Duração da Prova: 150 minutos. Tolerância: 30 minutos. Na folha de respostas, indique de forma legível a versão da prova.

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1 EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO Decreto-Lei.º 74/004, de 6 de Março Prova Escrita de Matemática A.º Ao de Escolaridade Prova 65/.ª Fase Págias Dração da Prova: 50 mitos. Tolerâcia: 0 mitos. 009 VERSÃO Na folha de respostas, idiqe de forma legível a versão da prova. A asêcia dessa idicação implica a classificação com zero potos das respostas aos ites do Grpo I. Prova 65.V Págia /

2 Utilize apeas caeta o esferográfica de tita idelével, azl o preta, ecepto as respostas qe impliqem a elaboração de costrções, de desehos o de otras represetações, qe podem ser primeiramete elaborados a lápis, sedo, a segir, passados a tita. Utilize a réga, o compasso, o esqadro, o trasferidor e a calcladora gráfica, sempre qe for ecessário. Não é permitido o so de corrector. Em caso de egao, deve riscar, de forma ieqívoca, aqilo qe pretede qe ão seja classificado. Escreva de forma legível a meração dos grpos e dos ites, bem como as respectivas respostas. As respostas ilegíveis o qe ão possam ser idetificadas são classificadas com zero potos. Para cada item, apresete apeas ma resposta. Se escrever mais do qe ma resposta a m mesmo item, apeas é classificada a resposta apresetada em primeiro lgar. Prova 65.V Págia /

3 Para respoder aos ites de escolha múltipla, escreva, a folha de respostas: o úmero do item; a letra qe idetifica a úica alterativa correcta. Não apresete cálclos, em jstificações. A prova icli, a págia 4, m Formlário. As cotações dos ites ecotram-se o fial do eciado da prova. Prova 65.V Págia /

4 Formlário Comprimeto de m arco de circferêcia α r (α amplitde, em radiaos, do âglo ao cetro; r raio) Áreas de figras plaas Losago: Trapézio: Altra Polígoo reglar: Semiperímetro Apótema Sector circlar: Áreas de sperfícies Área lateral de m coe: π r g (r raio da base; g geratriz) (α amplitde, em radiaos, do âglo ao cetro; r raio) Área de ma sperfície esférica: 4 π r (r raio) Volmes Pirâmide: Coe: Esfera: 4 π r (r raio) Trigoometria Área da base Altra Área da base Altra se (a + b) = se a. cos b + se b. cos a cos (a + b) = cos a. cos b se a. se b tg (a + b) = Compleos (ρ cis θ ) = ρ cis (θ ) Diagoal maior Diagoal meor Base maior + Base meor α r tg a + tg b tg a. tg b θ+kπ ρ cis θ= ρ cis, k { 0,..., } Probabilidades µ = p + + p lim + = e se lim = 0 l( + ) lim = 0 l lim = 0 + lim + e lim = 0 e p σ = ( µ ) p + + ( µ ) p Se X é N( µσ, ), etão: P( µ σ < X < µ + σ) 0, 687 P( µ σ < X < µ + σ) 0, 9545 P( µ σ < X < µ + σ) 0, 997 Regras de derivação ( + v) = + v ( v) = v+ v v v = v v ( ) = ( R) (se ) = cos (cos ) = se (tg ) = cos ( e ) = e + ( a ) = a l a ( a R \{} ) (l ) = + (log a ) = ( a R \ {} ) la Limites otáveis =+ ( p R) Prova 65.V Págia 4/

5 GRUPO I Na resposta a cada m dos ites deste grpo, seleccioe a úica alterativa correcta. Escreva, a folha de respostas, o úmero do item e a letra qe idetifica a alterativa seleccioada. Não apresete cálclos em jstificações.. A Maria gravo ove CD, sete com música rock e dois com música poplar, mas esqece-se de idetificar cada m deles. Qal é a probabilidade de, ao escolher dois CD ao acaso, m ser de música rock e o otro ser de música poplar? 7 (A) (B) (C) (D) Admita qe m estdate tem de realizar dois testes o mesmo dia. A probabilidade de ter classificação positiva o primeiro teste é 0,7, a de ter classificação positiva o segdo teste é 0,8, e a de ter classificação egativa em ambos os testes é 0,. Qal é a probabilidade de o estdate ter egativa o segdo teste, sabedo qe teve egativa o primeiro teste? (A) (B) (C) (D) 8 7. Uma certa liha do Triâglo de Pascal é costitída por todos os elemetos da forma 4 C p. Escolhido, ao acaso, m elemeto dessa liha, qal é a probabilidade de ele ser o úmero 4? (A) (B) (C) (D) Prova 65.V Págia 5/

6 4. Seja a fção f, de domíio R, defiida por f ( ) = e +. Qal dos potos segites pertece ao gráfico de f? (l desiga logaritmo de base e.) (A) (, 0) (B) (l, e) (C) (l 5, 6) (D) (, e) 5. Na figra, estão represetadas parte do gráfico de ma fção f, de domíio [, + [, e parte da recta r, qe é a úica assimptota do gráfico de f. Fig. f () Qal é o valor de lim? + (A) (B) 0 (C) (D) Prova 65.V Págia 6/

7 6. Na figra, está represetada parte do gráfico de ma fção f, derivada de f, ambas de domíio R, em qe o eio O é ma assimptota do gráfico de f. Seja a fção g, de domíio R, defiida por g ( ) = f ( ) +. f ' y O Fig. Qal das figras segites pode represetar parte do gráfico da fção g, derivada de g? (A) (B) y O (C) (D) Prova 65.V Págia 7/

8 7. Seja k m úmero real, e z = (k i) ( i) m úmero compleo. Qal é o valor de k, para qe z seja m úmero imagiário pro? (A) (B) (C) (D) 8. Na figra, está represetada ma região do plao compleo. O poto A tem coordeadas (, ). Fig. Qal das codições segites defie em C, cojto dos úmeros compleos, a região sombreada, iclido a froteira? (A) z z ( i) Re() z Im() z (B) z z ( i) Re() z Im() z (C) z + z ( + i) Re() z Im() z (D) z z ( i) Im() z Re() z Prova 65.V Págia 8/

9 GRUPO II Nas respostas aos ites deste grpo, apresete todos os cálclos qe tiver de efectar e todas as jstificações ecessárias. Ateção: qado, para m resltado, ão é pedida a aproimação, apresete sempre o valor eacto. 7 π cis ++ ( i) 7. No cojto dos úmeros compleos, seja z =. π 4cis Determie z a forma algébrica, sem recorrer à calcladora.. Cosidere, em C, m úmero compleo w, cja imagem geométrica o plao compleo é m poto A, sitado o.º qadrate. Sejam os potos B e C, respectivamete, as images geométricas de w (cojgado de w ) e de ( w ). Sabe-se qe BC = 8 e qe w =5. Determie a área do triâglo [ABC ].. Seja Ω o espaço de resltados associado a ma certa eperiêcia aleatória. Sejam A e B dois acotecimetos tais qe A Ω, B Ω e P(B ) 0. Mostre qe PA ( B) PB ( ) PA ( B) = PA ( ). (P desiga probabilidade, A desiga o acotecimeto cotrário de A, e P(A B) desiga a probabilidade de A dado B.) Prova 65.V Págia 9/

10 4. Cosidere m baralho com 5 cartas, repartidas por qatro aipes (Copas, Oros, Espadas e Pas). Em cada aipe, há m Ás, três figras (ma Dama, m Valete, m Rei) e mais ove cartas (do Dois ao Dez). 4.. Retiram-se cico cartas do baralho, qe são colocadas lado a lado, em cima de ma mesa, segdo a ordem pela qal vão sedo retiradas. Qatas seqêcias se podem formar com as cico cartas retiradas, caso a primeira carta e a última carta sejam ases, e as restates sejam figras? 4.. Admita qe, m jogo, cada jogador recebe três cartas, por qalqer ordem. Qal é a probabilidade de m determiado jogador receber eactamete dois ases? 4 C 48 Uma resposta correcta a esta qestão é. 5 C Nma peqea composição, jstifiqe esta resposta, fazedo referêcia: à Regra de Laplace; ao úmero de casos possíveis; ao úmero de casos favoráveis. 5. Seja f a fção, de domíio [0, π ], defiida por f () = se() cos. 5.. Determie, recorredo a métodos eclsivamete aalíticos, a eqação redzida da recta tagete ao gráfico de f, o poto de abcissa No domíio idicado, determie, recorredo às capacidades gráficas da sa calcladora, m valor, aproimado às décimas, da área do triâglo [ABC ], em qe: A é o poto do gráfico da fção f cja ordeada é máima; B e C são os potos de itersecção do gráfico da fção f com a recta de eqação y = 0,. Reprodza, a folha de respostas, o gráfico, o gráficos, visalizado(s) a calcladora, devidamete idetificado(s), iclido o referecial. Desehe o triâglo [ABC ], assialado os potos qe represetam os ses vértices. Nota: Nas coordeadas dos vértices em qe é ecessário fazer arredodametos, tilize das casas decimais. Prova 65.V Págia 0/

11 6. Cosidere a fção h, de domíio R, defiida por +4 se >0 h( ) = se = 0 e se <0 Resolva, recorredo a métodos eclsivamete aalíticos, os dois ites segites. 6.. Estde a cotiidade de h o domíio R. 6.. Estde a fção h qato à eistêcia de assimptotas do se gráfico paralelas aos eios coordeados e, caso eistam, escreva as sas eqações. 7. Nma certa zoa de cltivo, foi detectada ma doeça qe atige as cltras. A área afectada pela doeça começo por alastrar drate algm tempo, tedo depois começado a dimiir. Admita qe a área, em hectares, afectada pela doeça, é dada, em fção de t, por A(t) = t + 5 l(t + ) sedo t (0 t < 6) o tempo, em semaas, decorrido após ter sido detectada essa doeça. Resolva, recorredo a métodos eclsivamete aalíticos, os dois ites segites. 7.. Qado a doeça foi detectada, já ma parte da área de cltivo estava afectada. Passada ma semaa, a área de cltivo afectada pela doeça ameto. De qato foi esse ameto? Apresete o resltado em hectares, arredodado às cetésimas. 7.. Determie a área máima afectada pela doeça. Apresete o resltado em hectares, arredodado às cetésimas. Nota: A calcladora pode ser tilizada em evetais cálclos méricos; sempre qe proceder a arredodametos, se das casas decimais. FIM Prova 65.V Págia /

12 COTAÇÕES GRUPO I... (8 5 potos) potos GRUPO II potos potos potos potos potos potos potos potos potos potos potos potos potos potos potos potos TOTAL potos Prova 65.V Págia /