[Ano] Vibração livre com amortecimento viscoso. Campus Virtual Cruzeiro do Sul

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1 [Ao] Vibração livre o aorteieto visoso Capus Virtual Cruzeiro o Sul

2 Uiae: Vibração Uiae: livre Coloar o aorteieto o oe a uiae visoso aqui Uiae - Vibração livre o aorteieto visoso MATERIAL TEÓRICO Resposável pelo Coteúo: Prof. Ms. Sergio Turao e Souza Revisão Textual: Profa. Dr. Patriia Silvestre Leite Di Iorio Capus Virtual Cruzeiro o Sul

3 Uiae: Vibração Uiae: livre Coloar o aorteieto o oe a uiae visoso aqui Até agora aalisaos ovietos e vibração se iluir os efeitos e atrito ou aorteieto o sistea, e oo que as soluções obtias até agora são aproxiaas. Co o tepo, as vibrações livres esaparee, assi é eessário iluir a aálise o ovieto o efeito as forças e aorteieto. E uitos asos, o aorteieto oorre evio à resistêia riaa pela substâia a qual o sistea vibra, poe ser água, óleo ou ar por exeplo. Se u orpo se ove letaete o eio fluio, a resistêia ao ovieto é iretaete proporioal à veloiae o orpo. Ua força este tipo é eoiaa força e aorteieto visoso. A itesiae a força e aorteieto visoso é expressa a fora F x oe é ua ostate haaa e oefiiete e aorteieto visoso, o uiaes N s (o Sistea Iteraioal) ou lb s pé. Coo exeplo, osierareos e ovo u orpo e assa suspeso por ua ola e ostate, e suporeos que o orpo está preso ao êbulo e u iliro, oo ostrao a figura abaixo. Figura 1 Movieto vibratório e u orpo o aorteieto visoso. Capus Virtual Cruzeiro o Sul 3

4 Uiae: Vibração Uiae: livre Coloar o aorteieto o oe a uiae visoso aqui O efeito o aorteieto é iluío o oelo a figura pelo aorteeor ligao e baixo o bloo. Oorre o aorteieto quao o pistão o iterior o iliro e ove para ia ou para baixo. O iliro oté u fluio e o ovieto o pistão é retarao. O aorteeor apreseta u oefiiete e aorteieto visoso. Cosiere que o bloo foi esloao e ua istâia x abaixo e sua posição e equilíbrio. A força restauraora a ola x e a força e aorteieto x opõe-se a este ovieto. Coo a soa as forças o eso setio é aa pela assa vezes a aeleração, a equação o ovieto resulta e ou x x x x x x (1) Esta é ua equação ifereial oriária, liear, e segua ore, hoogêea e te solução a fora x t e () oe e é a base os logaritos aturais e é ua ostate. assi Para obter o valor e, substituíos os valores e x a equação (1), x e t x e t x e t E poeos esrever oo t t t e e e e t Capus Virtual Cruzeiro o Sul 4

5 Uiae: Vibração Uiae: livre Coloar o aorteieto o oe a uiae visoso aqui Coo o tero t e igualao o tero etre parêteses a zero. ua é zero, a solução possível é eotraa Resolveo esta equação e seguo grau, obteos ois valores e : Vaos efiir o oefiiete e aorteieto rítio, oo seo o valor que aula o raial (a parte a equação etro a raiz), ou seja, ou (3) oe é a frequêia agular atural, ou a frequêia o sistea a ausêia e aorteieto. Poeos istiguir três tipos iferetes e sisteas aorteios, epeeo o valor o oefiiete : 1. Sistea Superaorteio:. Tabé haao e aorteieto superrítio, as raízes 1 e são reais egativas e a solução geral a equação (1) poe ser esrita oo t t x Ae 1 Be O ovieto orrespoete a essa solução é ão vibratório. O efeito e aorteieto é tão iteso que, quao o bloo é esloao e sua posição e equilíbrio e solto, e volta para sua posição iiial se osilar. Capus Virtual Cruzeiro o Sul 5

6 Uiae: Vibração Uiae: livre Coloar o aorteieto o oe a uiae visoso aqui x(t) T t T Figura 1 - A liha vere represeta u sistea altaete superaorteio e a liha azul u sistea leveete superaorteio. T.. Sistea Critiaete Aorteio:. Tabé haao e aorteieto rítio, a solução, as raízes são iguais, 1. E a solução geral a equação (1) é x t A Bt e O aorteieto é rítio, pois represeta a oição íia e para o sistea ser ão vibratório. Estes sisteas são e iteresse espeial a egeharia, pois retora a sua posição e equilíbrio o eor tepo possível, se osilação. x(t) T t T Figura - Sistea Critiaete Aorteio. O esloaeto eai para u ível isigifiate após u períoo e atural, T. Capus Virtual Cruzeiro o Sul 6

7 Uiae: Vibração Uiae: livre Coloar o aorteieto o oe a uiae visoso aqui 3. Sistea Subaorteio:. Tabé haao e aorteieto subrítio, as raízes são oplexas e ojugaas e a solução geral te a fora x e t Ase t Bos t oe é eoiaa a frequêia agular (ou pulsação) atural aorteia (se trata a frequêia agular atural e u sistea o aorteieto) efiio por substituio e lebrao que, teos 1 oe a ostate é oheia oo fator e aorteieto. E solução geral poe ser esrita a fora x De t se t (4) oe D e são ostates que poe ser eteriaas pelas oições iiiais o problea. Capus Virtual Cruzeiro o Sul 7

8 Uiae: Vibração Uiae: livre Coloar o aorteieto o oe a uiae visoso aqui x(t) T T 3T 4T t Figura 3 - Sistea subaorteio. T. A Figura 4 ostra o gráfio a equação (4). O ovieto é vibratório o aplitue eresete. Ebora este ovieto, a realiae, ão se repita, o itervalo e tepo T, que orrespoe a ois potos suessivos oe a urva toa as urvas liites, é o períoo a vibração aorteia. Coo o períoo e vibração aorteia, T, é aior o que o períoo a vibração ão aorteia, T. EXEMPLOS EXEMPLO 1 A figura ostra u sistea bloo-ola-aorteeor. O bloo te assa 1 g, a rigiez a ola é = 6 N/ e o oefiiete e aorteieto visoso é = 8 Ns/. O bloo é esloao para a oposição x = 5 e solto a partir o repouso. Deterie a equação que efie o ovieto o bloo. Capus Virtual Cruzeiro o Sul 8

9 Uiae: Vibração Uiae: livre Coloar o aorteieto o oe a uiae visoso aqui Resolução: Prieiro alulaos o oefiiete e aorteieto rítio: 6 N 1g 49, 1g Ns oefiiete e aorteieto lique aqui:. Para saber ais sobre a uiae o CLIQUE AQUI! Coo o oefiiete rítio obtio = 49, Ns/ é eor que o oefiiete = 8 Ns/, teos que o sistea é superaorteio. A solução é aa por: t t x Ae 1 Be oe 1 e 8 Ns 8 Ns 6 N 1, 838s 1g 1g 1g 1 Aalogaete obteos 7, 16s 1. E a solução: x Ae Be,838t 7,16t Capus Virtual Cruzeiro o Sul 9

10 Uiae: Vibração Uiae: livre Coloar o aorteieto o oe a uiae visoso aqui Ipoos agora as oições iiiais para obteros os valores e A e B. No istate iiial t, o esloaeto é x 5, 5, assi: x Ae,838t,5 Ae Be,838 7,16t Be 7,16 Ae Be A1 B 1 A B E poeos esrever que A, 5 B. A segua oição iiial é que o istate iiial o bloo está parao, ou seja, t x, assi x Ae x A A A B A,838t,838t,838e B 7,16e,838,838e B 7,16,838 B 7,16,838 7,16 Be 7,16t A,117 7,16t e 7,16 Coo teos que A, 5 B : A,5 A,117 A,117A,5 A 1,117 A,5,883 e B,117A,117,57, 7.,5,57 Portato a equação o ovieto é aa por x,57e,838t,7e 7,16t EXEMPLO - Na figura, veos u sistea vibratório aorteio. A rigiez e aa ola é = 1 N/, o oefiiete e aorteieto é = Ns/ e a assa é = 5 g. Deterie a equação ifereial o ovieto. Que tipo e ovieto oorre este sistea? Capus Virtual Cruzeiro o Sul 1

11 Uiae: Vibração Uiae: livre Coloar o aorteieto o oe a uiae visoso aqui Resolução: Para esrever a equação, vaos supor que o bloo é puxao ligeiraete para baixo. A força e restauração é realizaa pelas 3 olas presas a parte superior o bloo ( F ola 3y). E a força e aorteieto é aa pelos ois aorteeores e baixo o bloo ( F aorteie to y ). A equação o ovieto é: 3 y y y ou y y 3y Substituio os valores a assa, o oefiiete e aorteieto e a rigiez a ola, teos: 5g y Ns y 31 N 5 y 4y 3y,que poe ser siplifiao e y 16y 1y y Capus Virtual Cruzeiro o Sul 11

12 Uiae: Vibração Uiae: livre Coloar o aorteieto o oe a uiae visoso aqui Para efiiros qual o tipo e ovieto, preisaos o oefiiete e 3 1 N 173 Ns. 5g aorteieto rítio: 5g Coo, o sistea ão vibra e é superaorteio. EXERCÍCIOS EXERCÍCIO 1 - O bloo a figura te assa e g e a ola te rigiez = 6 N/, forao u sistea subaorteio. (a) Deterie a frequêia agular atural; (b) Deterie o oefiiete e aorteieto rítio; () Após o bloo ser esloao e solto, efetuou-se eias a aplitue e obteve-se o oefiiete e aorteieto e 18,9 Ns/. Deterie a frequêia agular atural aorteia. Respostas: 5, 48ra s ; 19, Ns ; 5, 46ra s Capus Virtual Cruzeiro o Sul 1

13 Uiae: Vibração Uiae: livre Coloar o aorteieto o oe a uiae visoso aqui EXERCÍCIO - Chaaos e fator e aorteieto, a graeza aiesioal, que poe ser eteriaa experietalete eio-se as aplitues suessivas o ovieto vibratório o sistea. Seja ois esloaetos áxios x 1 e x e u sistea subaorteio, verifique que a quatiae lx x 1, eoiaa ereeto logarito é aa por: x l x 1 1. Dia: Cosiere os esloaetos áxios e x De t se t e tabé t t1 e 1. RESUMO DA UNIDADE Vibração livre o aorteieto visoso. Ua força e aorteieto visoso é provoaa pelo fluio o o qual o sistea está e otato. Para ovietos baixas veloiaes, essa força e arrasto é proporioal à veloiae, isto é, F x. A ostate é eoiaa oefiiete e aorteieto visoso. Coparao o valor e o o valor o aorteieto rítio, poeos espeifiar o tipo e vibração o sistea. Se, o ovieto é superaorteio; se, o ovieto é ritiaete aorteio e; se etão ele é subaorteio. Capus Virtual Cruzeiro o Sul 13

14 Uiae: Vibração Uiae: livre Coloar o aorteieto o oe a uiae visoso aqui Aotações Capus Virtual Cruzeiro o Sul 14

15 Uiae: Vibração Uiae: livre Coloar o aorteieto o oe a uiae visoso aqui Referêias BEER, F. P. Meâia vetorial para egeheiros. 5. e. São Paulo: Maro, MGraw-Hill, HIBBELER, R.C. Diâia: eâia para egeharia. vol.. São Paulo: Pretie Hall, 5. Capus Virtual Cruzeiro o Sul 15

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