VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO 2 - VIBRAÇÃO LIVRE VIBRAÇÃO LIVRE

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1 VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO - VIBRAÇÃO LIVRE 3. VIBRAÇÃO LIVRE Cofore ostrao o apítulo aterior, uitos sisteas iâios poe ser represetaos por ua equação ifereial e segua ore, liear, o oefiietes ostates (parâetros ostates). Estes oelos são eoiaos oelos e u grau e liberae (GL), pois os sisteas iâios orrespoetes tê seus ovietos efiios por apeas ua ooreaa, e traslação ou e rotação. Neste e os apítulos seguites serão aalisaas as soluções essa equação ifereial e fução os parâetros e assa, e rigiez, e aorteieto e a força etera eitaora. Iiialete serão aalisaas as soluções a equação oogêea o sistea. Esta equação orrespoe ao oelo ateátio quao as fuções eitaoras são ulas. Neste aso, estua-se as vibrações livres que oorre evio a oições iiiais ão ulas. Poese retirar u sistea e sua oição e equilíbrio e abaoá-lo a u ovieto livre e uas foras: através e ua posição iiial iferete a posição e equilíbrio ou através e u ipulso oo, por eeplo, através e u artelo e ipato que iprie ua veloiae iiial ão ula.

2 VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO - VIBRAÇÃO LIVRE 4. - MODELO MATEMÁTICO Cofore ostrao o apítulo aterior, o a apliação as leis o ovieto e e ipóteses siplifiaoras poe-se ostrar que uitos sisteas eâios possue u oelo ateátio represetao por: oe f (.) é a assa o oelo; é o oefiiete e aorteieto o oelo; é o oefiiete e rigiez o oelo; (t) é o esloaeto a assa a ireção o ovieto; ( t) é a veloiae a assa a ireção o ovieto; t ( t) é a aeleração a assa a ireção o ovieto e t f f (t) é a força etera apliaa a assa a ireção o ovieto. f Figura. Moelo eleetar e grau e liberae. O estuo a vibração livre é feito a partir a equação (.) torao ula a força etera apliaa, isto é, o f(t) = 0. Portato, te-se 0 (.)

3 VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO - VIBRAÇÃO LIVRE 5 A equação (.) é ua equação ifereial oogêea e segua ore. A solução geral possui ua as seguites foras t t A e Ae para (.3) t t A e Ate para (.4) oe e são as raízes equação a araterístia o problea, aa por 0 (.5) As ostates e itegração A e A epee as oições iiiais e posição ( e e veloiae (. Resolveo a equação algébria (.5), obtê-se 4, (.6) oe efiiu-se o oefiiete e aorteieto rítio através e (.7) A partir as raízes aas por (.6), são observaas três situações: i - para u oefiiete e aorteieto tal que, isto é, obtê-se uas raízes opleas e ojugaas aas por, i 4 oe i (.8) Neste aso, o sistea é ietifiao oo subaorteio. ii - para u oefiiete e aorteieto tal que, isto é, obtê-se uas raízes reais e iguais, aas por, (.9) Neste aso, o sistea é ietifiao oo ritiaete aorteio. Observa-se que este é u aso liite para a uaça o tipo as raízes, e opleas para reais.

4 VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO - VIBRAÇÃO LIVRE 6 iii - para u oefiiete e aorteieto tal que, isto é, obtê-se uas raízes reais istitas aas por, 4 (. Neste aso, o sistea é ietifiao oo sobreaorteio. Para elor ietifiar aa u estes três tipos e sisteas, poe-se efiir u parâetro aiesioal eoiao fator e aorteieto, ao pela razão (.) Portato, te-se < para sisteas subaorteios, = para sisteas ritiaete aorteios e > para sisteas sobreaorteios. Alguas apliações requere fatores e aorteieto eores que u. E outros asos, partiularete o otrole e vibrações, os sisteas eve ser ritiaete aorteios, ou até eso sobreaorteios. Deve-se observar tabé que sisteas opostos e ateriais etálios possue fatores e aorteieto uito pequeos, frequeteete eores que 0,, quao ão á ispositivos espeiais (aorteeores) projetaos para auetar este valor. O aorteieto próprio os ateriais é ifíil e ser oelao. Por isso, este parâetro é obtio usualete através e proeietos eperietais.

5 VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO - VIBRAÇÃO LIVRE 7. - SISTEMAS SEM AMORTECIMENTO Os sisteas ão aorteios são sisteas irreais. Poe ser aalisaos oo u aso partiular os sisteas subaorteios para os quais o oefiiete e aorteieto é aitio ulo, ou seja, = 0. As raízes a equação araterístia são opleas ojugaas, o parte real ula, ofore se vê e (.8), e são aas por, i (.) Seo as uas raízes istitas, a solução a equação o ovieto livre, aa por (.3), é: ou i t Ae i t A e (.3) C se t C os t (.4) Ipoo que a solução o problea e vibrações livres eva ser real, C e C eve ser reais a fora e solução (.4) e A e A eve ser opleos ojugaos e (.3). Defie-se etão, a partir a solução o problea e vibração livre ão aorteio, a frequêia atural, (.5) obtia e ra/s, quao os parâetros e são aos o SI e uiaes. Ua uiae uito usual para a frequêia é o Hz ou /s. Neste aso, iia-se a frequêia atural oo f (.6) O períoo este ovieto e vibração é ao etão por T (.7) f

6 u(t) VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO - VIBRAÇÃO LIVRE 8 Apliao as oições iiiais e posição ( e e veloiae ( a solução aa por (.4) e a orrespoete erivaa o tepo, obté-se: C ( e C ( (.8) t Figura. - Vibração livre e sisteas ão aorteios. Apliao as ostates aas e (.8) a solução (.4), obté-se ( se t ( os t (.9) ou A se( t ) (. o a aplitue A e a fase aas por ( A C )] C [ ( 0 (.) e

7 VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO - VIBRAÇÃO LIVRE 9 ta C C ta ( ( (.) A figura (.) ilustra o ovieto e vibração livre se aorteieto. Poe-se observar esta figura que o ovieto orrespoe a u ovieto arôio siples. A assa osila a frequêia atural. Os zeros a fução (. oorre e itervalos e tepos iguais à etae o períoo e osilação. Os áios oorre e itervalos e tepos iguais ao períoo e osilação T. O eso oorre o os íios esta fução.

8 VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO - VIBRAÇÃO LIVRE SISTEMAS SUBAMORTECIDOS Os sisteas subaorteios são aqueles para os quais o oefiiete e aorteieto é ao por, o que orrespoe a u fator e aorteieto <. Etão as raízes a equação araterístia, ofore (.8), são iguais a, i (.3) Apliao as efiições o fator e aorteieto (.) e a frequêia atural (.5) as raízes aas e (.3), obté-se, i (.4) oe efie-se a frequêia atural aorteia (.5) Assi a solução a equação o ovieto livre e sisteas subaorteios é aa por A e ( i ) t A e ( i ) t (.6) t i t i t e ( A e A e ) (.7) ou o ostates reais C e C, ofore ostrao o ite aterior, e t ( C se t C os t) (.8) Apliao as oições iiiais e posição ( e e veloiae ( a solução aa por (.8) e a sua veloiae, aa pela orrespoete erivaa o tepo, obtê-se: C ( + ( e C ( (.9) Etão a solução (.8) é igual a e t Ase( t ) (.3 o a aplitue A e a fase aas por

9 u(t) VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO - VIBRAÇÃO LIVRE ( + A [ ( ] ( (.3) ta ( ( + ( (.3) 4 3 FATOR AMORT t Figura. - Vibração livre e sisteas subaorteios. A Figura. ilustra o ovieto para três valores o fator e aorteieto, o as esas oições iiiais. Poe-se observar, esta figura, que o ovieto orrespoe ao aao ovieto arôio aorteio. A assa osila o a frequêia atural aorteia, o aplitues que iiue epoeialete a aa ilo. Os zeros a fução (.3 oorre e itervalos e tepos iguais à etae o períoo e osilação. Os áios oorre e itervalos e tepos iguais ao períoo e osilação T. O eso oorre o os íios. Observe que os áios ou íios ão são etraos e relação aos zeros.

10 VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO - VIBRAÇÃO LIVRE.4 - SISTEMAS CRITICAMENTE AMORTECIDOS Os sisteas ritiaete aorteios são aqueles para os quais o oefiiete e aorteieto é igual ao rítio, ou seja, o que orrespoe a u fator e aorteieto =. Etão as raízes a equação araterístia são reais e iguais aas, a partir e (.9), por, (.33) Usao a efiição e fator e aorteieto (.34) obté-se, (.35) Coo este aso =, te-se (.36), Coo as raízes são iguais, a solução a equação o ovieto livre, ofore (.4), é t t A e A te (.37) Apliao as oições iiiais e posição ( e e veloiae ( a solução aa por (.37) e a veloiae, aa pela orrespoete erivaa o tepo, obtê-se: A ( e A ( + ( (.38) A Figura.3 ilustra o ovieto livre para este aso e aorteieto, para eteriaas oições iiiais. Poe-se observar a partir esta figura que este ovieto orrespoe a u ovieto ão osilatório o eaieto epoeial. A assa se ovieta a partir a posição iiial e ireção à posição e equilíbrio se realizar osilações.

11 u(t) VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO - VIBRAÇÃO LIVRE 3.0 FATOR AMORT t Figura.3 - Vibração livre e sisteas o aorteieto rítio.

12 VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO - VIBRAÇÃO LIVRE SISTEMAS SOBREAMORTECIDOS Os sisteas sobreaorteios são aqueles para os quais o oefiiete e aorteieto é ao por, o que orrespoe a u fator e aorteieto >. Neste aso as raízes a equação araterístia são reais e istitas. A partir a equação (., estas raízes poe ser esritas oo, (.39) Usao a efiição o oefiiete e aorteieto rítio (.7) e a frequêia atural (.5), obté-se, (.4 oe Neste aso, as uas raízes a equação araterístia são reais, istitas e egativas. A solução a equação o ovieto livre e sisteas sobre-aorteios é aa, a partir e (.3), por A e ( ) t A e ( ) t (.4) ou t t t e ( A e A e ) (.4) oe A e A são ostates que epee as oições iiiais. Apliao as oições iiiais e posição ( e e veloiae ( a solução aa por (.4) e a veloiae, aa pela orrespoete erivaa o tepo, obté-se: A A ( ( ) ( + ( ) ( ( (.43)

13 u(t) VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO - VIBRAÇÃO LIVRE 5 Algus autores prefere esrever esta esa solução e outra fora e t [ B se( t) B os( t)] (.44) oe B ( + ( e B ( (.45).0.5 FATOR AMORT t Figura.4 - Vibração livre e sisteas sobreaorteios. A Figura.4 ilustra este ovieto para ois valores o fator e aorteieto, o eteriaas oições iiiais. Poe-se observar que este ovieto orrespoe a u ovieto ão osilatório o eaieto epoeial. A assa se ovieta a partir a posição iiial e ireção à posição e equilíbrio se realizar osilações.

14 VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO - VIBRAÇÃO LIVRE DECREMENTO LOGARÍTMICO Os sisteas subaorteios, aqueles para os quais o oefiiete e aorteieto é ao por, o que orrespoe a u fator e aorteieto <, possue ua araterístia uito iportate: a quea a aplitue epee elusivaete o fator e aorteieto. Neste aso, o esloaeto a vibração livre u eteriao istate e tepo t, obtio e (.8), é igual a e ( t t A se t A os ) (.46) e, u istate t =t +T, oe T é o períoo o ovieto aorteio, é ao por e T ( t T ) [ A se ( t T ) A os ( t )] (.47) 4 3 u u (t) FATOR AMOR T t t Figura.5 Dereeto logarítio. Substituio o períoo o ovieto aorteio, ao por T (.48)

15 VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO - VIBRAÇÃO LIVRE 7 e (.47), obté-se ( t T ) e [ A se( t ) A os( t )] (.49) Diviio (.46) por (.49), obté-se e T (.5 Substituio (.5) e (.5, o resultao é igual a T e e (.5) Apliao o logarito atural e abos os laos e (.5), te-se l (.5) oe o parâetro é aao ereeto logarítio. Etão, rapiaete obté-se o fator e aorteieto e fução o ereeto logarítio, através e 4 (.53) Poe-se tabé toar o esloaeto + a vibração livre, u istate t + =t +T, e ostrar e fora aáloga que l (.54) Logo, o ereeto logarítio poe ser obtio através e l (.55)