Capítulo 2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

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1 Capítulo 2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 2. CONVERGÊNCIA O termo covergêcia é usado em dois diferetes cotextos, que são: covergêcia de trucameto e covergêcia iterativa (Fletcher, 997). A covergêcia de trucameto está relacioada ao fato de que a solução do sistema de equações algébricas obtidas pela discretização pode coicidir com a solução exata da equação diferecial em determiadas circustâcias. O processo de discretização pode ser ivertido, ou seja, através da expasão da série de Taylor pode-se recuperar a equação diferecial goverate do problema. Ou etão pode -se obter a solução exata da equação diferecial ao cosiderar-se um úmero ifiito de potos a malha. Num outro cotexto, covergêcia iterativa que será cosiderada este trabalho somete como covergêcia refere-se ao alcace da solução exata do sistema de equações algébricas discretizadas. A taxa, ou razão, de covergêcia pode ser vista como uma medida de quão rápido a solução forecida pelo método iterativo se aproxima da solução do sistema liear (Fortua, 2000). e Cosiderado a solução de uma variável de iteresse em duas iterações cosecutivas,, e a solução exata do sistema Φ, supodo que existe um úmero real ι 0, tal que: Φ ι Φ (2.) Se ι <, para todo, o erro da solução umérica é reduzido de um fator de ι a cada iteração. Cosiderado-se : Φ lim ι = lim = ι Φ (2.2)

2 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica. 8 por: Segudo Fortua (2000), a taxa de covergêcia de um processo iterativo pode ser dada τ = log ι (2.3) Tem-se etão que, se ι < o esquema iterativo coverge, se ι > diverge e se ι = ada pode se afirmar. Quato meor o valor de ι melhor é a covergêcia, ou seja ecessita -se de meos iterações para se obter Φ para uma mesma codição iicial. Segudo Ferziger e Peric (999), a covergêcia rápida é a chave da efetividade de um procedimeto iterativo. 2.. Critérios de Covergêcia Critérios de covergêcia iterativa, ou somete critérios de covergêcia, são critérios adotados para iterromper a execução de um processo iterativo, o que ão é uma decisão fácil. Existem problemas que possuem covergêcia leta e, caso a execução seja iterrompida por um critério mal escolhido, pode-se aida estar loge da solução covergida, ou seja, da solução exata do sistema de equações. Por outro lado, ao se utilizar um critério muito severo, e mater o processo iterado sem ecessidade, pode-se ter desperdício de recursos como o tempo computacioal. Quado a ordem de gradeza da variável de iteresse é cohecida, este caso, um critério absoluto pode ser eficiete, ou seja, baseado a difereça etre duas iterações sucessivas. O procedimeto é iterrompido quado esta difereça, medida por alguma orma, é meor que um valor pré-estabelecido, ormalmete deomiado tolerâcia ( ε ). + < ε (2.4) Segudo Roache (998), ao se utilizar este critério deve-se cuidar com a escolha de ε, pois este pode possibilitar a suspesão das iterações com uma solução prematura, tal como mostrado a Fig. 2.. Segudo citação feita por Roache (998), este comportameto ão é icomum (Igham, 968). Pode-se evitar esta parada prematura da computação, aalisado-se a seguda variação, ou seja, defiido-se os critérios:

3 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica. 9 + Figura 2. Comportameto apresetado pelo critério absoluto para algus procedimetos iterativos (Roache, 998). = + ε (2.5) = + ε 2 (2.6) Ou aida testado passos maiores de iteração: + 0 < ε (2.7) ode + 0 é a décima iteração obtida após a iteração. Mas ehum destes critérios pode substituir o exame do comportameto iterativo, Fig. 2., (Roache, 998). Se a ordem de gradeza da variável de iteresse ão é cohecida, a tarefa é mais difícil. Um critério freqüetemete empregado a literatura é o critério relativo, ou seja: + < ε (2.8) Este critério é ormalmete mais sigificativo, mas é obviamete mais perigoso, pois se estiver próximo de zero, pode-se ter idetermiação. Um outro aspecto importate do uso do critério relativo ressaltado por Malisa (995), é que este pode mater um processo iterativo

4 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica. 0 sedo executado, quado tudo o que iteressa do poto de vista físico já está sem variação. Para exemplificar, cosidera-se o campo de variação da variável com o valor míimo 0,000 e o valor máximo 000. Sedo que da iteração () para iteração ( + ), observa-se a variação de 0,008 para 0,0020 a magitude da variável. Ao se aplicar o critério dado pela Eq. (2.8) o valor ecotrado é 0,, ao passo que a variação de uma iteração para outra é de 0,0002. O resultado disto é que depededo do valor adotado para ε, pode-se gastar um grade tempo de computação sem ecessidade. Um critério que evita este problema cosiste em determiar a faixa de variação da variável de iteresse através dos valores máximo e míimo forecidos pela fução iterativa o domíio de cálculo. Isto é, defie-se: σ = max mi (2.9) E aplicado-se σ como referecial para o critério relativo, ou seja: + σ < ε (2.0) Com a utilização deste critério o exemplo descrito ateriormete, obtém-se o valor 0, , fazedo com que o critério de parada seja satisfeito atecipadamete. Dimiuido-se a tolerâcia do critério de covergêcia, pode -se reduzir os erros de covergêcia ou de iteração com um aumeto do custo computacioal. No etato, deve-se ter cuidado, pois estes critérios prestam iformações relativas à covergêcia, ão forecedo a magitude do erro cometido o processo iterativo, sedo esta uma tarefa destiada aos estimadores de erro. Além destes critérios existe m outros dispoíveis a literatura, como por exemplo: orma L 2 do resíduo (Fortua, 2000) e orma L do resíduo (Pataar, 980). Roache (998) faz algumas sugestões sobre o estabelecimeto da covergêcia de um processo iterativo: Não basta somete examiar o comportameto iterativo (Fig. 2.), deve-se ter também critérios quatitativos.

5 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica. Diferetes variáveis evolvidas em um mesmo processo iterativo podem apresetar diferetes taxas de covergêcia. Se a variável de covergêcia mais leta é cohecida, ela pode ser testada; caso cotrário todas as variáveis devem ser testadas. 2.2 CRITÉRIOS PARA MEDIR O DESEMPENHO DE UMA ESTIMATIVA DE ERRO Coforme descrito ateriormete, faz-se ecessário em CFD a utilização de estimadores de erro, devido à grade precisão exigida os cálculos. A qualidade de uma estimativa de erro pode ser avaliada através da sua efetividade (q ), que é defiida pela razão etre a icerteza (U ) e o erro (E ) (Zhu e Zieiewicz, 990): U θ = (2.) E Uma estimativa de erro ideal é aquela cuja efetividade é igual à uidade ( θ = ), isto é, quado a icerteza é igual ao erro ( U = E ). Quado a magitude da icerteza é maior do que a magitude do erro de iteração e ambas tem o mesmo sial, pode-se dizer que a estimativa do erro é cofiável (Marchi, 200). Matematicamete, diz -se que a estimativa do erro é cofiável quado: θ (2.2) Se a magitude da icerteza é aproximadamete igual à magitude do erro de iteração, diz-se que a estimativa do erro é acurada (Chapra e Caale, 994). Matematicamete, uma estimativa de erro com acurácia elevada sigifica que: θ (2.3) A defiição quatitativa do que é uma estimativa de erro acurada é o quão próximo da uidade deve estar a efetividade.

6 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica ESTIMADORES DE ERRO DE ITERAÇÃO São apresetados aqui algus estimadores do erro de iteração dispoíveis a literatura O Estimador Delta Roache (982) ão cosidera adequado se decidir sobre a covergêcia de um processo iterativo utilizado-se critérios relativos, ou seja, evolvedo a razão etre dois úmeros. Adota como critério de covergêcia de um processo iterativo a difereça etre os valores obtidos para a variável de iteresse em duas iterações, ou seja, um critério absoluto, dado em : ε (2.4) 2 Com 2 > e ε sedo um úmero pequeo variado de acordo com o problema. Se ε é cosiderado como sedo a tolerâcia, ou seja, o erro admitido, etão o primeiro membro da Eq. (2.4) os forece o erro da solução umérica a iteração correte. A estimativa do erro utilizado este fato é calculada pelo estimador de lta, deomiação adotada por Marchi (200) O Estimador de Ferziger e Peric Qualquer esquema iterativo para resolução de um sistema liear pode ser escrito como: = q (2.6) + A + ode: = vetor solução a -ésima iteração A = matriz iterativa (depede do esquema de iteração) q = fator de atualização (depede do problema) Cosiderado-se o valor absoluto do erro e a Eq. (.2): = Φ + E ) (2.7) ( ode:

7 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica. 3 Φ = solução covergida ou exata E( ) = erro de iteração de A covergêcia de um processo iterativo pode ser aalisada com auxílio dos autovalores µ e autovetores Ψ da matriz A (Golub, 990): AΨ = µ Ψ ; =,2,3... N (2.8) com N sedo o úmero de equações. O erro iicial E ) pode ser escrito como a combiação liear destes autovetores. ( 0 N E( = Ψ (2.9) 0 ) = a com a sedo uma geeralização dos coeficietes de Fourier (Ferziger e Peric, 996). Na -ésima iteração, tem-se: = N ) a = E( ( µ ) Ψ (2.20) O estimador do erro de iteração proposto por Ferziger e Peric (996), que será mecioado este trabalho como estimador FP, abrage problemas em que a malha obtida o processo de discretização pode ser ão-uiforme e também casos em que os auvalores associados às matrizes do processo iterativo sejam úmeros complexos. Com relação aos autovalores associados, tem-se dois casos: Autovalores reais Se o autovalor domiate µ, que é o autovalor de maior magitude (Golub, 996), é real, etão ao fial de muitas iterações, ou seja, quado, o erro domiate é o primeiro termo do somatório apresetado a Eq. (2.20). Deste fato e pela combiação das Eqs. (2.7) e (2.20), tem-se: ) Φ + a ( µ Ψ (2.2)

8 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica. 4 Uma expressão para o erro de iteração pode ser obtida pela difereça etre duas iterações sucessivas. Da Eq. (2.7), ( ) + = Φ + E + ( Φ + E( )) (2.22) Assim, com a Eq. (2.20), χ = + = a ( µ )( µ ) Ψ (2.23) Segudo Ferziger e Peric (996), o autovalor domiate µ pode ser estimado por: χ µ (2.24) χ ode = orma L 2 (Golub, 996). Tedo-se o autovalor, ão é difícil estimar o erro de iteração, através de: χ E ( ) = Φ a( µ ) Ψ (2.25) ( µ ) Autovalores complexos Métodos iterativos freqüetemete apresetam matrizes que possuem autovalores complexos. Se o autovalor de maior magitude ( µ ) é complexo, etão cosidera-se também o seu cojugado, pois se um úmero complexo é autovalor de uma matriz, coseqüetemete seu cojugado também o será (Golub, 996). A equação (2.2) fica etão represetada por: Φ + a ( µ Ψ (2.26) * * µ ) Ψ + a ( ) * com o símbolo * idicado cojugado.

9 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica. 5 Com base a Eq. (2.22), tem-se: * * * * ( µ ) ( µ ) a Ψ + ( µ ) ( ) Ψ χ + a (2.27) µ χ * * ( µ ) ω ( µ ) (2.28) + ω ode: ω = µ aψ ω * ( ) * * * ( µ ) Ψ = a A magitude do autovalor µ pode ser represetada por (Golub, 996): iϑ µ = le (2.29) Defiido-se: 2 [ cos(2ϑ ) ] 2 2 z = χ 2χ χ χ = 2l ω (2.30) Segudo Ferziger e Peric (996), estima-se o quadrado da magitude do autovalor por: 2 l = (2.3) z z Desta forma, quado se tem autovalores complexos, a estimativa do erro requer um grade úmero de aproximações implicado muitas vezes em oscilações e os resultados cotêm termos proporcioais ao cosseo do âgulo fase ϑ (argumeto do úmero complexo). Lembrado que se tem iteresse somete o valor absoluto, obtém-se: χ E( ) (2.32) l 2 +

10 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica. 6 Nos casos em que há oscilações a estimativa do erro por FP, esta ão deve ser acurada em algumas iterações particulares, mas deve ser uma boa aproximação para o todo (Ferziger e Peric, 996). No etato deve -se cuidar com o úmero de iterações ode ocorre este problema e aalisar em quais iterações esta estimativa ão é adequada. Algumas vezes, para se remover o efeito da oscilação cosidera-se um valor médio para o autovalor estimado sobre um certo úmero de iterações. Depededo do problema este úmero de iterações varia de a 50 (cerca de % do úmero total de iterações). Fialmete tem-se um caso que se pode tratar de autovalores reais e complexos. Para determiar se o autovalor domiate µ é real ou complexo, usa-se a expressão raio. z 2 r = (2.33) χ Se r é pequeo, etão µ é real, caso cotrário é complexo. Foi adotado por Ferziger e Peric (996) r = 0, como um idicador do tipo de autovalor, para etão se aplicar a expressão apropriada para o estimador de erro. Algoritmo para estimar erros de iteração, segudo Ferziger e Peric (996): Para aplicação do estimador FP ecessita-se de algus parâmetros, que são: i) χ ii) z = = χ + z iii) r = χ 2 2 χ χ χ Tem-se etão uma codicioal: Se r > 0, autovalor complexo Se r 0, autovalor real o Autovalor Complexo U = l 2 z l = z (2.34)

11 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica. 7 o Autovalor real U µ, ( + ) = ( µ ) ( = (, + ) ) (2.35) ode a icerteza ( U ) correspode à estimativa do erro ( E( ) ). Para processos iterativos com muitas iterações ( ), a estimativa do erro obtida pelo estimador FP apreseta problemas. Estes problemas ocorrem devido ao grade úmero de operações evolvidas o cálculo da icerteza, ocasioado erros de arredodameto. Por exemplo, as operações de subtração acarretam muitas vezes o problema do cacelameto subtrativo. Se a matriz iterativa (A) apresetar autovalores complexos, a estimativa do erro evolve um úmero bem maior de aproximações que para o caso de autovalores reais. Com isso, tem-se um grade úmero de oscilações os resultados uméricos para icerteza. Para cotorar este problema, os autores sugerem a utilização de um valor médio para o parâmetro l sobre um certo úmero de iterações, mas a utilização deste critério requer uma avaliação rigorosa sobre a quatidade e localização das oscilações. Para o caso de autovalores reais, se o parâmetro µ assumir valores muito próximos de tem-se idetermiação, pois o deomiador da Eq. (2.35) se tora próximo de zero. Desta forma, ão é possível se estimar o erro. Será mostrado o capítulo 3 que este parâmetro está diretamete relacioado com a ordem de covergêcia do processo iterativo. Portato, pode-se dizer que o estimador FP ão é adequado para se estimar erros de processos iterativos que têm covergêcia muito leta O Estimador de Kim, Aad e Rhode São avaliadas por Kim, Aad e Rhode (998) duas gradezas que são comumete usadas para decidir sobre a covergêcia iterativa de problemas uméricos. Uma alterativa é a utilização do resíduo das equações lieares algébricas discretizadas, que é bastate usado o método de volumes fiitos (Pataar, 980). Segudo Kim, Aad e Rhode, a aproximação do erro iterativo pelo resíduo é mais apropriada coceitualmete que a utilização de critérios absolutos, evolvidos a aproximação dada pelo estimador Delta, pois o resíduo expressa a difereça etre a solução ecotrada e a solução exata das equações discretizadas. Além disso,

12 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica. 8 um importate papel do resíduo é efatizado por Buzzi-Ferraris e Trocoi (993) a solução de equações algébricas ão-lieares. Para um domíio iteiro, o sistema de equações resultate de um processo de discretização pode ser escrito como: A = C (2.36) ( Métodos iterativos iiciam com uma estimativa iicial para solução em uma iteração ), etão calcula -se o valor de para a iteração (+) e assim sucessivamete até que + satisfaça a Eq. (2.36), quado isso ocorrer o processo iterativo é fializado. No etato, a Eq. (2.36) é produto da discretização, ou seja, aproximações para as equações difereciais parciais e ordiárias. Mesmo que ão se teha erro de arredodameto, + satisfazedo a Eq. (2.36) ão é a solução exata para equação diferecial que rege o problema. Kim, Aad e Rhode (998) questioam sobre a garatia de que os critérios de covergêcia absoluto e relativo assegurem que + é certamete solução para Eq. (2.36). Por esta razão sugerem o moitorameto do somatório do erro residual em cada ó da malha. Uma opção é declarar a covergêcia quado este somatório for meor que ε, com ε sedo um valor pequeo. O pricipal objetivo do trabalho de Kim, Aad e Rhode (998) é avaliar o uso do critério de covergêcia absoluto e propor um estimador de erro baseado o resíduo adimesioalizado ( R *). Cosiderado a Eq (2.36), o resíduo ( R ) para -ésima iteração é dado por: R = A C (2.37) Defie-se R * como sedo a soma do resíduo local adimesioalizado: R* = i, j i, j R A (2.38)

13 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica. 9 Na Eq. (2.37) a matriz coeficiete A pode ser particioada (Hirsch, 988) em uma soma de matrizes: L cotedo os elemetos abaixo da diagoal de A, D cotedo os elemetos ao logo da diagoal de A, e U cotedo os elemetos acima da diagoal de A, ou seja: A = L + D + U (2.39) De acordo com o processo iterativo de Jacobi, tem-se: D + = C L U (2.40) Subtraido D de ambos os lados a Eq. (2.40), vem: D + D = C L U D (2.4) Substituido a Eq. (2.5) em (2.4), obtém-se: D( ) = C L U D (2.42) D( ) = C ( L + D + U ) (2.43) D( ) = C A (2.44) R D( ) = (2.45) Assim mostra-se que a troca em de uma iteração para uma iteração (+) é proporcioal ao resíduo R a iteração. A pricipal suposição esta aálise é que A é estacioária; o etato, A muda de iteração para iteração para o caso de equações ão-lieares. Cosiderado-se Φ como sedo a solução exata para Eq. (2.36), se E( ) 0 quado, etão o método é covergete e pode-se escrever: R = AΦ C = 0 (2.46) Também, por defiição, (Kim, Aad e Rhode, 998):

14 = f (2.47) Capítulo 2. Revisão Bibliográfica. 20 R A - C Subtraido a Eq. (2.47) da Eq.(2.46), tem-se: R R = AΦ A C + C (2.48) Assumido que C é ivariate com, com o progresso da solução, a equação (2.48) pode ser reduzida para: R = Φ ) (2.49) A( R = AE ( ) (2.50) Comparado a Eq. (2.46) e a Eq. (2.50), vem: D ) = AE( ) (2.5) ( O erro origiado ao se cosiderar as matrizes A e C como sedo ivariates, decresce itidamete quado a covergêcia é alcaçada, em fução de (Kim, Aad e Rhode, 998). Etão, quado o processo está covergido, as matrizes A e C são essecialmete ivariates, isto é, quado o úmero de iterações tede a ifiito a Eq. (2.37) tede ao valor exato do erro. Coseqüetemete, moitorar a troca em de iteração para iteração ou moitorar o resíduo a discretização das equações é equivalete a moitorar o erro E( ). Os experimetos uméricos realizados por Kim, Aad e Rhode (998) evolveram um modelo computacioal de volumes fiitos que é comumete usado para escoameto (equações de Navier-Stoes). Na aálise de algus casos teste, que são represetativos de uma grade quatidade de problemas bidimesioais de fluido icompressível evolvedo a covecção e difusão de calor, cocluíram que, exceto com o uso de um fator de relaxameto meor que 0,2, o uso do critério absoluto é surpreedetemete mais próximo de E( ). Os resultados obtidos para R * foram sempre meores, porém meos oscilatórios que os apresetados pelo critério absoluto. Desta forma pode -se dizer que a estimativa obtida por R *

15 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica. 2 subestima a magitude de E( ), e com isso, ão demostrado ser cofiável. Cotudo, R * apresetou um comportameto semelhate a E( ), com relação às oscilações O Estimador de Roy e Blotter A variável de iteresse () cosiderada por Roy e Blotter (200) para o desevolvimeto deste estimador de erro foi o fluxo de calor em regime permaete. Neste problema tem-se muita ateção com os resultados uméricos, pois este requer grade precisão. É realizada uma aálise sobre a covergêcia iterativa de malhas e propõe-se empiricamete um estimador para a magitude do erro de iteração, baseado o fato deste apresetar um comportameto expoecial com as iterações. No presete trabalho o estimador de erro de iteração proposto por Roy e Blotter (200) será deotado por RB. Neste estimador, o erro de iteração é defiido por E ( ) = (2.52) ode: = solução umérica da variável de iteresse a iteração. = solução exata extrapolada de, sem erros de arredodameto ou programação. Visado uma uiformidade, cosidera-se aqui a mesma expressão para o erro iterativo proposta o capítulo, ou seja: E( ) (2.53) = Tem-se, etão: + E( ) = (2.54) Foi observado por Roy e Blotter (200) que o erro de iteração para o código SACCARA (código computacioal utilizado em seus experimetos), apresetou comportameto expoecial do tipo:

16 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica. 22 E ( p ) = α e (2.55) ode α é um coeficiete que se admite ter valor costate, portato idepedete de, que é o úmero de iterações e p correspodedo à ordem do erro de iteração. No etato, a equação geral do erro de iteração é composta por um úico termo somete em problemas muito simples. Na maioria dos casos esta expressão tem vários termos, embora para ao valor do primeiro termo. Substituido a Eq. (2.53) em (2.55), tem-se:, o valor do erro tede (2.56) p e = α Cosiderado a Eq. (2.56) para iterações ( -) e (), pode-se deduzir a expressão de : = α e = α e ( ) p p (2.57) (2.58) Da Eq. (2.57), tem-se: ( ) p = + α e (2.59) Com a substituição da Eq. (2.59) a Eq. (2.58): (2.60) p p e ( ) e + α = α Com isso pode-se escrever: p p+ p α = (2.6) e e Aalogamete cosiderado a Eq. (2.56) para duas iterações quaisquer e 2, com < 2, tem-se a seguite expressão:

17 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica. 23 α = (2.62) 2 2 p e p e Do poto de vista prático, cosiderar ão é factível, ou seja, ão é possível se obter um úmero ifiito de iterações. Deste fato pode -se cocluir que adotar α costate, ou seja idepedete de, coforme admitido a Eq. (2.55) é icorreto; maiores detalhes sobre este fato são apresetados o capítulo 3. Cosiderado etão, a Eq. (2.62) em (2.59), obtém-se a seguite expressão para a estimativa da solução exata extrapolada: = + (2.63) p e Cuja expressão semelhate para iterações e 2, é dada por: 2 = + (2.64) ( 2 ) p e Aplicado o logaritmo eperiao a Eq. (2.55), tem-se: p l( E( )) = l( αe ) (2.65) l( E ( )) = lα p (2.66) Substituido a Eq. (2.53) em (2.66): l ( ) = l α - p p (2.67) ( ) = l α - l (2.68) Cosiderado a Eq. (2.68) para iterações (-) e (), tem-se:

18 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica. 24 ( ) p = l α l( ) ( ) p = l α l( ) (2.69) (2.70) Subtraido a Eq. (2.70) de (2.69): p ( ) l ( ) = l (2.7) Tem-se etão: p = l (2.72) De maeira aáloga para iterações e 2, tem-se: p = l 2 (2.73) Com base as expressões ateriores, com 3 > 2 >, é proposto por Roy e Blotter, estimar o erro de iteração a iteração 2, através da expressão: 3 2 U = (2.74) 2 ϖ ode: ϖ 3 2 = (2.75) 2 Estes resultados estão relacioados aos apresetados por Ferziger e Peric (996) para se estimar o erro de iteração, mas estes autores empregam outras aproximações. Se os autovalores são complexos, etão esta aproximação ão é apropriada, deve -se etão utilizar o estimador FP.

19 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica SISTEMAS DE EQUAÇÕES Um problema de grade iteresse que aparece ao se utilizar modelos uméricos, é o da resolução de um sistema liear S de equações com icógitas, S ax + a2x ax = b a2x + a22x a2x = b2 =... ax + a2x ax = b (2.76) Sob a forma matricial S pode ser escrito como AX = B (2.77) ode A é uma matriz quadrada de ordem, B e X são matrizes, isto é, com lihas e uma colua, a ij é chamado coeficiete da icógita x j e os b i são chamados termos idepedetes, com i, j =, 2,...,. A matriz A é chamada matriz dos coeficietes ou matriz associada ao sistema. Tato sob o poto de vista das propriedades matemáticas como o da resolução de problemas através do computador, é importate levar em cota a estrutura das matrizes dos problemas aplicados. Um desses aspectos estruturais é a distribuição dos elemetos ulos das matrizes (isso, por exemplo, permite dimiuir as exigêcias de memória de computador). Nos problemas de egeharia, uma estrutura muito comum é a das matrizes bada, que são matrizes cujos úicos elemetos ão-ulos estão a diagoal pricipal e suas vizihas. É comum o estudo de equações difereciais de seguda ordem com codições de cotoro, a resolução de sistemas de equações cuja matriz associada é tridiagoal, ou seja, é uma matriz cujos úicos elemetos ão-ulos estão em três diagoais. De maeira mais formal, uma matriz é tridiagoal se a 0 sempre que < i j. i, j =

20 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES A resolução umérica de um sistema liear é feita, em geral, por dois camihos (Barroso, 987): os métodos diretos e os métodos iterativos. São exemplos de métodos diretos: elimiação de Gauss, fatoração LU, fatoração de Cholesy, método de Crout e método de Doolittle (Kreyszig, 999). Em sistemas cujas matrizes associadas são esparsas, ou seja, possuem muitos elemetos ulos, a utilização de métodos diretos ão é adequada, pois a sua esparsidade pode ser destruída. Os métodos diretos são processo fiitos, e, portato, teoricamete, obtêm a solução de qualquer sistema ão sigular de equações com um umero de operações pré-estabelecido (Ruggiero e Lopes, 998). Em cotraste, os métodos iterativos ou idiretos apresetam um úmero de operações variável, ou seja, ão cohecido a priori. Neste caso, o úmero de operações varia de acordo com o critério de parada adotado. Um método iterativo cosiste em uma aproximação iicial para as variáveis de iteresse e etão, através da repetição de um ciclo computacioal se obtém soluções sucessivas até que se alcace a acurácia exigida (Kreyszig, 999). O uso de métodos iterativos é ideal em problemas que apresetam matrizes esparsas, ão havedo assim ecessidade de se armazear os elemetos ulos da matriz. 2.6 RESUMO DO CAPÍTULO Neste capítulo foram apresetados o coceito e critérios de covergêcia para um processo iterativo. Foram defiidos os coceitos de efetividade, cofiabilidade e acurácia de uma estimativa de erro ou icerteza. Foram descritos quatro estimadores de erro de iteração que estão dispoíveis a literatura: o estimador delta, estimador de Ferziger e Peric (FP), estimador de Kim, Aad e Rhode, e o estimador de Roy e Blotter (RB). Discutiu-se também sobre a estrutura e resolução de sistemas de equações ecotrados em problemas de egeharia.

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