Inclusão do Efeito da Freqüência nas Equações de Estado de Linhas Bifásicas: Análise no Domínio do Tempo

Transcrição

1 Capus de Ilha Solteira PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA Iclusão do Efeito da Freqüêcia as Equações de Estado de Lihas Bifásicas: Aálise o Doíio do Tepo FÁBIO NORIO RAZÉ YAMANAKA Orietador: Prof. Dr. Sérgio Kurokawa Dissertação apresetada à Faculdade de Egeharia - UNESP Capus de Ilha Solteira, para obteção do título de Mestre e Egeharia Elétrica. Área de Cohecieto: Autoação. Ilha Solteira SP Março/009

2 Livros Grátis Milhares de livros grátis para dowload.

3 FICHA CATALOGRÁFICA Elaborada pela Seção Técica de Aquisição e Trataeto da Iforação Serviço Técico de Biblioteca e Docuetação da UNESP - Ilha Solteira. Y9i Yaaaka, Fábio Norio Razé. Iclusão do efeito da frequêcia as equações de estado de lihas bifásicas : aálise o doíio do tepo / Fábio Norio Razé Yaaaka. -- Ilha Solteira : [s..], f. : il., ( alguas color.) Dissertação (estrado) - Uiversidade Estadual Paulista. Faculdade de Egeharia de Ilha Solteira. Área de cohecieto: Autoação, 009 Orietador: Sérgio Kurokawa Bibliografia: p Eergia elétrica - Trasissão.. Lihas de trasissão - Modelos. 3. Aálise de trasitórios eletroagéticos. 4. Parâetros depedetes da frequêcia.

4

5 Dedico aos eus pais, Leoardo e Jadira, aos eus irãos, Ferado e Fabrício e a iha oiva Lilia.

6 Agradecietos Aos eus pais, Leoardo Hayao Yaaaka e Jadira Reis Razé Yaaaka, por sere eus exeplos de vida e por forecere toda a iha base a educação para foração pessoal e profissioal. Aos eus irãos, Ferado Mieo Razé Yaaaka e Fabrício Sadao Razé Yaaaka, parceiros a úsica, o esporte, o lazer e a vida, para sepre eus aigos. A Lilia Duarte Silva, iha oiva, pelo cariho e ateção e oetos difíceis e pelo apoio, copaheiriso e icetivo para cocluir este trabalho. Ao Gerao Ferreira Wedy e Rea Silva Maciel, aigos as horas de lazer e estudo. Aos Prof. Dr. Luiz Ferado Bovolato e Prof. Dr. Afoso J. Prado pela participação a baca e pelas sugestões e questioaetos para elhoria deste trabalho. E ao Prof. Dr. Sérgio Kurokawa, por esses cico aos de trabalho e covivêcia, três aos a graduação, ode descobri os beefícios de se fazer pesquisa co qualidade, e dois aos a pós-graduação, ode a cofiaça e paciêcia dele fora ites esseciais para a coclusão desta dissertação.

7 RESUMO O objetivo deste projeto é o desevolvieto de u odelo de liha de trasissão bifásica diretaete o doíio do tepo, que leve e cosideração o efeito da freqüêcia sobre seus parâetros logitudiais, utilizado os coceitos de variáveis de estado. Os parâetros logitudiais, variáveis e relação à freqüêcia, serão aproxiados por fuções racioais, cujos pólos e resíduos deverão ser deteriados por eio do algorito vector fittig. E seguida, as fuções racioais que descreve o coportaeto dos parâetros logitudiais serão associadas co u circuito elétrico equivalete, que será iserido e cada u dos circuitos π, costituido ua grade quatidade de cascata de circuitos π. O odelo será utilizado para a realização de siulações de trasitórios resultates das operações de aobras e chaveaetos que ocorre e ua liha bifásica co plao de sietria vertical. Os resultados serão coparados co os resultados obtidos co prograas coputacioais do tipo EMTP (cascata de circuitos π iserida o EMTP). Ao tério do projeto tereos a ossa disposição u odelo de liha de trasissão que ão ecessita do uso de siuladores do tipo EMTP. Palavra-Chave: Trasitórios eletroagéticos, parâetros depedetes da freqüêcia, doíio do tepo, liha de trasissão, parâetros da liha de trasissão, variáveis de estado.

8 ABSTRACT The objective of this work is to ipleet a coputatioal odel of two-phase trasissio lie i tie doai takig ito accout its frequecy depedet logitudial paraeters. The lie is represeted through a cascade of π circuits ad the frequecy depedece of the logitudial paraeters is approxiated by a ratioal fuctios that ca be associated with a equivalet circuit represetatio ad this equivalet circuit is iserted i each π circuit. After that the cascade is described through state equatios. Validatig the odel, a frequecy depedet two-phase lie is represeted by a cascade of π circuits. The odel will be use for typical switchig trasiets i a two-phase trasissio lie with a vertical syetrical pla. The siulatios were carried out usig state space techiques ad a EMTP progra (i this case, the cascade was iserted i the EMTP progra). It is observed that the siulatio results obtaied with state space represetatio are i agreeet with those results obtaied with EMTP. Keywords: Electroagetic trasiets, frequecy depedece, tie doai, trasissio lie, trasissio lie paraeters, state-space ethods.

9 SUMÁRIO Capítulo Itrodução. Modelos de lihas de trasissão 0. Orgaização do texto.3 Artigos publicados 3 Capítulo Equações difereciais da liha de trasissão. Itrodução 5. Equações difereciais de ua liha de trasissão oofásica 5.3 Equações difereciais de ua liha polifásica 9.4 Coclusão Capítulo 3 Soluções das equações difereciais da liha de trasissão 3. Itrodução 3. Solução o doíio do tepo para lihas se perdas 3.3 Solução o doíio do tepo para lihas co perdas Solução o doíio do tepo por eio de itegrais de covolução Coclusão 7 Capítulo 4 Parâetros de ua liha de trasissão cosiderado o efeito da freqüêcia 4. Itrodução 9 4. Ipedâcia logitudial da liha de trasissão Ipedâcia extera de ua liha de trasissão Ipedâcia itera de ua liha de trasissão Ipedâcia cosiderado o efeito do solo Aditâcia trasversal da liha de trasissão (FUCHS, 979) Coclusão 4

10 Capítulo 5 Represetação da liha de trasissão bifásica o doíio odal 5. Itrodução 4 5. Decoposição odal de lihas de trasissão Liha de trasissão bifásica o doíio odal Coclusão 53 Capítulo 6 Represetação dos parâetros da liha de trasissão por eio de fuções racioais 6. Itrodução Coceitos básicos Vector fittig (GUSTAVSEN et al., 999) Cálculo dos resíduos e do tero d Cálculo dos pólos de f(s) Ajuste das ipedâcias logitudiais Coclusão 6 Capítulo 7 Represetação da liha de trasissão por eio de variáveis de estado 7. Itrodução Represetação da liha co parâetros costates Represetação da liha co parâetros depedetes da freqüêcia Coclusão 70 Capítulo 8 Ipleetação do odelo: liha oofásica 8. Itrodução 7 8. Diagraa de blocos para a liha oofásica Cálculo dos parâetros da liha de trasissão oofásica Síteses dos parâetros pelo étodo vector fittig Resultado obtido para liha oofásica Coclusão 77

11 Capítulo 9 Ipleetação do odelo: liha bifásica 9. Itrodução Diagraa de blocos do prograa Cálculo dos parâetros da liha de trasissão bifásica Represetação dos parâetros o doíio odal Síteses dos parâetros pelo étodo vector fittig Resultados obtidos para casos específicos Coclusão 00 Capítulo 0 Coclusão 0 Referêcias 04

12 Capítulo Itrodução 0 INTRODUÇÃO. Modelos de lihas de trasissão Lihas de trasissão costitue-se coo o eleeto do sistea elétrico de potêcia que coecta a geração à carga be coo ue as istalações de produção de eergia de grades áreas geográficas. Pode-se dizer que a trasissão de eergia elétrica é ua das cotribuições de aior iportâcia que a egeharia ofereceu à civilização odera. A distribuição das corretes, difereças de potecial e a trasferêcia de eergia ao logo de ua liha de trasissão pode ser aalisadas por diversos processos, sedo esperado que todos coduza ao eso resultado. E probleas de egeharia, e geral, ão se pode aplicar idiscriiadaete ua úica fórula para a solução de u problea específico, se o cohecieto copleto das liitações e siplificações aditidas e sua derivação. Vale dizer que tal circustâcia levaria ao seu uso idevido. As chaadas soluções ateáticas dos feôeos físicos exige, oralete, siplificações e idealizações (FUCHS, 979). Logo, existe diversos odelos que represeta as lihas de trasissão e pode ser classificados, quato à atureza de seus parâetros e odelos a parâetros costates e odelos a parâetros variáveis co a freqüêcia. Os odelos a parâetros costates e relação à freqüêcia são de fácil utilização, as ão pode represetar adequadaete a liha e toda a faixa de freqüêcias as quais estão presetes os feôeos de atureza trasitória. Na aior parte dos casos, esses odelos aueta a aplitude das harôicas de orde elevada, distorcedo as foras de oda e produzido picos exagerados (FARIA et al., 00). Para a adequada represetação da liha de trasissão deve-se cosiderar que os parâetros logitudiais da liha são forteete depedetes da freqüêcia, icluido os odelos a parâetros variáveis co a freqüêcia, a soa do efeito do solo, desevolvido por Carso e por Pollaczek (DOMMEL, 986), co o efeito pelicular, cujo coportaeto e

13 Capítulo Itrodução fução da freqüêcia pode ser calculado por eio de fórulas derivadas das equações de Bessel. Os odelos co parâetros variáveis e relação à freqüêcia são cosiderados ais precisos, quado coparados aos odelos que cosidera os parâetros costates. A variação está a depedêcia da freqüêcia, podedo essa variação ser represetada por eio da associação série e paralela de eleetos resistivos e idutivos puros (TAVARES,999, MARTÍ, 98). Coo as lihas de trasissão estão iseridas e u sistea elétrico que possui diversos eleetos ão lieares e, dessa fora, são de difícil represetação o doíio da freqüêcia, dá-se preferêcia por odelos de lihas que são desevolvidos diretaete o doíio do tepo (MARTÍ, 988). Outro fato que faz co que os odelos de lihas desevolvidos diretaete o doíio do tepo seja ais utilizados é que a aioria dos prograas que realiza siulações de trasitórios eletroagéticos e sisteas elétricos requer que os copoetes do sistea esteja represetados o doíio do tepo. U dos prieiros odelos a represetar a liha de trasissão diretaete o doíio do tepo foi desevolvido por H. W. Doel (DOMMEL, 969), que baseou-se o étodo das características ou étodo de Bergero. O seu odelo cosistia e cobiar o étodo das características co o étodo uérico de itegração trapezoidal, resultado e u algorito que é capaz de siular trasitórios eletroagéticos e redes cujos parâetros são discretos ou distribuídos. Esse algorito sofreu sucessivas evoluções e atualete é cohecido coo Eletroagetic Trasiets Progra, ou siplesete EMTP (DOMMEL, 986). E situações e que se deseja siular a propagação de odas eletroagéticas resultates de operações de aobras e chaveaeto realizadas as lihas de trasissão, pode-se represetar a esa coo sedo ua cascata de circuitos π. Nesse odelo, cada segeto é costituído de ua associação série e paralela de resistores e idutores que resulta e ua resistêcia e ua idutâcia, variáveis e fução da freqüêcia, que represeta o efeito solo e o efeito pelicular (MARTI, 98, TAVARES,999). Devido ao fato de que prograas do tipo EMTP ão são de fácil utilização, diversos autores tais coo NELMS et al. (989), MAMIS (003), MAMIS e NACAROGLU (003) e MÁCIAS et al. (005) sugere descrever as corretes e tesões a cascata de circuitos π por

14 Capítulo Itrodução eio de variáveis de estado. As equações de estado são etão trasforadas e equações difereciais e pode ser resolvidas utilizado qualquer liguage coputacioal. A represetação da liha por eio de variáveis de estado pode ser utilizada o esio de coceitos básicos de propagação de odas e lihas de trasissão (NELMS et al., 989, YAMANAKA, et al. 005, KUROKAWA et al. 006, KUROKAWA et al. 007, KUROKAWA et al. 008), a aálise da distribuição de corretes e tesões ao logo da liha (MAMIS; NACAROGLU, 003), e a siulação de trasitórios eletroagéticos e lihas de trasissão que teha eleetos ão lieares (MAMIS, 003). Apesar da técica de variáveis de estado ser aplaete utilizada a represetação de lihas de trasissão, pode-se verificar e publicações recetes (MAMIS, 003, MAMIS; NACAROGLU, 003, MÁCIAS et al., 005), que a esa, soete foi utilizada para represetar lihas cujos parâetros logitudiais possa ser cosiderados costates e idepedetes da freqüêcia. No etato, recohece-se atualete que a utilização de parâetros costates para represetar a liha e toda a faixa de freqüêcia, presete os siais durate a ocorrêcia de distúrbios a esa, pode resultar e respostas e que as copoetes harôicas de alta freqüêcia possua aplitudes aiores do que são a realidade (MARTÍ, 98). Desse odo, este trabalho pretede iserir o efeito da freqüêcia e ua liha represetada por eio de circuitos π coectados e cascata e obter as corretes e tesões a liha a partir da utilização da técica de variáveis de estado. O étodo será aplicado e ua liha oofásica e outra bifásica, e que se cosidera a preseça dos efeitos do solo e pelicular. Essas lihas serão aproxiadas por ua cascata de circuitos π que, e seguida, serão represetadas por eio de equações de estado. As equações de estado, que são as tesões e corretes ao logo da liha, serão etão siuladas o abiete Matlab. A cascata tabé será ipleetada u software do tipo EMTP (DOMMEL, 986), utilizado para siulações de trasitórios eletroagéticos e sisteas de potêcia. E seguida os resultados obtidos co o Matlab e co o EMTP serão coparados etre si, para a liha oofásica.. Orgaização do texto Esta dissertação está orgaizada e 0 capítulos. No capítulo serão deduzidas as equações difereciais da liha de trasissão e suas soluções serão apresetadas o capítulo 3. O capítulo 4 estudará os parâetros logitudiais da liha de trasissão

15 Capítulo Itrodução 3 depedetes da freqüêcia. A represetação odal de lihas de trasissão que perite ua liha de trasissão, de fases, seja decoposta e seus odos de propagação será apresetada o capítulo 5. Já o capítulo 6, ostrará que os parâetros logitudiais de ua liha de trasissão pode ser aproxiados por eio de fuções racioais. No capítulo 7, será proposto u odelo de liha de trasissão que cosidera o efeito da freqüêcia os seus parâetros logitudiais. Os capítulos 8 e 9 apresetarão os resultados obtidos para ua liha oofásica e bifásica, respectivaete. Fialete, as coclusões fiais e sugestões para trabalhos futuros são apresetadas o capítulo 0, seguido das referêcias bibliográficas..3 Artigos publicados Joural Electric Power Systes Research (Elsevier), Iclusio of the frequecy effect i the luped paraeters trasissio lie odel: State space forulatio. KUROKAWA, S. ; YAMANAKA, F. N. R. ; PRADO, A. J. ;PISSOLATO, J., 009. Revista Sba Cotrole & Autoação, Represetação de lihas de trasissão por eio de variáveis de estado levado e cosideração o efeito da freqüêcia sobre os parâetros logitudiais. KUROKAWA, S.; YAMANAKA, F. N. R.; PRADO, A. J., 007. IEEE/PES Trasissio ad Distributio Coferece ad Expositio: Lati Aerica, Usig state-space techiques to represet frequecy depedet sigle-phase lies directly i tie doai. KUROKAWA, S. ; YAMANAKA, F. N. R. ; PRADO, A. J. ; PISSOLATO FILHO, J., Bogotá - Colôbia, 008. XVI Cogresso Brasileiro de Autoática, Represetação de lihas de trasissão por eio de variáveis de estado cosiderado o efeito da freqüêcia sobre os parâetros logitudiais. KUROKAWA, S.; YAMANAKA, F. N. R.; PRADO, A. J.; PISSOLATO, J., Salvador - Brasil, 006. XIX Seiário Nacioal de Produção e Trasissão de Eergia Elétrica, Utilização de variáveis de estado o desevolvieto de odelos de lihas de trasissão: Iclusão do efeito da freqüêcia as atrizes de estado. KUROKAWA, S. ; YAMANAKA, F. N. R. ; PRADO, A. J. ; PISSOLATO, J. ; BOVOLATO, L. F., Rio de Jaeiro - Brasil, 007.

16 Capítulo Itrodução 4 Sixth Lati-Aerica Cogress: Electricity Geeratio ad Trasissio, Aalysis of logitudial ad teporal distributio of electroagetic waves i trasissio lies by usig state-variable techiques. YAMANAKA, F. N. R. ; KUROKAWA, S. ; PRADO, A. J. ; PISSOLATO, J. ; BOVOLATO, L. F., Mar Del Plata - Argetia, 005.

17 Capítulo Equações difereciais da liha de trasissão 5 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DA LINHA DE TRANSMISSÃO. Itrodução As lihas de trasissão são caracterizadas por sua capacidade de coduzir a eergia eletroagética. Ua aálise rigorosa desse problea exigiria ua aplicação das equações de Maxwell os probleas de capo. Etretato, u exae dessas equações pode deostrar que e certas codições usa-se ua aproxiação uito ais siples, cofore será deostrado este capítulo.. Equações difereciais de ua liha de trasissão oofásica Cosidera-se que ua liha de trasissão é costituída por dois codutores etálicos, retilíeos e copletaete isolados. Pela ecessidade da existêcia de u circuito fechado, pode-se cosiderar o próprio solo coo sedo o segudo codutor ou codutor de retoro. A figura. ostra ua represetação de ua liha de trasissão oofásica de coprieto d (HEDMAN, 983, FUCHS, 979). Figura. Liha de trasissão oofásica de coprieto d. Para a liha ostrada a figura., cosidera-se que a esa possui ao logo de seu coprieto ua idutâcia e ua resistêcia coectadas e série e distribuídas uiforeete ao logo do coprieto. Esses são os parâetros logitudiais da liha.

18 Capítulo Equações difereciais da liha de trasissão 6 Tabé se cosidera que existe ua capacitâcia e ua codutâcia, coectadas e paralelo, etre o codutor e o solo. Esses são os parâetros trasversais da liha e estão uiforeete distribuídos ao logo do coprieto da esa. Desse odo, podeos cosiderar que u eleeto ifiitesial da liha ostrada a figura. será represetado cofore ostra a figura. (CHIPMAN, 97, GREENWOOD, 977). Figura. Circuito equivalete para u eleeto ifiitesial da liha. Na figura., te-se ua liha de trasissão de coprieto ifiitesial Δx, cuja resistêcia possui u valor R, a idutâcia possui u valor L, a capacitâcia possui u valor C e a codutâcia possui u valor G, que estão uiforeete distribuídos ao logo do coprieto da liha. As equações de correte e de tesão para esse circuito são, etão: v(x, t) i(x + Δx, t) = i(x, t) GΔx v(x, t) CΔx (.) t v(x i(x + Δx, t) + Δx, t) = v(x, t) LΔx RΔx i(x + Δx, t) (.) t A correte e a tesão, be coo suas respectivas derivadas parciais, pode ser expadidas por séries de Taylor coo (SWOKOWSKI, 995): i(x, t) i (x + Δx, t) i(x, t) + Δx + (.3) x

19 Capítulo Equações difereciais da liha de trasissão 7 v(x, t) v (x + Δx, t) v(x, t) + Δx + (.4) x i(x + Δx, t) t i(x, t) i(x, t) + Δx + t x t (.5) v(x + Δx, t) t v(x, t) v(x, t) + Δx + t x t (.6) Cosiderado apeas os dois prieiros teros e substituido as séries as equações (.) e (.), obtê-se: i (x + Δx, t) i(x, t) = v(x + Δx, t) v(x, t) v(x, t) CΔx GΔx v(x + Δx, t) + CΔx + GΔx (.7) t x t x v (x + Δx, t) v(x, t) = i(x, t) i(x, t) i(x, t) LΔx RΔx i(x, t) LΔx RΔx (.8) t x t x Aplicado a defiição de derivada (SWOKOWSKI, 995), ostra-se que: i( x + Δx, t) i( x, t) i( x, t) li Δx 0 = (.9) Δx x v(x + Δx, t) v(x, t) v(x, t) li Δ x 0 = (.0) Δx x Logo: i(x, t) v(x, t) = G v(x, t) + C (.) x t

20 Capítulo Equações difereciais da liha de trasissão 8 v(x, t) i(x, t) = R i(x, t) + L (.) x t As equações (.) e (.) são equações diferecias de prieira orde que descreve o coportaeto das corretes e tesões a liha oofásica o doíio do tepo. No doíio da freqüêcia, as equações (.) e (.), cofore (CHIPMAN, 976), tora-se: di(x, ω) = Y( ω) V(x, ω) (.3) dx dv(x, ω) = Z( ω) I(x, ω) (.4) dx sedo: Z( ω ) = R( ω) + jωl( ω) (.5) Y( ω ) = G + jωc (.6) Nas expressões (.3) e (.4), V(x, ω ) e I(x, ω ) são, respectivaete, a correte e a tesão e ua posição x da liha o doíio da freqüêcia. Os teros Z( ω ) e Y( ω) são, respectivaete, a ipedâcia logitudial e a aditâcia trasversal da liha por uidade de coprieto. Nas equações (.5) e (.6), o tero ω correspode à freqüêcia agular. Os parâetros R, L, Z e Y são variáveis e relação à freqüêcia. Derivado as equações (.3) e (.4) e relação à x, obtê-se: di (x, ω) dv(x, ω) = Y( ω) (.7) dx dx dv (x, ω) di(x, ω) = Z( ω) (.8) dx dx

21 Capítulo Equações difereciais da liha de trasissão 9 Substituido-se as equações (.4) e (.3) as equações (.7) e (.8), respectivaete, e fazedo-se os devidos ajustes, obtê-se: di (x, ω) dx = Y( ω) Z( ω) I(x, ω) (.9) dv (x, ω) dx = Z( ω) Y( ω) V(x, ω) (.0) As equações (.9) e (.0) são equações difereciais de seguda orde de ua liha de trasissão oofásica, escritas o doíio da freqüêcia..3 Equações difereciais de ua liha polifásica Para ua liha polifásica, o doíio da freqüêcia, a ipedâcia logitudial e a aditâcia trasversal, por uidade de coprieto, são escritas as foras: Z Z [Z( ω)] = Z Z 3 Z Z Z Z 3 Z Z Z Z Z Z Z Z 3 (.) Y Y [Y( ω)] = Y Y 3 Y Y Y Y 3 Y Y Y Y Y Y Y Y 3 (.) Nas expressões (.) e (.), tê-se: Z ii = R ( ω) + jωl ( ω) (.3) ii ii

22 Capítulo Equações difereciais da liha de trasissão 0 Z ij = R ( ω) + jωl ( ω) (.4) ij ij Y ii = G + jωc (.5) ii ii Y ij = G + jωc (.6) ij ij sedo: Z ii - ipedâcia própria da fase i; Z ij - ipedâcia útua etre as fase i e j; Y ii - aditâcia própria da fase i; Y ij - aditâcia útua etre as fase i e j; Nas equações (.9) e (.0), as atrizes [ Z( ω )] e [ Y( ω )] são, respectivaete, as atrizes de ipedâcia logitudial e de aditâcia trasversal da liha, por uidade de coprieto. Desse odo, cosiderado as equações. e., tê-se: di (x, ω) dx = Y( ω) Z( ω) I(x, ω) (.7) dv (x, ω) dx = Z( ω) Y( ω) V(x, ω) (.8) Nas equações (.7) e (.8), [ I( ω )] e [ V( ω )] são, respectivaete, os vetores co as corretes e as tesões de fase da liha, escritas o doíio da freqüêcia.

23 Capítulo Equações difereciais da liha de trasissão.4 Coclusão Neste capítulo, fora deduzidas as equações diferecias que represeta ua liha de trasissão cujos parâetros são uiforeete distribuídos ao logo da liha e depedetes da freqüêcia. Fora ostradas as equações diferecias da liha o doíio do tepo e o doíio da freqüêcia.

24 Capítulo 3 Soluções das equações difereciais da liha de trasissão 3 SOLUÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DA LINHA DE TRANSMISSÃO 3. Itrodução A obteção da solução das equações difereciais de ua liha de trasissão oofásica diretaete o doíio do tepo é bastate trabalhosa. Poré, pode ser obtida para caso de lihas se perdas, cujos parâetros são ivariáveis co a freqüêcia. Ua opção para se obter a solução das equações difereciais da liha o doíio do tepo cosiste e escrever essas equações o doíio da freqüêcia, obter suas soluções o doíio da freqüêcia e a partir do uso de trasforadas iversas de Laplace ou Fourier, chegar à resposta o doíio do tepo. Essa opção perite que seja levado e cosideração o efeito da freqüêcia sobre os parâetros logitudiais da liha. No etato, esse procedieto exige o uso de itegrais de covolução, cujas soluções ão são ecotradas co facilidade. Existe odelos que perite obter a resposta diretaete o doíio do tepo, se o uso de itegrais de covolução. Nesses odelos, a liha é represetada por eio de ua grade quatidade de circuitos π coectados e cascata e o efeito da freqüêcia sobre os parâetros logitudiais pode ser sitetizado por eio da associação série e paralela de resistores e idutores. 3. Solução o doíio do tepo para lihas se perdas. Cofore ostrado o capítulo, ua liha de trasissão oofásica pode ser descrita pelas seguites equações difereciais: v(x, t) i(x, t) = R i(x, t) + L (3.) x t

25 Capítulo 3 Soluções das equações difereciais da liha de trasissão 3 i(x, t) v(x, t) = G v(x, t) + C (3.) x t Para o caso de ua liha se perdas, R e G são ulos. Desse odo, as equações (3.) e (3.) tora-se: v(x, t) i(x, t) = L (3.3) x t i(x, t) v(x, t) = C (3.4) x t A solução das equações difereciais (3.3) e (3.4) são be cohecidas (NAIDU, 985). No etato, esse odelo ão represeta adequadaete ua liha real, pois ão leva e cosideração as perdas de eergia e a variação dos parâetros co a freqüêcia. 3.3 Solução o doíio do tepo para lihas co perdas. Ua liha de trasissão, cujos parâetros possa ser cosiderados idepedetes da freqüêcia, pode ser represetada, de aeira aproxiada e obedecedo a ua série de restrições, coo sedo ua cascata de circuitos π (NELMS, 989, MAMIS, 003). A figura 3. ostra ua liha de trasissão oofásica represetada por eio de ua cascata de circuitos π. R L R L R L G/ C/ G C G C G C G/ C/ Figura 3. Liha represetada por eio de ua cascata de circuitos π. Na figura 3., os parâetros R e L são, respectivaete, a resistêcia e a idutâcia logitudiais da liha e os parâetros G e C são, respectivaete, a codutâcia e a capacitâcia trasversais. Esses parâetros são escritos coo sedo:

26 Capítulo 3 Soluções das equações difereciais da liha de trasissão 4 d R = R' (3.5) d L = L' (3.6) d G = G ' (3.7) d C = C' (3.8) Nas equações (3.5) a (3.8), R, L, C e G são os parâetros totais da liha, por uidade de coprieto, d é o coprieto da liha e a quatidade de circuitos π. O efeito da freqüêcia sobre os parâetros logitudiais pode ser sitetizados por eio de ua associação série paralela de resistores e idutores, que substituirão a associação RL série e cada u dos circuitos π ostrados a figura 3. (SARTO, 00). A figura 3. ostra u circuito π de ua cascata que represeta ua liha cuja ifluêcia da freqüêcia é levada e cosideração (TAVARES,999, MARTI, 98). R 0 L 0 R R R L L L G/ C/ G/ C/ Figura 3. Cascata de circuitos π cosiderado o efeito da freqüêcia. Ua liha que é represetada por eio de ua cascata de circuitos π, cofore ostrado a figura 3., pode ser descrita tabé por eio de variáveis de estado (NELMS et al. 989, MAMIS, 00, MAMIS, 003). No etato, esse odelo soete foi utilizado pelos

27 Capítulo 3 Soluções das equações difereciais da liha de trasissão 5 autores, ateriorete ecioados, para represetar lihas de trasissão oofásicas e que a ifluêcia da freqüêcia sobre os parâetros possa ser descosiderada. Na figura 3., as associações RL paralelas são tatas quatas fore ecessárias para represetar a variação dos parâetros e cada década de freqüêcia que será cosiderada. (KUROKAWA, et al. 007, KUROKAWA, et al. 008) iseriu a ifluêcia da freqüêcia as atrizes de estado que descreve ua liha de trasissão oofásica. Desse odo, se ua cascata de circuitos π do tipo ostrado a figura 3. é utilizada para represetar ua liha oofásica de coprieto d e são utilizadas associações paralelas de resistores e idutores para sitetizar a ifluêcia da freqüêcia sobre os parâetros logitudiais da liha, essa liha pode ser descrita a fora de variáveis de estado. Ou seja: ( t) [ X] = [A] [X] + [B] u (3.9) E (3.9), [ X ] é o vetor de estados, [A] é ua atriz quadrada e [B] é ua atriz colua. A fução u(t) é a etrada que será aplicada o sistea. O vetor [X] é deoiado vetor de estado, equato que as atrizes [A] e [B] são deoiadas atrizes de estado. O vetor [ X ] é a derivada do vetor [X] e relação ao tepo. 3.4 Solução o doíio do tepo por eio de itegrais de covolução. Cosidere ua liha de coprieto d, cofore ostra a figura 3.3. Figura 3.3 Liha de trasissão oofásica de coprieto d. Na figura 3.3, V A (ω) e V B (ω) são as tesões os teriais A e B da liha, equato que I A (ω) e I B (ω) são as corretes os respectivos teriais o doíio da freqüêcia.

28 Capítulo 3 Soluções das equações difereciais da liha de trasissão 6 No capítulo, foi ostrado que as equações difereciais que descreve as corretes e tesões o doíio da freqüêcia e ua liha oofásica são escritas coo sedo: di(x, ω) = Y( ω) V(x, ω) (3.0) dx dv(x, ω) = Z( ω) I(x, ω) (3.) dx Mostra-se que as soluções para as equações (3.0) e (3.), quado aplicada a liha da figura 3.3, cofore (BUDNER, 970), são: V A ( ω ) = V ( ω)cosh( γ d) Z I ( ω) seh( γ d) (3.) B C B I A VB ( ω) ( ω ) = I B ( ω)cosh( γ d) seh( γ d) (3.3) Z C Nas equações (3.) e (3.3), o tero γ é a costate de propagação, e Z c é a ipedâcia característica (ou ipedâcia atural) da liha. Tais teros são escritos coo sedo (MARTI, 98, CHIPMAN, 976): γ ( ω) = Z( ω) Y( ω) (3.4) Z C Z( ω) ( ω ) = (3.5) Y( ω) Nas equações (3.4) e (3.5), Z e Y são, respectivaete, a ipedâcia logitudial e a aditâcia trasversal da liha por uidade de coprieto. Das equações (3.) e (3.3), obtê-se: I A ( ω ) = cosh( γ d) VA ( ω) VB ( ω) (3.6) Z Z seh( γ d) C C

29 Capítulo 3 Soluções das equações difereciais da liha de trasissão 7 I B ( ω ) = cosh( γ d) VB ( ω) VA ( ω) (3.7) Z Z seh( γ d) C C sedo: As expressões (3.6) e (3.7) pode ser escritas de aeira siplificada coo I A ( ω ) = Y ( ω) V ( ω) + Y ( ω) V ( ω) (3.8) AA A AB B I B ( ω ) = Y ( ω) V ( ω) + Y ( ω) V ( ω) (3.9) BA A BB B As equações (3.8) e (3.9) estão o doíio da freqüêcia. As correspodetes soluções o doíio do tepo são (BUDNER, 970): + + ia (t) = yaa(t τ) va(t)dτ + yab(t τ) vb(t)dτ (3.0) + + ib (t) = yba(t τ) va(t)dτ + ybb(t τ) vb(t)dτ (3.) As gradezas i A (t), i B (t), v A (t) e v B (t) são as corretes e tesões os extreos da liha. Verifica-se as equações (3.0) e (3.) a preseça de itegrais de covolução. Nessas equações, as corretes os teriais da liha, e u istate t qualquer, são obtidas de ua soa poderada das tesões os istates t e t-τ. As gradezas y AA, y AB, y BA, y BB são as trasforadas iversas de Fourier das aditâcias Y AA, Y AB, Y BA, Y BB, respectivaete (SPIEGEL, 97). A obteção das corretes e tesões os teriais da liha por eio de itegrais de covolução é u processo bastate coplexo, pois as fuções (t λ), (t λ), (t y BA λ) e (t λ) dificilete pode ser expressas a fora aalítica. y BB y AA y AB 3.5 Coclusão Neste capítulo, fora ostradas as soluções de ua liha de trasissão oofásica o doíio do tepo.

30 Capítulo 3 Soluções das equações difereciais da liha de trasissão 8 O caso ais siples é ua liha se perdas, cujos parâetros seja idepedetes da freqüêcia, sedo, provavelete, a úica situação e que as equações difereciais possue ua solução aalítica siples. Portato, fora ostradas as soluções diretaete o doíio do tepo para lihas co perdas, cosiderado ou ão a ifluêcia da freqüêcia sobre seus parâetros logitudiais, utilizado equações de estado ou por eio do uso de itegrais de covolução. Foi costatado que o uso de itegrais de covolução é u processo bastate coplexo.

31 Capítulo 4 Parâetros de ua liha de trasissão cosiderado o efeito da freqüêcia. 9 4 PARAMÊTROS DE UMA LINHA DE TRANSMISSÃO CONSIDERANDO O EFEITO DA FREQÜÊNCIA 4. Itrodução Ua liha de trasissão de eergia elétrica possui quatro parâetros que ifluecia o seu coportaeto coo copoete de u sistea de potêcia, são eles: resistêcia, idutâcia, capacitâcia e codutâcia. U dos aspectos ais iportates a represetação da liha, para estudos de trasitórios eletroagéticos, cosiste e cosiderar que os parâetros da liha são distribuídos ao logo de seu coprieto e que são variáveis e fução da freqüêcia. Modelos e que os parâetros são cosiderados costates ão represeta adequadaete a liha e toda faixa de freqüêcia presete durate o trasitório sedo que, a aioria dos casos, a utilização de parâetros costates aplifica as copoetes harôicas dos siais e provoca distorções as foras de oda. 4. Ipedâcia logitudial da liha de trasissão As ipedâcias, próprias e útuas, iseridas as equações de ua liha represetada o doíio da freqüêcia, pode ser obtidas a partir da solução das equações de Maxwell, levado e cosideração as codições de cotoro de três ateriais: o codutor propriaete dito, o ar e o solo (HOFMANN et al., 003). Cosiderado que esses três ateriais pode ser caracterizados por ua resistêcia, por ua pereabilidade agética e por ua perissividade dielétrica, ostra-se que as ipedâcias da liha pode ser escritas e fução das propriedades físicas do sistea (ar, solo e codutor) e da freqüêcia. Os parâetros da liha de trasissão são variáveis e fução da freqüêcia devido aos efeitos solo (equações de Carso) e pelicular (equações odificadas de Bessel) (KUROKAWA, 003). A ipedâcia logitudial de ua liha de trasissão, a título de cálculo, é dividida e três copoetes que são:

32 Capítulo 4 Parâetros de ua liha de trasissão cosiderado o efeito da freqüêcia. 30 Zext: Ipedâcia extera; Zit: Ipedâcia Itera; Zsolo: Ipedâcia devido ao retoro da correte através do solo. A atriz de ipedâcia [Z] pode ser escrita coo sedo etão (KUROKAWA, 003): [Z( ω)] = [Ζ(ω)] + [Ζ(ω)] + [Ζ(ω)] (4.) ext it solo 4.. Ipedâcia extera de ua liha de trasissão Cosidere os codutores i e k de ua liha de trasissão geérica que está sobre u solo ideal, cofore ostra a figura 4. (FUCHS, 979, HOFMANN et al., 003). i d ik k h i θ ik D ik h k solo ideal i' k' Figura 4. Codutores i e k, sobre u solo ideal, e suas respectivas iages i e k. A ipedâcia extera é devido ao capo agético presete o ar, que evolve os codutores e, e seu cálculo, cosidera-se o solo co codutividade ifiita. A ipedâcia extera é represetada pela seguite equação: Z = R + jx (4.) ext ext ext

33 Capítulo 4 Parâetros de ua liha de trasissão cosiderado o efeito da freqüêcia. 3 Defiido R ext coo ulo te-se que as ipedâcias exteras próprias dos codutores i e k são descritas coo sedo: μ h i Z ω = ω ext(ii) ( ) j l (4.3) π ri μ h k Z ω = ω ext(kk) ( ) j l (4.4) π rk Nas equações (4.3) e (4.4), r i e r k são os raios dos codutores i e k, respectivaete, μ é defiido porμ = μ μ 0, ode para o ar e para o aterial etálico ão agético μ. r r sedo: As ipedâcias exteras útuas relativas aos codutores i e k são descritas coo μ Dik' Z ω = ω = ω ext(ik) ( ) Zext(ki) ( ) j l (4.5) π d ik A ipedâcia extera pode ser escrita coo sedo: Z ( ω ) = jω (4.6) ext L ext Na equação (4.6), vale observar que Z ext (ω) é ua reatâcia idutiva, sedo que é coposta apeas pela parcela iagiária. Desse odo, para ua liha de fases, cosiderado que cada fase é costituída de u úico codutor, pode-se escrever a atriz de ipedâcias exteras [Z ext ] coo sedo: [Z ext ] = jω μ π h l r D l d D l d D l d h l r D l d D l d D l d h l r (4.7)

34 Capítulo 4 Parâetros de ua liha de trasissão cosiderado o efeito da freqüêcia. 3 A atriz de ipedâcia [Z ext ] pode ser escrita coo sedo: [ Zext ] = jω[lext ] (4.8) ode: [L ext ] é a atriz de idutâcias exteras. A atriz [L ext ] pode ser escrita sob a fora: [L ext ] = μ π h l r D l d D l d D l d h l r D l d D l d D l d h l r (4.9) Observa-se a equação (4.9) que a atriz de idutâcia extera da liha é fução das características geoétricas dos codutores e das características do eio que costitue a liha e é idepedete da freqüêcia. 4.. Ipedâcia itera de ua liha de trasissão. A ipedâcia itera ou ipedâcia devido ao efeito pelicular (ou efeito ski) está presete sepre que u codutor é percorrido por ua correte alterada. Quado percorrido por correte alterada ocorre ua distribuição ão uifore de correte elétrica a área da seção trasversal do codutor, que causa u aueto a resistêcia efetiva do codutor e diiuição a idutâcia itera à edida que a freqüêcia aueta. No cálculo da ipedâcia itera de u codutor cilídrico e sólido pode-se utilizar as fuções de Bessel de prieira orde ou fuções odificadas de Bessel. Desse odo, a ipedâcia itera é obtida coo a razão etre a queda de tesão ao logo da superfície e a correte total u circuito fechado. Logo, tal ipedâcia pode ser expressa coo (FUCHS, 979, STEVENSON, 978, GATOUS, 005):

35 Capítulo 4 Parâetros de ua liha de trasissão cosiderado o efeito da freqüêcia. 33 j ω μ ber( r) + j bei( r) Z( ω) it = (4.0) π r bei'( r) j ber'( r) sedo: = j ω σ μ (4.) Nesse caso, r [] é o raio do codutor, μ [H/] é a pereabilidade agética do aterial do codutor e σ [Ω/ ] é a codutividade do aterial do codutor. A pereabilidade agética é usualete defiida por: μ = μ μ 0 r (4.) ode: μ 0 (H/) é a pereabilidade agética do vácuo e μ r é a pereabilidade agética relativa do aterial do codutor. As fuções ber(r) e bei (r) e as suas derivadas ber (r) e bei (r) são fuções de Bessel usualete defiidas por: ( r / ) k kπ ber (r) = cos (4.3) k= 0 k! Γ(k + ) 4 ( r / ) k kπ bei (r) = si (4.4) k= 0 k! Γ(k + ) 4 ( r / ) k k kπ ber '(r) = cos (4.5) k= 0 k! Γ(k + ) 4 ( r / ) k k kπ bei '(r) = si (4.6) k= 0 k! Γ(k + ) 4 sedo:

36 Capítulo 4 Parâetros de ua liha de trasissão cosiderado o efeito da freqüêcia. 34 Γ ( k) = (k )! (4.7) Logo, a ipedâcia itera de u codutor pode ser deteriada e qualquer freqüêcia, desde que seja cohecidos o raio, a resistividade e a pereabilidade agética. Para ser cosistete co o S.I., a resistividade deve ser dada e [Ω/] e a pereabilidade agética relativa do vácuo vale 4π0-7 H/. Portato, para ua liha de fases, cosiderado que cada fase é costituída de u úico codutor, pode-se escrever a atriz de ipedâcias iteras [Z it ] coo sedo: [Z it Z 0 ] = 0 it() Z 0 it() 0 Z 0 0 it() (4.8) Assi, a ipedâcia itera pode ser escrita coo sedo ua copoete real e outra iagiária: Z it ( ω ) = R ( ω) + jωl ( ω) (4.9) it it Os teros R it e L it, são a resistêcia e a idutâcia, que são variáveis co a freqüêcia Ipedâcia cosiderado o efeito do solo Os efeitos do solo sobre os parâetros logitudiais pode ser calculados por eio das equações de Carso e de Pollaczeck. Abas as equações pode ser aplicadas e lihas aéreas (DOMMEL, 986, KUROKAWA et al., 007, KUROKAWA et al., 008). Cosidere os codutores i e k dispostos sobre u solo ão ideal, cofore ostra a figura 4..

37 Capítulo 4 Parâetros de ua liha de trasissão cosiderado o efeito da freqüêcia. 35 k i d ik h k h i D ik θ ik solo ão ideal i' k' Figura 4. Codutores i e k, sobre u solo ão ideal, co suas iages i e k. Cosiderado codutores paralelos ao solo, aditido a resistividade coo uifore e a extesão coo ifiita, Carso deostrou que as ipedâcias próprias e útuas de circuitos co retoro pelo solo são iguais às ipedâcias para u circuito evolvedo u solo ideal, o qual se pode cosiderar u codutor iage à esa profudidade que a altura do codutor sobre o solo, acrescida de u fator de correção aplicável a abas as ipedâcias (DOMMEL, 996). O tero de correção foi etão deoiado ipedâcia devido ao efeito solo. Desse odo, para os codutores i e k, ostrados a figura 4., as ipedâcias próprias e útuas (devido ao efeito solo) desses codutores pode ser calculadas, respectivaete, da seguite aeira (FUCHS, 979, STEVENSON, 978): Z solo = ΔR + jδx (4.0) Na equação (4.0), ΔR é o fator de correção dos teros de resistêcia cosiderado o efeito do solo e ΔX é o fator de correção dos teros de idutâcia cosiderado o efeito do solo. Os teros de correção ΔR e ΔX são fuções do âgulo θ, (θ = 0 para ΔR ii, ΔX kk e θ = θ ik para ΔR ik e ΔX ik ) e o tero a é defiido por (DOMMEL, 996): a = 4π 50 7 D f ρ (4.)

38 Capítulo 4 Parâetros de ua liha de trasissão cosiderado o efeito da freqüêcia. 36 Na equação (4.), ρ é a resistividade do solo, e [Ω.], D = D ik é a distâcia etre o codutor i e a iage do codutor k para os teros de correção útuos (ΔR ik, ΔX ik ). Para os teros de correção próprios (ΔR ii, ΔX kk ), sedo h i a altura do codutor i e relação ao solo, te-se: D = D = (4.) ii h i Para a 5, tê-se(dommel, 996): ΔR = 4ω0 4 π b a 8 cosθ + b [( c l a) a cos θ + θa seθ] 6 6 [( c la ) a cos6θ + θa se θ] b a cos3θ d a cos4θ b a cos5θ + b k a cos7θ d cos8θ...} (4.3) b 7 8 ΔX = 4ω0 4 3 ( la) + b a cosθ d a cosθ + b a cos3θ [( c la ) a cos4θ + θa se4θ] + b a cos5θ d a cos6θ + b a cos θ b [( c l a) a cos8θ + θ a se8θ]...} 5 k b (4.4) Os coeficietes b i, c i e d i das equações (4.3) e (4.4) são costates e pode ser obtidos pelas seguites relações: sig = bi (4.5) i bi ( i + ) = ci + + (4.6) i i + ci

39 Capítulo 4 Parâetros de ua liha de trasissão cosiderado o efeito da freqüêcia. 37 d π = (4.7) 4 i b i A partir de: b = 6, b = 6 e c =, A fução sig altera-se e quatro teros sucessivos (sig = + para i =,, 3, 4; sig = - para i = 5, 6, 7, 8, alterado-se sucessivaete). Para a > 5, tê-se (DOMMEL, 996): 4 4ω0 cosθ cos θ cos3θ 3cos5θ 5cos7θ ( ) ( ) ( ) ( ) ΔR = (4.8) a a a a a 4 4ω0 cosθ cos3θ 3cos5θ 5cos7θ ΔX = + (4.9) a ( ) ( ) ( ) a a a Desse odo, a atriz de ipedâcias de ua liha e que há o retoro de correte através do solo é escrita coo sedo: [Z solo Z Z ] = Z solo() solo() solo() Z Z Z solo() solo() solo() Z Z Z solo() solo() solo() (4.30) A atriz de ipedâcia [Z solo ] pode ser decoposta e ua copoete real e outra iagiária, resultado e: [ Zsolo ] = [R solo ( ω)] + jω[lsolo ( ω)] (4.3) Na equação (4.3), [R solo (ω)] é a atriz de resistêcias devido ao efeito solo equato que [L solo (ω)] é a atriz de idutâcias devido ao efeito solo. As atrizes [R solo (ω)] e [L solo (ω)] são variáveis e relação à freqüêcia.

40 Capítulo 4 Parâetros de ua liha de trasissão cosiderado o efeito da freqüêcia Aditâcia trasversal da liha de trasissão (FUCHS, 979) A difereça de potecial etre os codutores de ua liha de trasissão faz co que se carregue da esa aeira que as placas de u capacitor quado etre elas existe ua difereça de potecial. A capacitâcia etre os codutores é a carga os codutores por uidade de difereça de potecial etre eles. Alé da capacitâcia, existe tabé, e ua liha aérea de trasissão, ua codutâcia etre os codutores e o solo. Essa codutâcia é deoiada codutâcia de dispersão (STEVENSON, 978). Cosiderado os codutores i e k da figura 4. carregados co carga Q i e Q k, e seus codutores iages co cargas -Q i e -Q k, respectivaete, te-se que a difereça de potecial do codutor i e relação ao solo é dada por (FUCHS,979): V i Q πε i i k ik' = + (4.3) 0 h l r i Q πε 0 D l d ik E a difereça de potecial do codutor k e relação ao solo é: V k Q πε k k i ik' = + (4.33) 0 h l r k Q πε 0 D l d ik Nas equações (4.3) e (4.33), r i e r k são os raios dos codutores i e k, respectivaete. O tero ε 0 é a perissividade elétrica do vácuo e assue o valor ε o = (/36π)0-6 F/ k. Para u sistea de codutores a difereça de potecial de u codutor e relação ao solo é dada por: h D' D' V = Q l Q l... Q l (4.34) πε0 r d d Na equação (4.34), Q, Q e Q represeta as cargas o prieiro, segudo e -ésio codutor. Esses codutores apreseta raios r co ídices,,..., para prieiro, segudo e -ésio respectivaete. De fora aáloga, pode-se verificar as equações para os deais codutores do sistea.

41 Capítulo 4 Parâetros de ua liha de trasissão cosiderado o efeito da freqüêcia. 39 D' h D ' V = Q l Q l... Q l (4.35) πε0 d r d D ' D' h V = Q l Q l... Q l (4.36) π ε0 d d r Escrevedo (4.34) a (4.36) a fora geérica atricial, obté-se: V V V = πε 0.h l r D ' l d D' l d D l d.h l r D l d ' ' D' l d D ' l d.h l r Q Q Q (4.37) A equação atricial (4.37) pode ser escrita coo: [ ] [ E] [ Q] V = (4.38) Na equação (4.38), a atriz [E] é deoiada atriz dos coeficietes de potecial (ou atriz dos coeficietes de capo elétrico). A partir da defiição de capacitâcia de u sistea de dois codutores, pode-se defiir a seguite relação atricial para ua liha de codutores: [ ] [ C][ V] Q = (4.39) Na expressão (4.39), a atriz [C] é a atriz de capacitâcias de u sistea de codutores. Desse odo, a partir das equações (4.38) e (4.39), pode-se escrever a atriz de capacitâcias coo sedo: [ C] [ E] = (4.40)

42 Capítulo 4 Parâetros de ua liha de trasissão cosiderado o efeito da freqüêcia. 40 Na expressão (4.40), os eleetos da atriz [C] são expressos e [F/k], para ε o e [F/k]. Logo, a atriz de capacitâcia da equação atricial (4.39) pode ser deteriada coo sedo: [ C] = C C C C C C C C C (4.4) O sigificado dos eleetos da atriz [C], ostrada a expressão (4.4), pode ser visualizado a figura 4.3. codutor codutor C C codutor C C 0 C 0 C 0 solo Figura 4.3 Capacitâcias e u sistea de codutores. Cosiderado que os codutores da figura 4.3 estão os poteciais V, V,...e V e relação ao solo, as cargas elétricas arazeadas e cada u dos respectivos codutores são (FUCHS, 979): Q Q ( C0 + C C ) V C V... C = (4.4) V ( C 0 + C C ) V... C C V + V = (4.43) ( C 0 + C + C...) V Q = C V C V (4.44) As equações (4.4), (4.43) e (4.44) pode ser escritas a fora atricial:

43 Capítulo 4 Parâetros de ua liha de trasissão cosiderado o efeito da freqüêcia. 4 Q Q = Q ( C + C C ) 0 C C C ( C + C C ) 0 C C C ( C + C + C +...) 0 V V V (4.45) Logo, (4.45) pode ser escrita coo: [ ] [ C][ V] Q = (4.46) Relacioado (4.4) e (4.45), pode-se cocluir que os eleetos co ídice ii, ou seja, C ii e (4.4), correspode à soa das capacitâcias existetes etre o i-ésio codutor e os deais, alé da capacitâcia existete etre esse codutor e o solo. U eleeto co ídice ij, ou seja, C ij, correspode à capacitâcia etre os codutores i e j. Coclui-se que a atriz de aditâcias trasversais de ua liha de trasissão é dada por (FUCHS, 979): [ Y] jω[ C] = (4.47) Na expressão (4.47), [C] é a atriz de capacitâcias obtida a equação (4.45). 4.4 Coclusão Neste capítulo, fora estudados os parâetros logitudiais e trasversais da liha de trasissão, sedo que os esos pode ser obtidos a partir do cálculo da ipedâcia logitudial e aditâcia trasversal, respectivaete. O efeito do retoro através do solo e o efeito ski (pelicular), tora os parâetros da liha altaete depedetes da freqüêcia, sedo que Carso e Pollaczeck desevolvera odelos ateáticos que represeta o efeito do retoro de correte através do solo (PETTERSSON et al., 999, D AMORE et al., 997). Portato, os parâetros de ua liha de trasissão são forteete depedetes da freqüêcia.

44 Capítulo 5 Represetação de ua liha de trasissão bifásica o doíio odal 4 5 REPRESENTAÇÃO DE UMA LINHA DE TRANSMISSÃO BIFÁSICA NO DOMÍNIO MODAL 5. Itrodução Ua liha de trasissão de fases pode ser decoposta e seus odos. E a represetação de ua liha e seus odos é apeas u étodo ateático para a siplificação dos cálculos dos trasitórios eletroagéticos. Ua vez, obtidos os resultados os odos, aplica-se as atrizes de trasforação para ter os resultados as fases, pois, quado se represeta ua liha polifásica e seus odos, a liha de fases se trasfora e lihas oofásicas. Assi, a ipleetação dos cálculos eletroagéticos e u software é feita de fora siples (KUROKAWA, 003, BUDNER, 970). Este capítulo ostrará de fora siplificada o processo de decoposição odal de lihas de trasissão (KUROKAWA, 003), a dedução da atriz de trasforação [T V ] e a represetação de ua liha bifásica e seus odos para a siulação dos trasitórios eletroagéticos. 5. Decoposição odal de lihas de trasissão As equações difereciais de prieira orde para ua liha de trasissão co fases são: [V(x, ω)] = [z( ω)][i(x, ω)] x (5.) [I(x, ω)] = [y( ω)][v(x, ω)] x (5.) As equações difereciais de seguda orde para ua liha de trasissão co fases, escritas o doíio da freqüêcia, são:

45 Capítulo 5 Represetação de ua liha de trasissão bifásica o doíio odal 43 [V(x, ω)] = [z( ω)][y( ω)][v(x, ω)] x (5.3) [I(x, ω)] = [y( ω)][z( ω)][i(x, ω)] x (5.4) As atrizes [z(ω)] e [y(ω)] são, respectivaete, as atrizes de ipedâcia logitudial e de aditâcia trasversal por uidade de coprieto da liha. Os vetores [V(x,ω)] e [I(x,ω)] são, respectivaete, os vetores co as tesões e corretes de fase. O tero ω correspode a freqüêcia agular. As atrizes de ipedâcia logitudial e de aditâcia trasversal por uidade de coprieto da liha, assi coo os vetores de correte e tesão, são variáveis e relação à freqüêcia. Por questões de siplificação, o tero ω será oitido dessas gradezas o restate deste capítulo. A atriz [z] leva e cosideração o efeito do solo e o efeito pelicular (DOMMEL, 969, MARTI, 983). Os vetores [V] e [I] são os vetores de tesões e corretes de fase, respectivaete. As equações de (5.) a (5.4) estão o doíio das fases e são de difícil resolução, ua vez que os produtos atriciais [z][y] e [y][z] são, de aeira geérica, distitos (as atrizes [z] e [y] ão são atrizes diagoais). Tais produtos pode ser trasforados e atrizes diagoais a partir da utilização de ua trasforação de siilaridade (CHEN, 984). Nesse caso, os produtos atriciais [z][y] e [y][z] resultarão e atrizes diagoais cujos eleetos são os autovalores dos produtos atriciais. A atriz [λ V ], que é a atriz co os autovalores de [z][y] é calculada por eio da seguite relação: [ ] = [ T ] [ z][ y][ T ] λ (5.5) V V V Os autovalores [λ I ] do produto atricial [y][z] são: [ ] = [ T ] [ y][ z][ T ] λ (5.6) I I I

46 Capítulo 5 Represetação de ua liha de trasissão bifásica o doíio odal 44 Nas equações (5.5) e (5.6), as atrizes [T V ] e [T I ] são, respectivaete, as atrizes cujas coluas são os autovetores das atrizes [z][y] e [y][z]. As atrizes [T V ], [T I ], [λ I ] e [λ V ] são coplexas e variáveis e relação à freqüêcia. Os produtos atriciais [z][y] e [y][z], de aeira geérica são distitos e, portato, as atrizes [T V ] e [T I ] são diferetes. No etato, eso sedo [z][y] e [y][z] atrizes distitas, seus deteriates e coseqüeteete seus autovalores [λ V ] e [λ I ] são iguais: [ V I λ ] = [ λ ] (5.7) Deoiado os autovalores dos produtos [z][y] e [y][z] de [λ], obtê-se: [ ] = [ ] λ (5.8) λ V [ ] = [ ] λ (5.9) λ I Substituido as equações (5.8) e (5.9) as equações (5.5) e (5.6), respectivaete, e fazedo algus ajustes, tê-se: x [ ] V = V V x [ ] [ T ][ λ ][ T ] [ V] I = I I [ T ][ λ ][ T ] [ I] (5.0) (5.) Pré-ultiplicado as equações (5.0) e (5.) por [T V ] - e [T I ] -, respectivaete, obtê-se: [ ] [ V] TV = V x [ λ ][ T ] [ V] (5.)

47 Capítulo 5 Represetação de ua liha de trasissão bifásica o doíio odal 45 [ ] [ I] TI = I x [ λ ][ T ] [ I] (5.3) sedo: Nas equações (5.) e (5.3), pode-se defiir as corretes e tesões odais coo [ E ] [ T ] [ V] = (5.4) V [ I ] [ T ] [ I] = (5.5) I Maipulado as equações (5.4) e (5.5), obtê-se: [ V] [T ][E ] = (5.6) V [ I ] = [ T I ][ I ] (5.7) Nesse caso, [E ] e [I ] são os vetores co as tesões e as corretes odais da liha, respectivaete. Substituido [V] e [I] das equações (5.6) e (5.7) as equações (5.0) e (5.), respectivaete, obtê-se: [ E ] x = [ λ ][ E ] (5.8) [ I ] x = [ λ ][ I ] (5.9) As expressões (5.8) e (5.9) são as equações difereciais dos odos exatos da liha. Devido ao fato de [λ ] ser ua atriz diagoal, as esas são idêticas às equações difereciais de lihas oofásicas idepedetes, cujas possíveis técicas de resolução já fora ostradas e capítulos ateriores. Para atrizes de ipedâcias e de aditâcias odais exatas, ao substituir os vetores [V] e [I] das equações (5.6) e (5.7) as equações (5.) e (5.), tê-se:

48 Capítulo 5 Represetação de ua liha de trasissão bifásica o doíio odal 46 [ T ][ E ] [][ z T ][ I ] V = I (5.0) x [ T ][ I ] [ y][ T ][ E ] I = V (5.) x Pré-ultiplicado as equações (5.0) e (5.) por [T V ] - e [T I ] -, respectivaete, obtê-se: [ E ] x [ I ] x = = [ T ] [ z][ T ][ I ] V I [ T ] [ y][ T ][ E ] I V (5.) (5.3) As equações (5.) e (5.3) pode ser escritas coo sedo: [ E ] x [ I ] x = = [ z ][ I ] [ y ][ V ] (5.4) (5.5) Nas equações (5.4) e (5.5), [z ] e [y ] são, respectivaete, as atrizes de ipedâcias logitudiais e de aditâcias trasversais odais exatas da liha. Essas atrizes são escritas coo sedo: [ z ] [ T ] [ z][ T ] = (5.6) V I [ z ] [ T ] [ y][ T ] = (5.7) I V As atrizes [z ] e [y ] são atrizes diagoais (KUROKAWA, 003). Dessa fora, tê-se:

49 Capítulo 5 Represetação de ua liha de trasissão bifásica o doíio odal 47 [ E ] x [ I ] x = = [ z ][ y ][ E ] [ z ][ y ][ I ] (5.8) (5.9) As equações (5.8) e (5.9) são as equações difereciais odais da liha. Ua vez que as atrizes [z ] e [y ] são diagoais, as equações (5.8) e (5.9) estão desacopladas e suas soluções são cohecidas (BUDNER, 970). 5.3 Liha de trasissão bifásica o doíio odal A figura 5. represeta ua liha de trasissão bifásica co os codutores a ua certa altura h e co ua distâcia d etre os codutores das fases e. Fase Fase d h Solo Figura 5. Represetação de ua liha de trasissão bifásica. Na figura 5., está represetada ua liha de trasissão bifásica o doíio das fases. Devido ao acoplaeto existete etre as fases da liha, acoplaeto este represetado pelos teros útuos das atrizes [z] e [y], ão é possível represetar a esa por eio de ua cascata de circuitos π. Observa-se que a liha bifásica ostrada a figura 5. possui u plao de sietria vertical.