. k k k f ( s ) k 3º ara = N +, N +,..., b s k k q k bk c f s N a kak f ( s ) k k 4º O coeficiete c é dado or ( ) '. (sg( x)) c s k q b f '( s N) a N N ( ) k k k. k Perceba que a fórmula acima ermite que c teha o valor ulo. Sedo assim, a seguda solução, y(x) também tem a forma de uma série de Frobeius, similar à rimeira solução, y(x) ( ) ( ) s y x x x. Exemlo: Raízes diferido or um iteiro Euler Seja y = y(x), obteha, em toro da origem x =, solução geral da EDO tio x y xy y " 3 ' 3.

44 44 Nesta situação, segudo a equação f ( s) s( s ) s q do teorema 4, o oliômio idicial é dado or é dada or f ( s) s( s ) 3s 3 ( s 3)( s ), Cujas raízes s = 3 e s = diferem or um úmero ositivo. A rimeira solução y ( x) x 3. Pelo teorema 7, a seguda solução é dada or ( ) ( )l( ). y x cy x x b x Como = q = a =, ara =,,..., usado as equações b qualquer, bn e (sg( x)) c s k q b f '( s N) a N N ( ) k k k, coclui se que b =, ara =, k,... e c =. Logo, a seguda solução é y () x x, ode b =. Com C e C costates aleatórias, a solução geral dessa equação de Euler, ara x >, é y() x C x C x 3

45 45 3 FUNÇÕES ESPECIAIS 3. Fução gama A fução gama é uma das mais imortates fuções eseciais de tal forma que sua teoria é um ré-requisito ara o estudo de muitas fuções, etre elas a fução Bessel. Para x >, a fução gama é defiida ela fórmula x t x t e dt. ( ) Essa itegral é imrória e coverge ara todo x >, e coverge uiformemete o itervalo cotíua ara qualquer x >. x, ara quaisquer e ; L ; logo, ( x) é Figura : Gráfico da fução gama A fução gama satisfaz a equação fucioal, a seguir, ara todo x > : ( x ) x ( x). Este resultado segue diretamete da defiição via itegração or artes: x t x t t x t ( x ) t e dt t e x t e dt x ( x) t.

46 46 O valor umérico de ( x) ode ser facilmete determiado ara algus valores de x. Por exemlo, t () e dt e / t t ( ) t e dt e dt Os resultados acima, jutamete com a equação fucioal ( ( x ) x ( x) ), ermitem as seguites deduções ( )!,..3...() ( )! ( ), 4! válidas ara iteiro ositivo. Essas fórmulas são verificadas or um argumeto de idução. A rimeira delas exlica o orquê da fução extesão do fatorial. ( x) ser cosiderada uma Uma cosequêcia também ossível da equação fucioal é que os valores uméricos da fução gama odem ser comutados a artir do cohecimeto destes valores em um itervalo k x k, ara k > qualquer. Escrevedo a equação fucioal de uma outra forma, temos que: ( x ) ( x), logo, x todo x > e (). ( x) ~, quado x, uma vez que x ( x) é cotíua ara ( x ) Além disso, a fórmula ( x) ermite a extesão da defiição da x fução gama ara valores egativos ão iteiros de seu argumeto. Por exemlo,

47 47, e , Geralmete, ara x diferete de um iteiro egativo temos ( x) ( x m) x( x )...( x m) tal que m é um valor iteiro ositivo. Percebe - se que esta fórmula mostra que ( x) se tora ilimitada quado x tede ara qualquer iteiro egativo. Caso o iteiro m é escolhido de forma que m x m, obtém - se da fórmula ( x m) ( x) que: x( x )...( x m) ( x) ~ x m, quado x m. familiares é Uma idetidade imorta que relacioa a fução gama a fuções mais ( x) ( x) se x verdadeira ara x,,,.... Essa idetidade mostra que a fução gama ão ossui zeros,já que o lado direito da equação ( x) ( x) é diferete de se x zero ara todos os valores ão-iteiros de x (ara os quais a idetidade é válida) e que ara valores iteiros de x a fução também ão se aula. Uma idetidade imortate, bem utilizada em várias trasformações e cálculos evolvedo ( x), é cohecida como a fórmula de dulicação ( x) ( x ) ( x) x

48 48 Para fializar, areseta se, sem demostração, um resultado que forece o comortameto assitótico de ( x) ( x ) lim. x x x x e x Este resultado, é reresetado a forma, ara valores altos de x. Ou seja, x x ( x ) ~ x e x chamada de fórmula de Stirlig quado x é um iteiro ositivo. 3. Fução de Bessel As fuções de Bessel são certas soluções da equação diferecial liear de seguda ordem x y" + xy' + (x )y =, y = y(x), tal que é um arâmetro. Esta equação é chamada de equação de Bessel de ordem, e surge o estudo dos feômeos de roagação de odas, de codução de calor e de equilíbrio eletrostático em domíios cilídricos. Devido à sua grade imortâcia rática, com alicações os mais variados camos da física, egeharia e matemática, as fuções de Bessel merecem um estudo mais detalhado. 3.. Fução de Bessel de rimeira ordem O método de Frobeius quado alicado à equação x y" + xy' + (x )y = ara a formação de soluções da forma S y( x) x a x, os leva à equação idicial s (com raízes ) e à relação de recorrêcia será, ode a e a. [( s) ] a a

49 49 Cosiderado, sem erda de geeralidade, > (já que aarece como a equação x y" + xy' + (x )y = ), as equações s e [( s) ] a a determiam a solução J x ( x) ( ) ( x )! Γ( ) corresodete à raiz s = e escolhedo a Γ. Esta fução J(x) é deomiada como fução de Bessel de rimeira esécie de ordem. Para =, 4 6 ( x / ) ( x / ) ( x / ) J( x)..., (!) (!) (3!) ara =, 4 6 x ( x / ) ( x / ) ( x / ) J( x)...!!!3! 3!4!. A fórmula J() x e os exemlos acima ermitem afirmar que se = ou se é um iteiro ar, J(x) é uma fução ar, e que se é um iteiro ímar, J(x) é uma fução ímar. Etretato, se ão é um iteiro, em geral a fução J(x) admite valores comlexos quado x <. Caso queira evitar estes valores, e a cosequete ecessidade de utizaçáo da teoria das fuções de variáveis comlexas, deve - se cosiderar J(x) defiida aeas ara x > quado ão é um iteiro. O teste da razão alicado à série de otêcias a equação de J () x mostra que seu raio de covergêcia é ifiito. Este resultado é devido ao fato de que x = é oto sigular da equação x y" + xy' + (x )y =. Logo, a fução x ( ) ( x ) J( x),!γ( )

50 5 é uma fução aalítica ara todo x e ara qualquer valor do arâmetro. A série acima ode ser cosiderada ara valores egativos de, é ecessário que se teha ateção quado é um iteiro egativo. Percebe se que se é um iteiro egativo, + + admite valores egativos ara =,,,..., - -, e o valor zero ara = - -. Logo, ( ) se tora ilimitada ara estes valores de.. Nesta situação, defie se os termos corresodetes da série acima como zero. Com esta defiição, a série coverge ão aeas ara todos os valores de x mas também ara todos os valores do arâmetro,tal que esta covergêcia é uiforme em cada variável a região x R e N, ode R e N são aleatoriamete grades. Ou seja, é imortate observar que se é grade, etão a razão etre os valores absolutos do ( ) ésimo e do ésimo termos daquela série satisfaz a desigualdade x R 4( )( ) 4( )( N) tal que o termo da direita é ositivo, ideedete de x e de e tede a zero quado Do. Logo, a fórmula J x ( x) ( ) ( x ), obtida sob a! Γ( ) hiótese >, forma uma fução aalítica ara qualquer valor de. Além disso, como os termos dessa série são fuções cotíuas das variáveis x e, a covergêcia uiforme desta série em ambas variáveis ermitem afirmar que J(x) é uma fução cotíua da variável. (isto é, é uma fução cotíua da variável ). Visto que ocorre somete como a equação x y" + xy' + (x )y =, esera se que a fução J x ( ) ( x ) ( x)!γ( ) seja uma solução desta equação. A fução J () x é deomiada fução de Bessel de rimeira esécie de ordem -. Verifica-se ela substituição a equação x y" + xy' + (x )y = que J () x é solução desta equação.

51 5 J Se é um iteiro ositivo, = m, os m rimeiros termos da série x ( ) ( x ) ( x) se aulam, sedo, assim, escrita a forma!γ( ) J m m x ( ) ( x ) ( x) m! Γ( m ) cosiderado = k + m, tem se Logo, J m m k k m x ( ) ( x ) ( x) k k!γ( m k ) J ( x) m J x, ara m =,,..., m ou seja, as fuções de Bessel de ordem iteira egativa são diferetes or um sial das fuções corresodetes de ordem iteira ositiva. Salieta-se que as fórmulas J x ( ) ( x ) ( x) e! Γ( ) J x ( ) ( x ) ( x), que defiem as fuções de Bessel de rimeira!γ( ) esécie de ordes e, resectivamete, combiam se a fórmula J ( ) ( x ) tal que o arâmetro ode ser ositivo ou x ( x)!γ( ) egativo. Esta fórmula ão os dá muita iformação qualitativa sobre as fuções de Bessel de rimeira esécie, o que os ermite a rocurar outras reresetações. Com esta fialidade, começa se or aresetar as seguites relações, obtidas da fórmula J ( ) ( x ), x ( x)!γ( ) d x J x x J x dx ( ) ( ),

52 5 d x J x x J x dx ( ) ( ), ossíveis ara qualquer. Destas relações obtém - se as fórmulas xj ( x) J ( x) xj ( x), ' xj ( x) J ( x) xj ( x). ' A fórmula ' d xj ( x) J ( x) xj ( x) segue de x J ( x ) x J ( x ) dx aós divisão or x -. Da mesma forma, a fórmula xj ( x) J ( x) xj ( x) segue de ' d x J x x J x dx ( ) ( ). A adição e a subtração de xj ( x) J ( x) xj ( x) e ' xj ( x) J ( x) xj ( x) seguidas da divisão or x forecem ' J x J x J x ' ( ) ( ) ( ) J ( x) J ( x) J ( x) x Esta última equação ermite o cálculo dos valores uméricos de J(x) ara qualquer valor iteiro de a artir do cohecimeto destes valores ara as fuções J(s) e JIM. Isto deomia - se relação de recorrêcia ura, uma vez que ão evolve as derivadas. e A fução geratriz ara a fução de Bessel J(x) é g( x, t) J ( ) x t g ' J( x) t ( J ( x) J ( x)) t t g x t a solução desta equação diferecial é g( x, t) g( t)ex t x t.