VISUALIZAÇÃO EM TEMPO-REAL DA SUPERFÍCIE DO MAR UTILIZANDO ESPECTROS DIRECCIONAIS DE ONDAS

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1 VISUALIZAÇÃO EM TEMPO-REAL DA SUPERFÍCIE DO MAR UTILIZANDO ESPECTROS DIRECCIONAIS DE ONDAS J. M. Varela e C. Guedes Soares Uidade de Egeharia e Tecologia Naval, Istituto Superior Técico, Av. Rovisco Pais, Lisboa Eail: varela@ar.ist.utl.pt; guedess@ar.ist.utl.pt Resuo Actualete é aceite que a fora ais eficaz de represetação realista e tepo real da superfície do ar baseia-se a iforação obtida através de observações reais que, após aálise e processaeto estatístico é covertida e fuções de eergia de oda (proporcioal à sua altura) o doíio da frequêcia, ou seja, e espectros de eergia de oda. No etato, eso recorredo à iforação cotida os espectros é ecessário proceder a ua selecção cuidadosa dos parâetros que ifluecia o estado do ar para se coseguir obter ua superfície realista cuja deforação possa ser efectuada e tepo real. É apresetado o étodo que perite represetar a superfície do ar utilizado espectros direccioais de odas sedo dado êfase à aplicação de diferetes espectros ua esa superfície de odo a obter-se o estado de ar pretedido, e à utilização de diferetes grelhas para auetar o ível de detalhe local. 1 Itrodução A represetação da superfície do ar e tepo real é u eleeto fudaetal o desevolvieto de siuladores de pote de avios ode as copoetes visual e física da siulação tê que ser o ais realistas possível. A copoete visual tora-se fudaetal e siuladores de treio dado que se pretede que o utilizador se isira o abiete virtual coo se se tratasse dua situação real. Esta copoete recai sobretudo a luiosidade do eio abiete e as propriedades ópticas da água das quais há a realçar o reflexo, a difracção e a cor (defiida pela sua coposição). A copoete física da siulação, abordada o presete artigo, está relacioada co a deforação da superfície do ar. Esta deforação ocorre devido à costate acção de forças de perturbação sobre u eio fluido (deforável) às quais se opõe forças de restituição que tede a ater o equilíbrio origial. A represetação e tepo real de abas as copoetes e utilizado coputadores pessoais requer a aplicação de diversas siplificações e soluções de equilíbrio etre o realiso da siulação e o desepeho da aplicação cofore é descrito e Varela e Guedes Soares (5).

2 Apesar de existire diferetes forças de perturbação co u vasto leque de itesidades, aquela que gera a aparêcia irregular da superfície do ar usualete observada, é o veto. As rajadas de veto co aior ou eor itesidade e e diferetes direcções coeça por gerar ua pequea odulação co ua altura a orde dos cetíetros chaada de rugosidade. Nesta altura as tesões de superfície desepeha aida u papel iportate coo forças de restituição. No etato, à edida que estas odas vão sedo atigidas por ovas rajadas de veto, a eergia trasferida para o eio fluido é cada vez aior e a altura das vagas vai auetado progressivaete. A acção da gravidade passa etão a ter u papel prepoderate coo força de restituição, sedo geradas vagas cada vez aiores co diferetes frequêcias, alturas e direcções e origiado a superfície bastate irregular oralete observada. Salvo excepções e que se preteda estudar u tipo particular de estado de ar, estas são as odas oralete cosideradas pelos siuladores de pote de avios. As vagas geradas pelo veto ocorre ua deteriada zoa deoiada de zoa de geração (fetch) que correspode à área da superfície afectada pelas rajadas de veto. No etato, a eergia trasferida para as vagas a zoa de geração propaga-se para alé desta gerado u ovo tipo de odas oralete deoiado de odulação (swell). A odulação é gerada a partir das vagas que devido à ausêcia ou a u decréscio substacial do veto, tede a agrupar-se e frequêcias seelhates. Ua vez que se ecotra fora da zoa de propagação, as odas que copõe a odulação tede a ter direcções de propagação seelhates coferido assi ua fora bastate ais regular à superfície do ar. Apesar da eergia trasportada pela odulação se ir dissipado ao logo do seu percurso, as odas de aior aplitude pode propagar-se por ilhares de quilóetros até atigir a zoa costeira ode etão toda a sua eergia é dissipada co a rebetação das odas. A fora coo a trasferêcia é feita aquado da geração das vagas é aida alvo de ivestigação tedo sido propostos vários odelos, Phillips (1957), as que aida ão reúe coseso a couidade cietífica, a aioria dos casos devido às discrepâcias existetes e relação ao crescieto das vagas e fução do tepo etre os odelos propostos e as observações reais. Assi, e de fora a colatar a iexistêcia de odelos físicos de geração de vagas da superfície do ar, tê sido desevolvidos odelos estatísticos que tê coo base registos de observações e edições de odas e vários locais do Mudo. Estes odelos parte do pricípio que a superfície do ar pode ser descrita coo a soa de u cojuto de odas regulares de pequea aplitude baseadas a teoria liear deduzida por Airy (1845) e itroduzida a Coputação Gráfica por Paechey (1986), co diferetes frequêcias, alturas e direcções, sedo esta ua hipótese fudaetal o étodo apresetado. Espectro de odas Da aálise e trataeto estatístico dos dados recolhidos que iclue u eore úero de registos de odas recolhidos através de bóias, sesores ou radares, são desevolvidos espectros de odas. A figura 1, represeta o espectro JONSWAP

3 desevolvido o âbito du prograa de observação e registo da odulação para o Mar do Norte (Hassela et al. 1973) e utilizado o étodo proposto. O espectro apresetado é calculado para ua altura de doa sigificativa, H s =1.5, u período de pico, T p=5.5 s, e u factor de itesificação do pico, γ=3.3. Figura 1 Espectro de odas (JONSWAP) O espectro de odas, S(ω), idica a distribuição da eergia das odas e fução da sua frequêcia agular ω, assuido que o ar é costituído por u úero ifiito de odas. A distribuição apresetada a figura 1, represeta a eergia das odas apeas e fução da sua frequêcia e idepedeteete da sua direcção de propagação, e que a eergia total, E, é igual a: S d E (1) A distribuição da eergia das odas e fução apeas da frequêcia, ou seja, idepedeteete da direcção de propagação, correspode a u espectro de frequêcia, ao passo que se a distribuição de eergia for dada e fução da frequêcia e da direcção de propagação, correspode a u espectro direccioal de frequêcia. No etato, cosiderado ua superfície de ar irregular, existe ifiitas direcções de propagação que varia etre os valores de e π e coo tal a superfície do ar ão pode ser descrita apeas pelo espectro de frequêcia. Na realidade a represetação do ar recorredo apeas a u espectro de frequêcia co ua dada direcção, origiaria ua superfície co odas de cristas rectas e paralelas seelhate à represetada a figura, o que apesar de icluir u leque cosiderável de frequêcias e alturas de oda, o facto de ser uidireccioal cofere ua aparêcia bastate irrealista.

4 Figura Represetação das odas du espectro de frequêcia uidireccioal Tora-se assi ecessário aplicar o espectro de frequêcia para as diferetes direcções de propagação possíveis. Para tal, é itroduzida ua fução de distribuição direccioal, G(θ ω), que vai afectar os valores da eergia das odas depededo a direcção de propagação, Mitsuyasu et al.(1975). Assi, passa a existir u espectro direccioal de frequêcia, S(ω,θ), dado por:, S G S () Verifica-se que a fução de distribuição direccioal varia co a frequêcia e coo tal depede de ω. Esta fução ão te diesões e é oralizada da seguite fora: d 1 G (3) e que ω=πf e a frequêcia agular de oda e θ correspode ao âgulo etre a direcção de propagação da oda cosiderada e a direcção de propagação pricipal que oralete coicide co a direcção pricipal do veto a zoa de geração. Assi, o espectro de frequêcia S(ω) idica o valor absoluto da desidade de eergia de oda, que por sua vez é afectado por G(θ ω) que represeta a itesidade relativa da distribuição direccioal da eergia de oda a direcção θ. A eergia total dada pelo espectro direccioal de frequêcia é igual a: E t S, dd (4) Noralete, e estudos de egeharia, a fução de distribuição direccioal apeas é defiida para valores de θ etre π/ e π/ sedo igual a zero para os

5 restates âgulos. Tal leva a que ão seja represetadas odas co direcções de propagação cotrárias à direcção pricipal do veto. Aplicado a equação calcula-se a eergia para qualquer oda de frequêcia ω e co ua direcção de propagação θ. A partir do espectro direccioal é possível relacioar a eergia das diferetes copoetes (odas) co a sua aplitude. O cálculo das aplitudes baseia-se a fora coo o espectro é defiido e que a eergia relacioa-se co a elevação da superfície do seguite odo: var S (5) d Para u processo co o valor édio igual a zero coo é o caso das odas siusoidais utilizadas a deforação da superfície, a variâcia é dada por: var x x, (6) rs e que x rs é a édia quadrática dos valores. Por sua vez a relação etre a variâcia e a édia aritética é dada por: var x x x (7) rs Dado que para ua oda siusoidal, var(x)= e que o valor édio é igual etade da altura de oda, ve que substituido x pela aplitude de oda, a: a a rs (8) Dado que a elevação da superfície do ar correspode à soa de várias odas co fases aleatórias idepedetes, a variâcia da elevação da superfície, var(η) é igual à soa das variâcias das diferetes odas. Ou seja, se o espectro de odas for discretizado e N fracções ve que a variâcia da elevação da superfície é igual a: var N N a 1 1 vara (9) Para ua esa discretização, cosiderado a equação (5) ve que: var N f 1 S d (1) Assi, o valor da aplitude para cada oda é dado por:

6 S df S a (11) Cosiderado o espectro direccioal de odas ve que a aplitude dua oda para a discretização cosiderada é igual a: a, S, dd S, (1) 3 Discretização do espectro O eso espectro direccioal de frequêcia pode origiar siulações da superfície do ar bastate diferetes. Na realidade, apesar da eergia total da superfície ser a esa quado de aplica o espectro, a sua distribuição pelas diferetes odas represetadas pode ão ser igual. Assi, a eergia atribuída a cada oda represetada depede do úero de odas cosideradas e da sua distribuição ao logo do espectro. A figura 3 represeta ua possível discretização du espectro de frequêcia e N fracções (1 odas represetadas). Figura 3 Discretização do espectro de frequêcia e N copoetes Da figura depreede-se que quato aior for o úero de odas eor tede a ser o valor de Δf e coo tal eor tede a ser a eergia atribuída a cada oda. Tabé se verifica que os valores de Δf são diferetes para as diferetes odas. Tal verificase porque cada oda represetada te que coter toda a eergia existete etre as odas represetadas co frequêcia iediataete abaixo e iediataete acia da oda cosiderada. Assi, se por exeplo o espectro for discretizado e apeas ua oda, esta te que coter toda a eergia da superfície etre a frequêcia íia e áxia cosideradas. Naturalete que quato eor for o úero de odas represetado eos precisa será a aproxiação à eergia total do espectro sedo assi a represetação eos exacta.

7 A abordage ais siples e directa seria discretizar o espectro o aior úero de odas possível calcular as aplitudes de cada oda e aplicar a seguite equação para calcular a elevação da superfície do ar e cada poto x x, y u deteriado oeto t: N x t a cos x, t 1, (13) e que é o vector de oda, é o úero de oda (igual à agitude do vector de oda) e é a fase e x, e t=. A frequêcia ω relacioa-se co o úero de oda, pela relação de dispersão para águas profudas. Para obter odas co cristas ais afiladas, pode-se utilizar odas trocoidais defiidas por vo Gerster e 184 e itroduzidas o capo da Coputação Gráfica por Fourier e Reeves (1986), dadas pela seguite fução: x z N x, t x a se x t 1 N x, t z a cos x t 1 A aplicação directa destas equações paraétricas, utilizado alhas co u úero de potos cosiderável a orde de 1 4 (ecessário para que se obteha ua represetação iiaete realista) e tedo e cota que a equação 13 te que ser aplicada a todos os potos da alha, tora o cálculo extreaete pesado e leva a que utilizado o hardware actualete existete, facilete se atija u desepeho ão aceitável para ua siulação e tepo-real. Utilizado esta abordage, o úero de odas represetadas rodará as poucas dezeas o que é u úero bastate baixo para obter ua superfície irregular seelhate à observada a realidade. No etato, as Trasforadas de Fourier usadas por Tessedorf (1) o cálculo da soa das várias odas é substacialete ais rápido e perite cosiderar u úero de odas uito superior. Aplicado as Trasforadas de Fourier, u cojuto de NxM úeros coplexos F, são trasforados outro cojuto de úeros coplexos f p,q de tal fora que: f p, q N M 1 1 F, e p q i N M A represetação da elevação da superfície baseada as Trasforadas de Fourier, expressa a altura de oda h x, t u deteriado poto x x, y coo a soa de siusóides co aplitudes coplexas depedetes do tepo: (14) (15)

8 ~ x t h, te h ix, (16) Se a superfície for represetada ua grelha de NxM potos e que a cada poto correspode u vector de oda,, Lx Ly e que cada poto x Lx p N,, Substituido h, x, Ly q M e é igual a: x,, N N ~, t h, t, 1 1, dado pela seguite expressão:, (17), (18) a equação 16, ve que:, e p q i N M, (19) ~ sedo possível aplicar a equação 15 e que F h t.,,, E otação coplexa e utilizado recorredo à relação de dispersão h ~, t é dada por: aplitude ~ i t, t h e ~,,, h Substituido a equação a equação 19 ve que: h N N ~ i t, t h e, h, 1 1 e que,, e p q i N M ~ correspode à aplitude da oda cujo vector é igual a é dada pela equação 1. () (1), a, e que Noralete os espectros de frequêcia ão são expriidos e fução de, as si e fução de ω. Assi, seguido o étodo de Fréchot (6) tora-se ecessário coverter o espectro S ω(ω) para o espectro S () utilizado para tal a relação de dispersão para águas profudas:

9 S d S S d d d S g d 1 g d Acrescetado a copoete direccioal do espectro, este é covertido de coordeadas polares para coordeadas cartesiaas da seguite fora: () d S, 1 S dd, (3) Fialete obté-se o espectro direccioal dua oda cujo vector é igual a fução de g e de θ:, e S, 1 S, g (4) 4 Níveis de detalhe A utilização das Trasforadas de Fourier o cálculo da soa das várias copoetes, liita a escolha das frequêcias represetadas a superfície, ua vez que estas depede das diesões e do espaçaeto defiido para a grelha. Assi, os vectores de oda das odas represetadas são defiidos pelos vectores etre o poto cetral da grelha e os restates potos. Os coprietos da aior e da eor oda represetada vão depeder da distâcia etre o poto cetral da grelha e o poto ais próxio (que correspode ao espaçaeto desta) e da distâcia etre o poto cetral e o poto ais distate da grelha (correspodete a etade da diagoal) respectivaete coo ostra a figura 4. Tal deve-se ao facto do coprieto de oda ser iversaete proporcioal ao úero de oda defiido pela agitude do vector de oda. Os coprietos da aior e da eor oda represetada pela grelha são dados por: L áx ; i L i (5) áx

10 Figura 4 Defiição dos vectores de oda a partir dua grelha de co NxM potos Esta liitação leva a que para se obter ua represetação ais vasta de frequêcias de oda, se teha que auetar as diesões da grelha e diiuir o espaçaeto da esa. Coo tal, o úero de potos aueta substacialete podedo colocar e risco o desepeho e tepo-real da aplicação. Para ão auetar deasiadaete o úero de potos da grelha, ter-se-á que escolher etre u espaçaeto e diesões da grelha ais reduzidos (o que leva a que seja represetadas odas represetadas co ua frequêcia ais elevada), e u espaçaeto e diesões ais elevados (o que leva a que seja represetadas odas de eor frequêcia). Para se represetar siultaeaete odas de alta e de baixa frequêcia, pode-se defiir várias grelhas co espaçaetos e diesões diferetes cofore ostra a figura 5. Figura 5 Grelhas co diferetes íveis de detalhe; distribuição o espectro das frequêcias represetadas

11 Neste caso o leque de frequêcias represetados é aior as as odas co frequêcias ais elevadas apeas são represetadas e áreas ais reduzidas para ão auetar o úero de potos total das grelhas. As grelhas são defiidas hierarquicaete coeçado pela de aiores diesões até à grelha ais reduzida que será que represetará as odas co ua frequêcia ais elevada. Cada grelha te ua grelha base que correspoderá àquela que lhe é hierarquicaete superior. A prieira grelha (de aiores diesões) te coo base ua grelha cujos potos são coicidetes e (x,y) as que se situa o plao z=. Assi, a elevação de cada grelha vai ser dada por: x t x, t h x t i, i 1 i, (6) e que a elevação da grelha aterior os potos ão coicidetes co a grelha cosiderada é calculada por iterpolação liear etre os potos adjacetes. Este étodo perite defiir localete zoas co aior ível de detalhe e que a elevação correspodete às odas co eor frequêcia é calculada para as grelhas hierarquicaete superiores sedo soada sucessivaete à elevação correspodete às odas co aior frequêcia calculas para as grelhas co eor diesão e espaçaeto. Na zoa de froteira etre as duas grelhas vai existir ua descotiuidade da elevação da superfície que te que oitida. Para tal, a elevação dos potos da grelha hierarquicaete superior é igualada à dos potos coicidetes (evideciados a figura 5) e (x,y,) a froteira da grelha hierarquicaete iferior. Os restates potos (ão coicidetes) a froteira da grelha hierarquicaete iferior é calculada por iterpolação liear etre os potos adjacetes da froteira. A figura 6 apreseta ua represetação da superfície do ar ode são utilizadas grelhas co diferetes íveis de detalhe.

12 Figura 6 Represetação da superfície do ar utilizado grelhas co diferetes íveis de detalhe 5 Extesibilidade A represetação da superfície do ar para efeitos de utilização u siulador de pote do avio, iplica a sua visualização até à liha do horizote. Ou seja, a represetação dua área uito extesa que pode atigir dezeas de quilóetros quadrados. Naturalete que quato aior for a distâcia ao observador eor poderá ser o ível de detalhe utilizado e coo tal pode ser utilizado u sistea de grelhas siilar ao apresetado a secção aterior e que o observador (ou avio) se situa o cetro da grelha co aior ível de detalhe. Se o poto de vista situado a pote do avio se ativer a esa posição, o detalhe apresetado até-se relativaete ao observador. No etato, quado o avio de desloca, o poto de vista aproxia-se dua das froteiras da grelha cetral e coo cosequêcia as zoas co eos detalhe pertecetes às grelhas exteriores passa a estar ais próxias e a ser ais visíveis. A solução para ater o eso ível de detalhe relativaete ao observador, passa por deslocar solidariaete o cojuto de grelhas co o avio. Deste odo, o avio situa-se sepre o cetro da grelha co aior detalhe. Assi, o cálculo do âgulo de fase de cada oda para cada poto da grelha apresetado a equação te que ter e cota a traslação horizotal do poto devido à alteração da posição da grelha, passado a aplitude h ~, t a ser dada pela seguite expressão: ~ i t, t h e ~,, x h,, (7)

13 e que x correspode à traslação do cojuto de grelhas. 6 Resultados Foi apresetado u étodo siples e directo para represetação e tepo real das odas de superfície do ar através de espectros direccioais de frequêcia. Apeas foi focada a deforação da superfície do ar ão tedo sido icluído o estudo aspecto relacioados co as propriedades ópticas da água que aturalete terão que ser cosideradas ua fase posterior para obter u Abiete Virtual realista. Para testar o étodo foi testado o espectro de JONSWAP co as alterações de Goda (1988) sujeito a ua fução de distribuição direccioal. As figura 7 ostra os resultados obtidos para ua grelha quadrada co 3 etros e u espaçaeto de.5 etros quado aplicados diferetes parâetros do espectro. H s=3. γ=3.3 U=4. /s θ=. rads Mar co odulação regular (swell) H s=5. γ=3.3 U=15. /s θ=. rads Mar co odulação irregular (swell) H s=3. γ=3.3 U=3. /s θ=. rads Mar co vagas (zoa de geração) Figura 7 Resultados da aplicação de diferetes parâetros do espectro a siulação

14 Foi aida testada a aplicação de dois cojutos de parâetros diferetes e siultâeo para a esa grelha. Tal pode siular u estado de ar co odulação (swell) regular ua dada direcção que atige ua ova zoa de geração de vagas ode o veto pode ter ua direcção pricipal diferete da direcção de propagação da odulação. O resultado é apresetado a figura 8. H s= 7. / 3. γ= 3.3 / 3.3 U= 4./s / 3. /s θ=.3 rad / 4. rad Figura 8 Estado de ar isto odulação regular co vagas geradas pelo veto e direcção cotrária O desepeho da aplicação utilizado u processador Petiu 4 a 3GHz para a grelha ecioada roda os ciclos por segudo. No etato se se utilizare as capacidades de prograação das placas gráficas oderas (progra shaders) este desepeho deverá elhorar substacialete. 7 Coclusão O facto do étodo apresetado utilizar apeas a eergia de cada oda defiida pelo espectro de frequêcia para calcular a sua aplitude faz co que este possa ser aplicado para qualquer outros espectros coo o de Bretscheider, Pierso e Mosovitz, Mitsuyasu, Ochi e Hubble, etc. A utilização de u sistea hierárquico de grelhas para represetar u leque aior de frequêcias e deteriadas zoas locais se auetar substacialete o cálculo coputacioal parece ser u boa opção oeadaete para siuladores de pote de avios ode o ível de detalhe elevado se pode cigir à zoa circudate ao avio. No etato esta solução ecessita de ser testada ais exaustivaete para deteriar as relações ideais etre as diesões e os espaçaetos das várias grelhar para deteriados parâetros do espectro utilizado. A siulação e tepo real por equato ão dispesa a utilização de FFTs o cálculo das soas das aplitudes podedo-se utilizar as equações paraétricas para siulações ão iteractivas visto que são de aplicação ais fácil e ão tê liitações relativaete à cofiguração da alha utilizada.

15 8 Referêcias Airy, G. B. (1845). Tides ad waves. I Ecyclopaedia Metropolitaa. Vol. 5, Cap. 19, pp Fréchot, J. (6). Realistic Siulatio of Ocea Surface Usig Wave Spectra, Iteratioal Coferece o Coputer Graphics Theory ad Applicatios, Setúbal, Fevereiro 6. Fourier, A. e Reeves, W. (1986). A Siple Model of Ocea Waves. Coputer Graphics, vol., Nº 4, pp Goda, Y. (1988). Statistical variability of sea state paraeters as a fuctio of a wave spectru. Coatal Egieerig i Japa. Vol. 31, Nº 1, pp Hassela, K. et al. (1973). Measureets of wid-wave growth ad swell decay durig the Joit North Sea Wave Project (JONSWAP), Dtsch. Hydrogr. Z. Suppl., 1, A8, 95p. Mitsuyasu, H. et al. (1975). Observatio of Directioal Spectru of Ocea Waves Usig a Coverleaf Buoy. Joural of Physical Oceaography., Vol. 5, No. 4, Peachey, D. R. (1986). Modelig Waves ad Surf. SIGRAPH Coputer Graphics. Vol., Nº 4, pp Phillips, O. M. (1957). O the geeratio of waves by Turbulet Wid. Joural of Fluid Mechaics, Vol., pp Preoze, S. ad Ashihi, M. (1). Rederig Natural Waters. Coputer Graphics Foru. Vol., Nº 4, pp Tessedorf, J. (1). Siulatig Ocea Water. ACM SIGRAPH course otes. Varela, J. M. e Guedes Soares, C. (5). Survey of Techiques for Real-Tie Visualizatio of the Ocea Surface, Maritie Trasportatio ad Exploitatio of Ocea ad Coastal Resources (IMAM 5), 6-3 Setebro 5, Lisboa- Portugal, C. Guedes Soares, Y. Garbatov, N. Foseca (Eds.), Vol., pp