A finalidade dos testes de hipóteses paramétrico é avaliar afirmações sobre os valores dos parâmetros populacionais.
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- João Vítor Madeira Amaro
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1 Jaete Pereira Amaor Itroução Os métoos utilizaos para realização e iferêcias a respeito os parâmetros pertecem a uas categorias. Poe-se estimar ou prever o valor o parâmetro, através a estimação e parâmetros ou poe-se tomar ecisões relativas ao mesmo, através e um teste e hipótese paramétrico (teste e sigificâcia). O teste e sigificâcia ou teste e hipóteses paramétrico cosiste em verificar se a ifereça etre um valor alegao e um parâmetro populacioal e o valor e uma estatística amostral poe ser razoavelmete atribuío a variabiliae amostral ou se a iscrepâcia é emasiaamete grae para ser ecaraa assim. A fialiae os testes e hipóteses paramétrico é avaliar afirmações sobre os valores os parâmetros populacioais. ipótese Estatística Uma hipótese estatística é uma afirmação que poe ou ão ser veraeira sobre o valor e um parâmetro ou sobre a istribuição e probabiliae e uma variável aleatória. Em estatística existem ois tipos e hipótese estatística. A ipótese ula é a hipótese coservaora sempre poe ser expressa por uma igualae a zero. Por exemplo: : ou :. A ipótese alterativa é qualquer hipótese que iferi e uma aa hipótese ula é a ipótese experimetal. Por exemplo: : ou : ou :. A ipótese ula é uma afirmação que iz que o parâmetro populacioal é tal como especificao (isto é, a afirmação é veraeira). A ipótese alterativa é uma afirmação que oferece uma alterativa à alegação (Isto é, o parâmetro é maior ou meor que o valor alegao) As hipóteses e são mutuamete excluetes, aceitao-se uma hipótese como veraeira, a outra, automaticamete, será rejeitaa. Portato eve-se tomar cuiao para ão ser cometio erros com relação aceitação e rejeição e e. 3 Tipos e Erro Quao se realiza um teste e hipótese, poe-se cometer ois tipos e erro: Erro tipo I: cosiste em rejeitar quao ela é veraeira. Poe ser limitao pela escolha o ível e sigificâcia que probabiliae e rejeitar quao essa for veraeira. Erro tipo II: Cosiste em aceitar, quao ela é falsa. O quaro a seguir mostra as possibiliaes e se cometer os erros tipo I e tipo II. Realiae o Veraeira o Falsa Decisão Aceitar o Decisão correta ( - ) Erro Tipo II ( ) Rejeitar o Erro Tipo I ( ) Decisão Correta ( - )/Eficácia
2 Jaete Pereira Amaor O ível e sigificâcia o teste (probabiliae e rejeitar quao essa for veraeira) é fixaa ates a extração as amostras. Os valores mais comus para são:.,.5 e. ou %, 5% e %. Se por exemplo, ao eliear-se um teste, escolhe-se =.5 ou 5%, sigifica que em cerca e 5% rejeitar-se-ia erroeamete. O coeficiete e cofiaça, iicao por ( - ), é a probabiliae e que a hipótese ula ão seja rejeitaa quao e fato for veraeira e ão eve ser rejeitaa. Em termos e metoologia o teste e hipóteses, esse coeficiete represeta a probabiliae e se cocluir que o etermiao valor o parâmetro que está seo testao para hipótese ula seja plausível. O risco a probabiliae e se cometer um erro Tipo II ietificao por é iferete o erro Tipo I que poe ser cotrolao pela seleção e. A probabiliae e se cometer o erro Tipo II epee a ifereça etre o valor a hipótese e os veraeiros parâmetros a população. A eficácia e um teste estatístico eotaa por -, é a probabiliae e se rejeitar a hipótese ula quao ela é e fato falsa e everia ser rejeitaa. A probabiliae p é a área, abaixo e uma curva e probabiliae, compreeia etre a estatística calculaa e o ifiito mais próximo, o caso o teste uilateral. Se o teste for bilateral, cosiera-se este valor multiplicao por ois. Se p, rejeita-se (quato meor o valor e p mais sigificativo é o teste), e se p, aceita-se 3. Cotrole os erros Tipo I e Tipo II Para cotrolar e valem as seguites cosierações práticas: Para fixo, um aumeto o tamaho a amostra ocasioa uma reução e ; isto é, uma amostra maior reuz a chace e cometermos o erro e ão rejeitar a hipótese ula quao ela for falsa. Para um tamaho, fixo, e amostra, uma imiuição e acarreta um aumeto e ; reciprocamete, um aumeto e acarreta uma imiuição e. Para reuzir e, evemos aumetar o tamaho a amostra. 4 Teste e ipóteses Uilateral e Bilaterais Depeeo a hipótese alterativa, os testes são classificaos como uilaterais e bilaterais. 4. Teste e hipóteses bilateral Os testes bilaterais se usam sempre que há ivergêcia crítica em ambas as ireções, tal como ocorreria a fabricação e roupas, oe camisas muito graes ou muito pequeas ão correspoem à etermiação o parão. Outro exemplo é o caso em que peças evem ajustar-se uma a outra, como o parafuso e porca. Uma variação excessiva ocasioará seja um ajuste muito frouxo, e moo que as peças ão permaecerão uias, ou um ajuste excessivo impeio a cojugação as peças. Assim por exemplo: : cotra : é um teste bilateral, esquematicamete:
3 Jaete Pereira Amaor 3 Valor tabelao também chamao e valor crítico, separa a região e aceitação (RA ) a região e rejeição (RR ). 4. Teste e hipóteses uilateral a ireita O teste uilateral a ireita é útil para testar se etermiao parão máximo ão foi exceio Como exemplo seria: teor máximo e gorura permitia em etermiao tipo e leite, raiação emitia por usias ucleares, úmero e passas efeituosas e uma remessa e certa mercaoria, quatiae e poluição atmosférica emitia por uma etermiaa fabrica. Assim por exemplo: : cotra, : ( é o valor suposto para o parâmetro) é um teste uilateral a ireita, esquematicamete: 4. Teste e hipóteses uilateral a esquera O teste uilateral a esquera é útil para verificar se etermiao parão míimo foi atigio. Como exemplo seria: coteúo míimo e gorura o leite, peso líquio e pacotes e etermiao prouto, via e um prouto tal qual como especificao o certificao e garatia. Assim por exemplo: : é um teste uilateral a esquera, esquematicamete: 5 Proceimetos para Realização e um Teste e ipóteses Para realizar um teste e hipótese sugere-se seguir as seguites etapas: ) Formular as hipóteses;
4 Jaete Pereira Amaor 4 ) Ietificara a estatística o teste; 3) Determiar o ível e sigificâcia; 4) Calcular a estatística utilizao os valores amostrais; 5) Comparar as estatística calculaa com a estatística tabelaa; 6) Cocluir. 5. Teste e hipóteses para méia O objetivo o teste e sigificâcia para méias é avaliar afirmações feitas a respeito e méias populacioais. á basicamete três tipos e afirmação que se poem fazer a cerca as méias populacioais e caa tipo requer um tipo iferete e avaliação. Uma afirmação poe izer respeito a méia e uma úica população; a avaliação evolve etão um teste e uma amostra. Ou poe-se afirmar que a méia e uas populações são iguais; tem-se etão um teste e uas amostras. Fialmete poe-se afirmar que a as méias e mais e uas populações são iguais, o que evolve um teste e K amostras (Aálise e Variâcia) que será visto em um capítulo aparte Teste e sigificâcia e uma amostra para uma méia amostral cotra um valor paramétrico Caso I - Variâcia populacioal cohecia e/ou > 3 De acoro com o teorema o limite cetral, se obtemos amostras graes ( > 3) (e qualquer população com qualquer istribuição), a istribuição as méias poe ser aproximaa por uma istribuição ormal. Seo assim, istribuição as méias amostrais será aproximaamete ormal com meia e esvio parão. Em um teste e hipóteses, o valor e correspoe a hipótese ula, e o valor o esvio parão populacioal eve ser cohecio. Se é escohecio e as amostras são graes, poemos usar o esvio parão amostral S em substituição σ, porque graes amostras aleatórias teem a represetar a população. Assim temos: Retira-se uma amostra e tamaho e calcula-se X. X Calcula-se o valor a estatística c Sob a hipótese ula, tem-se que c possui uma istribuição ormal parão.portato, Rejeita-se se c (isto é, se < ou ) Aceita-se se c (isto é, c ), oe é o ível e sigificâcia o teste. Ex: Uma máquia automática para echer pacotes e café eche-os seguo uma istribuição ormal, com méia e variâcia sempre igual a 4g. A máquia foi regulaa para = 5g. Colhe-se, perioicamete uma amostra e 6 pacotes para verificar se a proução está sob cotrole, isto é, se = 5g ou ão. Se uma essas amostras apresetasse uma méia amostral e X = 49 g, você pararia ou ão a proução para regular máquia, cosierao o ível e sigificâcia e %? Solução
5 Jaete Pereira Amaor 5,,5 =,58 c : 5 : ,6 4 6 Coclusão: Aceita-se a hipótese ula, ou seja, ão existe eviêcias e que a máquia esta embalao pacotes e café com uma méia iferete e 5g, seo assim a máquia ão ecessita ser paraa. Ex: A tesão e ruptura os cabos prouzios por um fabricate apreseta méia e 8 kg e esvio parão e kg. Meiate ova técica o processo e fabricação, proclamase que a tesão e ruptura poe ter aumetao. Para testar esta eclaração, esaiou-se uma amostra e 5 cabos, teo-se etermiao a tesão méia e ruptura e 85 kg. Poe-se cofirmar a eclaração ao ível e sigificâcia e,? Solução,,5 =,33 c : 8 : ,4 3,53 Ao ível e sigificâcia e,, a regra e ecisão é: Rejeita-se se c, =,33 Aceita-se se c, <,33 Coclusão: Rejeita-se, e cofirma a eclaração e que a teção e ruptura foi aumetaa. Caso II - Variâcia populacioal escohecia e/ou 3 Neste caso, a população origial eve ter istribuição essecialmete ormal, pois e acoro com o teorema o limite cetral. Se a população sob amostragem tem istribuição ormal, a istribuição as méias amostrais também será ormal para toos os tamahos e amostras. Desta forma teremos que usar a istribuição t e Stuet utilizaa para trabalhar com pequeas amostras, quao a variâcia populacioal é escohecia. Coições para usar a istribuição t e Stuet A amostra é pequea 3 é escohecio A população origial tem istribuição essecialmete ormal. Desta forma para um teste e hipótese para meis têm-se:
6 Jaete Pereira Amaor 6. Sob a hipótese ula, tem-se que t possui uma istribuição t e Stuet com - graus e liberae. Portato, X Calcula-se a estatística: t c S Se o teste tiver uma hipótese alterativa uilateral ( : ou : ) o teste everá rejeitar uilateralmete ( t t,( ) ou t t,( ) ) Ex: Um fabricate afirma que seus cigarros cotém ão mais que 3 mg e icotia. Uma amostra e 5 cigarros forece méia e 3,5 mg e esvio parão e 3 mg. Ao ível e 5%, os aos refutam ou ão a afirmação o fabricate? Solução: Neste caso, as hipóteses são: : 3 : 3 Como ão se cohece a variâcia populacioal, e esta foi estimaa pela amostra, evemos X utilizar a estatística t e Stuet: t c S A regra e ecisão é aa por: Rejeita-se se t t t, 7 Aceita-se se t, 7 3,5 3,5 t c,5 3,6 5,(,5,4 Coclusão: Rejeita-se, ou seja, há eviêcias e que os cigarros coteham mais e 3g e icotia. 5.. Teste e sigificâcia para a ifereça etre uas méias populacioais iepeetes. Caso I Amostras graes >3 e/ou e (cohecias) Os testes e uas amostras são usaos para eciir se as méias e uas populações são iguais. Para a realização o teste exige que as uas amostras sejam iepeetes, uma e caa população. Duas amostras são iepeetes se a amostra extraía e uma as populações ão tem qualquer relação com a amostra extraía a outra. Esses testes são freqüetemete usaos para comparar ois métoos e esio, uas marcas, uas ciaes, ois istritos escolares, e outros casos aálogos. Ao testar as hipóteses para ifereça etre uas méias supõe-se que:
7 Jaete Pereira Amaor 7 As uas amostras são iepeetes O tamaho as uas amostras são graes > 3 e > 3 e/ou as variâcias são cohecias. De acoro com o teorema o limite cetral quao o tamaho a amostra for maior o que 3 a istribuição ormal costitui aproximação razoável a istribuição as méias amostrais.por raciocíio aálogo os valores e x x também teem para uma istribuição ormal com meia. Quao ambas as amostras são graes, a proprieae seguite as variâcias leva-os a cocluir que os valores e x x tem um esvio parão ao por:. A variâcia a ifereça etre uas variáveis aleatórias iepeetes é igual a soma as variâcias estas variáveis. Isto é, a variâcia os valores amostrais x x tee a ser igual a ese que x e x sejam iepeetes. Assim, x x x x x x Como é um escore paroizao que correspoe a: estatistica amostral méia populaciol esta forma vem; esvioparão a estatística amostral x x Quato às hipóteses temos que: A hipótese ula poe ser e que as uas populações tem méias iguais. : Equato que as alterativas poem ser: : ; : e : ote que: : é equivalete a : Ex: Um fabricate e peus faz ois tipos. Para o tipo A, = 5 milhas, e para o tipo B, = 3 milhas. Um táxi testou 5 peus o tipo A e 4 o tipo B, obteo 4. milhas e.6 milha e uração méia os respectivos tipos. Aotao-se um risco =4%, testar a hipótese e que a via méia os ois tipos é a mesma. Solução: : :,4, Aceita-se-se se Rejeita-se se =,5 ou
8 Jaete Pereira Amaor 8 c c ,4 353,6 474,68 Coclusão: Rejeita-se, ou seja, existe ifereça em relação a via méia o ois tipos e peus Teste e sigificâcia para a ifereça etre uas méias e populações epeetemete relacioaas Os resultaos e uas amostras costituem aos emparelhaos ou pareaos quao estão relacioaos ois a ois seguo algum critério que itrouz uma ifluêcia marcate etre os iversos pares, que supõe-se, porém ifluir igualmete sobre os valores e caa par. Seo assim, como os aos as uas amostras estão emparelhaos, tem setio calcular a ifereça i correspoete a caa par e valores, reuzio assim os aos a uma úica amostra e ifereças. Desta forma testa-se a hipótese e que a ifereça etre as méias as uas populações seja igual a um certo valor Δ equivale atestar a hipotese e que a meia e toas as ifereças (referete as populações) seja igual a Δ, o que ecorre as proprieaes a méia. Ou seja, testa-se simplesmete a hipótese : Δ cotra uma hipótese alterativa que poerá correspoer a um teste uilateral ou bilateral coforme seja o iteresse. Ao tomar as ifereças i, reuzimos o problema ao teste e uma úica méia recaio o item acaba recaio o item 5.. Caso II. Logo, a expressão vista este item, poe ser aplicaa à amostra as ifereças, realizao-se teste simplesmete através a comparação t-stuet com o valor crítico obtio em fução e com - graus e liberae. As otações para o teste e hipóteses para uas amostras epeetes correspoem; méia as ifereças para população e aos emparelhaos. = valor méio as ifereças i (x-y) para os aos amostrais emparelhaos é ao por i. S esvio parão as ifereças i para aos amostrais emparelhaos i i S. = úmeros e pares e aos. Seo assim, a equação para o teste é a por t c S Ex: Dez cobaias aultas foram submetias ao tratameto com certa ração urate uma semaa. Os aimais foram ietificaos seo matios em gaiolas iiviuais. Os pesos, em gramas, aotaos o iicio e o fial o experimeto, esigaos respectivamete, por x e y foram aotaos, seo estes: Cobaia x i (peso iicial)
9 Jaete Pereira Amaor 9 y i (peso fial) Testar a hipótese a % e que a ração ão cotribui para o aumeto e peso os aimais, cotra a hipótese alterativa o peso os aimais foi afetao pela ração (o peso iicial eve ser meor que o fial). Solução: : 9;% : t =,8 Cobaia x i (peso iicial) y i (peso fial) i Total i S t c ,5 6,5 6,6 6,94,34 48,7,96 6,94 Coclusão: Rejeita-se, ou seja, com 99% e cofiaça coclui-se que o uso a ração cotribui para o aumeto os pesos os aimais. 5. Teste e ipótese para proporção Os testes para proporções são aequaos quao os aos sob aálise cosistem em cotages ou freqüêcias e ites em uas ou mais classes. A fialiae e tais testes é avaliar afirmações sobre a proporção ou percetagem e uma população. Os testes se baseiam a premissa e que uma proporção amostral, isto é, x ocorrêcias em observações, ou x/, será igual a veraeira proporção populacioal. Os testes focalizam geralmete as ifereças etre um úmero esperao e ocorrêcias (supoo-se veraeira uma afirmação) e o úmero efetivamete observao. A ifereça é etão comparaa com a variabiliae prescrita por uma istribuição amostral baseaa a hipótese e que é realmete veraeira. Em muitos aspectos, os testes para proporção se assemelham graemete aos testes para méias; apeas, os testes para proporções, os aos amostrais se apresetam e termos e cotages, ao ivés e meias. Por exemplo, os testes tato para méias como para proporções poem ser usaos para avaliar alegações sobre:
10 Jaete Pereira Amaor Um parâmetro e uma úica população (teste e uma amostra). Igualae e parâmetros e uas amostras (teste e uas amostras ). Igualae e parâmetros e mais e uas amostras (teste e k amostras) Além isso, para graes amostras, a istribuição amostral apropriaa para testes e proporções e uma e uas amostras é aproximaamete ormal, tal como o caso e testes para méias e uma e uas amostras. 5.. Teste e sigificâcia e uma amostra para a proporção Seja a proporção os elemetos e uma população que possuem uma etermiaa característica. Por exemplo, é igual a proporção ou percetagem os habitates, e uma etermiaa localiae, que possuem automóvel. Se quisermos testar a hipótese e que essa proporção é igual a etermiao valor, cotra a alterativa essa proporção ser maior e que o valor especificao, laça-se as hipóteses: : = Cotra uma as hipóteses alterativas: : > : : Um bom estimaor o parâmetro é a proporção amostral P, que para graes amostras segue uma istribuição aproximaamete ormal com méia e a variâcia ( ) ou seja, P ~ N (, ). Portato poe-se usar a variável ormal paroizaa. P ~ N (,) seo: ( ) P = x = úmero e sucessos tamaho a a amostra amostra proporção e sucesso a partir a hipótese ula Para proceer ao teste e hipóteses, como os casos ateriores, o valor e c. calculao eve ser comparao com o e ao em fução e, o ível e sigificâcia o teste. Ex: Um iustrial eseja certificar-se e que a fração e mercao que prefere seu prouto ao e seu cocorrete é superior a 7%. Para tato colheu uma amostra aleatória e 65 opiiões, as quais lhe foram favoráveis. Poe o iustrial ficar satisfeito com esse resultao, aotao o ível e sigificâcia e 5%? Solução: : = 7% =.7 : >.7 x P = =,
11 Jaete Pereira Amaor P,739,7 ( ),7(,7) 65 5% z 65. Teste uilateral,39,778,5 Coclusão: Não há eviêcia, ao ível e 5%, e que a proporção seja superior a 7%. 5.. Teste e sigificâcia para a ifereça etre uas poporções populacioais iepeetes. Sejam P e P as proporções obtias em uas amostras e tamaho e. Se quisermos testar a hipótese e que as proporções e as proporções as quais foram retiraas as amostras são iguais, formula-se as hipóteses e acoro com o tipo e este que poerá ser: Teste bicaual Teste uicaual a ireita Teste uicaual a esquera : : : : : : Para realizar o teste usa-se a variável paroizaa: ( P P ) ( ), que para graes amostras segue uma ( ) ( ) istribuição aproximaamete ormal com méia zero e variâcia. Comparao-se o valor calculao (calc) com o valor crítico, obtio a tabela a istribuição ormal paroizaa, a um ível ao e sigificâcia, ecie-se pela rejeição ou ão e. Deve-se observar que por : - = e assim caso esses parâmetros sejam escohecios, poe-se substituí-los pelos valores estimaos P e P (são os estimaores) e a população) o cálculo e. Assim: p p x x c seo : P e P p ( p) p ( p ) Ex: Um empresário eseja saber se o percetual e satisfação e seus clietes em relação a ois proutos oferecios por sua empresa são similares. Para isso etrevistou 5 pessoas, as quais 8 isseram estar satisfeitas com o prouto A e com o prouto B. Use = 5% e coclua a respeito. Solução:
12 Jaete Pereira Amaor : :,5,5 =,96 teste bicaual 8 PA 5,533 PB 5,666 c,533,666,33,33,73,8,533(,533),66(,666),3, 8 Coclusão: Aceita-se, ou seja, ão existe ifereça etre o percetual e satisfação os clietes em relação aos proutos A e B.
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