Grupo I. Qual é a probabilidade de o João acertar sempre no alvo, nas quatro vezes em que tem de atirar?

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1 Exames Nacioais EXME NCIONL DO ENSINO SECUNDÁRIO Decreto-Lei. /00, de 6 de Março Prova Escrita de Matemática. ao de Escolaridade Prova 6/.ª Fase Duração da Prova: 0 miutos. Tolerâcia: 0 miutos 008 VERSÃO Para resoder aos ites de escolha múltila, escreva, a folha de resostas, o úmero do item; a letra idetificativa da alterativa correcta. Não aresete cálculos, em justificações. Nos ites de resosta aberta com cotação igual ou suerior a otos e que imliquem a rodução de um texto, o domíio da comuicação escrita em lígua ortuguesa rereseta cerca de 0% da cotação. Gruo I Os oito ites deste gruo são de escolha múltila. Em cada um deles, são idicadas quatro alterativas de resosta, das quais só uma está correcta. Se aresetar mais do que uma alterativa, a resosta será classificada com zero otos, o mesmo acotecedo se a letra trascrita for ilegível. Cotações. o disutar um toreio de tiro ao alvo, o João tem de atirar sobre o alvo quatro vezes. Sabe-se que, em cada tiro, a robabilidade de o João acertar o alvo é 0,8. Qual é a robabilidade de o João acertar semre o alvo, as quatro vezes em que tem de atirar? () 0,006 (B) 0,006 (C) 0,089 (D) 0,096. Uma caixa cotém duas bolas verdes e uma bola amarela. Outra caixa B cotém uma bola verde e três bolas amarelas. s bolas colocadas as caixas e B são idistiguíveis ao tacto. Laça-se um dado cúbico erfeito, com as faces umeradas de a 6. Se sair o úmero, tira-se uma bola da caixa ; caso cotrário, tira-se uma bola da caixa B. Qual é a robabilidade de a bola retirada ser verde, sabedo que saiu o úmero o laçameto do dado? () (B) (C) (D)

2 Exames Nacioais. Uma liha do Triâgulo de Pascal tem quize elemetos. Quatos elemetos dessa liha são iferiores a 00? () (B) (C) 6 (D) 8. Sabe-se que o oto P (, ) ertece ao gráfico da fução f (x) = ax -, a å R. Qual é o valor de a? () (B) (C) 0 (D) -. Na figura está reresetada arte do gráfico de uma fução g, de domíio R e cotíua em R \ {- }. s rectas de equações x = - e y = são as úicas assimtotas do gráfico de g. Seja (x ) uma sucessão tal que lim g (x ) =+?. "+? Fig. Qual das exressões seguites ode ser o termo geral da sucessão (x )? () - + (B) - - (C) + (D) - 6. Na figura está reresetada arte do gráfico de uma fução f, de domíio R, sedo y = - a úica assimtota do seu gráfico. Qual é o valor do lim? x "-? f (x) Fig. () -? (B) - (C) - (D)

3 .ª fase 008. Seja z um úmero comlexo de argumeto. 6 Qual dos seguites valores é um argumeto de (- z)? () - (B) 6 6 (C) (D) 6 8. Cosidere a figura, reresetada o lao comlexo. Fig. Qual é a codição, em C, que defie a região sombreada da figura, icluido a froteira? () Re (z) - arg (z) 0 (B) Re (z) 0 arg (z) (C) Im (z) - arg (z) 0 (D) Re(z) - arg(z) 0 Gruo II Na resosta a ites deste gruo, aresete o seu raciocíio de forma clara, idicado todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações ecessárias. teção: quado, ara um resultado, ão é edida a aroximação, aresete semre o valor exacto.. Em C, cojuto dos úmeros comlexos, cosidere z = - i (i desiga a uidade imagiária). z - i Sem recorrer à calculadora, determie o valor de. - i resete o resultado a forma algébrica... Cosidere z uma das raízes quartas de um certo úmero comlexo z. Determie uma outra raiz quarta de z, cuja imagem geométrica é um oto ertecete ao. quadrate. resete o resultado a forma trigoométrica.

4 Exames Nacioais... Seja W o esaço de resultados associado a uma exeriêcia aleatória. Sejam e B dois acotecimetos ossíveis ( ƒ W e B ƒ W). Prove que P ( B) = P ( ) - P (B) + P ( B). (P desiga a robabilidade, desiga o acotecimeto cotrário de e B desiga o acotecimeto cotrário de B.).. Numa determiada cidade, das 60 raarigas que fizeram o exame acioal de Matemática, 6% tiveram classificação ositiva, e, dos 0 raazes que fizeram o mesmo exame, 60% também tiveram classificação ositiva. Escolhedo, ao acaso, um dos estudates que realizaram o exame, qual é a robabilidade de o estudate escolhido ão ser raaz ou ão ter tido classificação ositiva? resete o resultado em forma de dízima, com aroximação às cetésimas. Nota: Se o desejar, utilize a igualdade referida em... Neste caso, deverá começar or caracterizar claramete os acotecimetos e B, o cotexto da situação aresetada; o etato, ode otar or resolver o roblema or outro rocesso.. Numa caixa temos três fichas com o úmero e quatro fichas com o úmero, idistiguíveis ao tacto. Retiram-se, ao acaso e de uma só vez, duas fichas. Seja X a variável aleatória: «a soma dos úmeros iscritos as duas fichas». Costrua a tabela de distribuição de robabilidades da variável X. Idique, justificado, o valor mais rovável da variável X. resete as robabilidades a forma de fracção irredutível. -, +? l (x + ). Cosidere a fução f, de domíio, defiida or f (x) =, x + e a fução g, de domíio R, defiida or g (x) = x - (l desiga logaritmo de base e ). Idique as soluções iteiras da iequação f (x) > g (x), recorredo às caacidades gráficas da sua calculadora. Para resolver esta iequação, ercorra os seguites assos: visualize as curvas reresetativas dos gráficos das duas fuções; reroduza, a sua folha de resostas, o referecial e as curvas visualizadas a calculadora; assiale, aida, os otos e B de itersecção dos gráficos das duas fuções, idicado as suas coordeadas, com aroximação às décimas.. Na figura estão reresetadas duas rectas aralelas, a recta B (em que e B são otos fixos) e a recta s. O oto S recta s. é um oto móvel, deslocado-se ao logo de toda a Para cada osição do oto S, seja x a amlitude, em radiaos, do âgulo BS e seja a (x) a área do triâgulo [BS]. Fig.

5 .ª fase 008 eas um dos seguites gráficos ode reresetar a fução a. Numa comosição, exlique or que razão cada um dos outros três gráficos ão ode reresetar a fução a. 6. massa de uma substâcia radioactiva dimiui com a assagem do temo. Suõe-se que, ara uma amostra de uma determiada substâcia, a massa, em gramas, ao fim de t horas de observação, é dada elo modelo matemático M (t) = * e - 0,0t, t 0. Resolva, usado métodos aalíticos, os dois ites que se seguem. Nota: calculadora ode ser utilizada em evetuais cálculos itermédios; semre que roceder a arredodametos, use três casas decimais. 6.. o fim de quato temo se reduz a metade a massa iicial da amostra da substâcia radioactiva? resete o resultado em horas e miutos, estes arredodados às uidades. 6.. Utilize o Teorema de Bolzao ara justificar que houve, elo meos, um istate, etre as horas e 0 miutos e as horas aós o iício da observação, em que a massa da amostra da substâcia radioactiva atigiu os gramas.. Cosidere a fução g, de domíio R, defiida or g (x) = + si (x). Resolva, usado métodos aalíticos, os dois ites seguites. Nota: calculadora ode ser utilizada em evetuais cálculos itermédios; semre que roceder a arredodametos, use duas casas decimais... Determie g' (0), recorredo à defiição de derivada de uma fução um oto... Estude a mootoia da fução g, o itervalo 0,, idicado o valor dos extremos relativos, caso existam, e os itervalos de mootoia. 0 FIM

6 Sugestão de resolução. P = (0,8) = 0,096 Resosta: (D). Gruo I CESM Porto Editora. Se saiu o úmero o laçameto do dado tira-se uma bola da caixa. dmitido que a caixa cotém três bolas, duas verdes e uma amarela, a robabilidade de a bola retirada ser verde é. Resosta: (D).. liha do Triâgulo de Pascal com quize elemetos é a liha corresodete a =, ou seja, é a liha formada or elemetos da forma C, com 0. Sabe-se que C 0 =, C = e C = 9. Como C = 6, aeas os três rimeiros elemetos desta liha do triâgulo de Pascal, e cosequetemete os três últimos, são iferiores a 00. Logo, a referida liha tem seis elemetos iferiores a 00. Resosta: (C).. f (x) = ax -. Se o oto P (, ) ertece ao gráfico da fução f, etão f () =. f () = a * - = a * = a = a = Resosta: ().. Sabedo que a recta de equação x = - é uma assimtota do gráfico da fução g e observado o gráfico aresetado, odemos cocluir que lim g (x) =+?. x "- - Ora, como todos os termos da sucessão defiida or - - ertecem ao domíio de g e lim, atededo à defiição (segudo Heie) de limite de uma fução um oto, - - =-- tem-se que: se x =- -, lim g (x ) =+?. "+? Resosta: (B). 6. É dado que lim f (x) =-. Etão lim = = - x "-? x "-? f (x) - Resosta: (B).. Se é um argumeto do úmero comlexo z, etão + = é um argumeto de - z. Resosta: (D). 8. Re (z) Re (x + yi) x - arg (z) 0 defie, o lao comlexo, a orção de lao limitada elo semieixo ositivo Ox e ela semi-recta com origem a origem do referecial e que faz com aquele semieixo um âgulo de amlitude igual a - rad. Logo, a codição, em C, que defie a região sombreada da figura, icluido a froteira, é Re (z) - arg (z) 0. Resosta: ().

7 .ª fase 008 Gruo II. z = - i.. z - i i = ( - i) - i - - i = - i - (- ) - - i = - i - i = - i * ( + i) - i - i - i - * (- ) = = = = ( - i) * ( + i) - i + - i = - i.. z = - i z = œ cis - s images, o lao comlexo, das raízes quartas de um úmero comlexo são os vértices de um quadrado iscrito uma circuferêcia de cetro a origem do referecial. \z = œ + ( - ) = œ Seja q um argumeto de z a d tg q = - b = - d ± q q å. Q =- c. ssim, se z é uma raiz quarta de um úmero comlexo z, as outras três raízes são: z = ; z = œ cis - ; + = œ cis z = œ cis -. + = œ cis raiz cuja imagem geométrica é um oto ertecete ao. quadrate é z = œ cis. œ cis - + = œ cis.. P ( ) = P ( ) + P ( ) - P ( ) = P ( ) + - P (B) - P ( ) = B B B B B = P ( ) - P (B) + ( - P ( )) = P ( ) - P (B) + P ( B) c.q.d... Na tabela seguite resumem-se os dados do roblema. Com ositiva Sem ositiva Totais Raarigas Raazes 8 0 Totais Cálculos auxiliares 60 * 0,6 = 0 ; 60-0 = 6 0 * 0,60 = ; 0 - = 8 Sejam os acotecimetos: : O estudate é raaz. B : O estudate tem classificação ositiva o exame. Pretede-se calcular P ( B). CESM Porto Editora. Processo: P ( B) = P ( ) = - P ( B) = B B : O estudate é raaz e tem ositiva o exame. = - 80 = ) 0,. Processo: P ( B) = P ( ) - P (B) + P ( B) = usado a igualdade deduzida em.. = = ) 0,

8 Exames Nacioais. Fichas com o úmero : Fichas com o úmero : Total de fichas variável aleatória X : soma dos úmeros iscritos as duas fichas ode tomar os valores, ou. CESM Porto Editora Na extracção simultâea de duas das sete fichas temos C = casos ossíveis. C P (X = ) = (corresode à extracção de duas fichas com o úmero ) = = C * C P (X = ) = = * (corresode à extracção de uma ficha com o úmero e outra com o = úmero ) C P (X = ) = (corresode à extracção de duas fichas com o úmero ) = 6 = Tabela de distribuição de robabilidades da variável X : x i P (X = x i ) O valor mais rovável da variável é.. Usado a calculadora gráfica ara determiar os otos de itersecção dos gráficos das fuções f e g foram obtidos os otos (- 0, ; -,) e B (, ; 0,). Na figura aresetam-se as curvas visualizadas a calculadora. No domíio -, +?, o cojuto-solução da codição f (x) > g (x) é o itervalo ]- 0, ;,[ elo que as soluções iteiras desta codição são 0, e.. eas o gráfico ode reresetar a fução a. O gráfico ão ode reresetar a fução a orque, quado S se desloca ao logo de toda a recta s, x varia etre 0 e tomado, ortato, valores sueriores a. O gráfico também se rejeita orque, tomado [B] como base do triâgulo, a altura corresodete é a distâcia etre as duas rectas, elo que, sedo e B otos fixos, a área do triâgulo [BS] é costate. Ora, o gráfico ão é o gráfico de uma fução costate. Fialmete, rejeita-se o gráfico orque 0 e ão ertecem ao domíio da fução a. Para se ter x = 0 ou x =, o oto S teria de ertecer à recta B, o que uca se verifica orque as rectas são estritamete aralelas.

9 .ª fase M (t) = * e - 0,0t 6.. M (0) = * e - 0,0 * 0 = M (0) M (t) = * e - 0,0t = e - 0,0t = l - 0,0t = l t = t ),6-0,0,6 h ) h 9 mi orque 0,6 * 60 = 9, Logo, a massa iicial da amostra da substâcia radioactiva reduz-se a metade ao fim de h e 9 mi. 6.. horas e 0 miutos =, horas. fução M é cotíua o seu domíio or ser defiida ela comosta e roduto de fuções cotíuas (fução exoecial e fuções oliomiais). Logo, a fução M é cotíua em [, ; ]. M (,) = * e - 0,0 *, ),68 ; M () = * e - 0,0 * ),8 Como M é cotíua em [, ; ] e M () < < M (,), o Teorema de Bolzao ermite cocluir que houve, elo meos, um istate etre as horas e 0 miutos e as horas aós o iício da observação, em que a massa da amostra da substâcia radioactiva atigiu os gramas.. g (x) = + si (x) g (x) - g (0) + si (x) - si (x).. g ' (0) = lim = lim = lim x " 0 x - 0 x " 0 x x " 0 x * si (x) si (x) = lim = * lim = * = x " 0 x x " 0 x g' (0) =.. g '(x) = ( + si (x))' = 0 + (x)' cos (x) = cos (x) g '(x) = 0 x å cos (x) = 0 x å 0, 0, k x = + k, k åz x å x = +, k åz x å 0, 0, 8 x = x = + x = x = x 0 8 g ' (x) g (x) CESM Porto Editora g 8 8 = + si = + si = + = g = + si = + si = - = 8 8 fução g é moótoa crescete em e em e moótoa decrescete em 8, 0, 8. 8, 8 fução tem um máximo relativo igual a ara x = e um míimo relativo igual a ara x =. 8 8