Duração da Prova: 150 minutos. Tolerância: 30 minutos. Na folha de respostas, indique de forma legível a versão da prova.

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1 EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO Decreto-Lei.º 74/2004, de 26 de Março Prova Escrita de Matemática A 2.º ao de Escolaridade Prova 65/2.ª Fase Págias Dração da Prova: 50 mitos. Tolerâcia: 0 mitos 2008 VERSÃO Na folha de respostas, idiqe de forma legível a versão da prova. A asêcia dessa idicação implica a classificação com zero potos das respostas aos ites do Grpo I. Prova 65.V Págia /

2 Utilize apeas caeta o esferográfica de tita idelével azl o preta, ecepto as respostas qe impliqem a elaboração de costrções, desehos o otras represetações, qe podem ser primeiramete elaboradas a lápis, sedo, a segir, passadas a tita. Utilize a réga, o compasso, o esqadro, o trasferidor e a calcladora gráfica sempre qe ecessário. Não é permitido o so de corrector. Em caso de egao, deve riscar, de forma ieqívoca, aqilo qe pretede qe ão seja classificado. Escreva de forma legível a meração dos grpos e/o dos ites, bem como as respectivas respostas. Para cada item, apresete apeas ma resposta. Se escrever mais do qe ma resposta a m mesmo item, apeas é classificada a resposta apresetada em primeiro lgar. Prova 65.V Págia 2/

3 Para respoder aos ites de escolha múltipla, escreva, a folha de respostas, o úmero do item; a letra idetificativa da alterativa correcta. Não apresete cálclos, em jstificações. Nos ites de resposta aberta com cotação igal o sperior a 5 potos e qe impliqem a prodção de m teto, o domíio da comicação escrita em líga portgesa represeta cerca de 0% da cotação. As cotações dos ites ecotram-se a págia. A prova icli m Formlário a págia 4. Prova 65.V Págia /

4 Formlário Comprimeto de m arco de circferêcia α r (α amplitde, em radiaos, do âglo ao cetro; r raio) Áreas de figras plaas Losago: Trapézio: Altra Polígoo reglar: Semiperímetro Apótema Sector circlar: Áreas de sperfícies Área lateral de m coe: r g (r raio da base; g geratriz) (α amplitde, em radiaos, do âglo ao cetro; r raio) Área de ma sperfície esférica: 4 r 2 (r raio) Volmes Pirâmide: Coe: Esfera: 4 r (r raio) Trigoometria Área da base Altra Área da base Altra se (a + b) = se a. cos b + se b. cos a cos (a + b) = cos a. cos b se a. se b tg a + tg b tg (a + b) = tg a. tg b Compleos (ρcis θ) = ρ cis (θ) Diagoal maior Diagoal meor 2 Base maior + Base meor 2 α r 2 2 θ+2k ρ cis θ= ρ cis, k { 0,..., } Probabilidades µ = p + + p lim + = e se lim = 0 l( + ) lim = 0 l lim = 0 + lim + e lim = 0 e p 2 2 σ = ( µ ) p + + ( µ ) p Se X é N( µσ, ), etão: P( µ σ < X < µ + σ) 0, 6827 P( µ 2σ < X < µ + 2 σ) 0, 9545 P( µ σ < X < µ + σ) 0, 997 Regras de derivação ( + v) = + v ( v) = v+ v v v = 2 v v ( ) = ( R) (se ) = cos (cos ) = se (tg ) = 2 cos ( e ) = e + ( a ) = a l a ( a R \{} ) (l ) = + (log a ) = ( a R \ {} ) la Limites otáveis =+ ( p R) Prova 65.V Págia 4/

5 GRUPO I Os oito ites deste grpo são de escolha múltipla. Em cada m deles, são idicadas qatro alterativas de resposta, das qais só ma está correcta. Se apresetar mais do qe ma alterativa, a resposta será classificada com zero potos, o mesmo acotecedo se a letra trascrita for ilegível.. Ao disptar m toreio de tiro ao alvo, o João tem de atirar sobre o alvo qatro vezes. Sabe-se qe, em cada tiro, a probabilidade de o João acertar o alvo é 0,8. Qal é a probabilidade de o João acertar sempre o alvo, as qatro vezes em qe tem de atirar? (A) 0,006 (B) 0,0064 (C) 0,089 (D) 0, Uma caia A cotém das bolas verdes e ma bola amarela. Otra caia B cotém ma bola verde e três bolas amarelas. As bolas colocadas as caias A e B são idistigíveis ao tacto. Laça-se m dado cúbico perfeito, com as faces meradas de a 6. Se sair o úmero 5, tira-se ma bola da caia A; caso cotrário, tira-se ma bola da caia B. Qal é a probabilidade de a bola retirada ser verde, sabedo qe sai o úmero 5 o laçameto do dado? (A) (B) (C) (D) Uma liha do Triâglo de Pascal tem qize elemetos. Qatos elemetos dessa liha são iferiores a 00? (A) (B) 4 (C) 6 (D) 8 a 4. Sabe-se qe o poto P(, ) pertece ao gráfico da fção f ()=2, a R. Qal é o valor de a? (A) 2 (B) (C) 0 (D) 2 Prova 65.V Págia 5/

6 5. Na figra está represetada parte do gráfico de ma fção g, de domíio R e cotía em R \ { 2}. As rectas de eqações = 2 e y = são as úicas assimptotas do gráfico de g. Seja ( ) ma scessão tal qe lim g ( )= +. + Fig. Qal das epressões segites pode ser o termo geral da scessão ( )? 2 (A) 2 + (B) 2 (C) + (D) 6. Na figra 2 está represetada parte do gráfico de ma fção f, de domíio R, sedo y = a úica assimptota do se gráfico. Fig. 2 Qal é o valor do lim? f () (A) (B) (C) (D) Prova 65.V Págia 6/

7 7. Seja z m úmero compleo de argmeto. 6 Qal dos segites valores é m argmeto de ( z)? (A) 5 (B) (C) (D) Cosidere a figra, represetada o plao compleo. Fig. Qal é a codição, em C, qe defie a região sombreada da figra, iclido a froteira? (A) Re() z arg() 0 z 4 (B) Re() 0 z arg() z 4 (C) Im() z arg() 0 z (D) Re() z arg() 0 z 4 4 Prova 65.V Págia 7/

8 GRUPO II Na resposta a ites deste grpo, apresete o se raciocíio de forma clara, idicado todos os cálclos qe tiver de efectar e todas as jstificações ecessárias. Ateção: qado, para m resltado, ão é pedida a aproimação, apresete sempre o valor eacto.. Em C, cojto dos úmeros compleos, cosidere z i = (i desiga a idade imagiária). 8 2z i.. Sem recorrer à calcladora, determie o valor de. 2i Apresete o resltado a forma algébrica..2. Cosidere z ma das raízes qartas de m certo úmero compleo z. Determie ma otra raiz qarta de z, cja imagem geométrica é m poto pertecete ao.º qadrate. Apresete o resltado a forma trigoométrica Seja Ω o espaço de resltados associado a ma eperiêcia aleatória. Sejam A e B dois acotecimetos possíveis ( A Ωe B Ω). Prove qe: PA ( B)= PA ( ) PB ( )+ PA ( B) (P desiga a probabilidade, A desiga o acotecimeto cotrário de A e B desiga o acotecimeto cotrário de B.) 2.2. Nma determiada cidade, das 60 raparigas qe fizeram o eame acioal de Matemática, 65% tiveram classificação positiva, e, dos 20 rapazes qe fizeram o mesmo eame, 60% também tiveram classificação positiva. Escolhedo, ao acaso, m dos estdates qe realizaram o eame, qal é a probabilidade de o estdate escolhido ão ser rapaz o ão ter tido classificação positiva? Apresete o resltado em forma de dízima, com aproimação às cetésimas. Nota: Se o desejar, tilize a igaldade referida em 2.. Neste caso, deverá começar por caracterizar claramete os acotecimetos A e B, o coteto da sitação apresetada; o etato, pode optar por resolver o problema por otro processo.. Nma caia temos três fichas com o úmero e qatro fichas com o úmero 2, idistigíveis ao tacto. Retiram-se, ao acaso e de ma só vez, das fichas. Seja X a variável aleatória: «a soma dos úmeros iscritos as das fichas». Costra a tabela de distribição de probabilidades da variável X. Idiqe, jstificado, o valor mais provável da variável X. Apresete as probabilidades a forma de fracção irredtível. Prova 65.V Págia 8/

9 ) l(2 + ) 4. Cosidere a fção f, de domíio, +, defiida por f, e a fção g, de ( )= domíio R, defiida por g ( )= 2 (l desiga logaritmo de base e ). Idiqe as solções iteiras da ieqação calcladora. f ( )> g ( ), recorredo às capacidades gráficas da sa Para resolver esta ieqação, percorra os segites passos: visalize as crvas represetativas dos gráficos das das fções; reprodza, a sa folha de respostas, o referecial e as crvas visalizadas a calcladora; assiale, aida, os potos A e B, de itersecção dos gráficos das das fções, idicado as sas coordeadas, com aproimação às décimas. 5. Na figra 4 estão represetadas das rectas paralelas, a recta AB (em qe A e B são potos fios) e a recta s. O poto S é m poto móvel, deslocado-se ao logo de toda a recta s. Para cada posição do poto S, seja a amplitde, em radiaos, do âglo BAS e seja a() a área do triâglo [ABS ]. s S B Apeas m dos segites gráficos pode represetar a fção a. Nma composição, epliqe por qe razão cada m dos otros três gráficos ão pode represetar a fção a. A Fig. 4 Gráfico Gráfico 2 a a O p/2 O p Gráfico Gráfico 4 a a O p O p Prova 65.V Págia 9/

10 6. A massa de ma sbstâcia radioactiva dimii com a passagem do tempo. Spõe-se qe, para ma amostra de ma determiada sbstâcia, a massa, em gramas, ao fim de t horas de observação, é dada 0, 02 t pelo modelo matemático Mt ()=5 e, t 0. Resolva, sado métodos aalíticos, os dois ites qe se segem. Nota: A calcladora pode ser tilizada em evetais cálclos itermédios; sempre qe proceder a arredodametos, se três casas decimais. 6.. Ao fim de qato tempo se redz a metade a massa iicial da amostra da sbstâcia radioactiva? Apresete o resltado em horas e mitos, estes arredodados às idades Utilize o Teorema de Bolzao para jstificar qe hove, pelo meos, m istate, etre as 2 horas e 0 mitos e as 4 horas após o iício da observação, em qe a massa da amostra da sbstâcia radioactiva atigi os 4 gramas. 7. Cosidere a fção g, de domíio R, defiida por g ( )=2+ se(4 ). Resolva, sado métodos aalíticos, os dois ites segites. Nota: A calcladora pode ser tilizada em evetais cálclos itermédios; sempre qe proceder a arredodametos, se das casas decimais. 7.. Determie g '(0), recorredo à defiição de derivada de ma fção m poto Estde a mootoia da fção g, o itervalo 0,, idicado o valor dos etremos relativos, 2 caso eistam, e os itervalos de mootoia. FIM Prova 65.V Págia 0/

11 COTAÇÕES GRUPO I... (8 5 potos) potos GRUPO II potos potos potos potos potos potos potos potos potos potos potos potos potos potos potos potos TOTAL potos Prova 65.V Págia /