Eletromagnetismo e Ótica (MEAer/LEAN) Polarização

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1 Eletroagnetiso e Ótica (MEAer/LEAN) Polarização 5ª Seana Probl. ) Consiere o seguinte iagraa u circuito co capaciaes C = 0 pf, C 2 = 20 pf e C 3 = 30 pf. a) Deterine a capaciae equivalente C eq o sistea entre os pontos AB. b) Deterine a capaciae equivalente C eq o sistea entre os pontos DE. R. -a) C eq = 45 pf R. -b) C eq = 40 3 pf Probl. 2) Consiere u conensaor e placas quaraas e paralelas co área A = 0. 2 e ua istância entre placas e = 3. A eio no seu interior está ua placa e nylon e espessura s =. A constante ielétrica relativa o nylon é ε r = 3.4, e suporta u capo eléctrico áxio e A constante ielétrica relativa o ar é ε r = ~ e suporta u capo eléctrico áxio e ua carga = C. V V. Ua as arauras te E ar σ + σ pol- n + A E ny σ pol+ s E ar σ - n - A a) Calcule o capo eléctrico no ar e no nylon entro o conensaor. b) ual é a capaciae o conensaor? c) ual é a energia arazenaa nesse conensaor? Coo faria para calcular a energia associaa ao capo eléctrico o conensaor? ) ual é a aior carga que esse conensaor poe arazenar se correr riscos e ua escarga? e) Estano o conensaor e circuito aberto, o que acontece à iferença e potencial entre as arauras quano a placa e nylon é retiraa? f) ual é o trabalho que é preciso efectuar para retirar essa placa e nylon e circuito aberto? g) Escreva a expressão para a força aplicaa sobre o ielétrico pelo conensaor e função o copriento x e ielétrico extraío. h) ual seria a força necessária para retirar o ielétrico se se antivesse as arauras no potencial inicial V o? º Seestre ARS

2 R. 2-a) E ar = n + E ny = n + V V Dao que A = 0.3 = vaos assuir que o capo interno no conensaor é aproxiaaente invariante para eslocaentos horizontais. Desprezano variações nas fronteiras, o capo eve ser vertical e toos os pontos no interior. Poeos usar a Lei e Gauss para eterinar os capos às iversas alturas z a partir a araura inferior. Φ cyl = cyl D n S = c ou Φ cyl = cyl E n S = c O vector eslocaento eléctrico D = ϵ E relaciona-se co a carga livre c (carga e conução) entro o cylinro e Gauss. A vantage e usar a prieira fora a lei e Gauss é que não existe referência explícita à constante ielétrica o eio (se houvesse contribuições para o fluxo evias a capos e eios iferentes, que ϵ se usaria na lei e Gauss?). O prouto escalar D n (ou e E n) e qualquer ponto a superfície lateral o cilinro é zero porque o capo é vertical e n horizontal. Só nas bases o cilinro é que E e n são colineares, as na base superior não há capo (E = 0) se a colocaros acia a araura positiva. Assi o fluxo reuz-se ao a base inferior à altura z. Φ cyl [z] = D[z] n π r 2 = σ + π r 2 D[z] = σ + n + Neste caso verifica-se que não existe epenência explícita e z, ou seja D é constante e too o conensaor. Nu ielétrico co peritiviae relativa ϵ r = ϵ o capo eléctrico eve ser ϵ o E = ϵ r ϵ o D Para os valores aos E ar = σ + ϵo n + E ny = σ + n + ϵr ϵo ϵo A n + no ar ϵ r ϵr ϵo A n + no nylon E ar = 4 π n + E ar = (* V *) E ny = 4 π n + E ny = (* V *) R. 2-b) C = (F) A capaciae u conensaor é a razão entre a carga arazenaa e a quea e potencial = V + - V - entre as arauras. ϵ C = (* F*) Ua fora siples e resolver consiste e notar que E ar 3 = -ΔV ar e E ny 3 = -ΔV ny e caa segento o conensaor, pelo que = -2 ΔV ar -ΔV ny = -(2 E ar + E ny ) 3 Substituino os valores e E ar e E ny eterinaos antes obté-se a efinição e C C = 2 E ar + E ny 3 = R. 2-c) U c = (J) 3 ϵ r (2 ϵ r + ) ϵ o A A energia arazenaa nu conensaor correspone ao trabalho realizao contra o seu capo interno para separar as cargas que estão nas arauras. Assi, se a carga na araura positiva é e a quea e potencial é, então a energia total é, teno e conta que C = U c = 0 (q) q = 0 q C q = 2 2 C = 2 C 2 = 2 Teno obtio e C na alínea anterior basta substituir e qualquer as expressões equivalentes U c = 2 = ϵ r 2 ϵ o A ARS -2- º Seestre

3 U c = π = (* J *) 0 - U c = 2 2 C = = (* J *) U c = 2 C 2 = (38.92) 2 = (* J *) Note-se que a energia poe ser consieraa coo existente no capo eléctrico, co ensiae u e (r ) = 2 E(r ) D(r ). Assi, ao que neste caso D(r ) = σ + n + é constante entro e too o conensaor, e zero fora ele, é fácil calcular a energia total teno e conta E = ε D e o volue ar = 2 ny = A 3 : U e = u e (r ) = Vol. tot. Vol. tot. 2 ε D2 = = σ + 2 ar + 2 ϵ o ϵ ny = ε r A R. 2-) ax = (C) 2 A ε o 3 = ε r 2 ε o A O capo e escarga o conensaor é o enor os capos áxios suportaos pelos seus ielétricos. Neste caso Eax ar = V, o que significa que a carga na araura positiva se anté para valores inferiores a este. Coo E ar = σ + = obteos para a áxia carga no conensaor ϵ o ϵ o A ax = ϵ o A Eax ar = 4 π = (* C *) Esta carga não é suficiente para anificar o conensaor porque o capo entro o nylon para esta carga é E ny = ax ϵ r ϵ o A = Eax ar ϵ r Eax ny Assi a escarga não passa através o nylon. De facto seria necessária ua carga uito aior para causar a rotura no nylon rot = ϵ r ϵ o A Eax ny = π = (* C *) R. 2-e) V ar = (V) E circuito aberto as arauras estão isolaas, e portanto a sua carga anté-se invariante. Assi, quano a placa e nylon é retiraa, a quea e potencial entre as arauras passa a ser a e u conensaor co capaciae C ar = ϵ o A ar = C ar = = (* V *) ϵ o A Este valor é aior que o anterior = ϵ r R. 2-f) ΔW = (J) = V. A iferença e potencial entre as arauras auenta. ϵ o A Coo vios que a iferença e potencial no conensaor auenta quano se retira o nylon e circuito aberto, isso significa que a energia arazenaa tabé auenta, ou seja agora U ar = 2 ar = = (* J *) A iferença e energia arazenaa só poe ser justificaa coo o trabalho realizao sobre o conensaor para retirar o ieléctrico. Assi ΔU = U ar -U c = (* J *) = (* J *) R. 2-g) F (x) = - 2 α 2 ( α x + β) e 2 x, α = ( - ε r) ε o A ( + 2 ε r ) ; β = 3 A ε o ε r ( + 2 ε r ) A capaciae o conensaor co o nylon retirao x etros na irecção e x poe ser calculaa coo a e ois conensaores e paralelo, u co nylon e área A (x) = (A - x l) e outro só co ar e área A 2 (x) = x l, one l é a largura a araura (iensão na irecção e y ). A capaciae os ois é a soa as capaciaes e caa u, e assi C(x) = C (x) + C 2 (x) = º Seestre ARS

4 3 ϵ r ϵ o A (x) (2 ϵ r + ) + ϵ o A 2 (x) = ( - ϵ r) ϵ o l ( + 2 ϵ r ) x + 3 A ϵ o ϵ r ( + 2 ϵ r ) = α x + β α = ( - ϵ r) ϵ o l ( + 2 ϵ r ) ; β = 3 A ϵ o ϵ r ( + 2 ϵ r ) A (x) = A - x l ; A 2 (x) = x l ; A = l c Assi, ao retirar o ieléctrico e nylon estaos a fazer variar contínuaente a capaciae o conensaor, que varia linearente co x na fora C(x) = α x + β, e coo a sua energia arazenaa é U c = 2 obteos para ua pequena 2 C variação e C que U c = C 2 C A expressão para a variação e energia arazenaa passa assi a escrever-se e função e x coo U c (x) = ( α x + β) 2 α x = - ec = -F r one ec é o trabalho realizao pelo conensaor sobre o ielétrico. Desta expressão euzios que a força sobre o ieléctrico e nylon que realiza este trabalho é (note que α < 0) F c (x) = 2 α 2 ( α x + β) e 2 x = - U c x R. 2-h) F ext = - 2 V o 2 α e x e x -F ext (x) = F c (x) = + U c x e x = V 2 V C (x) 2 o e x = x 2 V o 2 α e x Probl. 3) U cilinro conutor infinito, e raio R e carga λ por uniae e copriento, está roeao por u ielétrico e espessura infinita, cuja peritiviae ε = ε o + a R varia co a istância r ao eixo o cilinro. Deterine: r a) O capo elétrico E(r ) e toas a regiões o espaço. b) O potencial elétrico φ(r) entro e fora o cilinro. c) O vector e polarização P(r ). ) A ensiae e carga e polarização ρ p (r ) no ielétrico. e) A ensiae e carga e polarização σ p à superfície o ielétrico. f) A carga total e polarização no ielétrico. R. 3-a) λ E (r ) = 2 π ε o (r+a R) e r (R < r) E(r ) = 0 (r < R) φ(r) = - λ log a R+r (R < r) R. 3-b) 2 π ε o (a+) R φ(r) = 0 (r < R) V (V) R. 3-c) P(r ) = λ a R 2 π r (r+a R) e r C 2 R. 3-) ρ λ a R p(r) = C 2 π r (r+a R) 2 3 R. 3-e) σ p (R) = - λ a 2 π R (+a) C 2 R. 3-f) p = 0 ARS -4- º Seestre

5 Probl. 4) U conensaor esférico te ua araura interior e raio concêntrica co ua araura exterior, e raio enor R 2 e raio aior R 3. O espaço entre as arauras está preenchio co ois ielétricos LHI e peritiviaes ε e ε 2, co ua superfície e contacto esférica à istância o centro a araura interior. Assuino que a araura interior te ua carga + e a araura exterior está ligaa à terra: R 3 ε 2 ε R R 2 ε o a) Deterine o capo elétrico E(r ) e toas as regiões o espaço. b) Deterine o potencial elétrico φ(r) e função a istância r ao centro o conensaor, assuino que o potencial na terra é zero. Faça u gráfico o potencial e função e r. c) Deterine a capaciae C o conensaor. ) Calcule o vector e polarização P(r ) nos ois ielétricos. e) Ientifique as regiões one existe cargas e polarização e eterine as respectivas ensiaes e carga e polariae. R. 4-a) E = 0 (r < & R 2 < r) E = 4 π ε r e 2 r ( r ) E = r 2 e r ( r R 2 ) R. 4-b) φ(r) = 0 (R 2 < r) φ(r) = r - R 2 ( r R 2 ) φ(r) = φ() + 4 π ε r - ( r ) φ(r) = φ( ) (r < ) R. 4-c) C = 4 π ε ε 2 R 2 ε (R 2 -) +ε 2 R 2 (- ) (F) R. 4-) P = (ε -ε o ) 4 π ε r 2 e r ( r ) P = (ε 2-ε o ) r 2 e r ( r R 2 ) R. 4-e) σ p ( ) = - (ε -ε o ) 4 π ε 2 σ p () = ε o(ε -ε 2 ) 4 π ε ε 2 2 σ p (R 2 ) = (ε 2-ε o ) R 2 2 ρ p (r) 0 º Seestre ARS

6 Probl. 5) U conensaor cilínrico constituío por ois tubos ôcos e raios e R 2 e copriento L são parcialente iersos sobre u líquio ielétrico e ensiae ρ e peritiviae ε. Ua bateria fornece ua tensão V entre as arauras os conensaores. a) Deterine a expressão o capo elétrico E(r ) entre as arauras nas regiões secas e olhaas. b) Assuino que o conensaor está ergulhao até ua profuniae l ese a superfície o líquio, e que este sobe até ua altura h acia a superfície entro o conensaor, eterine as cargas elétricas e 2 arazenaas nas partes seca e olhaa a araura interior. c) Deterine a capaciae C(l, h) o conensaor nesta situação. ) Deterine altura h a que o líquio ascene entro o conensaor. R. 5-a) E (r ) = σ ε o r E (r ) = σ 2 ε r na região seca na região olhaa R. 5-b) = 2 π ε o V (L-l-h) log R 2 2 = 2 π ε V (l+h) log R 2 R. 5-c) C(l, h) = 2 π ((ε -ε o) (l+h) +ε o L) log R 2 (F) R. 5-) h = V 2 (ε-ε o ) ρ g log R 2 R Probl. 6) Ua nuve e tepestae poe ser representaa por u ipolo elétrico coposto por ua carga negativa -0 C na parte inferior a nuve, a ua altura e 5 K, e ua carga positiva +0 C na parte superior, a 8 K o chão. Assuino que o chão está olhao e é u bo conutor: a) Deterine o potencial e o capo elétrico no ponto A à superfície eso por ebaixo a nuve. b) Deterine a ensiae e carga e A e nu ponto B o chão a 5 K e istância e A. ( ) h h ARS -6- º Seestre

7 R. 6-a) A superfície a terra poe ser vista coo u plano conutor ao potencial ϕ = 0. O capo e A poe ser eterinao usano o étoo e iagens co cargas que tenha ua equipotencial coinciente co a superfície a Terra. Assi, substituino as cargas à superfície por ua istribuição virtual e cargas + à istância h e - à istância h 2 abaixo a superfície poeos verificar a equipotencial ϕ = 0 continua a coinciir co a superfície a Terra. O capo gerao por estes ois ipolos e A é E (A) = 2 4 π ε o h e z h -e z = 2 2 π ε o h - 2 h2 R. 6-b) A ensiae e carga e A é a coponente noral o vetor eslocaento elétrico D e A σ v (A) = D (A) n = ε o E z (A) = 2 π h 2 - h 2 2 C -2 Nu ponto B à istância x e A e à superfície a Terra o capo elétrico eve ser E (B) = - x e x - h e z 4 π ε o x 2 + h 2 3/2 + x e x + h e z x 2 + h 2 3/2 + x e x - h 2 e z - x e x + h 2 e z x 2 + h 2 3/2 + x 2 + h 2 3/2 = 2 π ε o h x 2 + h 2 3/2 - h 2 x 2 + h 2 2 3/2 pelo que a ensiae e carga superficial e B eve ser e z e z σ v (B) = D (B) n = ε o E z (B) = 2 π h x 2 + h 2 3/2 - h 2 x 2 + h 2 2 3/2 C -2 º Seestre ARS