UNIDADE 2 - VIBRAÇÕES LIVRES DE SISTEMAS DE UM GRAU DE LIBERDADE

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1 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae UNIDADE - VIBRAÇÕES LIVRES DE SISTEMAS DE UM GRAU DE LIBERDADE. - Itroução A oção e vibração coeça co a iéia o uilíbrio. U sistea está e uilíbrio quao a resultate e toas as forças atuates sobre o eso é ula. Qualquer sistea que esteja sob esta coição soete sairá ela quao ocorrer algua perturbação etera. A oscilação irá ocorrer quao, após a perturbação atuar, o sistea apresetar a teêcia a retorar à sua posição e uilíbrio. Ao se coceer ao pêulo u âgulo iicial o eso etrará e ovieto teeo a retorar à sua posição e uilíbrio iicial. Ao passar por ela o ovieto ão se iterrope porque a assa o pêulo aquiriu eergia ciética. Equato esta eergia peraecer presete o sistea o ovieto oscilatório cotiuará. Se, etretato, a eergia iicial coceia for uito elevaa, o pêulo etrará e ovieto rotativo. Situação seelhate ocorre co ua bola rolao etro e ua superfície circular. Ua balaça, co ois pesos iguais, apresetará coportaeto uivalete (Fig..). Figura. Equilíbrio os sisteas físicos. O estuo e sisteas vibratórios eve coeçar por sisteas siples que apreseta características básicas capazes e peritir a aálise e ua série e feôeos presetes e sisteas ais copleos. Sisteas e u grau e liberae são sisteas ieais, capazes e represetar ua reuzia parte os sisteas reais presetes o uo físico, assi eso co grae siplificação. Por outro lao, estes esos sisteas apreseta características que fuaeta o eteieto a aioria os aspectos básicos que estão presetes e sisteas ais copleos. Probleas coo ressoâcia, trasissibiliae, balaceaeto e isolaeto poe ser eviaete estuaos e sisteas e u grau e liberae co posterior etesão os coceitos para probleas e ore aior. Por outro lao estiativas e coportaeto poe ser estabelecias co relativa faciliae e sipliciae ateática quao se cria u oelo siples para u sistea copleo. Razões coo estas justifica a itroução o estuo e sisteas e u grau e liberae e cursos e vibrações e egeharia. A vibração livre, coo já foi coceituaa o Capítulo, ocorre quao o ovieto resulta apeas e coições iiciais, ão haveo ehua causa etera atuao urate o eso. O ovieto e u pêulo é u eeplo e vibração livre. Ao ser abaoao, co ua eteriaa coição iicial (âgulo iicial, por eeplo), o eso oscilará livreete.. Moelos e Aálise e Vibrações U sistea vibratório é u sistea iâico para o qual as variáveis tais coo as ecitações (causas, etraas, iputs) e respostas (efeitos, saías, outputs) são epeetes o tepo. A resposta e u sistea vibratório epee, geralete, as coições iiciais e as ações eteras. Isto faz co que seja ecessário estabelecer u proceieto e aálise que perita o eteieto as ifluêcias e caa u os fatores. O proceieto geral é o que coeça co o estabelecieto e u oelo físico, eteriação as uações ifereciais que govera o ovieto (oelo ateático), solução estas uações e iterpretação os resultaos.

2 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae.. - Moelo Físico O propósito a oelage física é represetar toos os aspectos iportates eistetes o sistea para a eteriação as uações ateáticas que govera o ovieto o sistea. O oelo eve etão trauzir as características físicas o sistea os eleetos vibratórios básicos, coo ilustra a Fig... O oelo poe ser ais ou eos copleo, e acoro co as ecessiaes e co a capaciae e solução as uações o ovieto: oelos ais copleos (co ais eleetos) prouze u aior úero e uações, cuja solução ecessita o auílio coputacioal. Outro fator é que uitas vezes a aálise a se realizar ão eige u refiaeto uito elevao seo possível coseguir boas iterpretações e sisteas razoavelete siples. Pução Estrutura Eleeto Elástico Matriz Fuação Solo Força o Pução Massa a Matriz Aortecieto o Eleeto Elástico Rigiez o Eleeto Elástico Massa a Fuação Aortecieto o Solo Rigiez o Solo Figura. - Moelo e ua presa. Solo Os eleetos que copõe u sistea vibratório são e três tipos, relacioao forças co eslocaetos, velociaes e acelerações, respectivaete Eleeto Mola O eleeto resposável por relacioar forças co eslocaetos é represetao, os sisteas vibratórios, pela ola, coo ostra a Fig..a. Assue-se que a ola ão possui assa, e fora que ua força F atuao e ua etreiae eve ser uilibraa por outra força e igual agitue as e setio cotrário, atuao a outra etreiae. Pela atuação a força F, a ola se aloga (ou se cotrai, se as forças atuare co setios cotrários). Esta eforação é igual à ifereça etre os eslocaetos e. A Fig..b ostra ua curva força/eforação típica e ua ola cou. Esta curva é ão liear. Etretato, para pueas eforações, poe-se cosierar que eiste ua proporcioaliae etre a força e a eforação, seo a costate e proporcioaliae, cohecia coo costate e ola ou rigiez. As uiaes e o Sistea Iteracioal (SI), são ewto por etro (N/). F é ua força elástica, cohecia coo força e restauração, porque ua ola alogaa ou copriia tee sepre retorar à sua posição ão eforaa. 4

3 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae F F F - Figura. - Eleeto ola. A relação etre força e eslocaeto é epressa por ( ) Faia liear F (.) O eleeto ola represeta a capaciae que o sistea físico te e arazear eergia. Esta capaciae é, uitas vezes, epressa pela elasticiae presete. E aalogia co u sistea elétrico, a ola poe ser coparaa a u capacitor seo o eleeto que arazea eergia a fora e eergia potecial e u eteriao istate o ovieto e epois a evolve para que o sistea vibratório a trasfore e eergia ciética ou a issipe. A eergia potecial arazeaa pela ola é aa por U (.) Associação e olas e paralelo As olas poe ser associaas e várias foras. As associações e paralelo e e série, ostraas a Fig..4a e.4b, respectivaete, são as ais cous. F F F F Figura.4 - Associação e olas Para as olas e paralelo (Fig..4a) a força atuate a ola se ivie e uas, e fora que F F + F Caa ua as olas está subetia à relação ( ) ( ) F F (.) (.4) Ua ola uivalete ao cojuto as uas olas eve possuir ua costate e fora que ( ) F (.5) Itrouzio (.4) e (.) e cosierao (.5) chega-se a 5

4 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae + (.6) Geeralizao, para u cojuto e olas associaas e paralelo i i (.7) Associação e olas e série Observao a Fig..4b, as seguites relações poe ser escritas para olas e série: ( ) ( ) F (.8) que poe ser escritas a fora F F e (.9) Coo para ua ola úica vale a epressão (.5), te-se que F F F ( ) + ( ) + o que couz a + (.) Para u cojuto e olas associaas e série i i Sisteas elásticos U eleeto elástico poe ser eforao e várias ireções. Caa relação etre ua força e ua ireção e ua eforação a esa ou e outra ireção prouz ua iferete costate e ola. A uação (.) poe, portato se apresetar a fora ais geral i ij j (.) F (.) oe i e j poe iicar, por eeplo, traslações e rotações ao logo ou e toro e três eios e u sistea e cooreaas cartesiaas. Portato, i e j poe assuir seis valores iferetes. Geericaete eistirão 66 coeficietes iepeetes ij, relacioaos co ua possível aplicação o esforço (força ou oeto) e a ireção o eslocaeto prouzio. Figura.5 Defiição e costates e ola para a viga egastaa. Cosiere-se, por eeplo, a viga egastaa a Fig..5, co o sistea e cooreaas yz, coo iicao. Se a viga possui ua seção trasversal circular e iâetro, área A e oetos e iércia I, I y, I z, coprieto L, óulo e elasticiae E, óulo e elasticiae trasversal G, e se u, v, w, são as efleões e θ, φ, ψ as rotações a sua etreiae livre co relação ao sistea e cooreaas yz, a Resistêcia os Materiais, se te 6

5 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae EAv F, v L EI u z Fu, L EI w Fw, L vv vv ww EA L EI z L EI L (.a) M M M φ ψ θ GI φ y, L EI ψ z, L EI θ, L φφ ψψ θθ GI y L EI L EI L z (.b) oe I I z π 4 /64 e I y π 4 /, para ua seção circular. Sisteas co u grau e liberae possue i j e o sufio a costate é oitio. Eeplo. - U tabor, co u cabo e aço, é otao a etreiae e ua viga e balaço coo ostra a Fig..6. Deteriar a costate e ola uivalete o sistea quao o coprieto suspeso o cabo é l. São cohecios o coprieto a viga b, sua largura a e sua espessura t. Assuir que o iâetro o cabo é e os óulos e elasticiae a viga e o cabo são iguais a E. Solução: A costate e ola a viga e balaço é aa por (.a) E at EI Eat b b b 4b A rigiez o cabo subetio a carregaeto aial é E π EA E r l 4 π l 4l A viga e balaço e o cabo poe ser cosieraos coo olas cobiaas e série, cuja costate e ola uivalete é aa pela uação (.) + b r E π at 4b 4l 4 πb + lat + Eat Eπ (c) Eeplo. - A laça AB o guiaste ostrao a Fig..7 é ua barra e aço uifore e coprieto e área a seção trasversal,5 -. A assa e g, suspesa pelo guiaste está paraa. O cabo CDEBF é e aço e te área a seção trasversal e, -. Desprezao o efeito o segeto o cabo CDEB, eteriar a costate e ola uivalete o sistea a ireção vertical. O óulo e elasticiae o aço é,7 N/. Solução: A Fig..7b ostra a cobiação e olas, assuio que tato a laça quato o cabo estão subetios eclusivaete a carregaeto aial, o que é válio ua vez que a laça é articulaa a base o guiaste e o cabo trabalha sob tração. Coo ão está eviete a associação as olas e série ou e paralelo, eve-se usar a uivalêcia e eergia potecial para eteriar a costate e ola uivalete. U eslocaeto vertical o poto B causará ua eforação cos 45 o a laça (costate ). O cabo se eforará cos(9 o -θ). Pela Lei os Cosseos, o coprieto o cabo FB, l é obtio por ( agulo FA ) + cos5 5 FA + l FAl cos l l A esa Lei os Cosseos, aplicaa para eteriar o âgulo θ resultará e l l l cosθ + FA l l FAcosθ l FA + FA,6 +,6,89 7

6 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae t b l a W W b r W W oe (c) Figura.6 - Sistea e elevação. θ 5,6 ο l,6 A eergia potecial total U arazeaa as olas é obtia por U + + U ( ( 9 )) + cos θ [ cos( 9 θ) ] ( cos45 ) (c) EA 7,, l, , N () e EA 7, 5, l , N (e) Coo a ola uivalete a ireção vertical sofre ua eforação, a eergia potecial esta ola uivalete é aa por U (f) Fazeo U U, as epressões (c) e (f), utilizao os resultaos e () e (e), obté-se a costate e ola uivalete coo ( ( )) + ( ( )) cos 9 θ cos 9 5, 6, , , 4 N 6 6 8

7 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae C D B E g,5,5 45 o B F A l, g l, g F A 45 o... - Eleeto aorteceor Figura.7 - Guiaste co carga. O eleeto que relacioa forças co velociaes é cohecio geericaete coo aorteceor. O aorteceor é costituío por u pistão otao co folga etro e u ciliro cheio e u líquio viscoso (óleo, água, etc.), e fora que o fluio possa passar através o pistão. A Fig..8a apreseta u esquea este eleeto. Assue-se tabé que o aorteceor ão possui assa, e fora que a força F, aplicaa e ua e suas etreiaes possa ser balaceaa por ua outra força e esa agitue e setio cotrário, aplicaa a outra etreiae. Se estas forças F, causa u cisalhaeto suave o fluio viscoso, a curva F versus & & será aproiaaete liear, coo ostra a Fig..8b. A costate e proporcioaliae c, que é a icliação a curva, é chaaa e coeficiete e aortecieto viscoso. As uiaes e c o SI são ewto-seguo por etro (N.s/). (c) F v v F F v - v Figura.8 - Eleeto aorteceor. A relação etre força e velociae é etão, epressa por ( ) F c v v (.4) O aorteceor te coo fução física e u sistea vibratório, represetar a capaciae que o sistea possui e issipar eergia Eleeto assa O eleeto que relacioa forças co acelerações é o que represeta a iércia o sistea, seo cohecio coo assa. De acoro co o que estabelece a Segua Lei o Movieto e Newto, a força F i é proporcioal à aceleração a quao eios o eso referecial e a costate e proporcioaliae é (Fig..9). A uiae e assa é básica o SI: ilograa (g). 9

8 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae F i a F i a Figura.9 - Eleeto assa. O eleeto assa é aquele que represeta a capaciae física o sistea e arazear eergia ciética. A vibração é o feôeo físico que ocorre co a troca sisteática e eergias ciética e potecial etre a assa e ola. Neste processo o aortecieto respoe pela eergia que é issipaa. Eeplo. - U ecaiso cae-seguior, ostrao a Fig.., é utilizao para coverter ovieto e rotação e u eio o ovieto alterativo e ua válvula. O sistea cosiste e ua haste e assa p, u balaci e assa r e oeto e iércia J r e relação ao seu cetro e graviae C.G., ua válvula e assa v, e ua ola e assa esprezível. Deteriar a assa uivalete este sistea cae-seguior assuio a localização e coo poto A, poto B. O eslocaeto liear a haste é p e a válvula é v. Solução: Devio ao eslocaeto vertical a haste, p, o balaci gira u âgulo θ r l e relação ao poto e l p pivotaeto, a válvula se ove para baio θ l v r l e o C.G. o balaci se ove para baio l p r θrl l. A eergia ciética o sistea é igual à soa as eergias ciéticas e caa eleeto T & + & + & + J p p v v r r r r & θ oe & p, & r e & v são as velociaes lieares a haste, C.G. o balaci e a válvula, respectivaete, e & θ r é a velociae agular o balaci. Se é a assa uivalete o sistea, localizaa o poto A, co & & p, a eergia ciética total o sistea uivalete T é aa por T & & p Coo & l & l & & &, &, &, & p v r e θ r (c) l l l igualao as epressões e resulta p J l l r p v r l l l () Da esa fora, se a assa uivalete está localizaa o poto B, & T & v &, e a epressão se trasfora e v (e) e igualao co (e) resulta

9 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae J l l r v p r l l l (f) l l l p r v θ Balaci r B A O G Mola a Válvula Haste Válvula Seguior e rolaeto Cae Eio Figura. - Sistea cae-seguior Eeplo.4 - Deteriar a assa efetiva e ua ola e assa total s. y y l Figura. - Massa efetiva a ola. Solução: Seo & a velociae a assa cocetraa, a velociae e u eleeto a ola, localizao a ua istâcia y e sua etreiae fia, varia co y. Supoo que esta variação é liear, a esa poe ser epressa a fora y& & y l Se a assa e u eleeto e coprieto y é y, a eergia ciética total a ola poe ser obtia l por itegração

10 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae T ola y l s s y & & l l Se a eergia ciética uivalete é aa pela epressão o eeplo., e & &, coparao co a epressão este eeplo, a assa efetiva (ou uivalete) a ola é eff s (c) Muitas vezes, quao eiste olas e assa cosierável o sistea ecâico estuao, utiliza-se a epressão (c) para icluir o efeito a assa a ola... - Moelo Mateático A partir o estabelecieto o oelo físico, são utilizaos os pricípios a iâica para eteriar as uações ifereciais o ovieto. Estas são geralete a fora e u cojuto e uações ifereciais oriárias para sisteas iscretos e uações ifereciais parciais para sisteas cotíuos. As uações poe ser lieares ou ão lieares, epeeo o coportaeto os copoetes o sistea. Etre os étoos utilizaos para eteriar as uações o ovieto, os ais früeteete ecotraos são a a Lei e Newto, o Pricípio e Alebert e as Equações e Lagrage (Pricípio a Coservação a Eergia). Depeeo a atureza o problea, ua eteriaa técica everá ser usaa para resolver as uações o ovieto. As técicas ais früeteete utilizaas são as seguites: étoos e solução e uações ifereciais, étoo a Trasforaa e Laplace, étoos atriciais e étoos uéricos. A solução as uações o ovieto apreseta os eslocaetos, velociaes e acelerações as várias assas o sistea. Estes resultaos eve ser iterpretaos seguo o propósito a aálise que está seo realizaa e as possíveis iplicações os resultaos. É esta etapa que se iclui, por eeplo, o iagóstico e vibrações e áquias ou uipaetos iustriais. A coparação etre as características as vibrações eias co as soluções as uações ifereciais perite iportates coclusões sobre as causas as vibrações. Nesta etapa a utilização as Trasforaas e Fourier é fuaetal para a ietificação e características as vibrações eias.. - Vibrações livres e sisteas ão aortecios.. Equações e ovieto A Fig..a ostra u oelo siples e u sistea e u grau e liberae se aortecieto, o cohecio sistea assa-ola. Aplicao a Segua Lei e Newto, poe-se costruir o iagraa e corpo livre a assa, ostrao a Fig..b. A uação o ovieto é etão ( δ ) && + + g est pela coição e uilíbrio estático quao o ovieto ão eiste, sabe-se que g δ est, poeo-se escrever a uação iferecial o ovieto e sua fora cohecia && + (.5) A esa uação poe ser obtia utilizao o Pricípio a Coservação a Eergia. Coo o sistea ão possui aortecieto, toa a eergia coceia iicialete peraece ivariável urate o tepo e que acotece o ovieto. Isto é epresso por T + U E costate oe T é a eergia ciética e U é a eergia potecial associaas ao ovieto. A cosüêcia ateática a coservação a eergia é E ( T + U) (.6) t t A eergia ciética é arazeaa pela assa, epeeo a velociae, seo aa por T &, uato que a eergia potecial é arazeaa pela ola, a fora e eforação, seo U. Itrouzio estes teros a uação.6 te-se ( T + U) & + &&& + & t t resultao a esa uação.5.

11 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae L + δ st δ st posição e uilíbrio estático posição fial (δ st + ) g Força e ola g + Eergia Potecial (c) g δ st O Posição e uilíbrio estático () Figura. - Sistea assa-ola e posição vertical A uação.5 é ua uação iferecial oriária, e segua ore (erivaa e aior ore), liear (toos os teros estão liearete relacioaos co e suas erivaas), e coeficietes costates ( e ão varia co o tepo) e hoogêea ( o tero iepeete é igual a ). A solução esta uação é aa por ( ) t Aseω t+ Acosω t (.7) oe A e A são costates e itegração. Derivao uas vezes (.7) e substituio e (.5) ecotra-se ( ) A seω t + A cosω t) ω (.8) ( Para que a uação (.8) seja satisfeita, é ecessário que ( ω) ou ω (.9) A solução (.7) te as esas características aquela obtia e Resistêcia os Materiais, para a uação a liha elástica. Lá o problea é espacial (variável iepeete é a posição) cohecio coo problea o cotoro, e as costates A e A são obtias através e uações auiliares geraas pelas coições e cotoro associaas ao problea e estuo. No caso presete o problea se apreseta o oíio o tepo e é cohecio coo problea o valor iicial e as costates A e A epee as coições iiciais o ovieto. Se os valores iiciais o eslocaeto e a velociae (que represeta a eergia total itrouzia para gerar o ovieto livre), são cohecios e aos por e v te-se ( ) ( ) t A t & v ω A e fora que a solução a uação iferecial o ovieto se tora v t ( ) cosωt + seω t (.) ω O ovieto represetao e (.) é u ovieto harôico e früêcia igual a ω. Esta é a früêcia co que o sistea oscila quao está livre se aortecieto. Por este otivo é chaaa e früêcia atural e oscilação. Esta früêcia atural terá uita iportâcia quao se estuar a vibração forçaa seo ela ua as características ais iportates e u sistea o poto e vista iâico. Tratao-se e ua oscilação harôica, é iportate represetar a epressão (.) e ua fora ais siples, coteo u seo ou coseo apeas. Co o auílio e relações trigooétricas (.) poe ser escrita coo

12 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae oe () ( + ) t X cos ω t φ (.) X v + ω v φta - ω e φ X O t Figura. - Vibração livre se aortecieto (ovieto harôico) Eeplo.5 - Ecotrar a früêcia atural e vibração a ireção vertical o sistea e elevação ostrao a Fig..6a Solução: O sistea e elevação poe ser iealizao coo u sistea e u grau e liberae co uas olas associaas e série (viga e balaço e cora, são os eleetos elásticos), cuja rigiez uivalete é aa por b r + b r oe b é a rigiez a viga e balaço sob fleão e r é a rigiez o cabo e aço sob tração. T b r EI E at Eat b b 4b EA l E l π Eπ 4 4l e resultao e ua rigiez uivalete E π at 4 πb + lat e a früêcia atural é aa por g ω P Eg π at 4P πb + lat Eeplo.6 - Deteriar a früêcia atural o sistea e polias ostrao a Fig..4. Assuir que ão há atrito etre cabo e polias e as assas as polias e o cabo são esprezíveis. 4

13 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae Polia Polia Figura.4 - Sistea e elevação co polias. Solução: Iealizao ovaete o sistea coo u sistea e u grau e liberae, a früêcia atural tabé poe ser obtia usao o coceito e rigiez uivalete. Coo ão há atrito etre polias e cabo e as polias ão possue assa, a tesão a cora é costate e igual ao peso P a assa. Etão a força que atua a polia, puao-a para cia é P, e a força que atua a polia, puao-a para baio tabé é P. O cetro a polia se esloca P/ para cia, e o cetro a polia se esloca P/, para baio. O eslocaeto total a assa é P P + A costate e ola uivalete o sistea é obtia cosierao eslocaeto a assa, portato P ( + ) ( + ) 4P 4P + 4 Se a uação o ovieto a assa é escrita coo && + e peso a assa costate e ola uivalete etão a früêcia atural é aa por ω ω ra / seg ou f Hz (ciclos / seg) 4 ( + ) π 4π ( + ) Eeplo.7 U rolo copactaor e solo cosiste e u ciliro e assa e raio r, que está coectao a u trator por ua ola e costate coo ostra a Fig..5. Ecotrar a uação iferecial o ovieto. Assuir que o rolo está livre para rolar sobre a superfície horizotal, se eslizaeto. Solução: Aplicao a ª Lei e Newto ao ovieto o ciliro, usao coo cooreaa o ovieto o cetro e assa o eso, F && 5

14 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae ou && + F f oe F f é a força e atrito, aia escohecia. Figura.5 Rolo copactaor e solo. Usao a uação, M J θ O J && θ Fr (c) O f ou && r r F r f () e, portao, F f &&. Substitui-se esta epressão para F f a uação as forças para obter ou && && (e) && + (f).. - Métoo a eergia e Rayleigh Cofore foi ito o capítulo itroutório, ua as ais iportates cotribuições e Lor Rayleigh o capo as vibrações foi o étoo apresetao para eteriação a früêcia atural o sistea e u grau e liberae. Mais tare Ritz esteeu o étoo para eteriação a prieira früêcia atural e u sistea e ais e u grau e liberae. O Métoo e Rayleigh se fuaeta o Pricípio a Coservação a Eergia, se aplicao, portato, apeas a sisteas coservativos (se aortecieto). Coo a eergia total E é costate, a soa as eergias ciética e potecial e ois istates e tepo quaisquer são iguais T + U T + U E (.) oe T e U são as eergias ciética e potecial o tepo e T e U são as eergias ciética e potecial o tepo. Estabeleceo-se a posição e uilíbrio estático coo a posição referecial e eergia potecial (a eergia potecial epee o referecial, que poe ser escolhio arbitrariaete) e o tepo for o tepo e que o sistea passa por esta posição, etão U e, coo a eergia total é costate e igual à soa as eergias ciética e potecial, a eergia ciética este tepo eve ser áia, ou T T a. Por outro lao, ao se escolher o tepo coo o tepo e que o sistea atige seu áio eslocaeto, isto prouz ua eergia potecial áia U U a e, coo o ovieto é oscilatório, a velociae este eso tepo é ula e T. Utilizao a epressão (.), isto se trauz e T a U a (.) que é a epressão fuaetal o Métoo e Rayleigh. Eeplo.8 Resolver o problea o eeplo.7 utilizao o Métoo e Eergia. Solução: Eergia ciética o ovieto e traslação o cetro e assa o rolo Tt & Eergia cietica o ovieto e rotação o rolo 6

15 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae Tr J & Oφ oe o oeto e iércia o rolo é JO r (c) Pela coição e rolaeto se eslizaeto rφ ou r & φ & () e fora que a eergia ciética total é & T & + r & (e) r 4 A eergia potecial se cocetra a ola, seo U (f) Aplicao o Pricípio a Coservação a Eergia ( T + U ) & + (g) t Siplificao, chega-se à uação && + (h) que é iêtica à. (f) o Eeplo.7. Eeplo.9 Estruturas copostas. Deteriar a früêcia atural a vibração vertical e ua assa ligaa a ua estrutura fleível coo ostrao a Fig..6. Solução: A estrutura a Fig..6 é cosieraa coo uas olas associaas e série. O oelo é ostrao a Fig..6a. Para ua viba bi-apoiaaa costate e ola para a efleão lateral o eio é 48EI L Passo : O sistea possui u grau e liberae. Selecioa-se a cooreaa. Passo : Assue-se que a assa é eslocaa. As forças aplicaas são ostraas a Fig..6. F é aia escohecia. A copatibiliae os eslocaetos eige que Etão F F δ + δ,, F δ δ δ, δ δ + δ F F F δ + δ + δ + + F F (c) Passo : A ª Lei e Newto estabelece && F && () 7

16 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae Passo 4: A früêcia atural é Figura.6 Estrutura coposta. ω (e) Eeplo. Ua viga egastaa, e aço, co coprieto igual a possui ua seção trasversal retagular e,,. Ua assa e g é aeaa à sua etreiae livre coo ostra a Fig..7. Deteriar a früêcia atural o sistea para vibração vertical. Figura.7 Viga egastaa. Solução: Assue-se que a assa a viga é puea. viga 78,, 9,6 g, as se sabe que a sua assa efetiva é cerca e / este valor,, g, o que represeta, % a assa colocaa a etreiae. A efleão a etreiae livre a viga egastaa, evia a ua força lateral P ali aplicaa é δ PL /EI. Portato, para pueas oscilações, a costate e ola é P/δ EI/L. O oeto e iércia a viga é I bh /,, / -8 4, e o óulo e elasticiae o aço é E, N/. Portato,, -8 / 6 N/. A uação o ovieto livre ão aortecio é && + Se a assa a viga ão for cosieraa a früêcia atural será 6 ω 7,94 ra/s Se a assa efetiva a viga (/) for acrescia, a früêcia atural tora-se 6 ω 7,8 ra/s (c) +, A ifereça e, ra/s uivale a,5 % a früêcia atural, correspoeo a ua ifereça e 9,6 % a assa total. Isto eostra a iportâcia e se cosierar a assa efetiva a ola. 8

17 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae Eeplo. A cora ostraa a Figura.8 está sob ua tesão T, que peraece costate para pueos eslocaetos. Deteriar a früêcia atural a vibração vertical a assa cosierao pueas oscilações. Despreze os efeitos a graviae e a assa a ola. Figura.8 Massa suportaa por ua cora tesioaa. Solução: Assuir que a assa está eslocaa a ireção vertical. A tesão a cora é a força e restauração. Coo a tesão é costate, as copoetes verticais a tesão sobre a assa resulta e T[ a + ( L a) ]. Aplicao a ª Lei e Newto, a uação o ovieto é e & + T + ou a L a + TL & ( ) a L a TL ω a ( L a) Eeplo. U ciliro sólio e raio r está ierso parcialete e água estilaa coo ilustra a Fig..9. Deteriar a früêcia atural e oscilação o ciliro a ireção vertical, assuio que peraece a posição vertical. As esiaes o ciliro e a água são ρ c e ρ w. Figura.9 Vibração e corpos flutuates. Solução: O eslocaeto vertical o ciliro eio a partir e sua posição e uilíbrio é. O peso a água eslocaa (epuo) é Agρ w. Esta é força restauraora, e acoro co o Pricípio e Arquiees. A assa o ciliro é Ahρ c. Da ª Lei e Newto, a uação o ovieto é ρ Ah && + Agρ ou portato c w gρw && + ρ h ω c gρ w (c) ρch Coo parte a água se ove juto co o ciliro, a früêcia atural real será u pouco eor. A assa e água acrescia é: 9

18 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae πρ esfera ρ isco oveo- se perpeicularete à superfície plaa πρ w L placa co fora retagular wl 4 πρ L ciliro oveo- se perpeicularete ao seu eio logituial 4 Eeplo. U corpo e assa está suportao por ua ola e rigiez (Fig..). Ua assa cai e u altura h sobre o corpo ocorreo u ipacto perfeitaete plástico. Deteriar a epressão a vibração resultate e a früêcia atural o sistea após o ipacto. h u gh u uilíbrio Figura. Vibração evia ao ipacto. Solução: E prieiro lugar eteria-se a velociae a assa o oeto o ipacto. A seguir, utilizao o pricípio a coservação a quatiae e ovieto, calcula-se a velociae o cojuto após o ipacto, que é a velociae iicial o ovieto as uas assas se vibrao coo u corpo rígio. Quao a assa atige o corpo, possui velociae u gh. O pricípio a coservação a quatiae u + u oe u é a velociae as uas assas após o ipacto. e ovieto estabelece que ( ) Neste istate o sistea ão estará a sua posição e uilíbrio estático. Se a assa for carregaa co ua carga aicioal g, a posição e uilíbrio estático estaria δ g abaio a posição o ipacto. Se o ovieto é eio a partir esta posição (ipacto), as coições iiciais são co g, u gh + A uação o ovieto é siilar à Eq. (.5) ( ) + && + ω + (c) A solução, e fução as coições iiciais, é aa pela Eq. (.), resultao e () t u gh cosωt + siωt siωt ω ( + ) g cosωt.4 - Vibração Livre e Sisteas co Aortecieto Viscoso O aortecieto represeta a capaciae o sistea e issipar eergia. Coo oelo ais siples e aortecieto se apreseta o aortecieto viscoso, assi chaao por represetar a força issipativa proporcioaa por u fluio viscoso. Esta força te coo característica pricipal ser proporcioal à velociae relativa etre as superfícies e ovieto quao eiste u fluio separao-as. Esta proporcioaliae garate que a uação

19 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae iferecial o ovieto ão pererá ehua e suas características euciaas a seção... A força e aortecieto viscoso F a te coo epressão Fa c& (.4) oe c é a chaaa costate e aortecieto Equação o ovieto c. c Sistea Diagraa e corpo livre Figura. - Sistea e u grau e liberae co aorteceor viscoso A Fig..a ostra o esquea e u sistea e u grau e liberae co aortecieto. Se a força e aortecieto for e atureza viscosa, é igual à epressão (.4), o iagraa e corpo livre a Fig..b, ao se aplicar a ª Lei e Newto, perite que se escreva a uação && c& que poe ser escrita a fora && + c& + (.5) A solução a uação (.5) te fora t ( ) ( ) s + cs + Ce st que te solução ão trivial quao a uação característica Ce st que, itrouzia a uação, resulta e s + cs + (.6) for satisfeita. Isto só é possível se as raízes fore s, c c 4 c c ± ± (.7) Coo as uas raízes satisfaze a uação iferecial (.5), a solução resultate será ua cobiação liear as esas a fora ( ) t Ce st s t + Ce (.8).4. - Sisteas sub-aortecio, criticaete aortecio e super-aortecio. A fora fucioal e (.8) epee fuaetalete a atureza as raízes (.7): copleas ou reais. Para facilitar a otação, ates e estuar a ifluêcia a atureza as raízes a fora fucioal, eve-se efiir algus parâetros auiliares. Costate e Aortecieto Crítico A costate e aortecieto crítico c c é efiia coo o valor e c que faz co que o iscriiate a epressão (.7) se aule. Isto porque, é o sial este iscriiate que epee a atureza as raízes: > iplica e raízes reais uato que para < as raízes forarão u par copleo., se apreseta coo o liite etre estas uas situações istitas. Te-se etão

20 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae e fora que cc c c ω (.9) Fator e Aortecieto A costate e aortecieto c á ua iicação a relação etre a força e aortecieto e a velociae relativa etre as partes e ovieto. Ela, poré ão proporcioa ua visão a quatiae e aortecieto que atua sobre o sistea real, ua vez que ua força e aortecieto poe ser grae para u sistea e puea para outro, epeeo, fuaetalete as assas evolvias e a rigiez. Defie-se, etão o fator e aortecieto que é ua quatiae aiesioal e ão epee a ore e graeza os parâetros o sistea, iicao epressaete o quato o sistea está seo aortecio. O fator e aortecieto é efiio coo a relação etre a costate e aortecieto o sistea e a costate e aortecieto crítica ζ c c c (.) Co o valor e c c ao a epressão (.9) te-se que c ζ ω (.) Cosierao que ω, co a epressão (.), as raízes (.7) poe ser escritas a fora ( ) ( ) ζω ± ζω ω ζ ± ζ ω (.) s, Itrouzio (.) e (.8), chega-se a ζ ζ ω ζ ζ ωt + t t () Ce + Ce (.) A epressão (.) poe ser cosieraa coo a epressão geral para o ovieto vibratório e u sistea e u grau e liberae. Poe-se se ostrar facilete que, para ζ esta epressão se trasfora e (.7), que represeta o ovieto e u sistea e u grau e liberae se aortecieto. A fora o ovieto represetao por (.) epee epressaete os epoetes presetes (ou a atureza as raízes (.) coo já foi ito ates). A seguir serão apresetaas as possibiliaes e ovieto e fução a atureza estes epoetes (reais, copleos ou ulos). E, coo poe ser facilete averiguao e (.), a atureza os epoetes epee o fator e aortecieto ζ. Caso : Sistea sub-aortecio - ζ< No prieiro caso aalisao o sistea possui u fator e aortecieto eor que a uiae, o que sigifica que sua costate e aortecieto é eor que a costate e aortecieto crítico, coo poe ser observao e (.). Coo cosüêcia te-se que ζ < Etão (.) poe ser escrita a fora i t i ζ ζ ω ζ ζ ωt + t () Ce + Ce (.4) que, cosierao as fórulas e Euler, e ±iα ζω () ( ) ( ) cosα ± ise α, poe ser oificaa para [ ζ ω [ ζ ω ]] t e C + C cos t + i C C se t (.5) t e, através as relações trigooétricas ( ) ζω () cos( ζ ω φ ) t Xe t t co ( ) ( ) cos a± b cosacosb se aseb, chega-se a ( C) ic X C + C C C CC e φ ta. C + C (.6)

21 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae (t) π τ ω X Xe ζω t φ O t t ω t Figura. - Solução sub-aortecia. As costates e itegração X e φ, são obtias aplicao-se as coições iiciais t e t & v iretaete à epressão (.6), resultao e ( ) ( ) X v + ζω ζ ω + (.7a) e φ v + ζω ζ ω ta (.7b) (ω /ω ) O Figura. - Variação e ω co o aortecieto. A fora o ovieto represetao pela epressão (.6) é ostraa a Fig... Trata-se e u cos ζ ω φ, e aplitue ecrescete epoecialete seguo a ovieto harôico co fora ( t ) ζ ζω t relação Xe. Observa-se que o efeito o aortecieto está presete a aplitue ecrescete, represetao a issipação a eergia vibratória. Para graes valores e t o tero Xe ζω t. O ovieto cotiua seo harôico pois apeas ua früêcia está presete. A früêcia e oscilação agora ão é ais a früêcia atural e si a chaaa früêcia a vibração livre aortecia, aa por ω ζ ω ω se aproia e ω para pueos valores e ζ. A variação e ω co ζ está ostraa a Fig... Caso - Sistea Criticaete Aortecio - ζ (.8) Quao ζ, a costate e aortecieto c é igual à costate e aortecieto crítico c c, iplicao que as raízes aas e (.) são reais e iguais, a saber

22 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae s s ω (.9) Para o caso e raízes reais repetias, a solução a uação iferecial (.5) assue a fora () ( + ) ( ) st + t C C t e C C t e ωt Aplicao-se as coições iiciais ( ) ( ) (.4) t e t & v iretaete à epressão (.4), as costates e itegração são obtias coo C e C v + ω, resultao e [ ] () + ( + ω ) t v te ω t (.4) A Fig..4 ostra o ovieto criticaete aortecio, jutaete co os outros tipos e ovietos aortecios. E fução o tero epoecial egativo o ovieto tee a zero co o crescieto o tepo. Coo o ovieto ão é ais harôico, este tipo e sistea ão ocorre oscilações copletas: a assa retora rapiaete à sua posição e uilíbrio. Caso - Sistea Super-Aortecio - ζ > Quao ζ > a costate e aortecieto c é aior que a costate e aortecieto crítico c c, iplicao que as raízes aas e (.) são reais e iferetes, a saber s, ( ) ζ ± ζ ω < (.4) e a solução a uação iferecial retora à fora aa e (.). Itrouzio-se as coições iiciais ( ) ( ) costates e itegração, que se tora ( ζ ) ω ζ + + v C ω ζ ( ) v C ω ζ ζ ω ζ t e t & v, e (.), eteria-se as O ovieto super-aortecio tabé está ostrao a Fig..4 e se poe ver que ão é oscilatório. Se poe coparar os três casos escritos acia e cocluir que ovieto oscilatório só acotece e sisteas subaortecios (ζ < ). Sisteas criticaete aortecios e super-aortecios apreseta coo característica pricipal, o fato e que toa a eergia vibratória iicial se issipa ates que ocorra u ciclo vibratório. Cosüêcia: ão há vibração. Ua coclusão que se tira a observação a Fig..4 é que o sistea retora ais rapiaete à posição e uilíbrio quao está criticaete aortecio o que quao está super-aortecio. Portato, quao se esejar fazer co que u sistea retore rapiaete, se vibrar, à sua posição iicial epois e eslocao ela, se eve escolher ua quatiae e aortecieto que tore o sistea criticaete aortecio. Na prática, coo vai ser visto ais aiate, valores eores o que o aortecieto crítico (ζ.7) perite o retoro à posição e uilíbrio ais rapiaete aia, peritio-se que ocorra apeas ua oscilação. Este valor é usao e aorteceores e veículos, pois os esos, quao subetios às irregulariaes e ruas e estraas, eve retorar o ais rapiaete à sua posição origial. (t) Criticaete aortecio ζ Não aortecio ζ Superaortecio ζ > Subaortecio ζ < O ω t π τ ω π τ ω Figura.4 - Coparação etre ovietos co iferetes tipos e aortecieto. 4

23 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae.4. - Decreeto Logarítico U problea que se apreseta oralete para que estua sisteas vibratórios é estiar o fator e aortecieto ζ. Quao se possui u registro, resultao e ua eição, e u ovieto vibratório, é possível observar a quea epoecial a aplitue e vibração co o tepo. O étoo o ecreeto logarítico se fuaeta a coparação etre uas aplitues, cosecutivas ou ão, eias e u ovieto vibratório livre aortecio. A Fig.. ostra o registro e u ovieto vibratório livre, eio e u sistea e u grau e liberae. E se tratao e ovieto oscilatório, etão o sistea é sub-aortecio, e a epressão que escreve o ovieto é a (.6). Se é o eslocaeto eio o tepo t e é o eslocaeto eio o tepo t, a relação etre e é Xe Xe ζωt ζωt cos cos ( ω t φ ) ( ω t φ ) (.4) τ Se os ois eslocaetos são eios e tepos separaos por u períoo iteiro, etão t t +τ π ω, e fora que o que tora (.4) ( ω t φ) ( π + ω t φ) ( ω t φ ) cos cos cos co π ζωt ζω e ζωτ ζ ω e ( ) e e e ζω t + τ ζω τ e e o ecreeto logarítico é efiio etão coo δ l πζ ζ πζ ζ (.44) Para sisteas co aortecieto uito baio (ζ<<), a epressão (.44) poe ser aproiaa para δ πζ (.45) A Fig..5 ostra graficaete a relação etre δ e ζ e oe se poe ver que a curva (.44) se aproia a reta escrita por (.45) quao ζ <.. 4 Eq. (.44) 8 δ l 6 4 Eq. (.45),,,4,6,8, ζ c c c Figura.5 - Variação o ecreeto logarítico co o aortecieto. 5

24 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae Basicaete, etão, o étoo fucioa a partir e uas eias o ovieto, e seguio-se o cálculo o ecreeto logarítico δ, por (.44), e a seguir, o fator e aortecieto ζ é calculao por ζ δ (.46) π + δ ( ) Coo, e ua grae quatiae e casos, é ifícil istiguir etre ois eslocaetos separaos por u úico períoo, o ecreeto logarítico, seguio o eso raciocíio apresetao acia poe ser obtio a partir e uas eias e +. Te-se + e ζω τ 4 + e oe se obté o ecreeto logarítico ( ) δ l (.47) Eergia Dissipaa o Aortecieto Viscoso Coo o aortecieto represeta a capaciae o sistea e issipar eergia, é útil se estabelecer ua relação etre a eergia issipaa e a costate e aortecieto (ou o fator e aortecieto) o sistea. E se tratao e vibração livre, toa a variação e eergia resulta a issipação: o ovieto possui iicialete ua quatiae e eergia que vai iiuio progressivaete. A taa e variação a eergia co o tepo é aa por W t Fv ( cv) v c força velociae t (.48) oe assuiu-se que a força resposável pela variação é a força e aortecieto viscoso. O sial egativo represeta a variação egativa a eergia, e virtue o sistea ser issipativo. Quao o fator e aortecieto é pueo, poe-se cosierar que a aplitue peraece costate e u ciclo a vibração seo (t) X cos ω t. A eergia issipaa o ciclo e vibração é, portato W resultao e π ( ω seω ) ω se ω ( ω ) c π ω t c X t t c X t t t τ π ω W c X (.49) Da epressão (.49) se coclui que a eergia issipaa epee, alé a costate e aortecieto c, tabé a früêcia a vibração livre aortecia ω, e o quarao a aplitue o ovieto vibratório X. A capaciae específica e aortecieto o sistea é efiia coo a relação etre a eergia que é issipaa urate u ciclo e a eergia total que estava presete o iício o referio ciclo. Escolheo-se o iício o ciclo, o istate e tepo e que o sistea possui a áia eergia ciética (tabé poeria ser potecial), esta poe ser aa por ( ) W v ω X (.5) a A capaciae específica e aortecieto é aa relacioao-se (.49) e (.5) W W πω c X πc 4π c ω ω X ζ ω ζ 6 4πζ δ (.5) O coeficiete e pera tabé é utilizao para represetar a capaciae e aortecieto e ateriais. É obtio a partir e (.5) coo ( W ) π coeficiete e pera W δ π (.5) Eeplo.4 - U absorveor e choque é projetao para ua oto e assa igual a g (Fig..6a). Quao o absorveor é subetio a ua velociae iicial evio a ua irregulariae o caiho, a curva resultate

25 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae eslocaeto tepo é coo a ostraa a Fig..6b. Deteriar as costates e rigiez e aortecieto ecessárias para o absorveor se o períoo e vibração aortecia é seg e a aplitue eve ser reuzia para ¼ e eio ciclo (,5 /4). Deteriar tabé a velociae iicial íia que prouz u eslocaeto áio e 5. Solução: Iicialete eve ser eteriao o fator e aortecieto ζ, que poe ser obtio a partir o ecreeto logarítico δ. A costate e aortecieto poe etão ser obtia. A rigiez é eteriaa através a früêcia a vibração livre aortecia. A velociae iicial é obtia a partir a eteriação o tepo correspoete ao áio eslocaeto. (t) / c / O,5,5 t Figura.6 - Absorveor e choque para ua oto. Se,5 /4, etão o eslocaeto, correspoete a u períoo após será,5 /4 /6. O ecreeto logarítico é etão δ ( ) l l 6, 77 Através a epressão (.46) eteria-se o fator e aortecieto por ζ δ ( π) + δ 44, A früêcia atural é obtia a partir o períoo a oscilação aortecia τ seg. ω ω ζ π τ ζ 44, ra /seg Seo g costate e aortecieto crítico é obtia por cc ω 74, N seg A costate e rigiez é aa por, 58 ω N O tepo e que ocorre o áio eslocaeto é o eso tepo e que a velociae se aula. A uação a velociae é obtia ifereciao-se a epressão (.6) e relação ao tepo, resultao [ ] ζω () ( ) ( ) t ζω ω φ ω ω φ t & Xe cos t se t que será ula se o tero etre colchetes se aular. Cosierao as epressões (.7), seo o eslocaeto iicial ulo, co, cosueteete, φ π/, e X v /ω e as relações trigooétricas 7

26 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae chega-se a si cos t ( ω t ± φ) siω t cosφ ± cosω t siφ ( ω t ± φ) cosω t cosφ siω t siφ ζ ω ζ ta,68 seg A epressão (.6), para o presete caso tora-se () t v e ζωt se ω t ω Coo este valor áio é,5 te-se a v e ω ζωtse ω t e, substituio os respectivos valores, chega-se a v,49 /s Eeplo.5 - O iagraa esqueático e u cahão é ostrao a Fig..7. Quao a ara é isparaa, gases a alta pressão acelera o projétil etro o cao até o eso atigir ua alta velociae. A força e reação epurra o corpo o cahão a ireção oposta à o projétil. Coo é esejável trazer o corpo o cahão para a posição origial o eor tepo possível, se oscilar, coloca-se u sistea ola-aorteceor criticaete aortecio o ecaiso e recuo. E u caso particular o ecaiso e recuo e o corpo o cahão possue ua assa e 5 g co ua ola e rigiez N/. O cahão recua,4 após o tiro. Deteriar: ) o coeficiete e aortecieto crítico o aorteceor; ) a velociae iicial e recuo o cahão; ) o tepo gasto pela ara para retorar à posição situaa a, e sua posição iicial. Solução: ) A costate e aortecieto crítico é obtia pela epressão (.9). Para tato é ecessário, iicialete, eteriar a früêcia atural ω N 5 4, 47 ra /seg Projétil Mecaiso e recuo Figura.7 - Cahão. A costate e aortecieto crítico será, etão cc ω 5 4, 47 4, 47 N seg ) Para eteriar a velociae iicial e recuo é ecessário recorrer à resposta o sistea criticaete aortecio, aa e (.4). Se o sistea parte a posição e uilíbrio,, e (.4) trasfora-se e ω t () vte t que eve ser erivaa para se teriar o tepo e que ocorre o áio eslocaeto 8

27 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae () t ωt ωt ωt ve ω vte ( ω t) ve t que se verifica quao t e ω v ω t 4, v t e a ω e e oe se chega a v,4 e ω 4,86 /seg ) O tepo gasto para o cahão voltar à posição origial é eteriao usao a epressão o eslocaeto ω, vte t resultao e t,86 seg.5 - Vibração Livre co Aortecieto e Coulob O aortecieto e Coulob aparece quao corpos esliza e superfícies secas. E uitos sisteas ecâicos, são utilizaos eleetos que provoca aortecieto por atrito seco. Tabé e estruturas, copoetes frueteete esliza u e relação ao outro e o atrito seco aparece iteraete. A Lei e Coulob para o atrito seco estabelece que quao ois corpos estão e cotato, a força rueria para prouzir eslizaeto é proporcioal à força oral atuate o plao o cotato. A força e atrito F F µ N (.5) oe N é a força oral e µ é o coeficiete e atrito. A força e atrito atua e setio oposto ao a velociae. O aortecieto e Coulob é, alguas vezes, chaao e aortecieto costate, ua vez que a força e aortecieto é iepeete o eslocaeto e a velociae, epeeo soete a força oral atuate etre as superfícies e eslizaeto. A Fig..8a, ostra u sistea e u grau e liberae co aortecieto e Coulob. A Fig..8b apreseta os iagraas e corpo livre para as uas possíveis orietações o ovieto. E caa ua estas orietações a uação o ovieto toará ua fora iferete. O ovieto se á oscilatoriaete, portato o sistea está ora e ua situação, ora e outra. g. µn N g. Figura.8 - Sistea co aortecieto e Coulob. Prieira fase o ovieto: Quao a velociae tiver setio positivo (seguo o referecial aotao), a força e atrito será egativa e a Segua Lei e Newto aplicaa resultará 9 N µn (c)

28 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae && µ N, ou etão && + µ N (.54) que é ua uação iferecial oriária, liear, e segua ore, coeficietes costates, ão hoogêea. A solução geral esta uação copõe-se e uas partes, ua chaaa hoogêea, que é a solução a uação (.5),aa e (.9a), e a outra chaaa particular, que iclui o tero o lao ireito a uação, resultao µ N t () A cosω t+ A se ω t (.55) A uação (.54) e, cosüeteete, sua solução (.55), vale soete uato a velociae peraecer co o sial positivo. Segua fase o ovieto: Quao a velociae troca e sial, a força e atrito tabé ua e sial resultao a uação && + µ N (.56) que te solução aáloga a (.4), apeas co o sial a solução particular ivertio, resultao µ N t () Acosω t+ A seω t+ (.57) 4 E (.55) e (.57), o tero µn/ represeta o eslocaeto a ola evio à força e atrito estabeleceo ua ova posição e uilíbrio. Coo a força e atrito ua e setio a caa eio ciclo (períoo e que a velociae peraece co sial ialterao), esta posição e uilíbrio tabé ua a caa eio ciclo coo poe ilustrar a Fig..9. Solução: Para copleetar a solução as uações (.54) e (.56), eve-se aalisar o ovieto a partir e coições iiciais. O sistea iicia o seu ovieto a partir e u eslocaeto iicial, co velociae iicial ula, para caracterizar a iversão o setio o ovieto e caa eio ciclo. São, etão, as coições iiciais ( ) ( ) t t & (t) (.58) µ Nω π 4µ N µn π ω µn π ω π ω 4π ω 5π ω 6π ω t µ N Figura.9 - Movieto o sistea co aortecieto e Coulob. Se o ovieto coeça co u eslocaeto iicial positivo e velociae ula, o prieiro eio ciclo ocorrerá co velociae egativa. A uação que escreve esta fase o ovieto é (.56), cuja solução é aa e (.57). Itrouzio as coições iiciais (.58) e (.57), as costates poe ser eteriaas por 4

29 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae resultao e µ N t ( ) A + t &( ) ω A N A µ e A 4 A uação (.4) se tora, portato () t 4 µ N µ N cos ωt + (.59) Esta solução é vália apeas para o prieiro eio ciclo, ou seja t π ω. Quao t π/ω, a assa está e sua posição etrea e a velociae troca e setio, e a uação que escreve o ovieto é agora (.54) cuja solução é (.55). Para que ocorra a cotiuiae o ovieto as coições fiais (eslocaeto e velociae) e t π/ω, calculaas co (.54), eve ser as coições iiciais para (.55) N N N t π µ + µ µ ω cosπ N t π µ & ω ω seπ (.6) Aplicao as coições iiciais (.6) e (.54), resulta µ N A A O eslocaeto, este seguo eio ciclo o ovieto, é regio etão por t ( ) µ N µ N cos ω t (.6) Ao fial o seguo eio ciclo t π/ω, quao a velociae ovaete uará seu sial, o eslocaeto e a velociae atigirão os seguites valores N t 4 π µ ω (.6) & t π ω Os valores e (.6) serão as coições iiciais o terceiro eio ciclo, quao, ovaete, passa a valer a uação (.56) e sua solução (.57). O ovieto prosseguirá esta fora, uao e uação a caa eio ciclo até que o fial e u eteriao eio ciclo, o eslocaeto seja tão pueo que a força e ola seja icapaz e vecer a força e atrito estático. Isto acotecerá o fial o eio ciclo e ore r que poe ser eteriao por µ N µ N r µ N r µ N ou A característica pricipal o aortecieto causao por atrito seco, coo já foi ito acia, é que a aplitue iiui sepre ua quatiae costate a caa ciclo (ou eio ciclo). Observao (.59) e (.6), abas represeta ovietos harôicos a früêcia ω, co a aplitue caio µn a caa eio ciclo e co a posição e uilíbrio variao ± µn tabé a caa eio ciclo. 4 (.6)

30 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae Coo o ovieto cessa quao a força e ola ão ais superar a força e atrito, esta posição oralete ão coicie co a posição e uilíbrio, resultao que, por causa a força e atrito, geralete a ola ficará co ua certa eforação o fi o ovieto. Ua outra característica o sistea co aortecieto provocao por atrito seco é que o eso oscila a früêcia atural, ao cotrário o sistea co aortecieto viscoso, cuja oscilação ocorre e ua früêcia que poe ser uito iferete a früêcia atural, epeeo o fator e aortecieto. U outro aspecto que erece ser citao é que, uato o sistea co aortecieto viscoso, te ua quea epoecial a aplitue, o eso, teoricaete cotiuará oscilao iefiiaete, eso que co aplitues ifiitesialete pueas (a prática o ovieto cessa evio a resistêcias passivas), o sistea co aortecieto e Coulob ecerra seu ovieto e u tepo fiito, eso teoricaete, quao os eslocaetos fore pueos..6 - Vibração Livre e Sisteas co Aortecieto Estrutural O atrito itero que ocorre etre as fibras os ateriais quao as esas estão e ovieto relativo, o que acotece quao há vibração, é resposável por ua parte a issipação a eergia vibratória. Isto iplica etão, e ua iiuição a aplitue a vibração livre. Este tipo e aortecieto, tabé chaao e aortecieto histerético, poe ser eteriao verificao-se a eergia issipaa urate o ovieto. Observao o sistea a Fig..a, coclui-se que a força que causa o eslocaeto (t) é aa por F( t) + c& (.64) Seo o ovieto harôico, ao por X seω t ( ) Ft Xseωt+ cωxcosω t a trigooetria, poe-se retirar o seguite artifício ( seω ) ( cosω ) cosω ( seω ) X X t + X t X t ± X X t 44 resultao e ( ) Ft ± c X (.65) F cωx cω X c -X X -cωx (t) F(t) 4 Figura. - Sistea co aortecieto estrutural. A Fig..b ostra o gráfico e F(t) versus que represeta u ciclo. A área itera a elipse represeta a eergia issipaa e u ciclo e oscilação (ifereça e trabalho realizao). Esta área é obtia pela itegração cujo resultao é πω W F ( X seωt + cxωcosωt)( ωx cosωt) t ( ) t t X seωt t ωx cosωtt t W πωcx (.66) O aortecieto causao pelo atrito etre fibras iteras que esliza etre si quao o aterial efora é chaao estrutural ou histerético. Observa-se eperietalete que se fora u ciclo e histerese a curva tesão- co

31 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae eforação, coo ostra a Fig. (.a). A eergia peria e u ciclo é igual à área itera o ciclo e histerese. A siilariae etre as Figs..b e.a poe ser usaa para efiir ua costate e aortecieto estrutural. Observa-se, tabé eperietalete, que a eergia peria por ciclo evio ao atrito itero é iepeete a früêcia as aproiaaete proporcioal ao quarao a aplitue. Para se atigir este coportaeto a Equação (.66), assue-se que o coeficiete e aortecieto c é iversaete proporcioal à früêcia, a fora h c (.67) ω oe h é chaaa e costate e aortecieto estrutural ou histerético. A cobiação e (.66) e (.67) resulta e W πhx (.68) Tesão (Força) Ciclo e histerese Deforação (eslocaeto) h Área (t) F(t).6. - Rigiez Coplea Figura. - Curva tesão eforação para carregaeto cíclico. Se o sistea a Fig..a, estiver eecutao u ovieto a fora iωt iωt ( ) + ( + ) Xe i ω t a força será aa por Ft Xe cωixe iω c (.69) Cobiao (.67) co (.69), chega-se a ( ) ( + ) ( + ) Ft ih iβ (.7) oe (+iβ) é chaaa e rigiez coplea o sistea e h cω β é ua eia aiesioal o aortecieto cohecia coo fator e pera Resposta o Sistea E teros e β a eergia peria por ciclo poe ser epressa coo W (.7) πβ X (.7) (t) P R X j X j+ t X j+,5 Q Figura. - Movieto o sistea co aortecieto histerético. 4

32 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae Sob aortecieto histerético, o ovieto poe ser cosierao coo aproiaaete harôico (ua vez que W é pueo), e o ecréscio a aplitue por ciclo poe ser eteriao usao u balaço e eergia. Por eeplo, a ifereça e eergia os potos P e Q (separaos por eio ciclo), a Fig.. poe ser aa por X X 5 πβ X πβ X X j + πβ X πβ j j+, j j+ 5, j+ 5, ou (.7) Da esa fora, a ifereça e eergia etre os potos Q e R prouz X X j+ 5 j+, + πβ πβ Multiplicao (.7) por (.74) X X j j+ + πβ πβ + πβ + πβ costate πβ πβ (.74) (.75) O ecreeto logarítico para o aortecieto estrutural poe ser efiio coo por X δ l X j j + l ( + πβ ) πβ (.76) Coo assuiu-se que o ovieto é aproiaaete harôico, a früêcia correspoete é efiia ω (.77) O fator e aortecieto viscoso uivalete poe ser ecotrao igualao-se as relações para o ecreeto logarítico δ ζ πζ ζ β h + πβ l πβ Etão, a costate e aortecieto viscoso uivalete é aa por (.78) β β h c cζ β (.79) c ω ω A aoção e u coeficiete e aortecieto viscoso uivalete, é soete vália quao o ovieto for harôico. A aálise efetuaa acia assuiu que o sistea se oviete haroicaete co früêcia ω..7 - Vibrações Torcioais Os coceitos esevolvios até aqui poe ser esteios para sisteas subetios a vibrações torcioais. Vibração torsioal é eteia coo a oscilação e u corpo e relação a u eio e referêcia. O ovieto é escrito por ua cooreaa agular e os esforços atuates se apreseta a fora e oetos. Desta fora o eleeto elástico apreseta u oeto e restauração, resultate a torção este eso eleeto. A Fig.. apreseta o esquea e u isco sustetao por u eio e torção. A torção e eios circulares apreseta a relação etre o oeto torsor e a eforação prouzia a etreiae aa por M t GJ θ l (.8) 44