Exame Final Nacional de Matemática B Prova ª Fase Ensino Secundário º Ano de Escolaridade

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1 Exame Fial Nacioal de Matemática B Prova 735.ª Fase Esio Secudário º Ao de Escolaridade Decreto-Lei.º 139/01, de 5 de julho Duração da Prova: 150 miutos. Tolerâcia: 30 miutos. 8 Págias Utilize apeas caeta ou esferográfica de tita azul ou preta. É permitido o uso de régua, compasso, esquadro, trasferidor e calculadora gráfica. Não é permitido o uso de corretor. Risque aquilo que pretede que ão seja classificado. Para cada resposta, idetifique o grupo e o item. Apresete as suas respostas de forma legível. Apresete apeas uma resposta para cada item. A prova iclui um formulário. As cotações dos ites ecotram-se o fial do euciado da prova. Nas respostas aos ites, apresete todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações ecessárias. Sempre que recorrer à calculadora, apresete todos os elemetos visualizados a sua utilização, mais precisamete, cosoate a situação: os gráficos obtidos, com os potos relevates para a resolução assialados (por exemplo, potos de itersecção de gráficos, potos de máximos e potos de míimos); as lihas da tabela obtida que são relevates para a resolução; as listas que itroduziu a calculadora para obter as estatísticas relevates para a resolução (por exemplo, média, desvio padrão, coeficiete de correlação e declive e ordeada a origem de uma reta de regressão). Nos termos da lei em vigor, as provas de avaliação extera são obras protegidas pelo Código do Direito de Autor e dos Direitos Coexos. A sua divulgação ão suprime os direitos previstos a lei. Assim, é proibida a utilização destas provas, além do determiado a lei ou do permitido pelo IAVE, I.P., sedo expressamete vedada a sua exploração comercial. Prova 735/.ª F. Págia 1/ 8

2 Formulário Geometria Comprimeto de um arco de circuferêcia: ar ^a- amplitude, emradiaos, doâgulo ao cetro; r- raioh ou arr ^a -amplitude, emgraus, do âguloaocetro; r -raioh 180 Progressões Soma dos primeiros termos de uma progressão _ u i : Progressão aritmética: u + u 1 # Progressão geométrica: u r 1 # r 1 Áreas de figuras plaas Losago: Trapézio: Diagoal maior # Diagoal meor Base maior+ Base meor # Altura Polígoo regular: Semiperímetro # Apótema Sector circular: ar arr 360 ^a - amplitude, emradiaos, doâgulo ao cetro; r - raioh ou ^a -amplitude, emgraus, do âguloaocetro; r -raioh Áreas de superfícies Área lateral de um coe: r rg ^r- raio da base; g- geratrizh Área de uma superfície esférica: 4 r r ^r - raioh Probabilidades e Estatística Se X é uma variável aleatória discreta de valores x i com probabilidade p i, etão: : Valormédio de X : = px+ f + px 1 1 : Desvio padrão de X : v = p ] x - g + f + p ^x - h 1 1 Se X é uma variável aleatória ormal de valor médio e desvio padrão v, etão: P] - v 1 X 1 + vg. 0, 687 P] - v 1 X 1 + vg , P] - 3v 1 X 1 + 3vg , Área lateral de um cilidro reto: r rg ^r- raio da base; g- geratrizh Volumes Pirâmide: 1 # Áreadabase # Altura 3 Coe: 1 # Áreadabase # Altura 3 Esfera: 4 3 rr ^r- raioh 3 Cilidro: Áreadabase# Altura Prova 735/.ª F. Págia / 8

3 GRUPO I Um hotel está a publicitar um programa especial para um fim de semaa festivo. 1. Para esse fim de semaa, o hotel dispõe de 4 quartos triplos, 30 quartos duplos e 14 quartos idividuais. O hotel dispoibiliza dois tipos de pacotes, I e II, que diferem a oferta de quartos duplos, triplos e idividuais, para veder a operadores turísticos. Para se determiar o úmero de pacotes de cada tipo que o hotel deve veder, de modo a obter o valor máximo de receita, costruiu-se o seguite sistema de restrições: Z ] x $ 0 y $ 0 ] [ x + 3y# 4 ] 4x + 3y# 30 ] x + y# 14 \ Neste sistema, x e y represetam, respetivamete, o úmero de pacotes do tipo I e o úmero de pacotes do tipo II que o hotel pode veder Idetifique o úmero de quartos triplos, o úmero de quartos duplos e o úmero de quartos idividuais que compõem cada um dos tipos de pacotes. 1.. O preço de veda de cada pacote do tipo I é 600 euros, e o preço de veda de cada pacote do tipo II é 400 euros. Determie o úmero de pacotes de cada tipo que o hotel deve veder, para obter o valor máximo de receita. Na sua resposta, apresete: a fução objetivo; uma represetação gráfica da região admissível referete ao sistema de restrições; a solução do problema. Prova 735/.ª F. Págia 3/ 8

4 . Numa atividade orgaizada pela equipa de aimação do hotel, um aimador coloca cico bolas idistiguíveis ao tato, quatro azuis e uma verde, um saco opaco, para fazer um sorteio. O aimador retira, ao acaso, duas bolas do saco, uma de cada vez e sem reposição, e regista a cor de cada bola retirada. Seja X a variável aleatória «úmero de bolas azuis retiradas». Determie o valor médio da variável aleatória X. Na sua resposta, apresete a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória X. 3. Admita que a altura, em cetímetros, dos fucioários do hotel segue uma distribuição ormal de valor médio 160 cm e desvio padrão 10 cm. Qual é a probabilidade de um fucioário do hotel, escolhido ao acaso, ter etre 170 cm e 180 cm de altura? Apresete o resultado arredodado às cetésimas. Na sua resposta, utilize valores de probabilidade da distribuição ormal costates do formulário. Em cálculos itermédios, ão proceda a arredodametos. GRUPO II O hotel localiza-se os Açores e oferece aos hóspedes atividades a praia. Para plaear as atividades, a equipa de aimação cosulta regularmete as previsões da altura de maré o sítio do Istituto Hidrográfico. 1. Com base em previsões do Istituto Hidrográfico para a altura de maré o porto de Agra do Heroísmo, a ilha Terceira, referetes a um período de cico dias, obteve-se o seguite modelo: h^th = 0, , 484 # se^0,496t +, 196h,com t! 60, 10@ Este modelo dá, aproximadamete, a altura de maré, h, em metros, em fução do tempo, t, em horas, decorrido a partir de um certo istate iicial. O argumeto da fução seo está em radiaos. Determie, de acordo com o modelo apresetado, a difereça dos valores máximo e míimo da altura de maré o primeiro dia do referido período. Apresete o resultado, em metros, arredodado às uidades. Em cálculos itermédios, ão proceda a arredodametos. Prova 735/.ª F. Págia 4/ 8

5 . Com base em previsões do Istituto Hidrográfico para a altura de maré o porto da Horta, a ilha do Faial, para o dia 7 de julho de 016, foi costruído o gráfico da Figura 1, que ão está à escala. Nesta figura: t represeta o tempo, em horas, decorrido desde as zero horas do dia 7 de julho de 016; f ^th represeta a altura de maré, em metros, o istate t. f (t ) (8,03; 1,35) (0,43; 1,40) (4,91; 1,0) (11,16; 0,98) (17,41; 1,05) (1,78; 0,59) (14,18; 0,67) O t Figura 1 Cosidere válido um modelo de regressão siusoidal, y = ase^bx + ch + d, com o argumeto da fução seo em radiaos, obtido a partir das coordeadas dos potos represetados a Figura 1. Estime, com base esse modelo, a altura de maré o porto da Horta, às 1 horas do dia 7 de julho de 016. Na sua resposta, apresete os valores de a, b, c e d arredodados às cetésimas. Apresete o resultado, em metros, arredodado às cetésimas. Em cálculos itermédios, ão proceda a arredodametos. Prova 735/.ª F. Págia 5/ 8

6 GRUPO III Vai realizar-se o hotel uma coferêcia iteracioal da idústria de telecomuicações móveis. Esta idústria está em costate evolução e, ao após ao, tem aumetado o seu destaque os mercados mudiais. 1. Um determiado tipo de telemóvel começou a ser comercializado em 007. Admita que o úmero, N, em milhões, de telemóveis daquele tipo vedidos desde o iício da sua comercialização até ao istate t pode ser dado, aproximadamete, durate os aos de 008 a 015, por N^th= 1, 061# 1, 034 t 30 Neste modelo, t é o tempo, em dias, decorrido desde as zero horas do dia 1 de jaeiro de Determie o úmero de telemóveis daquele tipo vedidos desde o iício da sua comercialização até às zero horas do dia 1 de jaeiro de De acordo com o modelo apresetado, um determiado ao, o úmero total de telemóveis daquele tipo vedidos, desde o iício da sua comercialização, ultrapassou, pela primeira vez, milhões. Determie o ao em que tal ocorreu. Se, em cálculos itermédios, proceder a arredodametos, coserve, o míimo, três casas decimais O mês de fevereiro de 008 teve 9 dias. Iterprete a expressão N^60h N^31h. 0,04 o cotexto descrito.. Uma empresa persoaliza capas para telemóveis. Admita que o úmero, C, de tipos de capa existetes o catálogo da empresa, o istate t, em meses, pode ser dado, aproximadamete, por C^th = alog ^bt + 10h, com t! em que a e b são úmeros reais ão ulos e t = 0 correspode ao istate em que a empresa iiciou a sua atividade. Cosidere que cada mês tem trita dias..1. Quado iiciou a sua atividade, a empresa tiha um catálogo com 700 tipos de capa. Passados dois meses, o úmero de tipos de capa existetes o catálogo triplicou. Determie o valor de a e o valor de b. Prova 735/.ª F. Págia 6/ 8

7 .. Seja T a fução que dá a taxa de variação istatâea da fução C, para cada valor de t. Cosidere a afirmação seguite. De acordo com a fução C, o istate em que a empresa completou o primeiro trimestre da sua atividade, o úmero de tipos de capa existetes o catálogo estava a aumetar a uma taxa de 101 uidades por mês, aproximadamete. A afirmação aterior é uma iterpretação da expressão Tr ^ h. s, em que r e s desigam certos úmeros reais. Idetifique o valor de r e o valor de s. GRUPO IV No hotel, vai realizar-se um curso de formação sobre Matemática e Arte, com base em obras de Almada Negreiros. 1. Admita que, iicialmete, todos os participates o curso se cumprimetam com um úico aperto de mão. O úmero total de apertos de mão depede do úmero de participates, como se exemplifica a tabela seguite. Número de participates Número total de apertos de mão = = = Assim, caso estejam presetes participates, com, o úmero total de apertos de mão dados iicialmete é ^ 1h 1.1. Mostre que o úmero total de apertos de mão dados iicialmete, caso estejam presetes participates, é 1.. Admita que, iicialmete, foram dados exatamete 556 apertos de mão. Determie o úmero de participates o curso. Prova 735/.ª F. Págia 7/ 8

8 . A Figura é uma fotografia de parte da obra de Almada Negreiros ititulada Começar. Dois dos elemetos geométricos que se ecotram em Começar são um petagrama e uma circuferêcia, represetados a Figura 3. Nesta figura: os potos A, B, C, D e E são os vértices do petagrama pertecetes à circuferêcia; os potos F, G, H, I e J são os restates vértices do petagrama; o petagrama está decomposto o petágoo regular [FGHIJ ] e em cico triâgulos isósceles geometricamete iguais; o poto O é o cetro da circuferêcia e do petágoo regular; o poto M é o poto médio de [FG ], sedo [OM ] o apótema do petágoo regular e [MB] a altura do triâgulo isósceles [FBG ] relativa a [FG ]..1. Idetifique o lado extremidade do âgulo orietado com lado origem OA o e 504 o de amplitude. Justifique a sua resposta. Figura B C G F M O H D I Figura 3 J E A.. Admita que OB = 1 cm e que OM = 0,309 cm. Determie a área do petagrama. Apresete o resultado, em cm, arredodado às décimas. Em cálculos itermédios, utilize três casas decimais. FIM COTAÇÕES Grupo Item Cotação (em potos) I II III IV TOTAL 00 Prova 735/.ª F. Págia 8/ 8