Resposta ao Impulso, ao Degrau e à Excitação Arbitrária

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1 9 Resposta ao Impulso, ao Degrau e à Excitação Arbitrária INTRODUÇÃO Estuamos, até agora, a resposta e sistemas iâmicos às excitações harmôicas e perióicas, seo que essas últimas foram trasformaas, através e uma série e Fourier, em excitações harmôicas A questão que aturalmete surge é: como obtemos a resposta quao a excitação é arbitrária? É e se esperar, aliás, que a excitação arbitrária seja a mais comum, a prática Ates e iscutirmos a resposta à excitação arbitrária, vamos cosierar a resposta a ois tipos especiais e forçameto, as fuções impulso e egrau uitários Vamos utilizar como moelo, em osso estuo, sistemas mecâicos e a e a ores Obviamete, os resultaos obtios se aplicam aos emais tipos e sistemas físicos aálogos RESPOSTA AO IMPULSO O impulso uitário (ou fução Delta e Dirac) é efiio como seo a fução δ(t), tal que (a) δ(t - a) t a (b) coforme ilustra a fig : + δ( t a)t Fig A trasformaa e Laplace o impulso uitário é aa por () (s) e -as É muito comum, a prática, que o impulso ocorra o istate a Nesse caso: (3) (s)

2 Resposta ao impulso: é efiia como seo a resposta e um sistema ao impulso uitário aplicao o istate t, com coições iiciais ulas (sistema iicialmete em repouso) Evietemete, se o impulso uitário for aplicao um istate e tempo posterior, t a, a resposta será obtia eslocao-a para a ireita, ao logo o eixo o tempo, e um itervalo t a RESPOSTA DE SISTEMAS DE a ORDEM O moelo matemático para um sistema e a orem ilustrao a fig foi obtio ateriormete como seo Fig (4) c x(t) + kx(t) f(t) Substituio f(t) por δ(t) e tomao a trasformaa e Laplace para coições iiciais ulas: Isolao X(s) e teo em cota a eq (3): (5) (cs + k)x(s) (s) X(s) cs + k Teo em vista a efiição e costate e tempo e um sistema mecâico e a orem, aa por (6) τ c/k poemos rescrever a eq (5) como X(s) kτs + k kτ s + τ Voltao ao omíio o tempo, obtemos a resposta e um sistema e a orem ao impulso uitário: t t (7) x (t) e τ u(t) e τ δ u(t) kτ c oe x δ (t) simboliza a resposta ao impulso e u(t) é o egrau uitário, o qual multiplica a resposta porque ela eve ser ula para t < Por outro lao, a resposta e um sistema e a orem submetio a uma coição iicial x() x é aa, coforme já vimos, por: (8) x(t) x e -t/τ

3 3 Portato, comparao as eqs (7) e (8), cocluímos que a resposta ao impulso e um sistema e a orem equivale à resposta o mesmo a uma coição iicial No presete caso, a coição iicial é o eslocameto iicial ao por x() /c RESPOSTA DE SISTEMAS DE a ORDEM O moelo matemático para um sistema e a orem como o ilustrao a fig 3 é ao por Fig 3 (9) m x(t) + c x(t) + kx(t) f(t) Substituio f(t) por δ(t) e tomao a trasformaa e Laplace para coições iiciais ulas: (ms + cs + k)x(s) (s) Isolao X(s) e teo em cota a eq (3): () X(s) ms + cs + k Cosierao o sistema subamortecio e levao em cota que rescrever a eq () como () X(s) m(s + ςω s + ω ) k ω e que m ς c, poemos Para obter a trasformaa iversa e Laplace, é coveiete expair o membro ireito a eq () em frações parciais Deixamos a cargo o aluo mostrar que: () X(s) m(s s ) s s s s oe s e s são as raízes a equação s + ζω s + ω, aas por (3) s, -ζω ± iω e oe ω é a freqüêcia agular amortecia

4 4 (4) ω ω ζ Poemos, etão, voltar ao omíio o tempo achao as trasformaas iversas a eq (), obteo x(t) m(s s ) s t s t ( e e ) Substituio s e s aas pela eq (3) a equação acima, obtemos a resposta e um sistema e a orem ao impulso: ςωt (5) xδ (t) e se ωtu(t) oe x δ (t) simboliza a resposta ao impulso e u(t) é o egrau uitário Notemos que a resposta foi multiplicaa por u(t) teo em vista que ela eve ser ula para t < Por outro lao, a resposta e um sistema e a x () x é aa coforme já vimos, por: orem submetio às coições iiciais x() e ςω x x x t t (6) x(t) e ςω + x cos t se t ςω ω + ω e se ωt ω ω Portato, comparao as eqs (5) e (6), cocluímos que a resposta ao impulso e um sistema e a orem é equivalete à resposta o mesmo a uma coição iicial No presete caso, a coição iicial é a velociae iicial aa por x () x /m 3 RESPOSTA AO DEGRAU O egrau uitário, ilustrao a fig 4, é efiio matematicamete como (7) u(t - a) para para t < a t > a Fig 4 A trasformaa e Laplace o egrau uitário é aa por (8) U(s) e -as /s

5 5 É muito comum, a prática, que o egrau uitário ocorra o istate a Nesse caso: (9) U(s) /s Resposta ao egrau: é efiia como seo a resposta e um sistema ao egrau uitário aplicao o istate t, com coições iiciais ulas (sistema iicialmete em repouso) Evietemete, se o egrau uitário for aplicao um istate e tempo posterior, t a, a resposta será obtia eslocao-a para a ireita, ao logo o eixo os tempos, e um itervalo t a Vamos estuar, a seguir, a resposta e sistemas e a e a ores RESPOSTA DE SISTEMAS DE a ORDEM Coforme já vimos, o moelo matemático é ao pela eq (4), aqui repetia: (4) c x(t) + kx(t) f(t) Substituio f(t) por u(t) e tomao a trasformaa e Laplace para coições iiciais ulas: (cs + k)x(s) U(s) Isolao X(s) e teo em cota a eq (9): () X(s) s cs + k Teo em vista a efiição e costate e tempo e um sistema e a orem, aa pela eq (6), poemos substituir a eq () e expair a mesma em frações parciais, obteo: () X(s) k s s + τ Voltao ao omíio o tempo, obtemos a resposta ao egrau: () x (t) t u e τ u(t) k oe x u (t) simboliza a resposta ao egrau e u(t) é o egrau uitário Notemos que a resposta foi multiplicaa por u(t) teo em vista que ela eve ser ula para t < O gráfico a eq () está ilustrao a fig 5:

6 6 Fig 5 RESPOSTA DE SISTEMAS DE a ORDEM Comparao as eqs (3) e (9), cocluímos que o egrau uitário é a itegral o impulso uitário Se o sistema é liear, poemos aplicar o Pricípio a Superposição e estabelecer que a resposta ao egrau uitário é a itegral a resposta ao impulso uitário, ou, simbolicamete: (3) xu(t) xδ( ξ) ξ t oe ξ é uma variável mua Aplicao a proprieae acima, simplesmete substituímos x δ (t), aa pela eq (5), a eq (3): t xu(t) ςω ξ se ω ξu( ξ) ξ Teo em cota a efiição e egrau uitário, poemos rescrever a equação acima como t ςωξ (4) xu(t) ω ξ ξ ω e se m Usao a fórmula e Euler se ω ξ e iω ξ e i iω ξ a eq (4), e realizao a itegração, chegamos, após algum trabalho algébrico, à resposta ao egrau ςω t ςω (5) xu (t) e cos t se t u(t) k ω + ω ω cujo gráfico está ilustrao a fig 6, para ω ra/s e ζ,

7 7 Fig 6 oe cocluímos que a resposta ao egrau uitário é uma oscilação amortecia que ocorre em toro e /k, seo k a rigiez o sistema 4 RESPOSTA À EXCITAÇÃO ARBITRÁRIA INTEGRAL DE CONVOLUÇÃO Vamos, agora, cosierar o caso e uma excitação arbitrária (qualquer) Para achar a resposta a uma excitação essa atureza, utilizaremos o Métoo a Covolução, também cohecio como Métoo a Itegral e Duhamel Esse métoo se estaca por sua ampla aplicabiliae, servio para qualquer tipo e excitação, iclusive para aquelas já estuaas ateriormete Etretato, apreseta uma esvatagem cosierável pois, para fuções complicaas, ele se tora e ifícil aplicação, evio às itegrações trabalhosas que surgem Seja um sistema massa-mola-amorteceor, como o a fig 3, em que a fução e forçameto f(t) é geérica, como a ilustraa a fig 7 Fig 7 oe é usaa a variável mua τ para o tempo

8 8 Cosieremos que, urate um itervalo e tempo ifiitesimal τ, começao o istate t τ, a fução f(t), aquele poto, cosista e um impulso ifiitesimal e magitue f(τ)τ, mostrao a área hachuraa a figura A fução f(t) poe ser cosieraa, o itervalo e tempo fiito que vai e até t, como seo costituía por uma série esses impulsos ifiitesimais, caa um eles provocao uma variação ifiitesimal a quatiae e movimeto a massa m: f(τ) τ m ẋ f( τ) (6) x τ m Por outro lao, a resposta a caa impulso isolaamete é evia à aplicação as coições iiciais e eslocameto iicial ulo e velociae iicial ẋ Para escrever essa situação, já temos a eq (6), aqui repetia: x ςωt (6) x(t) e se ωt ω Aaptao para a simbologia atual e cosierao que a resposta ao impulso tem iício após a aplicação o mesmo, ou seja, após o istate t τ, poemos rescrever a eq (6) como x(t) x ω e ςω (t τ) se ω (t τ) Levao em cota a eq (6), obtemos x(t) f( τ) e ςω (t τ) se ω (t τ)τ Devio à coição e sistema liear, poemos aplicar o Pricípio a Superposição e afirmar que a resposta total à série e impulsos ifiitesimais ocorreo e t até t τ, é aa pela itegral a equação acima, o que costitui a chamaa Itegral e Duhamel: t ςω (t τ) (7) x(t) f( τ)e se ω(t τ)τ O métoo que acabamos e escrever também recebe o ome e Métoo a Covolução porque a eq (7) é uma forma especial a itegral e covolução (8) x(t) f( τ)g(t τ)τ f(t) * g(t) t

9 9 oe ςω (t τ) (9) g(t τ) e se ω(t τ) Na eq (8), a expressão f(t)*g(t) é lia como covolução e f(t) e g(t) ou f(t) covolução g(t) Teorema e Borel: estabelece que a covolução e uas fuções é igual à trasformaa iversa e Laplace o prouto e suas trasformaas e Laplace, ou seja (3) x(t) f(t)*g(t) - [f(s)g(s)] Esse teorema é e extrema importâcia prática, porque permite usar a trasformação e Laplace para solucioar problemas e trasietes Exemplo ilustrativo Um sistema massa-mola ecotra-se iicialmete em repouso e é submetio a um pulso retagular e magitue costate f urate t seguos Achar a resposta trasiete usao o Métoo a Covolução Solução: Como ão existe amortecimeto, ζ Levao a eq (7): x(t) t f( τ) se ω (t τ)τ t f se ω (t τ)τ Teo em vista que t ão epee e τ, t poe ser cosierao costate o processo e itegração: x(t) f m t [ cos ω (t τ ] ) ω e oe chegamos fialmete a f x(t) [ cos ω (t t ) cos t] ω

10 Exemplo ilustrativo Um sistema massa-mola ecotra-se iicialmete em repouso quao é submetio ao pulso triagular a figura 8 Achar a resposta o tempo x(t) Fig 8 Solução 8 Equação a excitação: f(τ) τ + τ t ςω (t τ) Itegral e Duhamel: x(t) f( τ)e se ω(t τ)τ Como ão há amortecimeto, ζ e ω ω, logo x(t) τ / 4 8 ( τ τ + ) se ω (t τ)τ Realizao o trabalho e itegração e teo em cota que k e que ω τ π, a expressão acima simplifica para: x(t) kπ [ se ω t + ( π) cos ω t]

11 EXERCÍCIOS Deuzir a eq () Deuzir a eq () 3 Demostrar a eq (5) 4 Deuzir a eq () 5 Deuzir a eq (5) 6 Usao o VisSim, peem-se: ; kπ (a) plotar a resposta o exemplo ilustrativo, ou seja, x(t) [ se ω t + ( π) cos ω t] (b) resolver a EDOL o exemplo ilustrativo ; (c) comparar os gráficos obtios os ites (a) e (b) 7 Um sistema massa-mola ecotra-se iicialmete em repouso quao é submetio à excitação a figura Determiar a resposta o tempo x(t) Resp: x(t) F se ωt k π

12 8 Usao o VisSim, peem-se: F (a) plotar a resposta o exercício 7, ou seja, x(t) se ω t ; k π (b) resolver a EDOL o exercício 7; (c) comparar os gráficos obtios os ites (a) e (b) 9 O sistema a figura é submetio a uma força impulsiva f(t) f δ(t) oe f é o móulo o impulso Usao o VisSim, plotar o eslocameto a massa m em fução o tempo, resolveo umericamete a equação iferecial Daos: m kg; c Ns/m; f N