Prova Escrita de Matemática A

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1 EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO Decreto-Lei º 74/004, de 6 de Março Prova Escrita de Matemática A 1º Ao de Escolaridade Prova 65/Época Especial 1 Págias Dração da Prova: 150 mitos Tolerâcia: 0 mitos 009 Prova 65 Págia 1/ 1

2 Utilize apeas caeta o esferográfica de tita idelével, azl o preta, ecepto as respostas qe impliqem a elaboração de costrções, de desehos o de otras represetações, qe podem ser primeiramete elaborados a lápis, sedo, a segir, passados a tita Utilize a réga, o compasso, o esqadro, o trasferidor e a calcladora gráfica, sempre qe for ecessário Não é permitido o so de corrector Em caso de egao, deve riscar, de forma ieqívoca, aqilo qe pretede qe ão seja classificado Escreva de forma legível a meração dos grpos e dos ites, bem como as respectivas respostas As respostas ilegíveis o qe ão possam ser idetificadas são classificadas com zero potos Para cada item, apresete apeas ma resposta Se escrever mais do qe ma resposta a m mesmo item, apeas é classificada a resposta apresetada em primeiro lgar Prova 65 Págia / 1

3 Para respoder aos ites de escolha múltipla, escreva, a folha de respostas: o úmero do item; a letra qe idetifica a úica alterativa correcta Não apresete cálclos, em jstificações A prova icli, a págia 4, m Formlário As cotações dos ites ecotram-se o fial do eciado da prova Prova 65 Págia / 1

4 Formlário Comprimeto de m arco de circferêcia α r (α amplitde, em radiaos, do âglo ao cetro; r raio) Áreas de figras plaas Losago: Trapézio: Altra Polígoo reglar: Semiperímetro Apótema Sector circlar: Áreas de sperfícies Área lateral de m coe: π r g (r raio da base; g geratriz) (α amplitde, em radiaos, do âglo ao cetro; r raio) Área de ma sperfície esférica: 4 π r (r raio) Volmes Pirâmide: Coe: Esfera: 4 π r (r raio) Trigoometria Área da base Altra Área da base Altra se (a + b) = se a cos b + se b cos a cos (a + b) = cos a cos b se a se b tg (a + b) = Compleos (ρ cis θ ) = ρ cis (θ ) 1 Diagoal maior Diagoal meor Base maior + Base meor 1 α r tg a + tg b 1 tg a tg b θ+kπ ρ cis θ= ρ cis, k { 0,, 1} Probabilidades µ = p + + p 1 lim 1 + = e se lim = 1 0 l( + 1) lim = 1 0 l lim = 0 + lim e 1 lim = 1 0 e p 1 1 σ = ( µ ) p + + ( µ ) p Se X é N( µσ, ), etão: P( µ σ < X < µ + σ) 0, 687 P( µ σ < X < µ + σ) 0, 9545 P( µ σ < X < µ + σ) 0, 997 Regras de derivação ( + v) = + v ( v) = v+ v v v = v v 1 ( ) = ( R) (se ) = cos (cos ) = se (tg ) = cos ( e ) = e + ( a ) = a l a ( a R \{} 1 ) (l ) = + (log a ) = ( a R \ {} 1 ) la Limites otáveis =+ ( p R) Prova 65 Págia 4/ 1

5 GRUPO I Na resposta a cada m dos ites deste grpo, seleccioe a úica alterativa correcta Escreva, a folha de respostas, o úmero do item e a letra qe idetifica a alterativa seleccioada Não apresete cálclos em jstificações 1 Cosidere ma trma de ma escola secdária, com 8 rapazes e 1 raparigas Pretede-se eleger o Delegado e o Sbdelegado da trma De qatas maeiras se pode fazer essa escolha, de modo a qe os alos escolhidos sejam de seos diferetes? (A) 96 (B) 190 (C) 19 (D) 80 Das criaças escrevem, em segredo e cada ma em se papel, ma letra da palavra VERÃO Qal é a probabilidade de as das criaças escreverem a mesma letra? 1 1 (A) (B) (C) (D) Seja X a variável peso, epressa em qilogramas (kg), dos bebés de ma creche Admita qe a variável X é bem modelada por ma distribição ormal de valor médio 5 Escolhido m dos bebés ao acaso, sabe-se qe a probabilidade de o se peso estar etre 5kg e 6kg é 0,4 Qal das afirmações segites é verdadeira? (A) P (X 6) = 0, (B) P (4 X 5) = 0,4 (C) P (4 X 6) < 0,5 (D) P (X 4) > 0,1 4 Sejam a e b dois úmeros reais speriores a 1 e tais qe b = a Qal dos valores segites é igal a 1 + log b a? 4 (A) (B) (C) (D) 4 Prova 65 Págia 5/ 1

6 5 Seja a fção f, de domíio R, defiida por f ( ) = se( ) π Qal é o declive da recta tagete ao gráfico de f o poto de abcissa? 8 (A) (B) (C) (D) 1 6 Na figra 1, está represetada parte do gráfico da fção f, de domíio R, defiida por f () = e y f Cosidere m poto, P, a deslocar-se sobre o semieio positivo A das abcissas Seja A o poto pertecete ao gráfico da fção qe tem a mesma abcissa qe o poto P Para cada posição do poto P, defie-se m triâglo [OAP ] O P Qal das epressões segites represeta, em fção de (abcissa do poto P ), a área do triâglo [OAP ]? Fig 1 e + e (A) e (B) (C) (D) e 7 Seja θ m úmero real pertecete ao itervalo, π 0 Cosidere o úmero compleo z = icis( θ) Qal dos úmeros compleos segites é o cojgado de z? π π π π (A) cis θ (B) cis θ (C) cis + θ (D) cis + θ Prova 65 Págia 6/ 1

7 π 8 Cosidere, em C, o úmero compleo w = cis 6 No plao compleo, a imagem geométrica de w é m dos vértices do qadrado [ABCD ], com cetro a origem O, represetado a figra Im(z) B A C O D Re(z) Fig Qal dos úmeros compleos segites tem como imagem geométrica o vértice D do qadrado? (A) π cis (B) 7π cis 4 (C) 11π cis 6 (D) 5π cis Prova 65 Págia 7/ 1

8 GRUPO II Nas respostas aos ites deste grpo, apresete todos os cálclos qe tiver de efectar e todas as jstificações ecessárias Ateção: qado, para m resltado, ão é pedida a aproimação, apresete sempre o valor eacto 1 Cosidere, em C, o úmero compleo z i 1 = 4 z + z +i 1 1 Determie, sem recorrer à calcladora, o úmero compleo z = π 8 cis Apresete o resltado a forma algébrica Determie o valor de θ, pertecete ao itervalo, π 0, de modo qe a imagem geométrica do úmero compleo ( cis θ) ( 1+ i) perteça à bissectriz do º qadrate Seja Ω o espaço de resltados associado a ma certa eperiêcia aleatória Sejam A e B dois acotecimetos (A Ω e B Ω) Mostre qe PB ( ) + PA ( ) + PA ( B) = PA ( ) + PA ( B) (P desiga probabilidade e A desiga acotecimeto cotrário de A) 4 Cosidere o cojto A = {1,, 5, 6, 8} 41 Com os elemetos do cojto A, qatos úmeros pares de qatro algarismos se podem formar, qe teham dois e só dois algarismos igais a 5? 4 De etre os elemetos do cojto A, escolhe-se m deles, ao acaso Cosidere a variável aleatória X : «úmero de divisores do elemeto escolhido» Costra a tabela de distribição de probabilidades da variável aleatória X e determie o se valor médio Apresete o resltado a forma de dízima Nota: Apresete o valor das probabilidades a forma de fracção irredtível Prova 65 Págia 8/ 1

9 5 Cosidere o poto A (1, 1), represetado a figra Fig Admita qe m poto, P, parte da origem O do referecial e se desloca ao logo do semieio positivo O Para cada posição do poto P, seja a abcissa de P Seja f a fção qe, a cada valor de, faz correspoder a distâcia do poto P ao poto A Apeas m dos segites gráficos pode represetar a fção f Nma peqea composição, epliqe por qe razão cada m dos otros três gráficos ão pode represetar a fção f Gráfico 1 Gráfico Gráfico Gráfico 4 Prova 65 Págia 9/ 1

10 e + 6 Cosidere a fção g, de domíio R, defiida por g ( ) = e Estde, recorredo a métodos eclsivamete aalíticos, a fção g, qato à eistêcia de assimptotas do se gráfico e, caso eistam, escreva as sas eqações 7 Seja a fção f, de domíio, π 0, defiida por f () = e cos 71 Estde, recorredo eclsivamete a métodos aalíticos, a fção f, qato à mootoia e qato à eistêcia de etremos relativos, idicado os itervalos de mootoia e, caso eistam, os etremos relativos 7 Determie, recorredo às capacidades gráficas da sa calcladora, m valor, aproimado às décimas, da área do trapézio [OABC ], em qe: O é a origem do referecial; A é o poto de itersecção do gráfico da fção f com o eio Oy ; B é o poto do gráfico de f, tal qe a recta AB é paralela ao eio O ; C é o poto de itersecção do gráfico da fção f com o eio O Reprodza, a folha de respostas, o gráfico visalizado a calcladora, iclido o referecial Desehe o trapézio [OABC ], assialado os potos qe represetam os ses vértices Nota: Nas coordeadas dos vértices em qe é ecessário fazer arredodametos, tilize das casas decimais Prova 65 Págia 10/ 1

11 8 Admita qe a magitde, M, de m sismo é dada, a escala de Richter, por M = 0, 67 log E, 5 sedo E a eergia, em joles, libertada por esse sismo (log desiga logaritmo de base 10) Resolva, recorredo eclsivamete a métodos aalíticos, os dois ites segites Nota: A calcladora pode ser tilizada em evetais cálclos méricos; sempre qe proceder a arredodametos, se das casas decimais 81 Sejam E 1 e E as eergias libertadas por dois sismos de magitdes M 1 e M, respectivamete E 1 E Determie, com aproimação às idades, sabedo qe M 1 M = 1 Iterprete o valor obtido o coteto da sitação apresetada 8 O sismo qe ocorre os Açores, o dia 1 de Abril de 009, teve magitde 4,7, a escala de Richter Qal foi a eergia libertada esse sismo? Escreva o resltado em otação cietífica, isto é, a forma a 10 b, sedo b m úmero iteiro, e a m úmero etre 1 e 10 Apresete o valor de a arredodado às idades FIM Prova 65 Págia 11/ 1

12 COTAÇÕES GRUPO I (8 5 potos) 40 potos GRUPO II 160 potos 1 15 potos 15 potos 15 potos 4 0 potos potos 4 15 potos 5 15 potos 6 15 potos 7 0 potos potos 7 15 potos 8 5 potos potos 8 10 potos TOTAL 00 potos Prova 65 Págia 1/ 1