Física IV para a Escola Politécnica (Engenharia Elétrica) TURMA 3

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1 Física IV para a Escola Politécica (Egearia Elétrica) TURMA 3 Professor: Dr. Marcos A. G. Alvarez Departaeto de Física Nuclear (DFN) IFUSP Edifício Oscar Sala (sala 46) Escaio alvarez@if.usp.br IVRO: Pricípios de Física (Óptica e Física Modera) Rayod A. Serway / Jo W. Jewett Jr. Volue 4

2 PROVA P Capítulos 8 e 9 Serway/Jewett vol. 4 CAPÍTUO 8: Física Quâtica Radiação de corpo egro e a Teoria de Plack O Efeito Foto-Elétrico O Efeito Copto Fótos e Odas Eletroagéticas Propriedades Odulatórias das Partículas A Partícula Quâtica Eperiêcia de Dupla Feda

3 CAPÍTUO 8: Física Quâtica O Pricípio da Icerteza Mecâica Quâtica Ua Partícula e ua Caia A Equação de Scrödiger Tuelaeto através de ua Barreira de Eergia Potecial ista de eercícios sugerida Capítulo 8: 8.4,., 3, 4, 5, 6, 9, 0,, 33, 35, 38, 4, 43, 5

4 A partícula quâtica Ates: odelos corpusculares (partículas co carga e assa) odelos odulatórios (odas) Depois: Efeito Foto-Elétrico & Copto Tato a luz coo as partículas tê propriedades corpusculares e odulatórias De Broglie p p v

5 EXEMPO 8.5 O coprieto de oda de u elétro Calcule o coprieto de oda de De Broglie para u elétro deslocado-se co ua velocidade de: v sedo 7 e / e v s 9. 3 Kg

6 EXEMPO 8.5 O coprieto de oda de u elétro Calcule o coprieto de oda de De Broglie para u elétro deslocado-se co ua velocidade de: v sedo 7 e / s 9. 3 Kg Solução e v ( 3 ) ( 7 ) 9. Kg.0 / s J s 7.8 Este coprieto de oda correspode ao coprieto de oda típico dos raios-x

7 Eeplo 3- Eisberg & Resick: Coprieto de oda de ua bola Qual é o coprieto de oda de De Broglie de ua bola de beisebol co ua assa de Kg ovedo-se a ua velocidade de /s J s p v.0kg s

8 Eeplo 8.7: Ua carga acelerada Ua partícula de carga q e assa é acelerada a partir do repouso por ua difereça de potecial V. Supodo que a partícula desloca-se co velocidade ão relativística, ecotre seu coprieto de oda de de Broglie. v p vv q V Calcule o coprieto de oda de de Broglie de u elétro acelerado por ua difereça de potecial de 50V. p q e e.6 p 9 9. C 3 Kg

9 Eeplo 8.7: Ua carga acelerada Ua partícula de carga q e assa é acelerada a partir do repouso por ua difereça de potecial V. Supodo que a partícula co velocidade ão relativística, ecotre seu coprieto de oda de de Broglie. p ( ) q,, V v p v p v q V q V q V eu A p q V q V ou eu A

10 Calcule o coprieto de oda de de Broglie de u elétro acelerado por ua difereça de potecial de 50V J s eu A 9.6 C 9. Kg 50V 3 carga assa ENTIDADES CORPUSCUARES

11 Resultados eperietais deveria ostrar que elétros são difratados pelos plaos de u cristal de aeira siilar aos raios-x, sedo portato aplicável a codição de Bragg. ( ) dseθ,,3... O coprieto de oda que deveos associar aos elétros é previsto pela ipótese de De Broglie, segudo a qual: ( ) dseθ,,3... p v

12 Ua característica essecial de ua partícula é que ela está localizada o espaço. O prieiro passo é ostrar que podeos costruir ua etidade localizada a partir de cosiderações odulatórias. Iagie traçar ua oda ao logo do eio co ua de suas cristas localizadas e 0. 0

13 ogo ua seguda oda de esa aplitude as co ua frequêcia diferete, poré tabé co ua de suas cristas e 0. Frequêcias diferetes e Aplitudes que coicide e 0 O resultado da superposição dessas duas odas é u batieto pois as odas estão alteradaete e fase e fora de fase.

14 Iterferêcia etre odas está coectada à (difereça de) fase etre as odas. A difereça de fase etre duas odas pode udar Iterferêcia costrutiva Dois casos etreos de iterferêcia Iterferêcia destrutiva

15 Iterferêcia de duas odas co esa aplitude e esa frequêcia Padrão de iterferêcia cotíuo o tepo oda de cor preta é estacioária Iterferêcias costrutivas e destrutivas etre odas está coectada à (difereça de) fase etre as odas. Duas odas pode ter distitas frequêcias (coprietos de oda). A difereça de fase etre duas odas pode udar. Cosiderado duas odas co distitas frequêcias e esa aplitude (A), eiste ua aplitude (A) áia para a aplitude de ua iterferêcia costrutiva.

16 Iterferêcia de duas odas co esa aplitude e diferetes frequêcias Padrão de iterferêcia descotíuo o tepo (a) Ua oda idealizada co ua úica frequêcia eata é a esa por todo o espaço e e todo istate; (b) se são cobiadas duas odas ideais co frequêcias ligeiraete diferetes, surge (b)batietos (posições alteradaete e fase e fora de fase)

17 Se adicioaos odas, de odo que suas cristas coicida co as deais odas e 0, a pequea região de iterferêcia costrutiva é deoiada pacote de oda. Iterferêcia áia e 0 Esta é ua região localizada do espaço que é diferete de todas as outras. Aquí, podeos assuir (aproiar) o pacote de odas coo/por ua partícula.

18 O padrão de batietos da figura da esquerda co ua fução evoltória sobreposta (figura da direita). Cada vez que ocorre u áio de aplitude se diz que ocorreu u batieto.

19 Cosidere duas odas co aplitudes iguais, as frequêcias diferetes f e f. Podeos represetar estas odas ateáticaete coo: ( ) ( ) ( ) ( ) b a b a b a t k A t k A y y y k f t k A y t k A y cos cos cos cos trigooétrica fora a cos cos Pricípio de Superposição e cos e cos. ω ω π π ω ω ω a b ( ) ( ) ( ) ( ) t k k t k A t k t k t k t k A y t k b t k a b a cos cos cos cos teos : e sedo cos cos cos cos ω ω ω ω ω ω ω ω ω a b O segudo fator co-seo represeta ua oda co u úero de oda e frequêcia iguais às édias dos valores das odas idividuais.

20 k ω k + k ω + ω Acos t cos t O segudo fator co-seo represeta ua oda co u úero de oda e frequêcia iguais às édias dos valores das odas idividuais. O fator etre colcetes represeta a evoltória da oda, coo ostrado Observe que este fator tabé te a fora ateática de ua oda ( k ω t) e y A ( k ω t) y Acos cos Esta oda descrita pela fução evoltória pode deslocar-se o espaço co ua velocidade diferete das odas idividuais.

21 Coo u eeplo etreo dessa possibilidade, iagie cobiar duas odas idêticas deslocado-se e direções opostas. As duas odas desloca-se co a esa velocidade escalar, as a evoltória te ua velocidade ula, pois costruíos ua oda estacioária

22 ( ) ( ) ( ) ( ) t k A t k A y y y k f t k A y t k A y cos cos pelo Pricípio de Superposição e cos e cos ω ω π π ω ω ω t k k t k A cos cos ω ω ω

23 Para ua oda idividual, a velocidade é dada pela equação: fase Que é defiida coo velocidade de fase porque é a taa de progressão de ua crista e ua úica oda, que é u poto de fase fia. v fase ω k v ω k π π ω πf e k T ω coeficiete de variável teporal"t" v fase vg k coeficiete de variável espacial"" ω k O subscrito g a velocidade idica que ela é usualete deoiada velocidade de grupo ou a velocidade do pacote de odas (o grupo de odas) que costruíos. Ode teos ua cobiação de frequêcias (ω) e coprietos de oda () variáveis etre diferetes odas.

24 Para ua superposição de u úero uito grade odas para forar u pacote de odas, teos a razão: dk d g ω v Vaos ultiplicar o uerador e o deoiador por ћ ode ћ/π: aalisado separadaete o d d ) ( ω ω aalisado separadaete o uerador e o deoiador dp de k d d p k E f f k d d dk d g g ) ( ) ( v ) ( ) ( v ω π π π π ω ω ω

25 Coo estaos eplorado a possibilidade de que a evoltória das odas cobiadas represete a partícula, se cosideraos ua partícula livre deslocado-se co ua velocidade v que é pequea coparada co a velocidade da luz. A eergia da partícula é sua eergia ciética: p difereciado co relação a p E v p g v de dp v d dp p ( p) Assi, podeos assuir a aalogia etre a velocidade do pacote de oda e a velocidade de ua partícula p v

26 Os pacotes de oda são costruídos coo ua superposição liear de odas plaas de diferetes oetos lieares «p». p ( ) p Neste caso, cada copoete do pacote de odas viaja co sua velocidade característica, coecida coo velocidade de fase.

27 Novaete a Eperiêcia da Dupla Feda Ates: odelos corpusculares (partículas co carga e assa) odelos odulatórios (odas) Depois: Efeito Foto-Elétrico & Copto Tato a luz coo as partículas tê propriedades corpusculares e odulatórias De Broglie p p v

28 Novaete a Eperiêcia da Dupla Feda Vaos laçar elétros cotra ua dupla feda Cosidere u feie paralelo de elétros oo-eergéticos (oo-croáticos) icidido sobre ua dupla feda. As larguras das fedas são pequeas? coparadas co o coprieto de oda do elétro O detector de elétros é colocado be loge das fedas a ua distâcia uito aior que d (distâcia de separação etre as fedas).

29 ACEITÁVE???

30 Efeito esperado Teoria Clássica Se o detector coletar elétros por u tepo veos u típico padrão de iterferêcia de oda e teros do úero de elétros por iuto. Não se espera tal coportaeto se cosideraos os elétros - partículas. Esta é ua evidêcia de que os elétros estão iterferido segudo feôeos ao eos siilares aos odulatórios.

31 Efeito esperado Teoria Clássica Se o detector coletar elétros por u tepo veos u típico padrão de iterferêcia de oda e teros do úero de elétros por iuto. Não se espera tal coportaeto se cosideraos os elétros - partículas. Esta é ua evidêcia de que os elétros estão iterferido segudo feôeos ao eos siilares aos odulatórios.

32 Efeito esperado Teoria Clássica Efeito observado Teoria Quâtica

33 Se iagiaros elétro(s) o feie produzido pequeas odas e fase quado alcaça ua das fedas Utilizado a teoria odulatória do Capítulo 7, etão: F dseθ represeta u íio de iterferêcia, e F dseθ represeta u áio de iterferêcia F dseθ

34 F dseθ Coo o coprieto de oda do elétro é dado por:, para θ pequeo p seθ θ p d teos : Coo isso se respeita fica ostrada a F dseθ atureza dual do elétro. Iterferêcia destrutiva

35 F dseθ Coo o coprieto de oda do elétro é dado por:, para θ pequeo teos : p seθ θ p d Coo isso se respeita fica ostrada a atureza dual do elétro. F dseθ Iterferêcia costrutiva

36 Assi, os elétros são detectados coo partículas e u certo poto e algu istate de tepo. Mas a probabilidade de cegada a esse poto é deteriada pela itesidade de duas odas que iterfere.

37 Eercício 8.4 É usado u osciloscópio odificado para realizar ua eperiêcia de iterferêcia de elétros. Elétros icide sobre u par de fedas estreitas separadas por µ. As badas brilates o padrão de iterferêcia estão separadas por 0,400 sobre ua tela a 0,0 c das fedas. Deterie a difereça de potecial através da qual os elétros fora acelerados para forar este padrão. dse θ p e v e K v e V e e

38 É usado u osciloscópio odificado para realizar ua eperiêcia de iterferêcia de elétros. Elétros icide sobre u par de fedas estreitas separadas por µ. As badas brilates o padrão de iterferêcia estão separadas por 0,400 sobre ua tela a 0,0 c das fedas. Deterie a difereça de potecial através da qual os elétros fora acelerados para forar este padrão. Cosiderado a prieira bada brilate teos: dseθ tgθ dseθ K V v e 0.00 e v v e e e e e v e e ( 8 ) 6.0 se( 0.00) e e V ( 34 ) 6.63 J s ( 9 )( 3 )( ) C 9. Kg J C V 5V

39 EXERCÍCIO O que acotece quado ua feda é coberta

40 EXERCÍCIO Se ua feda é coberta, se observa ua curva siétrica co seu pico ao redor da feda aberta áio cetral do padrão de difração de feda úica. A figura ostra gráficos das cotages de elétros por iuto (probabilidade de cegada de elétros) co a feda superior () ou iferior () fecada.

41 RESUMINDO Se a feda está aberta e a feda fecada por u certo tepo e depois iverteos durate o eso itervalo de tepo obteos os padrões e azul É iportate observar Que é copletaete diferete do padrão e que as duas fedas estão abertas (curva co vários picos). Não eiste ais ua probabilidade áia de cegada e θ0 (curva azul) Desaparece o padrão de iterferêcia e o resultado acuulado é a soa dos resultados idividuais.

42 COMO PODEMOS IDENTIFICAR POR ONDE O EÉTRON PASSA QUANDO AS DUAS FENDAS ESTÃO ABERTAS????

43 Quado as duas fedas estão abertas ossa ituição tede a iduzir-os a que o elétro passa pela feda OU pela feda. Padrão de iterferêcia siilar ao de duas odas oocroáticas coeretes Os resultados eperietais idicados pelo padrão de iterferêcia co uitos picos cotradize isso. PRINCÍPIO DE HUYGENS Portato, a coclusão de que o elétro é localizado e atravessa apeas ua feda quado as duas fedas são abertas está errada. Coclusão difícil pois vai e cotra da ossa ituição.

44 U elétro iterage co as duas fedas siultaeaete. É ipossível deteriar por qual feda passa o elétro. Se tetaros deteriar eperietalete qual feda o elétro atravessou, o siples ato da edida destruirá o padrão de iterferêcia. Podeos apeas afirar que o elétro passa pelas duas fedas.

45 O PRINCÍPIO DA INCERTEZA Sepre que se ede a posição ou a velocidade de ua partícula e u certo istate, icertezas eperietais estão icluídas as edidas. De acordo co a ecâica clássica ão á u liite para o aueto da precisão (diiuição da icerteza) dos procedietos eperietais.

46 O PRINCÍPIO DA INCERTEZA A Mecâica Quâtica prevê que é fudaetalete ipossível edir siultâeaete a posição () e o oeto (pv) de ua partícula co precisão ifiita. Se são feitas ua edida da posição de ua partícula co ua icerteza ( ) e ua edida siultâea do seu oeto co ua icerteza ( p) o produto das duas icertezas uca pode ser eor que ћ/: i p i π

47 Cosidere ua partícula para a qual coeceos eataete o coprieto de oda. De acordo co as relações de de Broglie : Coeceríaos o oeto co precisão ifiita. Eistiria por todo o espaço ua oda co o coprieto de oda. Qualquer região ao logo dessa oda sigifica a esa coisa que qualquer outra região. p

48 Se os pergutaos, ode está a partícula represetada por esta oda? Neua localização especial o espaço ao logo da oda poderia ser idetificada co a partícula, pois todos os potos ao logo da oda são idêticos. Assi teos ua icerteza ifiita a posição da partícula. U coecieto perfeito do oeto custa toda a iforação quato à posição. p cte

49 E coparação, cosidere agora ua partícula co algua icerteza o oeto, de tal fora que seja possível u itervalo de oetos p o que iplica u itervalo de coprietos de oda. p p Assi a partícula ão é represetada por u úico coprieto de oda, as por ua cobiação de coprietos de oda este itervalo. Esta cobiação fora u pacote de odas

50 Para deteriar a posição da partícula, podeos dizer que ela está e algu poto a região defiida pelo pacote de oda, pois eite ua ítida difereça etre esta região e o restate do espaço. Assi ao perder parte da iforação quato ao oeto da partícula, gaaos iforação sobre sua posição.

51 Eeplo 8.8 ocalizado u elétro É edida a velocidade de u elétro coo sedo: e Detro de quais liites pode-se deteriar a posição desse elétro ao logo da direção de seu vetor velocidade? v v e 3 (5.0 ± 0.003%) s (5000,00 ± 0.5) s p e e v e ( 3 ) 9. Kg p p

52 Eeplo 8.8 ocalizado u elétro É edida a velocidade de u elétro coo sedo: e Detro de quais liites pode-se deteriar a posição desse elétro ao logo da direção de seu vetor velocidade? Solução: O oeto do elétro é: p v e e v v e 3 (5.0 ± 0.003%) s (5000,00 ± 0.5) s ( ) ( ) Kg 5 Kg s Assuido a icerteza do oeto, coo sedo igual à icerteza da velocidade Teos: 3 Kg p p.37 Pode-se agora calcular a icerteza íia a posição usado-se o valor de p a equação: p p J s kg s s s 0.384

53 Eercício 7: U elétro e u projétil tê, cada u, ua velocidade de agitude 500/s eata co aproiação de 0.00%. Detro de quais liites poderíaos deteriar a posição dos corpos ao logo da direção da velocidade? Coecedo os valores das respectivas assas: p e p 9. v Kg p π Kg

54 Eercício 7: U elétro e u projétil tê, cada u, ua velocidade de agitude 500/s eata co aproiação de 0.00%. Detro de quais liites poderíaos deteriar a posição dos corpos ao logo da direção da velocidade? Coecedo os valores das respectivas assas: 3 Para o elétro: e 9. p p e e v v ( -3 )( )( 4 ) 9. Kg 500 / s Kg s ( 34 ) 6.63 J s. 6 4π p 3 Kg 4π 4.56 s Para o projétil: p v 0.000Kg p e e 4π p ( )( )( 4 ) 500 / s.00 v.0 3 Kg s p 0.000Kg ( 34 ) 6.63 J s π.0 3 Kg s Kg

55 A fora ateática do pricípio da icerteza afira que o produto das icertezas a posição e o oeto sepre será aior que u valor íio. Pode ser gerada ua outra fora do pricípio da icerteza recosiderado a figura co o tepo o eio o lugar da posição. Podeos cosiderar os esos arguetos, utilizados para o coprieto de oda (oeto) e a posição, o doíio teporal. As variáveis correspodetes seria a frequêcia e o tepo. A frequêcia está relacioada co a eergia por: E f e o pricípio de icerteza E t esta fora é :

56 Se cobiaos u grade úero de odas a probabilidade de u valor positivo a fução de oda e qualquer poto é a esa que a probabilidade de u valor egativo. Iterferêcia áia e 0 Se cada oda ova é adicioada de odo que sua crista coicida co as deais odas e 0, a pequea região de iterferêcia costrutiva é deoiada pacote de oda. Esta é ua região localizada do espaço que é diferete de todas as outras. Aquí, podeos assuir o pacote de odas coo ua partícula.

57 CAPÍTUO 8: Física Quâtica O Pricípio da Icerteza Iterpretação da Mecâica Quâtica Ua partícula livre e e ua caia Fução de Oda e Valor Esperado A Equação de Scrödiger Tuelaeto através de ua Barreira de Eergia Potecial ista de eercícios sugerida Capítulo 8: 8.4,., 3, 4, 5, 6, 9, 0,, 33, 35, 38, 4, 43, 5

58 UMA INTERPRETAÇÃO DA MECÂNICA QUÂNTICA Aalogias perite tratar radiação eletroagética coo corpúsculo Vios que o úero de elétros (portador de carga) por uidade de tepo é proporcioal à itesidade de correte elétrica. I dq dt (derivada - taa de variação de carga co o tepo) Defiição de carga está oralete relacioada co elétros, prótos, íos. Defiição de correte: fluo de carga por uidade de tepo. Supoaos que a carga q se ove através de ua seção trasversal A de u arae (fio), e u tepo t, etão a itesidade de correte I através do arae é dada por: NQ C I( A) t s C e úero de elétros

59 UMA INTERPRETAÇÃO DA MECÂNICA QUÂNTICA Aalogaete, cosiderado o fóto coo portador de radiação eletroagética, o úero de fótos (NF) por uidade de área (A-D) volue (V-3D) é proporcioal à itesidade da radiação: I( A) NQ t C s 8 C 6.4 e NF probabilidade Iα α V V Dito de outra aeira, a probabilidade de ecotrar u fóto por uidade de volue, e ua certa região do espaço, e u certo istate de tepo é proporcioal ao úero de fótos por uidade de volue Recordado que a itesidade da radiação eletroagética é proporcioal ao quadrado do capo elétrico: I α E α probabilidade V

60 Odas eletroagéticas trasporta eergia e a taa de fluo de eergia atravessado ua uidade de área A é descrita pelo vetor de poitig S r CalculadoS para ua oda eletroagética plaa. r r r r 0 E e B são perpediculares etre sí E B EB, assi este caso: S S EB, sedo B µ 0 0 cb µ Isso ivolvea a 0 B µ 0 a E c A édia teporalde equações para Desta fora,o valor édio de I E µ c S E S tabé podeos forular: édia teporalde cos a E µ c 0 cb µ a 0 ( k ωt) r S por u ou ais ciclos é a itesidade. S que é igual a ou a itesidade da oda é : µ. r E S que se aplicaa istate de tepo. r B

61 A probabilidade por uidade de volue de localizar ua partícula associada co essa radiação (o fóto) pode ser assuida coo proporcioal ao quadrado de ua aplitude da oda. r E r (, t) E cos( k ωt) I α E (, t) E cos ( k ωt) 0 I α E α probabilidade V E a k (, t) π k π ωt ωt Assuido a dualidade oda-partícula, a probabilidade de ecotrar ua partícula, por uidade de volue, pode ser assuida proporcioal ao quadrado da aplitude da oda represetado a partícula.

62 p ψ (, y, z) v,p, E ψ (, y, z, t)

63 Na verdade, a aplitude da oda associada a ua partícula ão é ua gradeza física e portato ão é esurável coo é o capo elétrico para ua oda eletroagética. A úica coeão é a aalogia dada pela equação: I α E α probabilidade α V A Coo resutado disso, caaos siplesete a aplitude da oda associada à partícula de aplitude de probabilidade ou de fução de oda

64 A fução de oda é a descrição ateática ais copleta possível para u sistea regido pela ecâica quâtica. Na ecâica clássica a descrição copleta de u sistea cosistia e deteriar a posição e a velocidade de todas as partículas e, co esta descrição, ser possível prever todos os ovietos futuros e passados do sistea. Na ecâica quâtica ão se pode deteriar todas as gradezas desejadas co a esa certeza (Pricípio da Icerteza). De acordo co a ecâica quâtica, a descrição do sistea teria ao ível da fução de oda, co a idéia de probabilidade de ecotrar a partícula e ua posição.

65 ( ) dv r A fução de oda ψ, y, z r é ua ferraeta ateática (, y, z) criada a partir de eis da Física que coté (gera) iforação espacial da partícula. Ua fução de oda ais copleta deve depeder tabé do tepo, represetada por ua epressão do tipo: ψ (, y, z, t) Já vios que, a equação de de Broglie relacioa o oeto de ua partícula co seu coprieto de oda. p Se ua partícula livre ideal te u oeto p coecido co precisão sua fução de oda é ua oda seoidal co coprieto de oda: + e a partícula te ua probabilidade igual de estar e qualquer poto do espaço p

66 A fução de oda para tal partícula livre deslocado-se ao logo do eio pode ser escrita a fora: ψ Ebora ão podeos edir ψ, podeos edir ua desidade de probabilidade que é a probabilidade relativa por uidade de volue de ecotrar a partícula e qualquer poto de volue. Ψ Substituido dv por d e r por teos: P ( ) d ψ d ( ) Ase Ase( k) r d r ( r) V π r, dv r (, y z) Coo a partícula te que estar e algu lugar do espaço Ao logo do eio a soa das probabilidades sobre todos os valores de é + ψ d 0% Qualquer fução de oda que satisfaça esta codição é dita oralizada +

67 A fução de oda para tal partícula livre deslocado-se ao logo do eio pode ser escrita a fora depedete do tepo coo: ψ π (, t) Ase πft Ase( k ωt) Ebora ão podeos edir ψ, podeos edir a desidade de probabilidade que é a probabilidade relativa por uidade de volue de ecotrar a partícula e qualquer poto de volue. Ψ Substituido dv por d e r por teos: P ( ) d ψ d r d r ( r) V r, dv r (, y z) Coo a partícula te que estar e algu lugar do espaço Ao logo do eio a soa das probabilidades sobre todos os valores de é + ψ d Qualquer fução de oda que satisfaça esta codição é dita oralizada

68 Ebora ão seja possível especificar a posição de ua partícula co certeza absoluta, é possível, através de ψ especificar a probabilidade de observá-la e ua pequea região ao redor de u certo poto. A probabilidade de ecotrar a partícula o itervalo a b (a<<b) é: P b ab ψ d a Esta probabilidade é a área sobre a curva de ψ e fução de etre os potos a e b. Eperietalete esta probabilidade é fiita. O valor desta probabilidade te que estar etre 0 e (cojuto dos úeros reais positivos).

69 Eercício 33 - Seção 8.9: Ua iterpretação da Mecâica Quâtica U elétro livre te ua fução de oda: Ode está e etros. Ecotre: (a) o coprieto de oda de De Broglie (b) o oeto liear (c) a eergia ciética e elétro-volt ψ ( ) ( ) Ase 5.00 ψ ( ) Ase p K J p π J s Kg ev

70 Eercício 33 - Seção 8.9: Ua iterpretação da Mecâica Quâtica U elétro livre te ua fução de oda: Ode está e etros. Ecotre: (a) o coprieto de oda de De Broglie (b) O oeto liear (c) A eergia ciética e elétro-volt π a ψ Ase Ase 5.00 π etão, 5.00 π ( ) ( ) ( ) ( b) ( c) K p p Kg J s 5.7 ( 4 ) 5.7 Kg 9. 3 s Kg 4.5 kg 7 s J J J ev 95.5eV

71 Eercício 3 - Seção 8.9: Ua iterpretação da Mecâica Quâtica A fução de oda para ua partícula livre é: ψ ( ) π ( a + a ) para a > 0 e - < < + Deterie a probabilidade de que a partícula esteja localizada e algu lugar etre -a e +a Sabedo que: d arctg a + a a

72 Eercício 3 - Seção 8.9: Ua Iterpretação da Mecâica Quâtica A fução de oda para ua partícula livre é: Deterie a probabilidade de que a partícula esteja localizada e algu lugar etre -a e +a ( ) < + < > + - e 0 para a ) ( a a π ψ ( ) ( ) ( ) [ ] 4 4 ta ta ta π π π π π π ψ P a a a d a a P a a a a a a

73 UMA PARTÍCUA EM UMA CAIXA (a) Ua partícula de assa e velocidade v, sedo refletida para a frete e para tras etre duas paredes ipeetráveis. (b) A fução eergia potecial para o sistea.

74 UMA PARTÍCUA EM UMA CAIXA Ua partícula de assa, velocidade v e oeto pv sedo refletida para a frete e para trás etre duas paredes ipeetráveis, ode a fução eergia de potecial é represetada por u poço de potecial de zero a ifiito.

75 UMA PARTÍCUA EM UMA CAIXA, a qual te que satisfazer as codições de cotoro as paredes π ( ) ( ) Ase π π π ψ π ψ 0 0 ( ) ( ) Ase Ase Ase Ase π π π ψ π π π π π ψ 3 3 ; ; 0

76 UMA PARTÍCUA EM UMA CAIXA p,,3...) ( 8 p v E Quatização de eergia

77 EXEMPO 8.9: U elétro ligado. U elétro esta cofiado etre duas paredes ipeetráveis separados por 0.. Deterie as eergias peritidas da partícula para os estados quâticos descritos por,,3. e 3 Kg 9. p,,3...) ( 8 v p E

78 EXEMPO 8.9: U elétro ligado. U elétro esta cofiado etre duas paredes ipeetráveis separados por 0.. Deterie as eergias peritidas da partícula para os estados quâticos descritos por,,3. p E v.5 8 J p para, teos : E e Kg 8 9.4eV 8 ( -34 ) 6.63 J s ( -3 ) ( ) 9. Kg (,,3...)

79 EXERCÍCIO 35, seções 8. e 8., A partícula quâtica e ua caia sob codições de cotoro U elétro está cotido e ua caia uidiesioal co largura de 0.0. (a) Trace u diagraa dos íveis de eergia para o elétro co íveis até 4. (b) Ecotre os coprietos de oda de todos os fótos que pode ser eitidos pelo elétro ao realizar trasições espotâeas que poderia levá-lo, evetualete, do estado 4 para o estado, cosiderado d d p d d E p d 8d (,,3...)

80 p E d d p p,,3...) ( substitido e, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ev ev E ev d J d Kg s J d E d d E ,,3...) (

81 p E d d p p,,3...) ( substitido e, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ev ev E ev d J d Kg s J d E d d E ,,3...) (

82 p E d d p p,,3...) ( substitido e, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ev ev E ev d J d Kg s J d E d d E ,,3...) (

83 p E d d p p,,3...) ( substitido e, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ev ev E ev d J d Kg s J d E d d E ,,3...) (

84 EXERCÍCIO 35, seções 8. e 8., A partícula quâtica e ua caia sob codições de cotoro U elétro está cotido e ua caia uidiesioal co largura de 0.0. (b) Ecotre os coprietos de oda de todos os fótos que pode ser eitidos pelo elétro ao realizar trasições espotâeas que poderia levá-lo, evetualete, do estado 4 para o estado Resposta: Quado o elétro salta do estado para o estado ele libera a eergia E E 5eV c E 4 603eV eV (6.63 ( )( 9 ) 3eV.60 J ev 37.7eV 3eV 34 f J s)( eV c 8 s).0

85 Caaos siplesete a aplitude da oda associada à partícula de aplitude de probabilidade ou de fução de oda e le daos o síbolo: ψ (, y, z) ou ψ (, y, z, t) E geral a fução de odaψéua fução de variável coplea. Por que? ψ (, t) A(cos( k ωt) + i se( k ωt)) porque ão defie ua gradeza física (são istruetos de cálculo) ua gradeza coplea, ão pode ser edida por u istrueto real O udo REA (usado o tero e seu setido ão ateático) é o udo das gradezas REAIS (usado o tero e seu setido ateático)

86 Ebora ão seja possível especificar a posição de ua partícula co certeza absoluta, é possível, através de ψ especificar a probabilidade de observá-la e ua pequea região ao redor de u certo poto. A probabilidade de ecotrar a partícula o itervalo a b (a<<b) para ua fução coplea: * ψ ψ ψ P ψ *ψd ab b a ψ * copleo cojugado deψ Esta probabilidade é a área sobre a curva de ψ e fução de etre os potos a e b. Eperietalete esta probabilidade é fiita. O valor desta probabilidade te que estar etre 0 e (cojuto dos úeros reais positivos).

87 O quadrado absoluto ψ ψ * ψ * ψ copleo cojugado deψ Sepre será real e positivo e é proporcioal à probabilidade de ecotrar a partícula, por uidade de volue, e u certo poto, e algu istate. O úero iagiário i é ua uidade defiida de fora tal que: i ou i O oe é apropriado porque eu úero real te quadrado egativo. U úero copleo z pode ser escrito a fora: z + iy O copleo cojugado deste úero é escrito coo z* e defiido coo: z z z z * * ( + iy)( iy) + y z iy i y iy + iy de tal fora que: o produto etre u úero copleo e seu cojugado é real i y

88 Ua vez coecida a fução de oda para ua partícula, é possível calcular a posição édia da partícula após várias edidas. Esta posição édia é caada de valor esperado de defiido por: Aalogaete f ( ) + ψ * f ( ) ψ d Podeos calcular o valor esperado para qualquer fução de : + ψ * + ψ * ( ) ( ) *, t ψ, t d e f ( ) ψ (, t) f ( ) ψ (, t) ψd Meso para ua fução que depeda eplicitaete do tepo coo ua eergia potecial V(,t) podeos escrever + * + (, t) V (, t) ψ ( t) V (, t) ψ, d d

89 EXEMPO 8.: Os valores esperados para ua partícula a caia. Ua partícula de assa está cofiada a ua caia uidiesioal etre 0 e. Ecotre o valor esperado da posição da partícula para u estado co úero quâtico. + ψ * ψd ( ) ψ se π

90 EXEMPO 8.: Os valores esperados para ua partícula a caia. Ua partícula de assa está cofiada a ua caia uidiesioal etre 0 e. Ecotre o valor esperado da posição da partícula para u estado co úero quâtico. 0 * d se d se d + π π ψ ψ ( ) se π ψ 4 8 cos se d se π π π π π

91 0 * * d se d se d d + + π π ψ ψ ψ ψ 4 8 cos se d se π π π π

92 FIM