Mais exercícios de 12.º ano:

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1 Mais exercícios de 1.º ao: Escola Secudária de Fracisco Fraco Matemática 1.º ao Cálculo Diferecial algus exercícios saídos em exames e em testes itermédios (Exames Nacioais 003) 10. Seja f uma fução de domíio R. Sabe-se que a primeira e a seguda derivadas de f são egativas em R. Em qual das figuras seguites pode estar represetada parte do gráfico da fução f? Seja g a fução que faz correspoder, à abcissa x do poto R, a área da secção produzida o cubo pelo plao PQR. Qual dos seguites pode ser o gráfico da fução g? (1ª chamada) 11. Cosidere uma fução g, de domíio [0,+ [, cotíua em todo o seu domíio. Sabe-se que: O gráfico de g tem uma úica assimptota; Em qual das alterativas seguites podem estar represetadas, em referecial o.. xoy, parte do gráfico da fução g e, a tracejado, a sua assimptota? (1ª chamada) 13. Na figura está represetado um cubo, em referecial o.. xoy. Três das arestas do cubo estão cotidas os eixos do referecial. Os potos P e Q são dois dos vértices do cubo, pertecetes ao plao yoz. Admita que um poto R, partido da origem do referecial, se desloca ao logo do semieixo positivo Ox (1ª chamada) 14. Num laboratório, foi colocado um purificador de ar. Num determiado dia, o purificador foi ligado às zero horas e desligado algum tempo depois. Ao logo desse dia, o ível de poluição do ar dimiuiu, equato o purificador esteve ligado. Uma vez o purificador desligado, o ível de poluição do ar começou de imediato a aumetar. Admita que o ível de poluição do ar o laboratório, medido em mg/l de ar, às t horas desse dia, pode ser dado por, t [0,4] Nas duas alíeas seguites, sempre que, os cálculos itermédios, proceder a arredodametos, coserve, o míimo, três casas decimais. a) Qual é o ível de poluição à uma hora e trita miutos da tarde? Apresete o resultado a uidade cosiderada, arredodado às décimas. b) Sem recorrer à calculadora, a ão ser para efectuar evetuais cálculos uméricos, resolva o seguite problema: Quato tempo esteve o purificador de ar ligado? Apresete o resultado em horas e miutos (miutos arredodados às uidades). (1ª chamada) 15. Prove que, para qualquer fução quadrática g, existe um e um só poto do gráfico ode a recta tagete é paralela à bissectriz dos quadrates ímpares. (1ª chamada) 19. Na figura juta está represetada parte do gráfico de uma fução f de domíio R, cotíua em todo o seu domíio. A bissectriz dos quadrates pares e a bissectriz dos quadrates ímpares são assimptotas do gráfico de f. Idique em qual das figuras seguites pode estar represetada parte do gráfico da fução g defiida por g(x)=f(x)/x Cálculo Diferecial algus exercícios saídos em exames e em TI (1.º ao) - pág. 1

2 Mais exercícios de 1.º ao: (ª chamada) 134. Seja f uma fução de domíio R, e seja g a fução defiida por g(x)=f(x+1). A recta de equação y=x+4 é a úica assimptota do gráfico de f. Qual das seguites é uma equação da úica assimptota do gráfico de g? (A) y=x+6 (B) y=x+4 (C) y=x-4 (D) y=x-6 (ª fase) 135. Admita que, ao logo dos séculos XIX e XX e dos primeiros aos do século XXI, a população de Portugal Cotietal, em milhões de habitates, é dada, 6,8 aproximadamete, por pt () 3,5 0,036t 1 1,8e (cosidere que t é medido em aos e que o istate t=0 correspode ao iício do ao 1864). a) De acordo com este modelo, qual será a população de Portugal Cotietal o fial do presete ao (003)? Apresete o resultado em milhões de habitates, arredodado às décimas. Nota: sempre que, os cálculos itermédios, proceder a arredodametos, coserve, o míimo, 3 casas decimais. b) Sem recorrer à calculadora (a ão ser para efectuar evetuais cálculos uméricos), resolva o seguite problema: De acordo com este modelo, em que ao a população de Portugal Cotietal foi de 3,7 milhões de habitates? Nota: sempre que, os cálculos itermédios, proceder a arredodametos, coserve, o míimo, 3 casas decimais. (ª fase) (Exames Nacioais 005) 146. Na figura, está represetada parte do gráfico de uma fução f, cotíua em. A fução f tem apeas dois zeros: 3 e 1. O poto A tem abcissa 3 e pertece ao gráfico de f. O poto B pertece ao eixo Oy. Qual é a área do triâgulo [ABO]? (A) 1 (B) (C) 3 (D) 4 Seja g a fução defiida por gx ( ) fx ( ). Qual dos seguites cojutos pode ser o domíio da fução g? (A) ],1] (B) \{ 3,1} (C) ], 3] (D) [ 3,+ [ 148. Na figura juta, está represetada, em referecial o.. xoy, parte do gráfico da fução f, defiida, em ] 1,+ [, por f(x)=log (x +1). Na mesma figura, está também represetado um triâgulo rectâgulo [ABO] Admita que o úmero de elemetos de uma população de aves, t aos após o iício de 1970, é dado aproximadamete por P(t)=5, 10 7 e (N M)t, t 0, em que N e M são duas costates, deomiadas, respectivamete, taxa de atalidade e taxa de mortalidade da população. Sem recorrer à calculadora, a ão ser para efectuar evetuais cálculos uméricos, resolva as duas alíeas seguites: a) Sabedo que N<M, calcule lim P(t) e iterprete o t resultado obtido, o cotexto do problema. b) No iício de 000, a população era metade da que existia o iício de Sabedo que a taxa de atalidade é 7,56, determie a taxa de mortalidade. Apresete o resultado arredodado às cetésimas. Nota: sempre que, os cálculos itermédios, proceder a arredodametos, coserve, o míimo, três casas decimais. Cálculo Diferecial algus exercícios saídos em exames e em TI (1.º ao) - pág.

3 Mais exercícios de 1.º ao: Seja f uma fução, de domíio +, tal que a sua derivada é dada por f (x)= +xlx, x + Sem recorrer à calculadora, resolva as alíeas seguites: a) Seja r a recta tagete ao gráfico de f o poto de abcissa 1. Seja P o poto de itersecção da recta r com o eixo Ox. Sabedo que f(1)=3, determie a abcissa do poto P. b) Estude a fução f quato ao setido das cocavidades do seu gráfico e quato à existêcia de potos de iflexão Cosidere a fução f, de domíio [ 5,5] e cotradomíio [ 5,5], represetada graficamete a figura juta. Qual dos gráficos seguites pode ser o da fução g, defiida por g(x)=1+f(x+1)? a) Recorredo à calculadora, determie o valor de a, arredodado às cetésimas. Explique como procedeu, apresetado todos os elemetos recolhidos a utilização da calculadora. b) Sem utilizar a calculadora, a ão ser para efectuar evetuais cálculos uméricos, estude a fução h quato à mootoia e coclua qual foi a maior altura que a bola atigiu, relativamete ao solo, depois de potapeada. Apresete o resultado em metros, arredodado às cetésimas. c) Sem utilizar a calculadora, mostre que a taxa de variação média da fução h, o itervalo [1,3], é l[e (7/9) 5 ] (ª fase) 155. No iício de 197, havia 400 lobos um determiado parque atural. As medidas de protecção a lobos fizeram com que o referido º aumetasse cotiuamete. Os recursos do parque permitem que o º de lobos cresça até bastate perto de um milhar, mas ão permitem que este valor seja ultrapassado. Nestas codições, apeas uma das expressões seguites pode defiir a fução P que dá o º aproximado de lobos existetes o parque atural, t aos após o iício de 197. (A) e 0,5t (B) ,5 e 0,5t (C) ( t3 1) 1 e t (D) 1000 et Qual é a expressão correcta? Numa pequea composição, com cerca de 10 lihas, explique as razões que o levam a rejeitar as outras 3 expressões (apresete 3 razões diferetes, uma por cada expressão rejeitada). Nota: poder-lhe-á ser útil recorrer às capacidades gráficas da sua calculadora. Se o fizer, deve reproduzir o(s) gráfico(s) obtidos(s). (ª fase) E4. Na figura está represetada, em referecial o.. xoy, parte do gráfico da fução f, de domíio R, defiida por f(x)=e ax +1 (a é uma costate real positiva). (ª fase) 154. Na figura está represetada a trajectória de uma bola de futebol, depois de ter sido potapeada por um jogador da selecção portuguesa, durate um treio de preparação para o EURO-004. Na figura está também represetada a recta r, que é tagete ao gráfico de f o poto em que este itersecta o eixo Oy. A recta r itersecta o eixo Ox o poto de abcissa 6. Qual é o valor de a? (A) ½ (B) 1/3 (C) /3 (D) 3/ (Época especial) E6. De uma fução f, de domíio, sabe-se que: f tem Desigou-se por a a distâcia, em metros, etre o poto ode a bola foi potapeada e o poto ode ela caiu. Cosidere a fução h defiida em [0,a] por h(x)=x+10l(1 0,1x). Admita que h(x) é a distâcia, em metros, da bola ao solo, o mometo em que a sua projecção o solo se ecotra a x metros do local ode foi potapeada. derivada fiita em todos os potos de ; f(0)= 1; f é estritamete crescete em e é estritamete decrescete em +. Seja g a fução, de domíio, defiida por g(x)=[f(x)]. Prove que 1 é o míimo da fução g. (Época especial) Cálculo Diferecial algus exercícios saídos em exames e em TI (1.º ao) - pág. 3

4 (A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7 (Itermédio ) Mais exercícios de 1.º ao: (Testes itermédios e exames 005/006) 156. Seja (x ) a sucessão de termo geral x =( 1 1 ). Seja (y ) a sucessão de termo geral y = 1+l(x ). Qual é o valor de lim y? (A) (B) 3 (C) 1+e (D) +e (Itermédio ) 157. Idique o úmero real que é solução da equação x 1 e e 167. Na figura está represetada parte do gráfico de uma fução poliomial f. Tal como a figura sugere, o gráfico de f tem a cocavidade voltada para cima em ],0] e voltada para baixo em [0,+ [ Na figura abaixo estão represetadas, em referecial o.. xoy: parte do gráfico da fução f, de domíio, defiida por f(x)=e x ; parte do gráfico da fução g, de domíio +, defiida por g(x)= l x. O poto A é o poto de itersecção do gráfico de f com o eixo Oy e o poto B é o poto de itersecção do gráfico de g com o eixo Ox. Na figura está também represetado um triâgulo [CDE]. O poto C pertece ao eixo Oy, o poto D pertece ao gráfico de f e o poto E pertece ao gráfico de g. Sabe-se aida que: a recta BD é paralela ao eixo Oy e a recta CE é paralela ao eixo Ox; AC OA. Qual é a área do triâgulo [CDE]? (A) ( e 1)l (B) ( e 1)l ee ( ) (C) e (D) ( e ) (Itermédio ) 163. De uma fução g, de domíio ]0,+ [, sabe-se que: ão tem zeros; a recta de equação y=x+ é assimptota do seu gráfico. Seja h a fução de domíio ]0,+ [, defiida por h(x)= x gx ( ) do gráfico de h.. Prove que a recta de equação y=x é assimptota (Itermédio ) 166. Seja h a fução, de domíio, defiida por h(x)= l( e x ). Qual das seguites expressões pode também defiir h? (A) x (B) x (C) x 4 (D) A recta r, tagete ao gráfico de f o poto de abcissa 0, é paralela à bissectriz dos quadrates ímpares e itersecta o eixo Ox o poto de abcissa. Sabedo que f e f desigam, respectivamete, a primeira e a seguda derivadas de f, idique o valor de f(0)+ f (0)+ f (0) (A) 1 (B) (C) 3 (D) 4 (1ªfase) 168. Na figura estão represetados: parte do gráfico da fução f de domíio, defiida por f(x)=e x ; um triâgulo isósceles [OPQ] ( PO PQ ), em que: O é a origem do referecial; P é um poto do gráfico de f; Q pertece ao eixo das abcissas. Cosidere que o P poto se desloca o primeiro quadrate (eixos ão icluídos), ao logo do gráfico de f. O poto Q acompaha o movimeto do poto P, deslocado-se ao logo do eixo das abcissas, de tal modo que PO permaece sempre 161. Cosidere a fução f, de domíio ]0,+ [, defiida por f(x)= 1 x lx igual a PQ. Seja A a fução, de domíio +, que faz. Sem recorrer à calculadora, resolva as duas correspoder, à abcissa x do poto P, a área do triâgulo alíeas seguites. a) Mostre que f( 1 [OPQ]. )=l(4e ) a) Mostre que, para cada x +, se tem A(x)=xe x b) Estude a fução f quato à existêcia de assimptotas do seu gráfico, paralelas aos eixos coordeados. b) Sem recorrer à calculadora, estude a fução A quato à (Itermédio ) mootoia e coclua qual é o valor máximo que a área do triâgulo [OPQ] pode assumir. (1ªfase) 169. De uma certa fução f, de domíio, sabe-se que: f é cotíua; a recta de equação y=x é assimptota do gráfico de f, quer quado x, quer quado x. Mostre que o gráfico da fução g, defiida, em, por g(x)=xf(x), ão tem qualquer assimptota. (1ªfase) x (1ªfase) Cálculo Diferecial algus exercícios saídos em exames e em TI (1.º ao) - pág. 4

5 Mais exercícios de 1.º ao: Na figura abaixo está parte do gráfico de uma fução h, de domíio. Sejam h e h a primeira e a seguda derivadas de h, respectivamete. Admita que estas duas fuções também têm domíio. Qual das expressões seguites desiga um úmero positivo? (A) h(0) + h (0) (B) h(0) h (0) (C) h (0) h (0) (D) h (0) h (0) (ªfase) 174. Seja f a fução, de domíio ]1,+ [, defiida por f(x)= x + xl(x 1). Sem recorrer à calculadora, resolva as duas alíeas seguites: a) Estude a fução quato à existêcia de assimptotas do seu gráfico. b) Na figura estão represetados, em referecial o.. xoy, uma recta r e um trapézio [OPQR]. Q tem abcissa e pertece ao gráfico de f (o qual ão está represetado a figura); r é tagete ao gráfico de f o poto Q; P é o poto de itersecção da recta r com o eixo Ox; R pertece ao eixo Oy e tem ordeada igual à do poto Q. Determie a área do trapézio [OPQR]. Apresete o resultado a forma de fracção irredutível. (ªfase) 175. Seja f : [0,] uma fução cotíua tal que f(0)=f()=0 e f(1)>0. Prove que existe pelo meos um úmero real c o itervalo ]0,1[ tal que f(c)=f(c+1). Sugestão: cosidere a fução g: [0,1], defiida por g(x)=f(x) f(x+1) (ªfase) E9. Pretede-se costruir um prisma quadragular regular com 64 cm 3 de volume. A altura y do prisma, medida em cm, depede do comprimeto x da aresta da base, medido igualmete em cm. Qual dos gráficos seguites traduz correctamete a relação etre estas variáveis? (Época especial) (Testes itermédios e exames 006/007) 178. Seja g uma fução de domíio +. Sabe-se que a recta de equação y x 3 é assimptota do gráfico de g. Idique o valor de x (A) 0 (B) 5 (C) 6 (D) + gx ( ) lim x ( gx ( ) x) (Itermédio ) Em qual das opções seguites poderá estar represetada, em referecial xoy, parte do gráfico de 1/f? 179. Na figura está represetada, em referecial xoy, parte do gráfico de uma fução f, de domíio ],1[, cotíua em todo o seu domíio. Tal como a figura sugere, tem-se: o gráfico de f cotém a origem do referecial; as rectas de equações y 0 e x 1 são assimptotas do gráfico de f. (Itermédio ) 186. Na figura está parte da represetação gráfica de uma fução f, de domíio. Cálculo Diferecial algus exercícios saídos em exames e em TI (1.º ao) - pág. 5

6 Mais exercícios de 1.º ao: Tal como a figura sugere, o eixo Ox e a recta de equação y 1 são assimptotas do gráfico de f. Seja g a fução, de domíio, defiida por gx ( ) l[ fx ( )]. Numa das opções seguites está parte da represetação gráfica da fução g. Em qual delas? (1ªfase) 196. Cosidere a fução f, de domíio \{0}, defiida por f ( x) 1 l( x ). Recorredo a métodos exclusivamete aalíticos: a) Determie os potos de itersecção do gráfico de f com o eixo Ox b) Estude a fução quato à mootoia e à existêcia de extremos relativos. (ªfase) (Testes itermédios e exames 007/008) 198. Admita que uma certa população de seres vivos evolui de acordo com a seguite lei: o úmero de idivíduos da população, t dias após um certo istate iicial, é dado kt aproximadamete por Pt () ae ( t ) em que 0 a é o úmero de idivíduos da população o istate iicial (a>0) k é uma costate real a) Seja r um úmero real positivo. Cosidere que, ao fim de dias, cotados a partir do istate iicial, o úmero de idivíduos da população é igual a r vezes o úmero de idivíduos que existiam o referido istate iicial. Mostre l( r) que se tem k b) Admita que, às zero horas do dia 1 do correte mês, se iiciou, em laboratório, uma cultura de bactérias, em pequea escala, a qual se jutaram 500 idivíduos de uma estirpe A 500 idivíduos de uma estirpe B Nuca foram itroduzidos mais idivíduos destas duas estirpes esta cultura. As codições da cultura são desfavoráveis para a estirpe A, mas são favoráveis para a estirpe B. De facto, decorrido exactamete um dia, a estirpe A estava reduzida a 50 idivíduos decorridos exactamete seis dias, a estirpe B tiha alcaçado 1000 idivíduos b 1 ) Quer a estirpe A, quer a estirpe B, evoluíram de acordo com a lei acima referida. No etato, o valor da costate k para a estirpe A é diferete do valor dessa costate para a estirpe B. Utilizado a igualdade da alíea a), verifique que: o caso da estirpe A, o valor da costate k, com quatro casas decimais, é k A = 0,6931 o caso da estirpe B, o valor da costate 5, com quatro casas decimais, é k B = 0,1155 b ) Durate a primeira semaa, houve um mometo em que o úmero total de idivíduos destas duas estirpes, existetes a cultura, atigiu o valor míimo. Utilizado os valores k A e k B referidos a alíea aterior e recorredo às capacidades gráficas da sua calculadora, determie o dia e a hora em que tal acoteceu (hora arredodada às uidades). Apresete, a sua resposta: a expressão da fução que dá o úmero total de idivíduos destas duas estirpes, existetes a cultura, em fução do tempo; o gráfico dessa fução, para t [0,7] o qual deve estar devidamete assialado o poto ecessário à resolução do problema; a coordeada relevate desse poto, arredodada às milésimas. 00. Na figura está represetada parte do gráfico de uma fução f de domíio [0, [. A recta r, de equação y 1 3 x é assimptota do gráfico de f. Seja h a fução defiida em [0, [ por hx ( ) x. O gráfico de h f( x) tem uma assimptota horizotal. Qual das equações seguites defie essa assimptota? (A) y 1 (B) y 1 3 (C) y (D) y 3 (Itermédio ) Cálculo Diferecial algus exercícios saídos em exames e em TI (1.º ao) - pág. 6

7 Mais exercícios de 1.º ao: Seja f uma fução de domíio, cotíua o itervalo [,]. Tem-se f ( ) 1e f () 3. Idique qual das expressões seguites defie uma fução g, de domíio, para a qual o Teorema de Bolzao garate a existêcia de pelo meos um zero o itervalo ],[ (A) gx ( ) x fx ( ) (B) gx ( ) x fx ( ) (C) gx ( ) x fx ( ) (D) gx ( ) x fx ( ) (Itermédio ) 0. Num lago ode ão havia peixes, itroduziram-se, um determiado mometo, algus peixes. Admita que, t aos depois, o úmero de peixes existetes o lago é dado aproximadamete por ft () 000 ode k desiga um 0,13t 1 ke úmero real. a) Determie o valor de k, supodo que foram itroduzidos 100 peixes o lago. b) Admita agora que k = 4. Sem recorrer à calculadora, a ão ser para efectuar cálculos uméricos, resolva o seguite problema: Ao fim de quatos aos o úmero de peixes o lago atige o meio milhar? Apresete o resultado arredodado às uidades. Nota: se, em cálculos itermédios, proceder a arredodametos, coserve, o míimo, três casas decimais. (Itermédio ) 03. Seja f a fução de domíio [ 3,3] defiida por x e 1 x se 3 x 0 f( x) x x l(1 3 x) se 0 x 3 Na figura está represetado o gráfico da fução f Tal como a figura sugere: A é o poto do gráfico de f de ordeada máxima a abcissa do poto A é positiva a) Utilizado métodos exclusivamete aalíticos, resolva as duas alíeas seguites: a 1 ) Determie a abcissa do poto A. a ) Mostre que, tal como a figura sugere, f é cotíua o poto 0. b) Na figura está ovamete represetado o gráfico de f, o qual se assialou um poto B, o segudo quadrate. A recta r é tagete ao gráfico de f, o poto B. Cosidere o seguite problema: Determiar a abcissa do poto B, sabedo que a recta r tem declive 0,3. Traduza este problema por meio de uma equação e, recorredo à calculadora, resolva-a graficamete, ecotrado assim um valor aproximado da abcissa do poto B. Pode realizar algum trabalho aalítico ates de recorrer à calculadora. Reproduza a sua folha de prova o(s) gráfico(s) obtido(s) a calculadora e apresete o valor pedido arredodado às cetésimas. (Itermédio ) 11. Na figura 1 está represetada parte do gráfico de uma fução g, de domíio e cotíua em \{ }. As rectas de equações x e y 1 são as úicas assimptotas do gráfico de g. Seja ( x ) uma sucessão tal que lim gx ( ). Qual das expressões seguites pode ser o termo geral da sucessão ( x )? (A) (B) 1 (C) 1 1 (D) 1 1 (ª fase) 18. Determie, sem recorrer à calculadora, o cojuto dos úmeros reais que são soluções da iequação log (x 1)+ log (13 x) 5 Apresete a sua resposta a forma de uião de itervalos de úmeros reais. (Itermédio ) 19. Quado uma substâcia radioactiva se desitegra, a sua massa, medida em gramas, varia de acordo com uma fução bt do tipo mt () ae, t 0, em que a variável t desiga o tempo, medido em miléios, decorrido desde um certo istate iicial. A costate real b, depede da substâcia e a costate real a é a massa da substâcia o referido istate iicial. Resolva as alíeas seguites sem recorrer à calculadora, a ão ser para efectuar cálculos uméricos. (Testes itermédios e exames 008/009) a) O carboo-14 é uma substâcia radioactiva utilizada a datação de fósseis em que esteja presete. Relativamete a um certo fóssil, sabe-se que: a massa de carboo-14 ele presete, mil aos depois de um certo istate iicial, era de,91 g a massa de carboo-14 ele presete, dois mil aos depois do mesmo istate iicial, era de,58 g Tedo em cota estes dados, determie: o valor da costate b, para o carboo-14; a massa de carboo-14 que existia o fóssil, o referido istate iicial. Apresete os dois valores arredodados às cetésimas. Nota: se, em cálculos itermédios, proceder a arredodametos, coserve, o míimo, três casas decimais. Cálculo Diferecial algus exercícios saídos em exames e em TI (1.º ao) - pág. 7

8 Mais exercícios de 1.º ao: b) O rádio-6 é outra substâcia radioactiva. Em relação ao rádio-6, sabe-se que b = 0,43. Verifique que, quaisquer mt ( 1,6) que sejam os valores de a e de t, mt () é costate. Determie o valor dessa costate, arredodado às décimas, e iterprete esse valor, o cotexto da situação descrita. (Itermédio ) 0. Seja f a fução de domíio defiida por f( x ) 3x 3 se x 1 x x 1 1 x l( x) e se x 1 a) Sem recorrer à calculadora, estude a fução f quato à existêcia de assimptotas do seu gráfico, paralelas aos eixos coordeados. Idique uma equação para cada assimptota ecotrada. b) Na figura está represetada, em referecial o.. xoy, parte do gráfico da fução f. O rectâgulo [ABCD] tem dois vértices o eixo Ox, estado os outros dois o gráfico de f. O poto A tem abcissa. a) Verifique se a fução g é cotíua em x = 1, sem recorrer à calculadora. b) Recorredo às capacidades gráficas da sua calculadora, determie o valor de x pertecete ao itervalo [ 1,1[ tal que gx ( ) g (4). Idique o valor pedido arredodado às décimas e apresete o(s) gráfico(s) visualizado(s) a calculadora. (Itermédio 3) 7. Sejam f e g duas fuções, ambas de domíio +. Sabe-se que: lim ( f( x) x ) 0 ; x a fução g é defiida por g(x) = f (x) + x. Prove que o gráfico de g ão tem assimptotas oblíquas. 9. Sejam as fuções f e h, de domíios ]1, + [ e ], [, respectivamete, defiidas por f (x) = log (x 1) e por h(x) = log ( x). Determie, recorredo a métodos exclusivamete aalíticos, o cojuto solução da codição f (x) 1 + h(x). Apresete o resultado sob a forma de itervalo real. 34. Cosidere a fução h, de domíio, defiida por Determie a área do rectâgulo [ABCD]. Nota: Na resolução deste problema vai ecessitar de determiar a abcissa do poto C. Para tal, utilize as capacidades gráficas da sua calculadora. Reproduza a sua folha de prova a parte do gráfico de f que visualizou, bem como a recta BC. Assiale também o poto C e apresete a sua abcissa arredodada às cetésimas. Apresete a área pedida igualmete arredodada às cetésimas. (Itermédio ) 1. De uma fução f de domíio [1,] sabe-se que: f é cotíua em todo o seu domíio x [1,], f(x) < 0 f(1) = 3f() Seja g a fução de domíio [1,] defiida por g(x) = f(x) f(1) Prove que a fução g tem pelo meos um zero. (Itermédio ) 5. Cosidere a fução g, de domíio [ 1, [, defiida por Resolva, recorredo a métodos exclusivamete aalíticos, os dois ites seguites. a) Estude a cotiuidade de h o domíio. b) Estude a fução h quato à existêcia de assimptotas do seu gráfico paralelas aos eixos coordeados e, caso existam, escreva as suas equações. (ª fase) Cálculo Diferecial algus exercícios saídos em exames e em TI (1.º ao) - pág. 8

9 Qual é o valor de log ( 5 )? 5 5 (A) 40 (B) 500 (C) 975 (D) Seja g a fução, de domíio [0,+ [, defiida por Mais exercícios de 1.º ao: (Testes itermédios e exames 009/010) Em qual dos itervalos seguites o Teorema de Bolzao permite garatir a existêcia de pelo meos um zero da fução g? (A) ]0,1[ (B) ]1,3[ (C) ]3,5[ (D) ]5,9[ 38. Na figura 1, está represetada parte do gráfico de uma fução f, de domíio + Tal como a figura sugere, a recta de equação y = 1 é assimptota do gráfico de f. Idique o valor de l( x) lim [ f ( x)] x x (A) 1 (B) 0 (C) 1 (D) Na figura, está represetada parte do gráfico de uma fução h, de domíio. Seja (u ) a sucessão de termo geral u h(4 1000). Qual é o valor de lim (u )? (A) (B) 1 (C) (D) Seja f a fução, de domíio +, defiida por 41. Numa certa região, uma doeça está a afectar gravemete os coelhos que lá vivem. Em cosequêcia dessa doeça, o úmero de coelhos existetes essa região está a dimiuir. Admita que o úmero, em milhares, de coelhos que existem essa região, t semaas após a doeça ter sido detectada, é dado aproximadamete por ft () k 0,13t 3 e (k desiga um úmero real positivo) Resolva, usado exclusivamete métodos aalíticos, os dois ites seguites. Nota: a calculadora pode ser utilizada em cálculos uméricos; sempre que, em cálculos itermédios, proceder a arredodametos, coserve, o míimo, quatro casas decimais. a) Supoha que k = 10. Ao fim de quatos dias, após a doeça ter sido detectada, é que o úmero de coelhos existetes a referida região é igual a 9000? b) Admita agora que o valor de k é descohecido. Sabe-se que, durate a primeira semaa após a detecção da doeça, morreram dois mil coelhos e ão asceu ehum. Determie o valor de k, arredodado às décimas. 44. Seja a um úmero real diferete de zero. Qual é o valor de lim e ax 1? x 0 ax a x (A) 1 a (B) 1 a (C) 0 (D) + (Itermédio ) 45. Cosidere a fução f, de domíio, defiida por f ( x) 3 4x e x. Resolva os ites seguites, usado exclusivamete métodos aalíticos. a) Mostre que o gráfico da fução f tem uma úica assimptota e escreva uma equação dessa assimptota. b) Mostre que a fução f tem um úico míimo relativo e determie-o. c) Seja g a fução, de domíio \{0}, defiida por gx ( ) x l[ fx ( ) 3]. Determie os zeros da fução g (Itermédio ) 55. Cosidere a fução f, de domíio ]0, + [, defiida por Resolva, usado exclusivamete métodos aalíticos, os ites a) e b) a) Averigúe se a fução f é cotíua em x = b) O gráfico da fução f tem uma assimptota oblíqua. Determie a equação reduzida dessa assimptota. c) Seja g a fução, de domíio +, defiida por gx ( ) 3 l( x). A equação f ( x) g( x) tem exactamete duas soluções. Determie essas soluções, utilizado as capacidades gráficas da sua calculadora. Apresete as soluções arredodadas às cetésimas. Apresete os gráficos que obteve a calculadora e assiale os potos relevates. Resolva os ites a) e b), recorredo a métodos exclusivamete aalíticos. a) Estude a fução f quato à existêcia de assimptotas oblíquas. b) Mostre que a fução f tem um extremo relativo o itervalo ], + [ c) Determie a área do triâgulo [ABC], recorredo às capacidades gráficas da sua calculadora. Sabe-se que: A, B e C são potos do gráfico da fução f Cálculo Diferecial algus exercícios saídos em exames e em TI (1.º ao) - pág. 9

10 Mais exercícios de 1.º ao: A e B são os potos cujas abcissas são as soluções, o itervalo ]0, ], da equação f(x) = f(15) C é o poto cuja ordeada é o míimo da fução f, o itervalo ]0, ], e cuja abcissa pertece ao itervalo ]0, ] Na sua resposta, deve: reproduzir o gráfico da fução, ou os gráficos das fuções, que tiver ecessidade de visualizar a calculadora, devidamete idetificado(s), icluido o referecial; idicar as coordeadas dos potos A, B e C, com arredodameto às cetésimas; apresetar o resultado pedido, com arredodameto às décimas. (ª fase) 56. Cosidere a fução f, de domíio, defiida por 3 x 1 f ( x) x e. Resolva os dois ites seguites, recorredo a métodos exclusivamete aalíticos. a) Mostre que f(x) = 1,5 tem, pelo meos, uma solução em ], 1[. Se utilizar a calculadora em evetuais cálculos uméricos, sempre que proceder a arredodametos, use três casas decimais. b) Determie a equação reduzida da recta tagete ao gráfico de f o poto de abcissa x = 0 (ª fase) E Cosidere a fução h, de domíio +, e a recta de equação y = 4, assimptota do gráfico de h. Qual é o valor de 1 l( ) x lim? x hx ( ) (A) (B) + (C) 4 (D) Determie, sem recorrer à calculadora, o cojuto dos úmeros reais que são soluções da iequação log 3 (7x+6 ) + log 3 (x ) Apresete a sua resposta usado a otação de itervalos de úmeros reais. 59. Na década de sesseta do século passado, uma doeça ifecciosa atacou a população de algumas regiões do plaeta. Admita que, ao logo dessa década, e em qualquer uma das regiões afectadas, o úmero, em milhares, de pessoas que estavam ifectadas com a doeça, t aos após o iício de 1960, é dado, aproximadamete, por kt (Testes itermédios e exames 010/011) (A) g(x)= x + f(x) (B) g(x)= x f(x) (C) g(x)= x + f(x) (D) g(x)= x f(x) (Itermédio ) 65. Num museu, a temperatura ambiete em graus cetígrados, t horas após as zero horas do dia 1 de Abril de 010, é dada, aproximadamete, por 0,15t Tt () 15 0,1te com t [0,0]. Determie o istate em que a temperatura atigiu o valor máximo recorredo a métodos exclusivamete aalíticos. Apresete o resultado em horas e miutos, apresetado os miutos arredodados às uidades. Se utilizar a calculadora em evetuais cálculos uméricos, sempre que proceder a arredodametos, use três casas decimais. It () 3e em que k e p são parâmetros reais. kt 1 pe Resolva os dois ites seguites sem recorrer à calculadora, a ão ser para efectuar cálculos uméricos. 66. Cosidere a fução f, de domíio, defiida por a) Admita que, para uma certa região, k 1 e p = 1. Determie o ao em que o úmero de pessoas que estavam ifectadas, essa região, atigiu 500. Nota Sempre que, os cálculos itermédios, proceder a arredodametos, coserve, o míimo, três casas decimais. b) Numa outra região, costatou-se que havia um milhar de a) O gráfico de f admite uma assimptota horizotal. Seja P o pessoas que estavam ifectadas o iício de Qual é, para poto de itersecção dessa assimptota com a recta tagete ao este caso, a relação etre k e p? Apresete a sua resposta a gráfico de f o poto de abcissa e. Determie as coordeadas forma k = l(a + Bp), em que A e B são úmeros reais. do poto P recorredo a métodos exclusivamete aalíticos. b) Existem dois potos o gráfico de f cujas ordeadas são o cubo das abcissas. Determie as coordeadas desses potos recorredo à calculadora gráfica. Na sua resposta, deve: 60. Seja f uma fução, de domíio, cotíua o itervalo equacioar o problema; [ 1,4]. Tem-se f( 1)=3 e f(4)=9. Em qual das opções seguites reproduzir o gráfico da fução ou os gráficos das fuções está defiida uma fução g, de domíio, para a qual o que tiver ecessidade de visualizar a calculadora, devidamete idetificado(s), icluido o referecial; teorema de Bolzao garate a existêcia de pelo meos um assialar esses potos; zero o itervalo ] 1,4[? idicar as coordeadas desses potos com arredodameto às cetésimas. Cálculo Diferecial algus exercícios saídos em exames e em TI (1.º ao) - pág. 10

11 Mais exercícios de 1.º ao: Na Figura 6, está represetada, um referecial o.. xoy, parte do gráfico da fução g. Sabe-se que: g é uma fução cotíua em g ão tem zeros a seguda derivada, f, de uma certa fução f tem domíio e é defiida por f ''( x) g( x) ( x 5x 4) f (1) f (4) > 0 Apeas uma das opções seguites pode represetar a fução f 70. Cosidere a fução f, de domíio [0, + [, defiida por Resolva os três ites seguites recorredo a métodos exclusivamete aalíticos. a) Estude f quato à existêcia de assimptotas verticais do seu gráfico. b) Mostre, sem resolver a equação, que f (x) = -3 tem, pelo meos, uma solução em ]0, 1 [ c) Estude f quato à mootoia em ], + [ (ª fase) E6 Cosidere a fução f, de domíio ]0, + [, defiida por Elabore uma composição a qual: idique a opção que pode represetar f apresete as razões que o levam a rejeitar as restates opções Apresete três razões, uma por cada gráfico rejeitado. 69. Na estufa de um certo jardim botâico, existem dois lagos aquecidos, o lago A e o lago B. Às zero horas do dia 1 de Março de 010, cada lago recebeu uma espécie diferete de eúfares, a saber, Victoria amazoica e Victoria cruziaa. N A (t ) é o úmero aproximado de eúfares existetes o lago A, t dias após as zero horas do dia 1 de Março de 010. Esses eúfares são da espécie Victoria amazoica e desevolvemse segudo o modelo N () t 10 com t 0 A 0,t 1 7 e N B (t ) é o úmero aproximado de eúfares existetes o lago B, t dias após as zero horas do dia 1 de Março de 010. Esses eúfares são da espécie Victoria cruziaa e desevolvem-se segudo o modelo N () t 150 com t 0. Resolva B 0,4t 1 50 e os dois ites seguites recorredo a métodos exclusivamete aalíticos. a) Como foi referido, às zero horas do dia 1 de Março de 010, o lago A recebeu um certo úmero de eúfares da espécie Victoria amazoica. Decorridos 7 dias, esse úmero aumetou. Determie de quato foi esse aumeto. Apresete o resultado com arredodameto às uidades. b) Determie quatos dias foram ecessários, após as zero horas do dia 1 de Março de 010, para que o úmero de eúfares existetes o lago A fosse igual ao úmero de eúfares existetes o lago B. Apresete o resultado com arredodameto às uidades. (ª fase) Seja (u ) uma sucessão de úmeros reais, de termos positivos, tal que limf(u ) = 3. Qual das expressões seguites pode defiir o termo geral da sucessão (u )? (A) 1 (B) 1 (C) 3 1 (D) 3 1 (1ª fase especial) E7 Na Figura 1, está represetada, um referecial o.. xoy, parte do gráfico de uma fução h, primeira derivada de h. Em qual das opções seguites pode estar represetada parte do gráfico da fução h? (1ª fase especial) Cálculo Diferecial algus exercícios saídos em exames e em TI (1.º ao) - pág. 11

12 Mais exercícios de 1.º ao: E8 Sejam f e g duas fuções deriváveis em. Sabe-se que: f (1) f '(1) 1 gx ( ) (x 1) fx ( ), para todo o valor real de x Qual é a equação reduzida da recta tagete ao gráfico de g o poto de abcissa 1? (A) y = 3x (B) y = 3x + 4 (C) y = x 1 (D) y = 3x + (1ª fase especial) E31 Na Figura 5, está represetada, um referecial o.. xoy, parte do gráfico da fução f, de domíio ], 6[, defiida por f ( x) 15l(3 1 x). Cosidere que um poto C se desloca ao logo do gráfico de f, e que C tem coordeadas positivas. Para cada posição do poto C, cosidere o rectâgulo [OACB], em que o poto A pertece ao eixo das abcissas e o poto B pertece ao eixo das ordeadas. Determie, recorredo à calculadora gráfica, a abcissa do poto A para a qual a área do rectâgulo [OACB] é máxima. Na sua resposta, deve: escrever a expressão que dá a área do rectâgulo [OACB] em fução da abcissa do poto A; reproduzir o gráfico da fução ou os gráficos das fuções que tiver ecessidade de visualizar a calculadora, devidamete idetificado(s), icluido o referecial; idicar a abcissa do poto A com arredodameto às cetésimas. (1ª fase especial) E34 Para um certo valor real de k, admita que a quatidade de combustível, em litros, existete o depósito de uma certa máquia agrícola, t miutos após ter começado a fucioar, é dada aproximadamete por 3 Qt () 1 log (81 kt ) com t [0,0]. Cosidere que essa máquia agrícola fucioou durate 0 miutos e que, esse período de tempo, cosumiu litros de combustível. Determie o valor de k recorredo a métodos exclusivamete aalíticos. E35 Cosidere a fução f, de domíio, defiida por (a é um úmero real.) Resolva os dois ites seguites recorredo a métodos exclusivamete aalíticos. a) Determie a sabedo que f é cotíua em x = 1 b) Seja f a primeira derivada de f. Mostre, sem resolver a equação, que f '( x) 1 tem, pelo meos, uma solução em 4 ]0, 1[. Se utilizar a calculadora em evetuais cálculos uméricos, sempre que proceder a arredodametos, use duas casas decimais. (Testes itermédios e exames 011/01) 71. Cosidere a sucessão (u ), defiida por 1 u (1 ) Seja f uma fução cotíua, de domíio +. Sabe-se que lim f (u ) =0. Qual das seguites expressões pode defiir a fução f? (A) 1 l x (B) 1 + l x (C) x l x (D) x + l x 7. Para um certo valor de e para um certo valor de, é cotíua o poto 0 a fução g, defiida por Qual é esse valor de e qual é esse valor de? (A) = 1 e = (B) = e = 3 (C) = 1 e = 3 (D) = e = Na Figura 1, está represetado, em referecial o.. xoy, a sombreado, o quadrado [OABC]. Os potos A e C pertecem aos semieixos positivos Oy e Ox, respetivamete. Cosidere que um poto P se desloca sobre o semieixo positivo Ox, iiciado o seu movimeto a origem do referecial e percorredo todos os potos desse semieixo. Para cada posição do poto P, cosidere o segmeto de reta que é a itersecção da reta AP com o quadrado [OABC]. Cálculo Diferecial algus exercícios saídos em exames e em TI (1.º ao) - pág. 1

13 Mais exercícios de 1.º ao: Seja f a fução que, à abcissa x do poto P, faz correspoder o comprimeto do referido segmeto. Qual dos gráficos seguites pode ser o gráfico da fução f? 74. Seja f a fução, de domíio +, defiida por f(x)= +log 3 x. Resolva os três ites seguites sem recorrer à calculadora. a) Determie o cojuto dos úmeros reais para os quais se tem f(x) 4 +log 3 (x 8). Apresete a sua resposta a forma de itervalo de úmeros reais. b) Determie o valor de f( ) f ( ) c) Seja g a fução, de domíio +, defiida por g(x) =x+ f(x) Mostre que c ]1,3[ : g(c) = Um vírus atacou os fragos de um aviário. Admita que x dias após o istate em que o vírus foi detetado, o úmero de fragos ifetados é dado aproximadamete por f( x) ,1x 1 3 (cosidere que x = 0 correspode ao istate em que o vírus foi detetado). Resolva os dois ites seguites sem recorrer à calculadora, a ão ser para efetuar cálculos uméricos. a) No istate em que o vírus foi detetado, já existiam fragos ifetados. Passados algus dias, o úmero de fragos ifetados era dez vezes maior. Quatos dias tiham passado? b) Para tetar verificar se um frago está ifetado, o veteriário aplica um teste que ou dá positivo ou dá egativo. Sabe-se que: quado o frago está ifetado, a probabilidade de o teste dar positivo é 96% quado o frago ão está ifetado, a probabilidade de o teste dar egativo é 90% Trita dias após o istate em que o vírus foi detetado, existiam o aviário 450 fragos ão ifetados. Nesse dia, de etre todos os fragos do aviário (ifetados e ão ifetados), o veteriário escolheu, ao acaso, um frago e aplicou-lhe o teste. O teste deu egativo. Qual é a probabilidade de o frago escolhido ão estar ifetado? Apresete o resultado a forma de dízima, arredodado às milésimas. defie uma fução, de domíio, cujo gráfico tem: uma assítota horizotal, quado x + uma assítota horizotal, quado x Existe um valor de k para o qual as duas assítotas são coicidetes, ficado assim o gráfico de f com uma úica assítota horizotal. Determie esse valor de k, sem recorrer à calculadora. 79. Relativamete a duas fuções, f e g, sabe-se que: têm domíio [, 3] são fuções cotíuas f () g() > 0 e f(3) g(3) < 0 Qual das afirmações seguites é ecessariamete verdadeira? (A) Os gráficos de f e g itersectam-se em pelo meos um poto. (B) A fução f g é crescete. (C) Os gráficos de f e g ão se itersectam. (D) A fução f g é decrescete. (Itermédio ) 80. De uma certa fução f sabe-se que: o seu domíio é ]1, + [ a sua derivada é dada por 9 f '( x) x 4x 4 l( x 1) a) Na Figura 3, estão represetadas: parte do gráfico da fução f a reta r que é tagete ao gráfico da fução f o poto A, de abcissa a reta s que é tagete ao gráfico da fução f o poto B As retas r e s são paralelas. Seja b a abcissa do poto B Determie, recorredo à calculadora gráfica, o valor de b Na sua resposta, deve: equacioar o problema; reproduzir e idetificar o(s) gráfico(s) que tiver ecessidade de visualizar a calculadora para resolver graficamete a equação; assialar o poto relevate para a resolução do problema; apresetar o valor de b arredodado às cetésimas. b) Tal como a figura sugere, o gráfico da fução f tem um poto de iflexão. Determie a abcissa desse poto, recorredo a métodos exclusivamete aalíticos. (Itermédio ) 81. Seja f a fução de domíio defiida por 76. Para cada valor de k, a expressão Averigue se a fução f é cotíua em x = (Itermédio ) Cálculo Diferecial algus exercícios saídos em exames e em TI (1.º ao) - pág. 13

14 Mais exercícios de 1.º ao: Na Figura 1, está represetada, um referecial o.. xoy, parte do gráfico de uma fução g, de domíio [a,+ [, com a 1 3 Para esse valor de a, a fução f, cotíua em, é defiida por Determie d, recorredo à calculadora gráfica. Na sua resposta, deve: reproduzir o gráfico da fução ou os gráficos das fuções que tiver ecessidade de visualizar a calculadora, devidamete idetificado(s), icluido o referecial; assialar os potos A e B idicar as coordeadas dos potos A e B com arredodameto às cetésimas; apresetar o valor de d com arredodameto às cetésimas. (ª fase) Qual é o valor de a? (A) 8 (B) 3 5 (C) 19 (D) Cosidere a fução f, de domíio, e a fução g, de x 4 4 domíio ]0,+ [, defiidas por f( x) e e e e gx ( ) lx 4 a) Mostre que l( ) é o úico zero da fução f, recorredo a métodos exclusivamete aalíticos. b) Cosidere, um referecial o.. xoy, os gráficos das fuções f e g e o triâgulo [OAB]. Sabe-se que: O é a origem do referecial; A e B são potos do gráfico de f a abcissa do poto A é o zero da fução f o poto B é o poto de itersecção do gráfico da fução f com o gráfico da fução g Determie a área do triâgulo [OAB], recorredo à calculadora gráfica. Na sua resposta, deve: reproduzir os gráficos das fuções f e g, devidamete idetificados, icluido o referecial; assialar os potos A e B idicar a abcissa do poto A e as coordeadas do poto B com arredodameto às cetésimas; apresetar o valor da área pedida com arredodameto às décimas. 86. Cosidere a fução f, de domíio, defiida por x E39 Admita que a cocetração de um produto químico a água, em gramas por litro, t miutos após a sua colocação a 0,1t água, é dada, aproximadamete, por Ct () 0,5t e com t 0. Resolva os ites seguites, recorredo a métodos exclusivamete aalíticos. a) Mostre que, durate os primeiros 15 miutos após a colocação desse produto químico a água, houve, pelo meos, um istate em que a cocetração do produto foi 13 gramas por litro. Se utilizar a calculadora em evetuais cálculos uméricos, sempre que proceder a arredodametos, use três casas decimais. b) Determie o valor de t para o qual a cocetração desse produto químico a água é máxima. E40 Cosidere, um referecial o.. xoy, o gráfico de uma fução h, de domíio. Sabe-se que: a, b e c são úmeros reais positivos e a < b < c h tem um míimo relativo em ]a, c[ h é crescete em ],0[ lim ( hx ( ) 1) 0 x a seguda derivada, h '', da fução h é tal que h ''( x) 0 para x > b Apeas uma das opções seguites pode represetar uma parte do gráfico da fução h Resolva os ites seguites, recorredo a métodos exclusivamete aalíticos. a) Estude a fução f quato à existêcia de assítotas ão verticais do seu gráfico. b) Determie a equação reduzida da reta tagete ao gráfico da fução f o poto de abcissa x = Cosidere a fução f, de domíio [ 7, 0[, defiida por x f( x) e l( x ) 3. Sejam A e B os potos de itersecção do gráfico de f com a bissetriz dos quadrates pares, e seja d a distâcia etre os potos A e B. Elabore uma composição a qual: idique a opção que pode represetar h apresete três razões para rejeitar as restates opções, uma por cada opção rejeitada. Cálculo Diferecial algus exercícios saídos em exames e em TI (1.º ao) - pág. 14

15 Mais exercícios de 1.º ao: (Testes itermédios e exames 01/013) 9. Seja (u ) a sucessão defiida por u 1. De uma certa fução f, sabe-se que lim f( u ). Em qual das seguites opções pode estar represetada parte do gráfico da fução f? 93. Cosidere a fução f, de domíio, defiida por Seja g uma outra fução, de domíio. Sabe-se que a fução f g é cotíua o poto 1. Em qual das seguites opções pode estar represetada parte do gráfico da fução g? b) O gráfico da restrição da fução f ao itervalo ],4] tem uma assítota horizotal. Determie uma equação dessa assítota. c) Cosidere, um referecial o.. xoy, o triâgulo [OPQ] tal que: o poto P é o poto de itersecção do gráfico da fução f com o eixo das ordeadas; o poto Q é o poto do gráfico da fução f que tem abcissa positiva e ordeada igual à ordeada do poto P Determie um valor aproximado da área do triâgulo [OPQ], recorredo à calculadora gráfica. Na sua resposta, deve: reproduzir, um referecial, o gráfico da fução f para x [0,10] desehar o triâgulo [OPQ] idicar a abcissa do poto Q arredodada às milésimas; apresetar a área do triâgulo [OPQ] arredodada às cetésimas. Nota Sempre que, os cálculos itermédios, proceder a arredodametos, coserve, o míimo, três casas decimais. 97. Seja f a fução, de domíio +, defiida por f (x) = x a + a l x (a é um úmero real maior do que 1), e seja r a reta tagete ao gráfico da fução f o poto de abcissa a. Qual é o declive da reta r? (A) a a 1 + a (B) a a + a (C) a a 1 + a (D) a a + a (Itermédio ) 99. Seja a um úmero real tal que a > e (e úmero de Neper ou úmero de Euler). Seja g a fução, de domíio +, defiida por g(x) = a x + l x. Mostre que a fução g tem, pelo meos, um zero o itervalo ] 1, 1[ a e (Itermédio ) 300. Seja f uma fução de domíio +. Sabe-se que l x f( x) lim 1. Qual das equações seguites pode x 3x defiir uma assítota do gráfico da fução f? (A) y 1 x (B) y x (C) y = x (D) y = 3x Seja f a fução, de domíio R, defiida por Resolva os ites a) e b), recorredo a métodos aalíticos, sem utilizar a calculadora. a) Averigue se existe lim f ( x ) x Cosidere, para um certo úmero real a superior a 1, as x fuções f e g, de domíio, defiidas por f ( x) a e x gx ( ) a. Cosidere as afirmações seguites. I) Os gráficos das fuções f e g ão se itersectam. II) As fuções f e g são moótoas crescetes. III) f '( 1) g '(1) l a a Qual das opções seguites é a correta? (A) II e III são verdadeiras. (B) I é falsa e III é verdadeira. (C) I é verdadeira e III é falsa. (D) II e III são falsas. Cálculo Diferecial algus exercícios saídos em exames e em TI (1.º ao) - pág. 15

16 Mais exercícios de 1.º ao: Cosidere a fução f, de domíio \{0}, defiida por Resolva os ites a) e b), recorredo a métodos aalíticos, sem utilizar a calculadora. a) Estude a fução f quato à existêcia de assítotas verticais do seu gráfico. b) Seja g a fução, de domíio +, defiida por g(x) = f(x) x + l x. Estude a fução g quato à mootoia e quato à existêcia de extremos relativos em ]0, e] Resolva o item c), recorredo à calculadora gráfica. c) Cosidere, um referecial o.. xoy, a represetação gráfica da fução g, de domíio +, defiida por g(x) = f(x) x + l x. Sabe-se que: A é o poto de coordeadas (, 0) B é o poto de coordeadas (5, 0) P é um poto que se desloca ao logo do gráfico da fução g Para cada posição do poto P, cosidere o triâgulo [ABP]. Determie as abcissas dos potos P para os quais a área do triâgulo [ABP] é 1. Na sua resposta, deve: equacioar o problema; reproduzir o gráfico da fução ou os gráficos das fuções que tiver ecessidade de visualizar a calculadora, devidamete idetificado(s), icluido o referecial; idicar as abcissas dos potos P com arredodameto às cetésimas Na Figura, está represetada, um referecial ortogoal xoy, parte do gráfico de uma fução poliomial f de grau 3. Sabese que: -1 e são os úicos zeros da fução f g, a primeira derivada de uma certa fução g, tem domíio e é defiida por x g '( x) f( x) e lim [ gx ( ) ] 0 x Apeas uma das opções seguites pode represetar a fução g Nota Em cada uma das opções estão represetadas parte do gráfico de uma fução e, a tracejado, uma assítota desse gráfico. Elabore uma composição a qual: idetifique a opção que pode represetar a fução g apresete as razões para rejeitar as restates opções. Apresete três razões diferetes, uma por cada gráfico rejeitado Cosidere, para um certo úmero real a positivo, uma fução f, cotíua, de domíio [ a, a]. Sabe-se que f( a) = f (a) e f(a) > f (0). Mostre que a codição f (x) = f (x + a) tem, pelo meos, uma solução em ] a, 0[ Sejam a e b dois úmeros reais tais que 1 < a < b e log a b = 3. Qual é, para esses valores de a e de b, o valor de log b 5 3 a log ( b) a a a? (A) 6 + b (B) 8 + b (C) 6 + a b (D) 8 + a b (.ª fase) 309. Seja g uma fução, de domíio +, cuja derivada, g, de domíio +, é dada por g (x) = l(e x + 6e x + 4x). Estude a fução g quato ao setido das cocavidades do seu gráfico e quato à existêcia de potos de iflexão, recorredo a métodos aalíticos, sem utilizar a calculadora. (.ª fase) 310. Cosidere, um referecial o.. xoy, a represetação gráfica da fução f, de domíio [ 1, ], defiida por 1 l( x 1) f ( x) x 3, o poto A de coordeadas (, 0) e um poto P que se desloca ao logo do gráfico da fução f. Existe uma posição do poto P para a qual a área do triâgulo [AOP] é míima. Determie a área desse triâgulo, recorredo à calculadora gráfica. Na sua resposta, deve: Cálculo Diferecial algus exercícios saídos em exames e em TI (1.º ao) - pág. 16

17 Mais exercícios de 1.º ao: reproduzir o gráfico da fução ou os gráficos das fuções que tiver ecessidade de visualizar a calculadora, devidamete idetificado(s), icluido o referecial; idicar o valor da área do triâgulo [AOP] com arredodameto às cetésimas. (.ª fase) Resolva os ites seguites, recorredo a métodos aalíticos, sem utilizar a calculadora. a) Determie k de modo que lim f ( x) f (0) e b) Mostre que l( ) 3 itervalo ]0, + [ x 0 é um extremo relativo da fução f o E44 Seja a um úmero real positivo. Cosidere o cojuto S = {x : l(e x a) 0}. Qual dos cojutos seguites é o cojuto S? E46 Cosidere duas fuções g e h, de domíio +. Sabe-se (A) ] l(1 + a), l a[ (B) [ l(1 + a), l a[ que: (C) ] l(1 + a)] (D) [ l(1 + a), + [ a reta de equação y = x - 1 é assítota do gráfico da fução g E45 Cosidere, para um certo úmero real k positivo, a fução 1 [ gx ( )] a fução h é defiida por hx ( ). f, de domíio, defiida por x Mostre que o gráfico da fução h tem uma assítota horizotal. 31. Na Figura 1, está represetada parte do gráfico de uma fução h, de domíio \{1,e}. Tal como a figura sugere, as retas de equações y = 0, x = 1 e x = e são as assítotas do gráfico da fução h. Seja (x ) uma sucessão tal que lim h(x ) = +. Qual das expressões seguites ão pode ser termo geral da sucessão (x )? (A) (1 1 ) 3 (B) (1 1 ) (C) 1 1 (D) e 1 (Testes itermédios e exames 013/014) (Itermédio ) 313. Seja f uma fução, de domíio +, com derivada fiita em todos os potos do seu domíio. A sua derivada, f, é defiida por f '( x) 1 x l x. Quatos potos de iflexão tem o gráfico da fução f? (A) Zero. (B) Um. (C) Dois. (D) Três Seja f a fução, de domíio R, defiida por (Itermédio ) Resolva os ites a) e b) recorredo a métodos aalíticos, sem utilizar a calculadora. a) Seja t a reta tagete ao gráfico da fução f o poto de abcissa 1. Determie a equação reduzida da reta t b) Estude a fução f quato à existêcia de assítotas do seu gráfico. Na sua resposta, deve: mostrar que existe uma úica assítota vertical e escrever uma equação dessa assítota; mostrar que existe uma assítota horizotal quado x + e escrever uma equação dessa assítota; mostrar que ão existe assítota ão vertical quado x c) Na Figura, estão represetados, um referecial o.. xoy, parte do gráfico da fução f, os potos A e B, ambos pertecetes ao gráfico de f, e a reta AB. Sabe-se que: a reta AB é paralela à bissetriz dos quadrates pares; os potos A e B têm abcissas simétricas; a abcissa do poto A pertece ao itervalo ]0,1[ Cálculo Diferecial algus exercícios saídos em exames e em TI (1.º ao) - pág. 17