MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO: A PARTÍCULA EM UMA CAIXA

Transcrição

1 MOVIMNTO D TRANSAÇÃO: A PARTÍCUA M UMA CAIA Prof. Harle P. Martis Filo Partícula livre oveo-se e ua iesão Ae ik Be ik k Não á restrições às soluções a equação e Scröiger A e B poe assuir qualquer valor assi coo k eergia ão é quatizaa. o Partícula e ua caia Partícula cofiaa etre uas parees a ua istâcia ua a outra. Alé as parees a eergia potecial é ifiita. tre as parees: V = 0

2 Traslação e oléculas e recipietes fecaos létros e valêcia e peça e etal létros o sistea e ligações e oléculas cojugaas Detro a caia a equação e Scröiger te a esa fora que a a partícula livre. Solução: Ae k ik Be ik A Bcosk i A Bsek Csek Dcosk Acosk isek Bcosk isek Mas agora as soluções eve satisfazer as coições e cotoro que efie o sistea: k Fora a caia < 0 e > a partícula ão eiste = 0. A fução e oa eve ser cotíua 0 = 0 e = 0 Para = 0 0 = Csek 0 + Dcosk 0 = D = 0 Csek k Para = = Csek = 0 Se C = 0 = 0 para too iaceitável Se sek = 0 k = =... = 0 iplicaria ovaete e = 0 para too iaceitável. Valores e egativos apeas ua o sial a fução e oa e relação aos valores egativos gerao os esos estaos. Cse k ergias assi coo outras proprieaes fica quatizaas através o úero quâtico.

3 Soluções são copatíveis co a ipótese a partícula ser ua oa estacioária co ós aplitue zero as parees: k De acoro co a relação e e Broglie p A eergia a partícula é toa ciética e pela relação esta eergia co o oeto K p Para = eergia a partícula é íia eergia o poto zero: Orige física: Posição a partícula ão é totalete iefiia oeto te icerteza correspoete ão poe ser ulo. eve ser iferete e zero a caia as ula as parees coo é cotíua te que ter curvatura ao logo a caia te que aver eergia ciética.

4 4 Separação e eergia etre ois íveis e eergia ajacetes: Átoos e oléculas eslocao-se e recipietes e laboratório grae eais variações e eergia praticaete ão-quatizaas. létro cofiao e caia e 0 = J 60 zj ou 07 ev. ergia e ecitação íia = a equação acia: + = =0 zj ev Noralização Costate C será ajustaa para que * se C cos se / C C se /

5 ergia ciética Co o aueto e aueta a curvatura éia a fução aueto a eergia ciética. Quato aior aior o úero e ós potos oe a fução passa por zero geral quato aior o úero e ós aior a eergia. Núero e ós = -. Moeto liear Fução sek ão é autofução o oeto liear as poe ser epressa alterativaete coo / se i Superposição e estaos co p = kħ e kħ. etae o tepo a partícula ove-se para a ireita e a outra etae para a esquera. / e ik e ik k Desiae e probabiliae: se Para pequeo esiae e probabiliae varia uito etro a caia as para elevao ela vai se torao uifore coportaeto clássico pricípio a correspoêcia resultaos a ecâica clássica surge os a ecâica quâtica e úeros quâticos elevaos 5

6 Ortogoaliae e a otação e Dirac Coo e qualquer sistea quâtico as fuções e oa a partícula a caia são ortogoais ou seja * = 0 para quaisquer e iferetes. Notação e Dirac: Bra < = * eplo: e área Sob a curva vere é ula Ket > = A reuião e u bra co u ket sigifica a itegração o prouto as fuções e too o espaço: * Coição e ortogoaliae: 0 Se as fuções e oa são oralizaas As uas coições poe ser epressas cojutaete através a equação oe é o elta e Kroecker igual a quao = e zero quao. Cojutos e fuções que são oralizaas e utuaete ortogoais são caaas e ortoorais. 6

7 7 Movieto e uas ou ais iesões Partícula e superfície retagular e coprieto a ireção e a ireção. V = 0 etro a caia e alé as parees. quação e Scröiger: para caa iesão e ovieto eve aver u operaor e eergia ciética. Separação e variáveis Supoaos que a fução e oa possa ser epressa coo u prouto e fuções caa qual fução apeas e ou : Precisaos as erivaas parciais e a equação e Scröiger:

8 Para u ao valor e valor o prieiro tero à esquera assue u valor costate assi coo o seguo tero e relação a u valor e. Mas coo os ois teros são iepeetes a sua soa só poe resultar costate se os ois teros fore costates. Caaos estas costates e e : Ua equação aáloga se aplica à fução quação e Scröiger foi separaa e uas equações ifereciais oriárias. ergia o sistea: = +. Coo caa equação te a fora a equação para a partícula a caia uiiesioal poeos aaptar os resultaos já coecios: se se se se / / / tesão para três iesões: / se se se z z

9 Fuções e oa a partícula a caia biiesioal: a = e = b = e = c = e = Degeerescêcia Se = = caia quaraa se se Soluções para os casos = = e = = : se se se se Fuções são iferetes as egeeraas ou seja correspoe à esa eergia

10 staos egeeraos estão relacioaos por sietria. Os estaos e por eeplo poe ser itercovertios por ua rotação e 90º: ua caia cúbica estaos e são egeeraos ível e eergia 6 / é triplaete egeerao. Tuelaeto Se eergia potecial as parees ão é ifiita partícula poe eistir etro as parees e até atravessá-las eso que < V paree Tuelaeto. À esquera a barreira Ae ik Be ik k / quação e Scröiger etro a barreira eergia potecial costate V: V V 0

11 Solução: Ce De V / poeciais reais. À ireita a barreira soluções são o eso tipo que a partícula livre: Ae ik Be ik k / Coição e cotiuiae a fução e oa o iício a barreira = 0 e o fi = : A B C D Ce De Ae ik Coição e cotiuiae as prieiras erivaas o íício e o fi a barreira: ika ikb C D Ce De ik Be ikae ik ikbe ik Quatro equações co seis coeficietes.se ão á partícula oveo-se para a esquera fora a barreira B = 0. A razão etre as probabiliaes a partícula estar se eslocao para a ireita epois a barreira A e ates a barreira A é a probabiliae e trasissão T: A A T e e 6 oe = /V e V / Para barreiras altas e largas >> T 6 e Gráficos e T cotra para < e >. Valores iicaos são e V / /

12 T iiui epoecialete co e / efeito é uito iportate para elétros as ão tato para prótos Tuelaeto e elétros eteria velociae e trasferêcia e elétros e eletroos e e sisteas biológicos. Reações e trasferêcia e prótos etre ácios e bases tê equilíbrio uito rápio evio ao tuelaeto. Microscopia e varreura por tuelaeto Agula uito fia platia-róio ou tugstêio varre superfície e u coutor co correte eteriaa por tuelaeto passao a agula para a superfície. Correte costate: agula afasta-se e aproia-se a superfície para ater correte costate. z costate: agula até altura costate e a correte varia cofore istâcia a superfície. Átoos e Cs e superfície e GaAs