Mais exercícios de 12.º ano:

Transcrição

1 Mais eercícios de.º ao: Escola Secudária de Fracisco Fraco Matemática A (metas curriculares).º ao Eercícios saídos em testes itermédios e em eames acioais (desde 0) Tema V: FUNÇÕES EXPONENCIAIS E FUNÇÕES LOGARÍTMICAS. Na Figura, está parte da represetação gráfica da fução f, de domíio +, defiida por f() = log9 (). P é o poto do gráfico de f que tem ordeada. Qual é a abcissa do poto P? (A) (B) (C) (D) 9.º teste itermédio 0. Determie, sem recorrer à calculadora, o cojuto dos úmeros reais que são soluções da iequação log (7+6 ) + log ( ). Apresete a sua resposta usado a otação de itervalos de úmeros reais..º teste itermédio 0. Na década de sesseta do século passado, uma doeça ifecciosa atacou a população de algumas regiões do plaeta. Admita que, ao logo dessa década, e em qualquer uma das regiões afectadas, o úmero, em milhares, de pessoas que estavam ifectadas com a doeça, t aos após o iício de 960, e pe é dado, aproimadamete, por It () kt kt em que k e p são parâmetros reais. Resolva os dois ites seguites sem recorrer à calculadora, a ão ser para efectuar cálculos uméricos. a) Admita que, para uma certa região, k e p =. Determie o ao em que o úmero de pessoas que estavam ifectadas, essa região, atigiu 500. Nota Sempre que, os cálculos itermédios, proceder a arredodametos, coserve, o míimo, três casas decimais. b) Numa outra região, costatou-se que havia um milhar de pessoas que estavam ifectadas o iício de 96. Qual é, para este caso, a relação etre k e p? Apresete a sua resposta a forma k = l(a + Bp), em que A e B são úmeros reais..º teste itermédio 0 4. Seja f a fução, de domíio +, defiida por Resolva os três ites seguites sem recorrer à calculadora. a) Averigúe se a fução f é cotíua em = b) O gráfico da fução f tem uma assimptota oblíqua. Determie a equação reduzida dessa assimptota. c) Resolva, o itervalo [,+[, a equação f( ) e.º teste itermédio 0 5. Seja f a fução, de domíio ]0,[, defiida por f ( ) l se( ). O poto A pertece ao gráfico da fução f. Sabe-se que a recta tagete ao gráfico da fução f o poto A tem declive. Determie a abcissa do poto A. Na resolução deste item deve: traduzir o problema por uma equação; resolver graficamete essa equação, recorredo à calculadora; idicar o valor pedido arredodado às cetésimas. Deve reproduzir e idetificar o gráfico, ou os gráficos, que tiver ecessidade de visualizar a calculadora, icluido o referecial, e deve assialar, o(s) gráfico(s), o(s) poto(s) relevate(s)..º teste itermédio 0 6. Seja f uma fução de domíio [0,+[, defiida por Em qual dos itervalos seguites o teorema de Bolzao permite garatir a eistêcia de, pelo meos, um zero da fução f? (A) ]0, [ (B) ], 4[ (C) ]4, 6[ (D) ]6, 7[ Eame Nacioal 0 (.ª fase) 7. Num museu, a temperatura ambiete em graus cetígrados, t horas após as zero horas do dia de Abril de 00, é dada, aproimadamete, por 0,5t Tt () 5 0,te com t [0,0]. Determie o istate em que a temperatura atigiu o valor máimo recorredo a métodos eclusivamete aalíticos. Apresete o resultado em horas e miutos, Fuções epoeciais e fuções logarítmicas (Matemática A) - eercícios saídos em TI e em eames (.º ao) - pág. /9

2 apresetado os miutos arredodados às uidades. Se utilizar a calculadora em evetuais cálculos uméricos, sempre que proceder a arredodametos, use três casas decimais. Eame Nacioal 0 (.ª fase) 8. Cosidere a fução f, de domíio, defiida por a) O gráfico de f admite uma assimptota horizotal. Seja P o poto de itersecção dessa assimptota com a recta tagete ao gráfico de f o poto de abcissa e. Determie as coordeadas do poto P recorredo a métodos eclusivamete aalíticos. b) Eistem dois potos o gráfico de f cujas ordeadas são o cubo das abcissas. Determie as coordeadas desses potos recorredo à calculadora gráfica. Na sua resposta, deve: equacioar o problema; reproduzir o gráfico da fução ou os gráficos das fuções que tiver ecessidade de visualizar a calculadora, devidamete idetificado(s), icluido o referecial; assialar esses potos; idicar as coordeadas desses potos com arredodameto às cetésimas. Eame Nacioal 0 (.ª fase) 9. Para um certo úmero real positivo, k, a fução g defiida em por Mais eercícios de.º ao: é cotíua. de Março de 00. Esses eúfares são da espécie Victoria cruziaa e desevolvem-se segudo o modelo N () t 50 com t 0. Resolva os dois B 50e 0,4t ites seguites recorredo a métodos eclusivamete aalíticos. a) Como foi referido, às zero horas do dia de Março de 00, o lago A recebeu um certo úmero de eúfares da espécie Victoria amazoica. Decorridos 7 dias, esse úmero aumetou. Determie de quato foi esse aumeto. Apresete o resultado com arredodameto às uidades. b) Determie quatos dias foram ecessários, após as zero horas do dia de Março de 00, para que o úmero de eúfares eistetes o lago A fosse igual ao úmero de eúfares eistetes o lago B. Apresete o resultado com arredodameto às uidades. Eame Nacioal 0 (.ª fase). Cosidere a fução f, de domíio [0, +[, defiida por Resolva os três ites seguites recorredo a métodos eclusivamete aalíticos. a) Estude f quato à eistêcia de assimptotas verticais do seu gráfico. b) Mostre, sem resolver a equação, que f () = - tem, pelo meos, uma solução em ]0, [ c) Estude f quato à mootoia em ], +[ Eame Nacioal 0 (.ª fase) Qual é o valor de k? (A) e (B) e (C) e (D) e Eame Nacioal 0 (.ª fase) 0. Na estufa de um certo jardim botâico, eistem dois lagos aquecidos, o lago A e o lago B. Às zero horas do dia de Março de 00, cada lago recebeu uma espécie diferete de eúfares, a saber, Victoria amazoica e Victoria cruziaa. NA(t) é o úmero aproimado de eúfares eistetes o lago A, t dias após as zero horas do dia de Março de 00. Esses eúfares são da espécie Victoria amazoica e desevolvem-se segudo o modelo N () t 0 A 7e 0,t com t 0. NB (t) é o úmero aproimado de eúfares eistetes o lago B, t dias após as zero horas do dia. Cosidere a fução f, de domíio ]0, [, defiida por f () = e + cos. Sabe-se que: B é um poto do gráfico de f a recta de equação y = 8 é paralela à recta tagete ao gráfico de f o poto B Determie, recorredo à calculadora gráfica, a abcissa do poto B Na sua resposta, deve: equacioar o problema; reproduzir o gráfico da fução ou os gráficos das fuções que tiver ecessidade de visualizar a calculadora, devidamete idetificado(s), icluido o referecial; idicar a abcissa do poto B com arredodameto às cetésimas. Eame Nacioal 0 (.ª fase) Fuções epoeciais e fuções logarítmicas (Matemática A) - eercícios saídos em TI e em eames (.º ao) - pág. /9

3 Mais eercícios de.º ao: Cosidere a fução f, de domíio ]0, +[, defiida por Seja (u) uma sucessão de úmeros reais, de termos positivos, tal que limf(u) =. Qual das epressões seguites pode defiir o termo geral da sucessão (u)? (A) (B) (C) (D) Eame Nacioal 0 (época especial-.ª fase) 4. O mometo sísmico, M0, é uma medida da quatidade total de eergia que se trasforma durate um sismo. Só uma pequea fracção do mometo sísmico é covertida em eergia sísmica irradiada, E, que é a que os sismógrafos registam. A eergia sísmica irradiada é estimada, em Joules, por 5 E M, 6 0. A magitude, M, de um sismo é 0 estimada por M log ( ), 9 E. Resolva os dois 0 ites seguites recorredo a métodos eclusivamete aalíticos. a) Admita que um sismo que ocorreu o Haiti, em 00, teve magitude 7,. Determie o mometo sísmico, M0, para esse sismo. Escreva o resultado a forma a 0, com iteiro relativo e com a etre e 0 b) Sejam M e M as magitudes de dois sismos. Mostre que, se a difereça etre a magitude M e a magitude M é igual a, etão a eergia sísmica irradiada por um dos sismos é dez vezes superior à eergia sísmica irradiada pelo outro sismo. Eame Nacioal 0 (época especial-.ª fase) 5. Cosidere a fução f, de domíio, defiida por (k desiga um úmero real) Resolva os dois ites seguites recorredo a métodos eclusivamete aalíticos. a) Determie k, sabedo que f é cotíua em = b) Cosidere, agora, k =. Estude a fução f quato à eistêcia de assimptotas horizotais do gráfico de f Eame Nacioal 0 (época especial-.ª fase) 6. Na Figura 5, está represetada, um referecial o.. Oy, parte do gráfico da fução f, de domíio ], 6[, defiida por f( ) 5l( ). Cosidere que um poto C se desloca ao logo do gráfico de f, e que C tem coordeadas positivas. Para cada posição do poto C, cosidere o rectâgulo [OACB], em que o poto A pertece ao eio das abcissas e o poto B pertece ao eio das ordeadas. Determie, recorredo à calculadora gráfica, a abcissa do poto A para a qual a área do rectâgulo [OACB] é máima. Na sua resposta, deve: escrever a epressão que dá a área do rectâgulo [OACB] em fução da abcissa do poto A; reproduzir o gráfico da fução ou os gráficos das fuções que tiver ecessidade de visualizar a calculadora, devidamete idetificado(s), icluido o referecial; idicar a abcissa do poto A com arredodameto às cetésimas. Eame Nacioal 0 (época especial-.ª fase) 7. Para um certo valor real de k, admita que a quatidade de combustível, em litros, eistete o depósito de uma certa máquia agrícola, t miutos após ter começado a fucioar, é dada aproimadamete por Qt () log (8 kt ) com t[0,0]. Cosidere que essa máquia agrícola fucioou durate 0 miutos e que, esse período de tempo, cosumiu litros de combustível. Determie o valor de k recorredo a métodos eclusivamete aalíticos. Eame Nacioal 0 (época especial) 8. Cosidere a fução f, de domíio, defiida por (a é um úmero real.) Resolva os dois ites seguites recorredo a métodos eclusivamete aalíticos. a) Determie a sabedo que f é cotíua em = Fuções epoeciais e fuções logarítmicas (Matemática A) - eercícios saídos em TI e em eames (.º ao) - pág. /9

4 b) Seja f a primeira derivada de f. Mostre, sem resolver a equação, que f '( ) tem, pelo meos, 4 uma solução em ]0, [. Se utilizar a calculadora em evetuais cálculos uméricos, sempre que proceder a arredodametos, use duas casas decimais. Eame Nacioal 0 (época especial) 9. Cosidere a sucessão (u), defiida por ( ) u. Seja f uma fução cotíua, de domíio +. Sabe-se que lim f (u ) =0. Qual das seguites epressões pode defiir a fução f? (A) l (B) + l (C) l (D) + l.º teste itermédio 0 0. Para um certo valor de e para um certo valor de, é cotíua o poto 0 a fução g, defiida por Mais eercícios de.º ao: b) Para tetar verificar se um frago está ifetado, o veteriário aplica um teste que ou dá positivo ou dá egativo. Sabe-se que: quado o frago está ifetado, a probabilidade de o teste dar positivo é 96% quado o frago ão está ifetado, a probabilidade de o teste dar egativo é 90% Trita dias após o istate em que o vírus foi detetado, eistiam o aviário 450 fragos ão ifetados. Nesse dia, de etre todos os fragos do aviário (ifetados e ão ifetados), o veteriário escolheu, ao acaso, um frago e aplicou-lhe o teste. O teste deu egativo. Qual é a probabilidade de o frago escolhido ão estar ifetado? Apresete o resultado a forma de dízima, arredodado às milésimas..º teste itermédio 0. Para cada valor de k, a epressão Qual é esse valor de e qual é esse valor de? (A) = e = (B) = e = (C) = e = (D) = e =.º teste itermédio 0. Seja f a fução, de domíio +, defiida por f()= +log. Resolva os três ites seguites sem recorrer à calculadora. a) Determie o cojuto dos úmeros reais para os quais se tem f()4 +log (8). Apresete a sua resposta a forma de itervalo de úmeros reais. b) Determie o valor de f(6 000 ) f (4 000 ) c) Seja g a fução, de domíio +, defiida por g() = +f(). Mostre que c ],[ : g(c) = 5.º teste itermédio 0. Um vírus atacou os fragos de um aviário. Admita que dias após o istate em que o vírus foi detetado, o úmero de fragos ifetados é dado aproimadamete por f( ) 00 (cosidere 0, que = 0 correspode ao istate em que o vírus foi detetado). Resolva os dois ites seguites sem recorrer à calculadora, a ão ser para efetuar cálculos uméricos. a) No istate em que o vírus foi detetado, já eistiam fragos ifetados. Passados algus dias, o úmero de fragos ifetados era dez vezes maior. Quatos dias tiham passado? defie uma fução, de domíio, cujo gráfico tem: uma assítota horizotal, quado + uma assítota horizotal, quado Eiste um valor de k para o qual as duas assítotas são coicidetes, ficado assim o gráfico de f com uma úica assítota horizotal. Determie esse valor de k, sem recorrer à calculadora..º teste itermédio 0 4. Seja a um úmero real maior do que e seja b = a. Qual é o valor, arredodado às uidades, de loga (a b 00 )? (A) 8 (B) 6 (C) 8 (D) 770.º teste itermédio 0 5. De uma certa fução f sabe-se que: o seu domíio é ], +[ a sua derivada é dada por 9 f '( ) 4 4 l( ) a) Na Figura, estão represetadas: parte do gráfico da fução f a reta r que é tagete ao gráfico da fução f o poto A, de abcissa a reta s que é tagete ao gráfico da fução f o poto B As retas r e s são paralelas. Seja b a abcissa do poto B. Determie, recorredo à calculadora gráfica, o valor de b. Na sua resposta, deve: Fuções epoeciais e fuções logarítmicas (Matemática A) - eercícios saídos em TI e em eames (.º ao) - pág. 4/9

5 Mais eercícios de.º ao: equacioar o problema; reproduzir e idetificar o(s) gráfico(s) que tiver ecessidade de visualizar a calculadora para resolver graficamete a equação; assialar o poto relevate para a resolução do problema; apresetar o valor de b arredodado às cetésimas. b) Tal como a figura sugere, o gráfico da fução f tem um poto de ifleão. Determie a abcissa desse poto, recorredo a métodos eclusivamete aalíticos..º teste itermédio 0 6. Seja f a fução de domíio defiida por Averigue se a fução f é cotíua em =.º teste itermédio 0 7. Seja f uma fução de domíio, defiida por f() = e. Em qual dos itervalos seguites o teorema de Bolzao permite afirmar que a equação f( ) tem, pelo meos, uma solução? (A) ]0, [ (B) ], [ (C) ], [ (D) ],[ Eame Nacioal 0 (.ª fase) 8. Na Figura, está represetada, um referecial o.. Oy, parte do gráfico de uma fução g, de domíio [a,+[, com a. Para esse valor de a, a fução f, cotíua em, é defiida por Qual é o valor de a? (A) 8 (B) 5 (C) 9 (D) 8 Eame Nacioal 0 (.ª fase) 9. Cosidere a fução f, de domíio, e a fução g, de domíio ]0,+[, defiidas por f( ) e 4e 4 e g ( ) l4 e a) Mostre que l( ) é o úico zero da fução f, recorredo a métodos eclusivamete aalíticos. b) Cosidere, um referecial o.. Oy, os gráficos das fuções f e g e o triâgulo [OAB]. Sabe-se que: O é a origem do referecial; A e B são potos do gráfico de f a abcissa do poto A é o zero da fução f o poto B é o poto de itersecção do gráfico da fução f com o gráfico da fução g Determie a área do triâgulo [OAB], recorredo à calculadora gráfica. Na sua resposta, deve: reproduzir os gráficos das fuções f e g, devidamete idetificados, icluido o referecial; assialar os potos A e B idicar a abcissa do poto A e as coordeadas do poto B com arredodameto às cetésimas; apresetar o valor da área pedida com arredodameto às décimas. Eame Nacioal 0 (.ª fase) 0. Cosidere a fução f, de domíio, defiida por Resolva os ites seguites, recorredo a métodos eclusivamete aalíticos. a) Estude a fução f quato à eistêcia de assítotas ão verticais do seu gráfico. b) Determie a equação reduzida da reta tagete ao gráfico da fução f o poto de abcissa = Eame Nacioal 0 (.ª fase). Na Figura, está represetada, um referecial o.. Oy, parte do gráfico da fução f, de domíio ] 6, +[, defiida por f( ) l( ). Sabe-se que: a reta r é tagete ao gráfico da fução f o poto de abcissa a a icliação da reta r é, em radiaos, 4 Qual é o valor de a? 9 (A) 4 (B) (C) (D) 5 Eame Nacioal 0 (.ª fase). Cosidere a fução f, de domíio [7, 0[, defiida por f( ) e l( ). Sejam A e B os potos de itersecção do gráfico de f com a bissetriz dos Fuções epoeciais e fuções logarítmicas (Matemática A) - eercícios saídos em TI e em eames (.º ao) - pág. 5/9

6 quadrates pares, e seja d a distâcia etre os potos A e B. Determie d, recorredo à calculadora gráfica. Na sua resposta, deve: reproduzir o gráfico da fução ou os gráficos das fuções que tiver ecessidade de visualizar a calculadora, devidamete idetificado(s), icluido o referecial; assialar os potos A e B idicar as coordeadas dos potos A e B com arredodameto às cetésimas; apresetar o valor de d com arredodameto às cetésimas. Eame Nacioal 0 (.ª fase). Cosidere a fução f, de domíio R, defiida por Mais eercícios de.º ao: 6. Admita que a cocetração de um produto químico a água, em gramas por litro, t miutos após a sua colocação a água, é dada, aproimadamete, 0,t por Ct () 0,5t e com t 0. Resolva os ites seguites, recorredo a métodos eclusivamete aalíticos. a) Mostre que, durate os primeiros 5 miutos após a colocação desse produto químico a água, houve, pelo meos, um istate em que a cocetração do produto foi gramas por litro. Se utilizar a calculadora em evetuais cálculos uméricos, sempre que proceder a arredodametos, use três casas decimais. b) Determie o valor de t para o qual a cocetração desse produto químico a água é máima. Eame Nacioal 0 (época especial) Resolva os ites seguites, recorredo a métodos eclusivamete aalíticos. a) Determie k, de modo que lim f( ) f(0) 0 b) Estude a fução f quato à eistêcia de assítotas verticais do seu gráfico. c) Seja g uma fução, de domíio +, cuja derivada, g ', de domíio +, é dada por g '( ) f( ). Estude a fução g quato ao setido das cocavidades do seu gráfico e quato à eistêcia de potos de ifleão. Eame Nacioal 0 (.ª fase) 4. Sejam f e g fuções de domíio ]0, +[. Sabe-se que: a reta de equação y = é assítota horizotal do gráfico de f f ão tem zeros; g ( ) e f( ) Qual das opções seguites defie uma assítota horizotal do gráfico de g? (A) y = (B) y = e (C) y = 0 (D) y = Eame Nacioal 0 (época especial) 5. Sejam a, b e c três úmeros tais que a ],+[, b + e c +. Sabe-se que log b c a e que log c. Qual das epressões seguites é a equivalete a log bc a? c (A) c + (B) c (C) (D) c Eame Nacioal 0 (época especial) 7. Cosidere, um referecial o.. Oy, o gráfico da fução f, de domíio +, defiida por 0, f( ) e l( ) Seja P um poto do gráfico de f. A distâcia do poto P à origem é igual a. Determie a abcissa do poto P, recorredo à calculadora gráfica. Na sua resposta, deve: equacioar o problema; reproduzir o gráfico da fução ou os gráficos das fuções que tiver ecessidade de visualizar a calculadora, devidamete idetificado(s), icluido o referecial; idicar a abcissa do poto P com arredodameto às cetésimas. Eame Nacioal 0 (época especial) 8. Cosidere as fuções f e g, de domíio, defiidas, respetivamete, por Resolva os ites seguites, recorredo a métodos eclusivamete aalíticos. a) Determie k de modo que a fução g seja cotíua. b) Determie, em ],5[, as soluções da equação f '( ) ( f( ) ) Eame Nacioal 0 (época especial) 9. Para certos valores de a e de b (a > e b > ), tem-se logab =. Qual é, para esses valores de a e de b, o valor de logba + loga b? Fuções epoeciais e fuções logarítmicas (Matemática A) - eercícios saídos em TI e em eames (.º ao) - pág. 6/9

7 Mais eercícios de.º ao: (A) (B) (C) (D).º teste itermédio Cosidere a fução f, de domíio, defiida por Seja g uma outra fução, de domíio. Sabe-se que a fução f g é cotíua o poto. Em qual das seguites opções pode estar represetada parte do gráfico da fução g?.º teste itermédio 0 4. Seja f a fução, de domíio R, defiida por Resolva os ites a) e b), recorredo a métodos a) Averigue se eiste lim f ( ) 4 b) O gráfico da restrição da fução f ao itervalo ],4] tem uma assítota horizotal. Determie uma equação dessa assítota. c) Cosidere, um referecial o.. Oy, o triâgulo [OPQ] tal que: o poto P é o poto de itersecção do gráfico da fução f com o eio das ordeadas; o poto Q é o poto do gráfico da fução f que tem abcissa positiva e ordeada igual à ordeada do poto P. Determie um valor aproimado da área do triâgulo [OPQ], recorredo à calculadora gráfica. Na sua resposta, deve: reproduzir, um referecial, o gráfico da fução f para [0,0] desehar o triâgulo [OPQ] idicar a abcissa do poto Q arredodada às milésimas; apresetar a área do triâgulo [OPQ] arredodada às cetésimas. Nota Sempre que, os cálculos itermédios, proceder a arredodametos, coserve, o míimo, três casas decimais..º teste itermédio 0 4. Cosidere que dois balões esféricos, que desigamos por balão A e por balão B, se deslocam a atmosfera, por cima de um solo plao e horizotal. Num determiado istate, é iiciada a cotagem do tempo. Admita que, durate o primeiro miuto imediatamete a seguir a esse istate, as distâcias, medidas em metros, do cetro do balão A ao solo e do cetro do balão B ao solo são dadas, respetivamete, por a(t) = e 0,0t 0,0t + e b(t) = 6e 0,06t 0,0t + A variável t desiga o tempo, medido em segudos, que decorre desde o istate em que foi iiciada a cotagem do tempo (t [0,60]). Resolva os dois ites seguites sem utilizar a calculadora, a ão ser para efetuar evetuais cálculos uméricos. Sempre que, os cálculos itermédios, proceder a arredodametos, coserve, o míimo, três casas decimais. a) Determie a distâcia etre o cetro do balão A e o cetro do balão B, cico segudos após o iício da cotagem do tempo, sabedo que, esse istate, a distâcia etre as projeções ortogoais dos cetros dos balões o solo era 7 metros. Apresete o resultado em metros, arredodado às décimas. Determie quato tempo decorreu etre o istate iicial e o istate em que os cetros dos dois balões estavam à mesma distâcia do solo. Apresete o resultado em segudos, arredodado às uidades..º teste itermédio 0 4. Para um certo úmero real k, positivo, seja f a fução, de domíio ],[, defiida por Sabe-se que f é cotíua. Qual é o valor de k? (A) l (B) e (C) l (D) e.º teste itermédio 0 Fuções epoeciais e fuções logarítmicas (Matemática A) - eercícios saídos em TI e em eames (.º ao) - pág. 7/9

8 44. Seja f a fução, de domíio +, defiida por f () = a + a l (a é um úmero real maior do que ), e seja r a reta tagete ao gráfico da fução f o poto de abcissa a. Qual é o declive da reta r? (A) a a + a (B) a a + a (C) a a + a (D) a a + a.º teste itermédio Seja f uma fução de domíio e seja f a seguda derivada da fução f. Sabe-se que f tem domíio e é defiida por f ''( ) e ( ). Qual das afirmações seguites é verdadeira? (A) O gráfico da fução f tem eatamete quatro potos de ifleão. (B) O gráfico da fução f tem eatamete três potos de ifleão. (C) O gráfico da fução f tem eatamete dois potos de ifleão. (D) O gráfico da fução f tem eatamete um poto de ifleão..º teste itermédio Seja f a fução, de domíio, defiida por Resolva os dois ites seguites recorredo a métodos a) Determie f '( ) recorredo à defiição de derivada de uma fução um poto. b) O gráfico da fução f tem uma assítota oblíqua quado. Determie a equação reduzida dessa assítota..º teste itermédio Seja a um úmero real tal que a > e. Seja g a fução, de domíio +, defiida por g() = a + l. Mostre que a fução g tem, pelo meos, um zero o itervalo ], [. a e Mais eercícios de.º ao: teste itermédio Seja f uma fução de domíio +. Sabe-se que l f( ) lim. Qual das equações seguites pode defiir uma assítota do gráfico da fução f? (A) y (B) y (C) y = (D) y = Eame Nacioal 0 (.ª fase) 49. Cosidere, para um certo úmero real a superior a, as fuções f e g, de domíio, defiidas por f( ) a e g ( ) a. Cosidere as afirmações seguites. I) Os gráficos das fuções f e g ão se itersectam. II) As fuções f e g são moótoas crescetes. III) f '( ) g'() l a a Qual das opções seguites é a correta? (A) II e III são verdadeiras. (B) I é falsa e III é verdadeira. (C) I é verdadeira e III é falsa. (D) II e III são falsas. Eame Nacioal 0 (.ª fase) 50. Cosidere a fução f, de domíio \{0}, defiida por Resolva os ites a) e b), recorredo a métodos a) Estude a fução f quato à eistêcia de assítotas verticais do seu gráfico. b) Seja g a fução, de domíio +, defiida por g() = f() + l. Estude a fução g quato à mootoia e quato à eistêcia de etremos relativos em ]0, e] Resolva o item c), recorredo à calculadora gráfica. c) Cosidere, um referecial o.. Oy, a represetação gráfica da fução g, de domíio +, defiida por g() = f() + l. Sabe-se que: A é o poto de coordeadas (, 0) B é o poto de coordeadas (5, 0) P é um poto que se desloca ao logo do gráfico da fução g Para cada posição do poto P, cosidere o triâgulo [ABP]. Determie as abcissas dos potos P para os quais a área do triâgulo [ABP] é. Na sua resposta, deve: equacioar o problema; reproduzir o gráfico da fução ou os gráficos das fuções que tiver ecessidade de visualizar a calculadora, devidamete idetificado(s), icluido o referecial; idicar as abcissas dos potos P com arredodameto às cetésimas. Eame Nacioal 0 (.ª fase) Fuções epoeciais e fuções logarítmicas (Matemática A) - eercícios saídos em TI e em eames (.º ao) - pág. 8/9

9 Mais eercícios de.º ao: 5. Na Figura, está represetada, um refere-cial ortogoal Oy, parte do gráfico de uma fução poliomial f de grau. Sabe-se que: - e são os úicos zeros da fução f g, a primeira derivada de uma certa fução g, tem domíio e é defiida por g'( ) f( ) e lim [ g ( ) ] 0 Apeas uma das opções seguites pode represetar a fução g 5. Seja f uma fução de domíio [ e,]. Sabe-se que: f é cotíua o seu domíio; f ( e) = f () = e Qual das afirmações seguites é ecessariamete verdadeira? (A) A equação f () = 0 tem pelo meos uma solução em ] e,[ (B) A equação f ()= e tem pelo meos uma solução em ] e,[ (C) A equação f () = 0 tem pelo meos uma solução em ] e,[ (D) A equação f () = e tem pelo meos uma solução em ] e,[ Eame Nacioal 0 (.ª fase) 54. Seja g uma fução, de domíio +, cuja derivada, g, de domíio +, é dada por g () = l(e + 6e + 4). Estude a fução g quato ao setido das cocavidades do seu gráfico e quato à eistêcia de potos de ifleão, recorredo a métodos aalíticos, sem utilizar a calculadora. Eame Nacioal 0 (.ª fase) Nota Em cada uma das opções estão represetadas parte do gráfico de uma fução e, a tracejado, uma assítota desse gráfico. Elabore uma composição a qual: idetifique a opção que pode represetar a fução g apresete as razões para rejeitar as restates opções. Apresete três razões diferetes, uma por cada gráfico rejeitado. Eame Nacioal 0 (.ª fase) 5. Sejam a e b dois úmeros reais tais que < a < b e logab =. Qual é, para esses valores de a e de b, o log b 5 valor de log ( b) a a a a? (A) 6 + b (B) 8 + b (C) 6 + a b (D) 8 + a b Eame Nacioal 0 (.ª fase) 55. Cosidere, um referecial o.. Oy, a represetação gráfica da fução f, de domíio [, ], l( ) defiida por f( ), o poto A de coordeadas (, 0) e um poto P que se desloca ao logo do gráfico da fução f. Eiste uma posição do poto P para a qual a área do triâgulo [AOP] é míima. Determie a área desse triâgulo, recorredo à calculadora gráfica. Na sua resposta, deve: reproduzir o gráfico da fução ou os gráficos das fuções que tiver ecessidade de visualizar a calculadora, devidamete idetificado(s), icluido o referecial; idicar o valor da área do triâgulo [AOP] com arredodameto às cetésimas. Eame Nacioal 0 (.ª fase) 56. Cosidere a fução f, de domíio, defiida por Resolva os dois ites seguites recorredo a métodos a) Averigue se a fução f é cotíua em = Fuções epoeciais e fuções logarítmicas (Matemática A) - eercícios saídos em TI e em eames (.º ao) - pág. 9/9

10 b) Mostre que o gráfico da fução f admite uma assítota oblíqua quado tede para Eame Nacioal 0 (.ª fase) 57. Seja a um úmero real positivo. Cosidere o cojuto S = { : l(e a) 0}. Qual dos cojutos seguites é o cojuto S? (A) ] l( + a), l a[ (B) [ l( + a), l a[ (C) ] l( + a)] (D) [ l( + a), +[ Eame Nacioal 0 (época especial) 58. Cosidere, para um certo úmero real k positivo, a fução f, de domíio, defiida por Mais eercícios de.º ao: 6. Na Figura, está represetada parte do gráfico de uma fução h, de domíio \{,e}. Tal como a figura sugere, as retas de equações y = 0, = e = e são as assítotas do gráfico da fução h. Seja () uma sucessão tal que lim h() = +. Qual das epressões seguites ão pode ser termo geral da sucessão ()? (A) ( ) (B) ( ) (C) (D) e.º teste itermédio 04 Resolva os ites seguites, recorredo a métodos a) Determie k de modo que lim f( ) f (0) 0 b) Mostre que e l( ) é um etremo relativo da fução f o itervalo ]0, +[ Eame Nacioal 0 (época especial) 59. Cosidere a fução f, de domíio ]0,[, defiida por f() = l + cos. Sabe-se que: A é um poto do gráfico de f a reta tagete ao gráfico de f, o poto A, tem icliação radiaos. Determie a abcissa do poto 4 A, recorredo à calculadora gráfica. Na sua resposta, deve: equacioar o problema; reproduzir o gráfico da fução ou os gráficos das fuções que tiver ecessidade de visualizar a calculadora, devidamete idetificado(s), icluido o referecial; idicar a abcissa do poto A com arredodameto às cetésimas. Eame Nacioal 0 (época especial) 60. Seja b um úmero real. Sabe-se que log b = 04. Qual é o valor de log (00b)? (A) 06 (B) 04 (C) 4 (D) 408.º teste itermédio Seja f uma fução, de domíio +, com derivada fiita em todos os potos do seu domíio. A sua derivada, f, é defiida por f '( ) l. Quatos potos de ifleão tem o gráfico da fução f? (A) Zero. (B) Um. (C) Dois. (D) Três..º teste itermédio Seja f a fução, de domíio R, defiida por Resolva os ites a) e b) recorredo a métodos a) Seja t a reta tagete ao gráfico da fução f o poto de abcissa. Determie a equação reduzida da reta t. b) Estude a fução f quato à eistêcia de assítotas do seu gráfico. Na sua resposta, deve: mostrar que eiste uma úica assítota vertical e escrever uma equação dessa assítota; mostrar que eiste uma assítota horizotal quado + e escrever uma equação dessa assítota; mostrar que ão eiste assítota ão vertical quado c) Na Figura, estão represetados, um referecial o.. Oy, parte do gráfico da fução f, os potos A e B, ambos pertecetes ao gráfico de f, e a reta AB. Sabe-se que: a reta AB é paralela à bissetriz dos quadrates pares; os potos A e B têm abcissas simétricas; a abcissa do poto A pertece ao itervalo ]0,[ Fuções epoeciais e fuções logarítmicas (Matemática A) - eercícios saídos em TI e em eames (.º ao) - pág. 0/9

11 Mais eercícios de.º ao: Seja a a abcissa do poto A. Determie o valor de a, recorredo à calculadora gráfica. Na sua resposta, deve: equacioar o problema; reproduzir, um referecial, o gráfico da fução ou os gráficos das fuções que visualizar a calculadora, devidamete idetificado(s); idicar o valor de a, com arredodameto às milésimas..º teste itermédio 04 teorema de Bolzao garate que a fução f tem, pelo meos, um zero o itervalo ]0,[. A qual dos itervalos seguites pode pertecer k? Eame Nacioal 04 (.ª fase) 67. Cosidere, para um certo úmero real a positivo, a fução f, de domíio +, defiida por f( ) a l a. Em qual das opções seguites pode estar represetada parte do gráfico da fução f, primeira derivada da fução f? 64. Numa certa escola, eclodiu uma epidemia de gripe que está a afetar muitos aluos. Admita que o úmero de aluos com gripe, t dias após as zero horas de seguda-feira da próima semaa, é dado aproimadamete por Como, por eemplo, f(,5) 76, pode cocluir-se que 76 aluos dessa escola estarão com gripe às horas de terça-feira da próima semaa. a) Resolva este item recorredo a métodos Estude a fução f quato à mootoia e coclua em que dia da próima semaa, e a que horas desse dia, será máimo o úmero de aluos com gripe. b) Nessa escola, há 00 aluos. Às 8 horas de quita-feira da próima semaa, vão ser escolhidos aleatoriamete aluos, de etre os 00 aluos da escola, para respoderem a um iquérito. Qual é a probabilidade de pelo meos um dos aluos escolhidos estar com gripe? Apresete o resultado a forma de dízima, com arredodameto às cetésimas..º teste itermédio Seja f a fução, de domíio +, defiida por ( ) f e. Cosidere a sucessão de úmeros reais () tal que. Qual é o valor de lim? f ( ) (A) (B) e (C) 0 (D) + Eame Nacioal 04 (.ª fase) 66. Cosidere, para um certo úmero real k, a fução f, de domíio, defiida por f () = k e +. O Eame Nacioal 04 (.ª fase) 68. Cosidere a fução f, de domíio, defiida por Resolva os ites seguites, recorredo a métodos a) Averigue se a fução f é cotíua em = 4 b) O gráfico da fução f tem uma assítota oblíqua quado tede para +, de equação y = + b, com b. Determie b Eame Nacioal 04 (.ª fase) 69. Cosidere a fução f, de domíio ] e, +[, defiida por f() = l( + e ). Na Figura 5, estão represetados, um referecial o.. Oy, parte do gráfico da fução f e o triâgulo [ABC] Fuções epoeciais e fuções logarítmicas (Matemática A) - eercícios saídos em TI e em eames (.º ao) - pág. /9

12 Mais eercícios de.º ao: eistam, os valores de para os quais a fução g tem etremos relativos. Eame Nacioal 04 (.ª fase) 7. Cosidere, um referecial o.. Oy, a represetação gráfica da fução f, de domíio [0,0], defiida por Sabe-se que: o poto A tem coordeadas (0, -) o poto B pertece ao gráfico da fução f e tem abcissa egativa; o poto C pertece ao eio Oy e tem ordeada igual à do poto B a área do triâgulo [ABC] é igual a 8 Determie a abcissa do poto B, recorredo à calculadora gráfica. Na sua resposta, deve: escrever uma epressão da área do triâgulo [ABC] em fução da abcissa do poto B equacioar o problema; reproduzir, um referecial, o gráfico da fução ou os gráficos das fuções visualizados, devidamete idetificados; idicar a abcissa do poto B com arredodameto às cetésimas. Eame Nacioal 04 (.ª fase) 70. Seja g uma fução, de domíio ], e[, defiida por g() = l (e ). Cosidere a sucessão estritamete crescete de termo geral ( ). Qual é o valor de lim g()? (A) + (B) e (C) (D) Eame Nacioal 04 (.ª fase) 7. Cosidere as fuções f e g, de domíio ]-, 0[, defiidas por l( f( ) ) e g()=-+f(). Resolva os ites seguites, recorredo a métodos a) Estude a fução f quato à eistêcia de assítotas do seu gráfico e, caso eistam, idique as suas equações. b) Mostre que a codição f() = e tem, pelo meos, uma solução em ]-e, -[ c) Estude a fução g quato à mootoia e quato à eistêcia de etremos relativos. Na sua resposta, deve idicar o(s) itervalo(s) de mootoia e, caso e dois potos A e B. Sabe-se que: o poto A é o poto de itersecção do gráfico da fução f com o eio das ordeadas; o poto B pertece ao gráfico da fução f e tem abcissa positiva; a reta AB tem declive - Determie a abcissa do poto B, recorredo à calculadora gráfica. Na sua resposta, deve: equacioar o problema; reproduzir, um referecial, o gráfico da fução ou os gráficos das fuções que tiver ecessidade de visualizar a calculadora, devidamete idetificados; idicar o valor da abcissa do poto B com arredodameto às cetésimas. Eame Nacioal 04 (.ª fase) 7. Na Figura 6, está represetada, um referecial o.. Oy, parte do gráfico de uma fução poliomial f, de grau. Sabe-se que: - e são os úicos zeros da fução f a fução f tem um etremo relativo em = h, primeira derivada de uma fução h, tem domíio f( ) e é defiida por h '( ) lim h ( ) Cosidere as afirmações seguites. I) A fução h tem dois etremos relativos. II) h ( ) = 0 III) y + = 0 é uma equação da assítota do gráfico da fução h quado tede para + Elabore uma composição, a qual idique, justificado, se cada uma das afirmações é verdadeira ou falsa. Na sua resposta, apresete três razões diferetes, uma para cada afirmação. Eame Nacioal 04 (.ª fase) e Fuções epoeciais e fuções logarítmicas (Matemática A) - eercícios saídos em TI e em eames (.º ao) - pág. /9

13 Mais eercícios de.º ao: Seja f a fução, de domíio \{0}, defiida por f( ) e. Cosidere a sucessão de úmeros reais () tal que. Qual é o valor de lim f()? (A) - (B) 0 (C) (D) + Eame Nacioal 04 (época especial) 75. Cosidere a fução g, de domíio +, defiida por g ( ) l a) Estude a fução g quato à mootoia e quato à eistêcia de etremos relativos, recorredo a métodos Na sua resposta, deve idicar o(s) itervalo(s) de mootoia e, caso eistam, os valores de para os quais a fução g tem etremos relativos. b) Cosidere, um referecial o.. Oy, a represetação gráfica da fução g, os potos A e B, e a reta r de equação y = m, com m <0. Sabe-se que: os potos A e B pertecem ao gráfico da fução g a abcissa do poto A é o zero da fução g o poto B é o poto de itersecção da reta r com o gráfico da fução g a área do triâgulo [OAB] é igual a Determie a abcissa do poto B, recorredo à calculadora gráfica. Na sua resposta, deve: equacioar o problema; reproduzir, um referecial, o gráfico da fução ou os gráficos das fuções visualizados, devidamete idetificados; idicar a abcissa do poto A e a abcissa do poto B com arredodameto às cetésimas. Eame Nacioal 04 (época especial) 76. Cosidere, para um certo úmero real k, a fução f, de domíio ],e[, defiida por 77. Qual das seguites epressões é, para qualquer úmero real k, igual a k log ( )? 9 (A) k (B) k (C) 9 k (D) k 9 Eame Nacioal 05 (.ª fase) 78. Cosidere a fução f, de domíio +, defiida l por f( ). Cosidere a sucessão de termo geral u =. Qual é o valor de lim f (u)? (A) 0 (B) (C) e (D) + Eame Nacioal 05 (.ª fase) 79. Na Figura, está represetado um recipiete cheio de um líquido viscoso. Tal como a figura ilustra, detro do recipiete, presa à sua base, ecotra-se uma esfera. Essa esfera está ligada a um poto P por uma mola esticada. Num certo istate, a esfera é despredida da base do recipiete e iicia um movimeto vertical. Admita que, t segudos após esse istate, a distâcia, em cetímetros, do cetro da esfera ao poto P é dada por d(t) = 0 + (5 t)e 0,05t (t 0) a) Sabe-se que a distâcia do poto P à base do recipiete é 6cm. Determie o volume da esfera. Apresete o resultado em cm, arredodado às cetésimas. b) Determie o istate em que a distâcia do cetro da esfera ao poto P é míima, recorredo a métodos Eame Nacioal 05 (.ª fase) 80. Seja f a fução, de domíio, defiida por Resolva os ites seguites, recorredo a métodos a) Determie k, de modo que a fução f seja cotíua em = b) Estude a fução f quato à eistêcia de assítota horizotal do seu gráfico e, caso eista, idique uma equação dessa assítota. Eame Nacioal 04 (época especial) Resolva os ites a) e b) recorredo a métodos a) Averigue da eistêcia de assítotas verticais do gráfico da fução f b) Estude a fução f quato ao setido das cocavidades do seu gráfico e quato à eistêcia de potos de ifleão, o itervalo ], [. Na sua resposta, apresete: Fuções epoeciais e fuções logarítmicas (Matemática A) - eercícios saídos em TI e em eames (.º ao) - pág. /9

14 o(s) itervalo(s) em que o gráfico de f tem cocavidade voltada para baio; o(s) itervalo(s) em que o gráfico de f tem cocavidade voltada para cima; as coordeadas do(s) poto(s) de ifleão do gráfico de f c) Mostre que a equação f () = é possível em ], e[ e, utilizado a calculadora gráfica, determie a úica solução desta equação, este itervalo, arredodada às cetésimas. Na sua resposta: recorra ao teorema de Bolzao para provar que a equação f() = tem, pelo meos, uma solução o itervalo ], e[ reproduza, um referecial, o(s) gráfico(s) da(s) fução(ões) que visualizar a calculadora, devidamete idetificado(s); apresete a solução pedida. Eame Nacioal 05 (.ª fase) 8. Para certos valores de a e de b (a> e b>), temse log b Mais eercícios de.º ao: a. Qual é, para esses valores de a e de b, o valor de loga (a b)? 84. Seja a um úmero real. Seja a fução f, de domíio +, defiida por f () = e a l. Cosidere, um referecial o.. Oy, o poto P(,8). Sabe-se que o poto P pertece ao gráfico de f Qual é o valor de a? (A) (B) (C) (D) 4 Eame Nacioal 05 (época especial) 85. Admita que, ao logo dos séculos XIX, XX e XXI, o úmero de habitates, N, em milhões, de uma certa região do globo é dado aproimadamete por em que t é o tempo medido em décadas e em que o istate t = 0 correspode ao fial do ao 800. a) Determie a taa média de variação da fução N o itervalo [0, 0]. Apresete o resultado arredodado às uidades. Iterprete o resultado, o coteto da situação descrita. b) Mostre que (A) (B) 5 (C) (D) 5 Eame Nacioal 05 (.ª fase) Eame Nacioal 05 (época especial) 8. Para um certo úmero real k, é cotíua em a fução f defiida por Qual é o valor de k? (A) 0 (B) (C) l (D) l Eame Nacioal 05 (.ª fase) 8. Seja f a fução, de domíio, defiida por Resolva os ites a), b) e c), recorredo a métodos a) Estude a fução f quato à eistêcia de assítotas horizotais do seu gráfico. b) Resolva, em ], ], a codição f () >. Apresete o cojuto solução, usado a otação de itervalos de úmeros reais. c) Determie a equação reduzida da reta tagete ao gráfico da fução f o poto de abcissa 4 Eame Nacioal 05 (.ª fase) 86. Seja f a fução, de domíio Fuções epoeciais e fuções logarítmicas (Matemática A) - eercícios saídos em TI e em eames (.º ao) - pág. 4/9 0, defiida por Resolva os ites a) e b) recorredo a métodos a) Estude a fução f quato à eistêcia de assítota horizotal. b) Estude a fução f quato à mootoia e quato à eistêcia de etremos relativos. c) Cosidere, um referecial o.. Oy, três potos, A, B e C, tais que: os potos A e B pertecem ao gráfico da fução f a abcissa do poto B é maior do que a abcissa do poto A os potos A e B têm a mesma ordeada, a qual é igual a, o poto C pertece ao eio O e tem abcissa igual à do poto B Determie, recorredo à calculadora gráfica, a área do quadrilátero [OABC], sedo O a origem do referecial. Na sua resposta: reproduza, um referecial, o gráfico da fução f o itervalo [0, 5] apresete o deseho do quadrilátero [OABC] idique as abcissas dos potos A e B arredodadas às milésimas; apresete a área do quadrilátero arredodada às cetésimas.

15 Mais eercícios de.º ao: Eame Nacioal 05 (época especial) 87. Seja a um úmero real diferete de 0. Qual é o valor de Eame Nacioal 06 (.ª fase) 86. Seja f uma fução de domíio. Sabe-se que: o gráfico de f tem uma assítota oblíqua. Qual é o declive dessa assítota? (A) (B) (C) (D) Eame Nacioal 06 (.ª fase) 88. Seja f uma fução, de domíio, cuja derivada, f', de domíio, é dada por f()=e ( ++). Resolva os ites a) e b) recorredo a métodos aalíticos, sem utilizar a calculadora. a) Sejam p e q dois úmeros reais tais que Determie o valor de q e iterprete geometricamete esse valor. b) Estude a fução f quato ao setido das cocavidades do seu gráfico e quato à eistêcia de potos de ifleão. Na sua resposta, apresete: o(s) itervalo(s) em que o gráfico de f tem cocavidade voltada para baio; o(s) itervalo(s) em que o gráfico de f tem cocavidade voltada para cima; a(s) abcissa(s) do(s) poto(s) de ifleão do gráfico de f Eame Nacioal 06 (.ª fase) 89. Cosidere a fução f, de domíio ],[],+[, defiida por Resolva os ites a) e b) recorredo a métodos a) Estude a fução f quato à eistêcia de assítotas verticais do seu gráfico. b) Seja a um úmero real maior do que. Mostre que a reta secate ao gráfico de f os potos de abcissas a e a passa a origem do referecial. Eame Nacioal 06 (.ª fase) 9. Para certos valores de a e de b (a> e b>), temse loga(ab )=5. Qual é, para esses valores de a e de b, o valor de logba? Eame Nacioal 06 (.ª fase) 9. Cosidere a fução f, de domíio +, defiida por f()=l(). Cosidere a sucessão de termo geral. Qual é o valor de limf(u)? (A) (B) 0 (C) e (D) + Eame Nacioal 06 (.ª fase) 9. O José e o Atóio são estudates de Ecoomia. O José pediu emprestados 600 euros ao Atóio para comprar um computador, tedo-se comprometido a pagar o empréstimo em prestações mesais sujeitas a um certo juro. Para ecotrarem as codições de pagameto do empréstimo, os dois colegas adaptaram uma fórmula que tiham estudado e estabeleceram um cotrato. Nesse cotrato, a prestação mesal p, em euros, que o José tem de pagar ao Atóio é dada por em que é o úmero de meses em que o empréstimo será pago e é a taa de juro mesal. Resolva os ites a) e b) recorredo a métodos aalíticos. Na resolução do item a), pode utilizar a calculadora para efetuar evetuais cálculos uméricos. a) O José e o Atóio acordaram que a taa de juro mesal seria 0,% (=0,00). Em quatos meses será pago o empréstimo, sabedo-se que o José irá pagar uma prestação mesal de 4 euros? Apresete o resultado arredodado às uidades. Se, em cálculos itermédios, proceder a arredodametos, coserve, o míimo, cico casas decimais. b) Determie, em fução de, e iterprete o resultado o coteto da situação descrita. Eame Nacioal 06 (.ª fase) 94. Seja f a fução, de domíio ], [, defiida por Resolva os ites a) e b) recorredo a métodos a) Estude a fução f quato à eistêcia de assítota oblíqua do seu gráfico. Fuções epoeciais e fuções logarítmicas (Matemática A) - eercícios saídos em TI e em eames (.º ao) - pág. 5/9

16 b) Estude a fução f quato à mootoia e quato à eistêcia de etremos relativos, o itervalo,0 ] [. c) Seja r a reta tagete ao gráfico da fução f o poto de abcissa. Além do poto de tagêcia, a reta r itersecta o gráfico de f em mais dois potos, A e B, cujas abcissas pertecem ao itervalo ],0[ (cosidere que o poto A é o de meor abcissa). Determie aaliticamete a equação reduzida da reta r e, utilizado a calculadora gráfica, obteha as abcissas dos potos A e B. Apresete essas abcissas arredodadas às cetésimas. Na sua resposta, reproduza, um referecial, o gráfico da fução ou os gráficos das fuções que visualizar a calculadora e que lhe permite(m) resolver o problema. Eame Nacioal 06 (.ª fase) 95. Sejam a e b dois úmeros reais superiores a, tais que a=b. Qual dos valores seguites é igual a logab+ logba? (A) 4 (B) (C) 0 (D) 96. Seja f a fução, de domíio [,], cujo gráfico está represetado a Figura. Tal como a figura sugere, todos os objetos iteiros têm images iteiras. Seja g a fução, de domíio +, defiida por g()=l. Quais são as soluções da equação (fog)()=0? Mais eercícios de.º ao: Eame Nacioal 06 (época especial) Eame Nacioal 06 (época especial) 97. O movimeto de uma ave espacial é um movimeto de propulsão provocado pela libertação de gases resultates da queima e eplosão de combustível. Um certo tipo de ave tem por fução o trasporte de carga destiada ao abastecimeto de uma estação espacial. Desigemos por a massa, em milhares de toeladas, da carga trasportada por uma ave desse tipo e por V a velocidade, em quilómetro por segudo, que essa mesma ave atige o istate em que termia a queima do combustível. Cosidere que V é dada, em fução de, por Nos ites a) e b), a calculadora só pode ser utilizada em cálculos uméricos; sempre que proceder a arredodametos, use duas casas decimais. a) Admita que uma ave do tipo referido trasporta uma carga de 5 mil toeladas. Determie quato tempo demora essa ave a percorrer 00 quilómetros a partir do istate em que termia a queima do combustível, sabedo que a velocidade da ave se matém costate a partir desse istate. Apresete o resultado em segudos, arredodado às uidades. b) Determie qual deve ser a massa da carga trasportada por uma dessas aves, de modo que atija, após a queima da totalidade do combustível, uma velocidade de quilómetros por segudo. Apresete o resultado em milhares de toeladas, arredodado às uidades. Eame Nacioal 06 (época especial) 98. Seja f a fução, de domíio ], [, defiida por Resolva os ites a) e b) recorredo a métodos a) Determie lim [ f ( ). ] Iterprete o valor obtido em termos de assítotas do gráfico de f. b) Estude a fução f quato ao setido das cocavidades e quato à eistêcia de potos de ifleão do seu gráfico, o itervalo ],0[. Na sua resposta, idique: o(s) itervalo(s) em que o gráfico de f tem cocavidade voltada para baio; o(s) itervalo(s) em que o gráfico de f tem cocavidade voltada para cima; a(s) abcissa(s) do(s) poto(s) de ifleão do gráfico de f c) Na Figura, estão represetados: parte do gráfico da fução f um poto A, pertecete ao gráfico de f, de abcissa a a reta t, tagete ao gráfico da fução f o poto A Sabe-se que: Fuções epoeciais e fuções logarítmicas (Matemática A) - eercícios saídos em TI e em eames (.º ao) - pág. 6/9

17 Mais eercícios de.º ao: a]0,[ a reta t tem declive igual a, Determie, recorredo à calculadora gráfica, a abcissa do poto A. Na sua resposta: equacioe o problema; reproduza, um referecial, o(s) gráfico(s) da(s) fução(ões) que visualizar a calculadora, que lhe permite(m) resolver a equação; apresete a abcissa do poto A arredodada às cetésimas. Eame Nacioal 06 (época especial) 99. Seja k um úmero real positivo. Cosidere a fução g, de domíio ]k,+[, defiida por g()=l(+k). Mostre que: iterprete essa solução o coteto da situação descrita. Se, em cálculos itermédios, proceder a arredodametos, coserve, o míimo, duas casas decimais. b) O clube áutico de uma povoação situada uma das marges do rio possui um barco à vela. Admita que, sempre que esse barco avega o rio, a distâcia do poto mais alto do mastro à superfície da água é 6 metros. Será que esse barco, avegado o rio, pode passar por baio da pote? Justifique a sua resposta. Eame Nacioal 07 (.ª fase) 0. Seja g a fução, de domíio R, defiida por Na resolução deste item, ão utilize a calculadora. Eame Nacioal 06 (época especial) 00. Na Figura, está represetada uma secção de uma pote pedoal que liga as duas marges de um rio. A pote, represetada pelo arco PQ, está suportada por duas paredes, represetadas pelos segmetos de reta [OP] e [RQ]. A distâcia etre as duas paredes é 7 metros. O segmeto de reta [OR] represeta a superfície da água do rio. Cosidere a reta OR como um eio orietado da esquerda para a direita, com origem o poto O e em que uma uidade correspode a metro. Para cada poto situado etre O e R, de abcissa, a distâcia a vertical, medida em metros, desse poto ao arco PQ é dada por Resolva os ites a) e b) recorredo a métodos aalíticos; utilize a calculadora apeas para efetuar evetuais cálculos uméricos. a) Seja S o poto pertecete ao segmeto de reta [OR] cuja abcissa verifica a equação. Resolva esta equação, apresetado a solução arredodada às décimas, e Resolva os ites a) e b) recorredo a métodos a) Estude a fução g quato à cotiuidade o poto b) Resolva, o itervalo ]4, 5[, a equação g() = c) Na Figura 4, estão represetados, um referecial o.. Oy, parte do gráfico da fução g e um triâgulo [OAP]. Sabe-se que: o poto A é o poto de abcissa egativa que é a itersecção do gráfico da fução g com o eio das abcissas; o poto P é um poto do gráfico da fução g, de abcissa e ordeada egativas; a área do triâgulo [OAP] é igual a 5 Determie, recorredo à calculadora gráfica, a abcissa do poto P Apresete o valor obtido arredodado às décimas. Na sua resposta: determie aaliticamete a abcissa do poto A equacioe o problema; reproduza, um referecial, o(s) gráfico(s) da(s) fução(ões) visualizado(s) a calculadora que lhe permite(m) resolver a equação. Eame Nacioal 07 (.ª fase) 0. Cosidere a fução f, de domíio +, defiida por Resolva os ites a), b) e c) recorredo a métodos Fuções epoeciais e fuções logarítmicas (Matemática A) - eercícios saídos em TI e em eames (.º ao) - pág. 7/9