Análise da Resposta Livre de Sistemas Dinâmicos de 2 a Ordem

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1 Aálise da Resposta Livre de Sistemas Diâmicos de Seguda Ordem 5 Aálise da Resposta Livre de Sistemas Diâmicos de a Ordem INTRODUÇÃO Estudaremos, agora, a resposta livre de sistemas diâmicos de a ordem Serão apresetados, também, algus ovos parâmetros desse tipo de sistema A resposta livre será classificada, em fução de um desses parâmetros, em quatro casos, sedo que em dois deles existe oscilação (vibração) e os outros dois a resposta livre ão é oscilatória FREQÜÊNCIA NATURAL PERÍODO NATURAL COEFICIENTE DE AMORTECIMENTO FATOR DE AMORTECIMENTO Vamos apresetar o assuto através de um sistema mecâico de a ordem, cujo modelo matemático é dado pela EDOL () m x(t) + c x(t) + kx(t) f(t) Os resultados obtidos se aplicam aos demais sistemas diâmicos de a ordem, sejam eles elétricos, eletromecâicos, etc No caso de resposta livre ão existe excitação extera durate o movimeto, de maeira que f(t) O movimeto é, etão, causado pelas codições iiciais x(o) x (deslocameto iicial) e/ou x () x (velocidade iicial) Logo, a EDOL passa a ser () m x(t) + c x(t) + kx(t) Dividido a eq () por m: c k (3) x(t) + x(t) + x(t) m m Vamos defiir, agora, algus ovos parâmetros do sistema: Freqüêcia Natural A freqüêcia atural é defiida por (4) ω k m ode a uidade SI é o rad/s Notemos que k/m é o coeficiete da variável depedete, x(t), da eq (3) A ω, expressa em rad/s, recebe o ome de freqüêcia agular atural ou freqüêcia circular

2 Aálise da Resposta Livre de Sistemas Diâmicos de Seguda Ordem atural No caso de se expressar esse parâmetro em Hz, basta dividir ω por π, passado a ser chamado, simplesmete, de freqüêcia atural: (5) f π k m Fisicamete, a freqüêcia atural dada pela eq (5) correspode à quatidade de ciclos por segudo que o sistema apreseta quado em vibração livre Período Natural É defiido como o iverso da freqüêcia atural, sedo a sua uidade SI o s: (6) τ f π m k Coforme foi estudado a Apostila 5, quado o grau de liberdade x(t) do sistema mecâico está a vertical, existe a relação de equilíbrio estático mg kδ est Logo, para esse caso, é fácil mostrar que os parâmetros acima podem ser expressos, respectivamete, por (7) ω g δ est (8) f π g δ est (9) τ δ g est π ode g é a aceleração da gravidade, em m/s e δ est é o deslocameto estático, defiido ateriormete Coeficiete de Amortecimeto Crítico Trata-se de um parâmetro fictício Todo sistema possui um coeficiete de amortecimeto real, c, e um coeficiete de amortecimeto crítico, c cr, defiido como () c cr mω km O sigificado físico de c cr será melhor etedido mais adiate Fator de Amortecimeto (ou Razão de Amortecimeto ou Relação de Amortecimeto) É defiido como a relação etre o coeficiete de amortecimeto real, c, e o coeficiete de amortecimeto crítico, c cr : () ζ c/c cr Podemos ver facilmete que o fator de amortecimeto é adimesioal Levado em cota a eq (), temos

3 Aálise da Resposta Livre de Sistemas Diâmicos de Seguda Ordem 3 () ς c mω Na expressão do fator de amortecimeto estão presetes os três elemetos básicos do sistema mecâico: m, c e k (esse último idiretamete, através da ω ver eq (4)) Portato, o fator de amortecimeto é represetativo de todo o sistema 3 RESPOSTA LIVRE DE UM SISTEMA MECÂNICO DE a ORDEM Levado em cota as eqs (4) e (), a eq (3) pode ser rescrita assim: (3) x(t) + ςω x(t) + ω x(t) Da Teoria das Equações Difereciais, temos que a solução de uma EDOL de a ordem homogêea é dada por (4) s t st x (t) Ae + Be ode A e B são costates a serem determiadas pelas codições iiciais do problema e s e s são as raízes da equação característica seguite, associada à EDOL (3): (5) s + ζω s + ω As raízes s e s são dadas por (6) s, (- ζ ± ς )ω Evidetemete, os valores das raízes s e s depedem do valor de ζ, podedo as mesmas assumir valores reais ou complexos Assim, de acordo com o valor de ζ, temos 4 casos: I ζ <, o que implica em duas raízes complexas e cojugadas II ζ, o que implica em duas raízes reais e iguais III ζ >, o que implica em duas raízes reais e diferetes IV ζ, o que implica em duas raízes imagiárias puras cojugadas A fig, abaixo, ilustra os 4 casos o plao complexo: Fig Estudaremos, a seguir, cada um dos 4 casos citados

4 Aálise da Resposta Livre de Sistemas Diâmicos de Seguda Ordem 4 4 CASO I: ζ < MOVIMENTO SUBAMORTECIDO Também cohecido como vibração livre com amortecimeto viscoso, é o caso de maior iteresse em egeharia, devido à grade freqüêcia com que ocorre a prática Um exemplo clássico é suspesão idepedete de um automóvel, ilustrada a fig : Fig Tomado as trasformadas de Laplace da eq (3) e levado em cota as codições iiciais, temos: (s + ζω )x + x (7) (s) s + ζω s + ω O deomiador da eq (7) pode ser expresso como (8) ode (9) s + ζω s + ω (s + ζω ) + ω d ω ζ ω d é a chamada freqüêcia agular atural amortecida, em rad/s A partir dessa ova propriedade, podemos também defiir a freqüêcia atural amortecida, f d (em Hz) e o período atural amortecido, τ d, dados, respectivamete, por () () ωd ω fd π τ d f d ω ζ π π ζ Expadido a eq (7) em frações parciais (utilizado a eq (8)) e voltado ao domíio do tempo, chegamos à expressão da resposta livre () x(t) e ςωt x ςωx + x cos ωdt + ω d se ω dt composta pelo produto de uma fução expoecial decrescete por uma fução harmôica A fução harmôica é claramete oscilatória (composição de seos e cosseos), ao passo que a expoecial

5 Aálise da Resposta Livre de Sistemas Diâmicos de Seguda Ordem 5 decrescete faz com que haja uma dimiuição da amplitude da fução harmôica à medida que o tempo cresce Trata-se, portato, de um movimeto oscilatório amortecido, logo, de uma vibração livre amortecida A represetação gráfica da eq () está mostrada a fig 3 (ode aparece o fuil criado pela expoecial decrescete), para os seguites dados: ζ, ω 5 rad/s x x, m/s Fig 3 5 CASO II: ζ MOVIMENTO COM AMORTECIMENTO CRÍTICO Para obter a equação da resposta livre para esse caso, basta fazer ζ a eq (): (3) x ω x(t) e t + ( ωx + x )t composta pelo produto de uma expoecial decrescete por uma liha reta Logo, ão há oscilação, como ocorre o caso I A fig 4 ilustra a eq (3) para ζ, ω rad/s, posição iicial ula e algus valores de velocidade iicial Fig 4 Esse caso recebe o ome de movimeto com amortecimeto crítico exatamete pelo fato de se situar etre o movimeto subamortecido, que vimos há pouco, e o movimeto superamortecido, que

6 Aálise da Resposta Livre de Sistemas Diâmicos de Seguda Ordem 6 estudaremos a seguir Uma característica importate do movimeto com amortecimeto crítico é que, além de ão apresetar vibração, a volta ao repouso se dá em um tempo míimo Isso recomeda esse tipo de movimeto para certas aplicações, tais como os maipuladores robóticos, ode é desejável que o movimeto de um poto ao outro se dê sem vibração (por questões de precisão) e um tempo míimo (por questões de produtividade) 6 CASO III: ζ > MOVIMENTO SUPERAMORTECIDO Nesse caso, podemos rescrever a equação geral (7): (s + ζω )x + x (7) (s) s + ζω s + ω e colocá-la a forma c c (4) (s) + s s s s ode s e s são as raízes dadas pela eq (6) e c e c são calculados aplicado as codições iiciais do problema A solução, por fim, é dada por (5) s t x (t) c e + st c e A fig 5 represeta o gráfico da eq (5), para ζ,4, ω 4 rad/s, posição iicial ula e algus valores de velocidade iicial Fig 5 Esse tipo de movimeto recebe o ome de movimeto superamortecido e ão costitui uma vibração, assim como o caso do movimeto com amortecimeto crítico A difereça etre esses dois tipos de movimeto está o tempo de retoro ao repouso: o caso do movimeto com amortecimeto crítico, esse tempo é míimo, equato que o caso superamortecido ele ão o é Um exemplo clássico de movimeto superamortecido é a porta equipada com um cojuto mola-amortecedor, quado desejamos que a mesma, uma vez aberta, retore à posição de fechameto sem oscilar, ão havedo ecessidade que tal se dê em um tempo míimo

7 Aálise da Resposta Livre de Sistemas Diâmicos de Seguda Ordem 7 7 CASO IV: ζ MOVIMENTO SEM AMORTECIMENTO Embora ão exista, a prática, um sistema totalmete desprovido de amortecimeto, algumas vezes o amortecimeto é tão pequeo que podemos cosiderá-lo ulo Nesse caso, o movimeto é oscilatório, sedo também chamado de vibração livre sem amortecimeto, ou, também, movimeto harmôico Exemplos clássicos são os sistemas pedulares, em que é desprezado o atrito a articulação e o atrito com o ar Para obtermos a resposta livre, basta fazer ζ a eq (), chegado a x (6) x(t) x cos ωt + se ωt ω Um gráfico da eq (6) está ilustrado a fig 6: Fig 6 8 DECREMENTO LOGARÍTMICO DA AMPLITUDE Apresetaremos, agora, um ovo parâmetro da vibração livre de um sistema mecâico com amortecimeto viscoso, o decremeto logarítmico da amplitude, o qual, assim como o fator de amortecimeto, também forece uma medida do amortecimeto viscoso da vibração subamortecida Portato, só se aplica ao caso em que ζ < O decremeto logarítmico da amplitude é muito usado em associação com istrumetos de medida de vibração Defiimos decremeto logarítmico da amplitude, δ, por (7) δ l + ode é a amplitude que ocorre o istate t e + é a amplitude que ocorre um ciclo após, ou seja, o istate t +, coforme ilustra a fig 7:

8 Aálise da Resposta Livre de Sistemas Diâmicos de Seguda Ordem 8 Fig 7 A curva da fig 7 é o gráfico da equação da resposta livre de um sistema subamortecido, a qual, coforme já vimos, é dada por: (8) x(t) e ςωt x ςωx + x cos ωdt + ω d se ω dt Tedo em vista que a fução harmôica etre colchetes ão cotribui para o amortecimeto (por ser harmôica), podemos aplicar a eq (7) para os istates t e t +, cosiderado apeas a parte expoecial decrescete da eq(8): ςωt e δ l ςωt + e Como t + t + τ d, etão ςωt e ςωτd δ l l e, logo ςωt ςωτd e e (9) δ ζω τ d Por outro lado, sabemos que τ d π/ω d Levado a eq (9), obtemos (3) δ π / ω ς πς ς Obs: ão é difícil mostrar que o decremeto logarítmico da amplitude também pode ser dado por (3) ode δ l é a amplitude o iício do o ciclo e é amplitude do iício do -ésimo ciclo (ver fig 7) Valores típicos de δ para amortecedores de automóveis variam de δ 4 (ovo) a δ (usado)

9 Aálise da Resposta Livre de Sistemas Diâmicos de Seguda Ordem 9 EERCÍCIOS Cosidere o movimeto oscilatório amortecido, mostrado a figura e os seguites dados: ζ, ω 5 rad/s Determiar: (a) freqüêcia atural, em Hz; (b) período atural, em s; (c) freqüêcia agular atural amortecida, em rad/s; (d) freqüêcia atural amortecida, em Hz; (e) período atural amortecido, em s; Resp: (a),7958 Hz (b),57 s (c) 4,97494 rad/s (c),798 Hz (e),63 s O sistema da figura tem os seguites parâmetros: m kg; c 5 Ns/m; k N/m; L m Achar: (a) Rigidez equivalete, em N/m; (b) Freqüêcia atural, em Hz; (c) Fator de amortecimeto; (d) Tipo de resposta livre; (e) Modelo matemático (equação diferecial); (f) Equação da resposta livre, sedo as codições iiciais dada por um deslocameto agular iicial θ(),5 rad e velocidade iicial ula 3 Um Egeheiro, um primeiro cálculo aproximado, deseja estimar a rigidez de cada mola e o coeficiete de amortecimeto de cada amortecedor a serem utilizados em uma suspesão idepedete de um automóvel, composta de 4 molas e 4 amortecedores Como hipóteses simplificadoras, ele admite que: - a massa do carro, estimada em 5 kg, distribui-se igualmete pelas 4 rodas; - o movimeto da carroceria se dá apeas a vertical (traslação); - a freqüêcia atural, por questões de coforto, deve ficar em toro de,5 Hz; - a carroceria, quado deslocada da posição de equilíbrio estático, deve voltar à mesma sem oscilar e um tempo míimo Nessas codições, pedem-se: (a) rigidez de cada mola, em N/m; (b) coeficiete de amortecimeto de cada amortecedor, em Ns/m

10 Aálise da Resposta Livre de Sistemas Diâmicos de Seguda Ordem 4 A figura mostra a suspesão diateira idepedete de um automóvel de massa total 4 kg As molas têm, cada uma, rigidez de 5 kn/m Desprezado o amortecimeto, calcular a freqüêcia atural das oscilações verticais, em Hz Cosiderar que o peso do carro se distribui igualmete pelas 4 rodas Resp:,33 Hz 5 Uma massa de 5 kg está suspesa por uma mola de rigidez N/mm, a qual, por sua vez, está suspesa a extremidade de uma viga de aço (E 5 N/mm ) em balaço, de comprimeto 5 mm, largura mm e espessura 3 mm Determiar a freqüêcia atural do sistema Resp:,97 Hz 6 Mostrar que o decremeto logarítmico da amplitude também pode ser dada por o δ l, ode é a amplitude o iício do primeiro ciclo e é a amplitude o iício do - ésimo ciclo Solução l l e δ 3 δ δ (e l δ ) e δ

11 Aálise da Resposta Livre de Sistemas Diâmicos de Seguda Ordem 7 Um peso P, atuado estaticamete o cetro de uma viga bi-apoiada, produz uma deformação de mm a mesma Vibrado em cojuto com um amortecedor, verifica-se que a amplitude o iício do décimo ciclo é metade da amplitude do iício do primeiro ciclo Determiar: (a) Decremeto logarítmico da amplitude; (b) Fator de amortecimeto; (c) Período da vibração amortecida Resp (a),693; (b),; (c),9 s 8 Para um fator de amortecimeto,, qual é a difereça percetual etre as freqüêcias aturais com e sem amortecimeto? Resp: % 9 Qual a razão etre duas amplitudes cosecutivas quaisquer quado o fator de amortecimeto vale,5? Resp: 37,5: Dada a figura com o registro da resposta livre de um sistema mecâico, determiar: (a) Decremeto logarítmico da amplitude; (b) Fator de amortecimeto Resp: (a),9 (b),4

12 Aálise da Resposta Livre de Sistemas Diâmicos de Seguda Ordem Um dispositivo possui um fator de amortecimeto viscoso ajustável Iicialmete, ele está regulado de tal modo que a razão etre duas amplitudes cosecutivas quaisquer é de : Se o fator de amortecimeto do dispositivo for dobrado, qual será a razão etre duas amplitudes cosecutivas quaisquer? Resp: 387,5 Um dispositivo de teste cosiste de um cilidro peumático cujo pistão acelera um corpo até o mesmo atigir uma velocidade de 3m/s (pistão e corpo possuem, em cojuto, massa total 5 kg) Nesse istate, o cojuto é desacelerado, ao se egajar com uma mola (rigidez 5 N/m) e um amortecedor viscoso (coeficiete de amortecimeto Ns/m) Determiar o máximo deslocameto experimetado pelo cojuto e o tempo que leva o cojuto para atigir esse deslocameto Resp:, m;, s