Esta folha é para si, arranque-a e leve-a consigo.

Transcrição

1 Esta folha é para si, arraque-a e leve-a cosigo. Os aluos poderão ser pealizados por apresetação ilegível das resoluções (gatafuhos, riscos, hieróglifos, pituras rupestres, etc.) EXAME DE CÁLCULO I / Ao Lectivo º Semestre Eame Fial de ª Época em 0 de Jaeiro de 00 Ateção: apeas as otas fiais, que NÃO serão afiadas, serão laçadas o sistema iformático da FE; e só aí (regras da FEUNL). A cosulta pedagógica tem lugar a seta-feira dia de Jaeiro pelas 7.30 a sala 44. Não apareça às A cosulta termia com o atedimeto do último aluo presete. Apeas aluos que teham estudado a resolução do eame que está o lie serão atedidos. Os aluos que ão estejam o sistema o mometo de laçar as otas estão reprovados (regras da FEUNL).

2 Eame de Cálculo em 0 de Jaeiro de 00 Idetifique todas as folhas Folhas ão idetificadas NÃO SERÃO COTADAS Faculdade de Ecoomia Uiversidade Nova de Lisboa EXAME DE CÁLCULO I Ao Lectivo º Semestre Eame Fial de ª Época em 0 de Jaeiro de 00 Duração: horas e 30 miutos É proibido usar máquias de calcular ou telemóveis Não teha o seu telemóvel cosigo Não são esclarecidas dúvidas Simplifique os cálculos ao máimo Justifique sempre as suas respostas Pode usar o verso das folhas de eame Os rascuhos devem estar bem idetificados Não pode desagrafar as folhas do eame

3 Eame de Cálculo em 0 de Jaeiro de 00 ( valores) Pretede-se que o aluo comete um máimo de TRÊS lihas duas afirmações. Normalmete os aluos cometam em 30 lihas, dizem e desdizem, cotradizem-se, o que está loge do que se pretede. Para mostrar que se pode respoder em 3 lihas, apreseta-se um caso resolvido. Eemplo resolvido Comete: Se uma fução real de variável real tem domíio R e derivada em todos os potos, etão é difereciável em R. Falso. Para ser verdade teria de ter derivada FINITA em todos os potos. Basta pesar a fução f ( ) = para 0 e que toma o valor zero se = 0. É um dos seis casos típicos. A gete avisou que os casos típicos eemplificam quase tudo. 3

4 Eame de Cálculo em 0 de Jaeiro de 00 AGORA É A SÉRIO a) ( valor) Uma fução real de variável real com limite fiito em todos os potos ão pode ter assimptotas verticais em horizotais. Falso mas melidroso! De facto ão pode ter assimptotas verticais pois isso correspoderia à eistêcia de limites ão fiitos. Fução ter limite quer dizer FINITO. Mas pode ter horizotais. Assim sedo, ão poder ter em uma coisa em outra, é falso. b) ( valor) Uma sucessão U tem por limite o úmero real fiito u; etão U u é ecessariamete uma sucessão moótoa. Falso. A sucessão U u é ecessariamete um ifiitésimo. Mas um ifiitésimo ão tem de ser moótoo. Eemplo: a sucessão 0,,0,,0,,0,,... tem limite zero mas aliás é a própria sucessão, ão é moótoa. U u, que 4

5 Eame de Cálculo em 0 de Jaeiro de 00 (4 valores) Cosidere os cojutos de úmeros reais A e B defiidos pelas seguites codições: A= R : = ( ) π+, N a) Os cojutos A e B têm o mesmo cardial? b) Idique, caso eistam i) O cojuto dos majorates de A ii) O míimo de A iii) O cojuto derivado de A iv) A aderêcia de A v) O cardial de ( A B) vi) A froteira de ( ífimo B derivado B) B = R \ Q : 3 a) Não. É verdade que ambos os cojutos têm ifiitos elemetos mas ão é verdade que o seu cardial seja o mesmo. O cardial do cojuto A é o ifiito umerável chamado Alef Zero, equato o do cojuto B é o cardial dos úmeros irracioais, Alef Um. b) i) Majorates de A= π + ;+ ; de facto elemeto de A. π + é maior ou igual do que qualquer ii) Míimo de A = ão eiste; pode parecer que seria π mas este valor ão é elemeto de A iii) Derivado de A, cojuto dos potos de acumulação de A é o cojuto { π; π} sub-limites de duas subsucessões da sucessão iv) Aderêcia de A= frot(a) U it(a)= AU{ π; π} ; são os v) O cojuto B também se pode descrever como os irracioais maiores que -5; todos os elemetos do cojuto A são irracioais etre π e π + ; assim a itersecção é A cujo cardial é Alef Zero, apesar de só ter elemetos de valor irracioal. vi) Comecemos por ver que o cojuto dado é { 5} [ 5, + [ = { 5} A froteira é o próprio poto -5. 5

6 Eame de Cálculo em 0 de Jaeiro de 00 3 (3 Valores) A gestora do Bar da Teda está preocupada com o preço das bebidas as festas da Uiversidade. Ela sabe que há uma relação implícita etre o preço das bebidas, P, e o úmero de bebidas vedidas, B; essa relação é: a) ( valor) Sabedo que a ultima festa o Bar da Teda se vederam 00 bebidas calcule o preço a que cada uma foi vedida. Note bem que ão se deram bebidas, o que aliás é atural uma Faculdade de Ecoomia. Se foram vedidas 00 bebidas B=00, etão Como ão se dão bebidas, cada uma foi vedida por 50, b) ( valor) Calcule, sem eplicitar P como fução de B, o impacto o preço das bebidas de uma variação ifiitesimal o úmero de bebidas vedidas. Lembre-se que foram vedidas 00 bebidas. Sabemos que B=00; etão P=50. Tedo em cota que estamos a cosiderar P=P(B) derivamos implicitamete P = P ' B = P ' 00 =.5 B Em B=00 e P=50 temos ( ) ( ) c) ( valor) Imagie agora que em vez de querer avaliar como varia o preço com a quatidade de bebidas, a gestora do Bar da Teda quer fazer a aálise iversa. Ou seja, quer saber quato irá variar o úmero de bebidas vedidas com uma variação ifiitesimal do seu preço. Sem efectuar grades cálculos, ajude-a a calcular este valor. Queremos saber agora B (P) o poto P=50; sabemos que B(P) é a iversa de P(B); pelo teorema da fução iversa B = B '( P ) = B '( 50) = P.5 6

7 Eame de Cálculo em 0 de Jaeiro de 00 d) ( valor) De acordo com o Gabiete de Estudos do Bar da Teda prevê-se que a próima festa da uiversidade a relação etre o úmero de bebidas e o respectivo preço seja dada por: P + B = Com base esta ova relação, escreva a forma eplícita a fução que os dá o preço das bebidas como fução do úmero de bebidas vedidas e idique que valores pode tomar B. Lembre-se que estamos a falar de preços e que ão há bebidas grátis em subsídios ao cosumo. Por acaso podemos resolver a relação implícita em ordem a P(B) : P + B = P=± B Como ão há bebidas grátis em subsídios P(B)= B Os valores que B pode tomar são tais que 0000 B > 0 0< B 00 7

8 Eame de Cálculo em 0 de Jaeiro de 00 4 (4 valores) Tem agora quatro afirmações sobre as quais apeas se pede que diga se cada uma é verdadeira ou falsa. Mas ateção: cada resposta certa cota valor cada resposta errada cota -0,5 valor cada resposta em braco cota -0,5 a) Uma sucessão covergete estritamete decrescete aproima-se sempre de todos os potos da aderêcia do cojuto dos miorates do seu limite F Verdade b) Seja qual for a fução z= f (, y), para todo o k R a equação desigadas lihas de ível da fução f. f (, y) = k, defie as Falso V c) Seja uma fução real de variável real, cotíua, defiida em R e tal que f ( ) 0. Etão 0 ( ) f d represeta sempre a medida de uma área. F Verdade d) Seja qual for a sucessão real de variável real, U, o complemetar do iterior do cojuto formado pelos seus elemetos é um cojuto de cardial Alef um. F Verdade 8

9 Eame de Cálculo em 0 de Jaeiro de 00 5 (3 valores) Cosidere a sucessão w = +. a) Estude w quato à mootoia. b) É w covergete? c) É w limitada? d) Seja a sucessão v = Calcule lim v. w Resolução a) Começamos por dar outra forma a w = + w + = = = + ( + ) ( + ) ( + ) Pela ossa eperiêcia setimos logo que a sucessão é moótoa crescete. Mas há que provar: w + + w = + = = > 0 ( + )( + ) ( + ) ( + )( + ) ( + )( + ) w w > 0 w > w + + 9

10 Eame de Cálculo em 0 de Jaeiro de 00 b) A sucessão w = é um clássico que tem limite zero. Há pelo meos 45 maeiras de ( + ) o justificar. Esperamos que teha apresetado uma pelo meos o eame. c) Sim, a sucessão é limitada pois se e é crescete podemos dizer por eemplo w = e lim w = 0 < w < 0 Também podemos dizer muitas outras coisas baseadas em majorates e miorates do cojuto dos termos da sucessão. Por eemplo gogol< w < 500π d) A sucessão v = pode escrever-se v = ( + ) w É um caso típico em que aplicamos o critério mágico ora como w se lim + = a, etão lim w w w+ ( + )( + ) lim = = w ( + ) = a será, etão lim w = 0

11 Eame de Cálculo em 0 de Jaeiro de 00 A título de curiosidade: (+) v, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , E+, Parece ser mesmo verdade!!

12 Eame de Cálculo em 0 de Jaeiro de 00 6 (4 valores) Cosidere a fução ( ) = 0 f e α a) O itegral f ( ) A fução dada ( ) 0 d, sedo α um úmero real, represetará uma área? Porquê? = é sempre positiva pois trata-se de uma baal epoecial. No f e seu domíio é cotíua de modo que o itegral dado correspode de facto a uma área sem hesitações , 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,,,3,4,5,6,7,8,9,,,3,4,5,6 b) Verifique se o itegral + 0e d é covergete. Sugestão: primitive por substituição fazedo = t Comecemos pela primitiva. Se = t, ' = t.

13 Eame de Cálculo em 0 de Jaeiro de 00 Etão 0 t P e = P 0e t Cheira a primitivação por partes!! Sejam s( t) = t s '( t ) = h '( t) e t t = h( t) = e ( ) P0e = 0Pe t= 0 e t P e t t t ( ) t t t = 0 e t e = 0e + t Desfazedo a substituição Retomado agora o itegral ( ) ( ) 0e t + t = 0e + ( ) + 0 b e d= 0 lim e ( b+ ) + e + b + Isolemos a primeira parte para ão adesar lim b b e ( b+ ) = lim e ( b+ ) = 0* b + Que é uma idetermiação. b + 3

14 Eame de Cálculo em 0 de Jaeiro de 00 b b+ lim e ( b+ ) = lim = + b + b e b b+ lim = lim b = lim = 0 + b + b e b + e e b b b b Assim sedo ( ) + 0e d= 0 e + c) Cosidere a fução ( α) α = g 0e d Calcule o diferecial de g( α) o poto α = com dα = 0.0 A epressão geérica do diferecial é, com a otação adaptada, ( α) = '( ) dg g α dα Ora sabemos que a derivada do itegral em relação ao limite superior é a fução itegrada esse limite superior: α g '( α) = 0e d = 0e ' α α 4

15 Eame de Cálculo em 0 de Jaeiro de 00 O diferecial pedido é etão: ( α) = ( α) α = dg g ' d 0 e.0.0 5