SOLUÇÃO ANALÍTICA APROXIMADA PARA CONVECÇÃO FORÇADA LAMINAR TRANSIENTE DE FLUIDO NÃO-NEWTONIANO PARA PROBLEMAS COM MODELO PARABÓLICO-HIPERBÓLICO

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1 Paper CIT SOUÇÃO AAÍTICA APROXIMADA PARA COVECÇÃO FORÇADA AMIAR TRASIETE DE FUIDO ÃO-EWTOIAO PARA PROBEMAS COM MODEO PARABÓICO-HIPERBÓICO Jacques Cesar dos Satos (*) aboratório de Eergia Solar(ES) da UFPB, Cidade Uiversitária -Capus I, , João Pessoa/PB e-ail: Jea Pierre Veroese (*), e-ail: Carlos A. Cabral dos Satos (*), e-ail: Roberg Rodrigues Godi (*), e-ail: Resuo. Ua solução aalítica aproxiada, de baixo custo coputacioal, é apresetada para a covecção forçada trasiete de fluido ão-ewtoiao e caais de placas plaas paralelas subetido à codição de etrada e degrau. A Técica da Expasão e Autofuções é usada aliada a Trasforada Clássica de aplace para ecotrar a solução aalítica para u escoaeto hidrodiaicaete desevolvido e e desevolvieto térico, co codição de etrada e degrau e codição de cotoro do 3º tipo a parede. A solução apresetada perite ua aalise apurada e todo o doíio para diferetes tepos. Palavras-chave: Aalítica,Covecção,Expasão e Autofuções, ão-ewtoiao.. Itrodução O estudo dos feôeos relativos à trasferêcia de calor a covecção forçada itera te sido realizado, essecialete, para ateder a ua ecessidade prática, ua vez que a aioria das soluções ecotradas para este tipo de feôeo, otadaete, a região de etrada térica e desevolvieto siultâeo, pode ser úteis o projeto de dispositivos téricos de elhor desepeho. Portato, copoetes eletrôicos, codesadores, evaporadores, trocadores de calor, etre outros, são exeplos da possível utilização. Co a crescete iiaturização e a ecessidade de otiização destes equipaetos, este estudo te se torado ua ecessidade udial. Assi, a otivação da pesquisa deixa de ser u exercício puraete acadêico, e decorrêcia do crescieto da sua iportâcia prática os diversos processos idustriais e e outros segetos da ecooia, ode os fluidos apreseta coportaeto ão-ewtoiao. Exeplos típicos de substâcias co este coportaeto são: suspesão de sólidos e líquidos, políeros, plásticos, petróleo, fluidos biológicos e faracêuticos. otadaete e diversas áreas da egeharia, tais coo egeharia uclear, espacial, petroquíica etre outros. U outro fator iportate este estudo é a crescete busca de soluções exatas e de referêcia para probleas de egeharia, cada vez ais coplexos e itervalos de tepo curtos. Por esta razão, a abordage teórica ve gahado espaço sobre a experietação e os étodos aalíticos tradicioais. Isto ocorre, prieiro porque a experietação é geralete deorada, ale do fato de ser uito dispediosa, pois para cada experiêcia te-se ovos gastos tais coo a utilização e aferição de ovos equipaetos para adaptação da ova situação o problea e aálise; segudo porque os étodos aalíticos tradicioais apreseta certas liitações, ode as dificuldades ateáticas são reduzidas através de siplificações, que por vezes tora os odelos uito distates da realidade física, possuido assi utilidade do poto de vista acadêico ou didático, as raraete de aplicação pratica. Co o desevolvieto dos coputadores digitais co velocidades de processaeto cada vez aiores, te-se avaçado bastate a siulação de probleas e ecâica dos fluidos e trasferêcia de calor, iiizado o tepo de trabalho e possibilitado assi u eor custo. Utilizou-se a Expasão e Autofuções, que é u étodo de fácil auseio e que pode apresetar soluções copletaete aalíticas, ou para casos de aior coplexidade apreseta soluções híbridas, aalítico-uéricas, ode se te u cotrole preestabelecido sobre o erro, aliada a Trasforada Clássica de aplace. A idéia básica cosiste a trasforação de u sistea de equações difereciais parciais e u sistea de equações difereciais ordiárias, através da eliiação de depedêcias direcioais, co a vatage de produzir ua solução aalítica aproxiada ais ecoôica e relação aos étodos uéricos, alé de ão ecessitar da geração de alha e peritir aida o acopahaeto e a variação dos parâetros de iteresse práticos deteriates presetes a solução. O presete trabalho pode ser iserido o cotexto dos probleas de covecção forçada trasiete, sedo cosiderado ua extesão dos trabalhos realizados por Cotta(994), Godi(997) e outros; a resolução da equação da eergia co codição de etrada e degrau e cosiderado codição de cotoro do terceiro tipo.

2 . Forulação do Problea O problea físico cosiderado cosiste de u escoaeto laiar hidrodiaicaete desevolvido o iterior de u duto de placas plaas paralelas, subetido à covecção forçada, co teperatura de etrada periódica, coo ilustrado a Fig.. O sistea e estudo é costituído por u caal de placas paralelas ifiitas a largura, de coprieto, o iterior do qual escoa u fluido ão-ewtoiao. O sistea assi defiido esta iicialete e equilíbrio térico a ua teperatura T 0. É etão provocada ua perturbação e degrau a teperatura de etrada do fluido T o +T(y * ). O sistea possui ua codição de cotoro co covecção a parede do caal. As paredes são sólidas e ipereáveis. O escoaeto ocorre a direção x, sedo siétrico e relação à y, cofore esta represetada a Fig.. O escoaeto e estudo é cosiderado icopressível, co propriedades costates, despreza-se os efeitos da dissipação viscosa. Figura. Represetação Esqueática do Problea. Para o problea proposto são cosiderados os seguites grupos adiesioais: x x α y ; y ; u b b u T To b u ; ; Bi u k e h e ; t t α ; b * ( y ) Co a utilização dos grupos adiesioais, o problea pode ser represetado pela equação da eergia, e suas codições de cotoro e de etrada coo: y, t + u y,0) 0 y, y, x, 0 < < y, x > 0, > 0 T e (.) t (..a), x 0, 0 y (..b) ( 0, y,, t > 0, 0 y (..c) 0, 0,, t > 0 x 0 (..d) Bi, + 0, t > 0 x 0 (..e) (, y, 0, t > 0, 0 y (..f) Segudo Mikhailov & Özisik (984), o perfil de velocidade adiesioal ão-ewtoiao e ei de Potêcia é dado por: u + c + c + c c ( y ) para o escoaeto copletaete desevolvido; (..g)

3 Ode c é u parâetro do odelo, segudo Mikhailov & Özisik (984), c é igual a para fluido ewtoiao. 3. Metodologia de Solução Seguido os passos apresetados por Godi (997), aplica-se a Trasforada Clássica de aplace sobre a variável tepo o sistea de Eqs...a-f, obtedo-se : y) y) s y) + u, 0 < y <, x > 0, > 0 x t (..a) ( y ( 0, y) ), t > 0, 0 y (..b) s 0) 0 ), t > 0, 0 Bi ) + 0, t > 0, 0 (, y) 0, > 0 Ode y) é a trasforada de aplace do potecial ( x, y, x (..c) x (..d) t, 0 y (..e). 3. Problea de Autovalor a Direção y Coo prieiro passo para resolver o problea defiido pelo sistea de Eqs... a-e, usado a Expasão e Autofuções, defie-se u problea de autovalor a direção y. Co o objetivo de ecotrar ua solução aalítica pra o problea, Eqs... a-e, será utilizado u problea de autovalor que apreseta solução aalítica. d + y ( ) 0 β (..a) d ( 0 ) 0 Bi ( ) ( ) d + 0 (..b) (..c) Ode as autofuções são dadas por: cos( β y) (..d) Os autovalores são obtidos da solução da equação trascedetal: Bi (..e) β Ta( β ) A ora é dada por: (..f) 0 Bi ( Bi + β + Bi + β ) 3

4 Obedecedo a propriedade de ortogoalidade: 0 δ, ode δ δ 0,, (..g) 3. Par Trasforada-Iversa Escrevedo a fução y) coo ua expasão que te coo base as autofuções oriudas do problea de autovalor Eqs..a-c e observado a propriedade de ortogoalidade Eq...g teos: ( x y) 0 y) TRASFORMADA (3..a), IVERSA (3..b) 3.3 Trasforação do Problea a Direção y Operado a Eq..a co o operador 0, te-se: 0 s y) ( ) y) y) + u y 0 x 0 (A) (B) (C) Aplicado-se a equação da Iversa, Eq. 3..b, e cada tero, e utilizado a propriedade de ortogoalidade, Eq...g, te-se: Tero (A) ( ) y s y ) 0 0 s s (4..a) Tero (B) ( ) ( ) ( ) y ( ) x t, u y y 0 x ( ) ( ) ( ) y x u y A 0 x x (4..b) Tero (C) t " 0 4

5 t 0 β β (4..c) O problea fica trasforado o sistea diferecial ordiário: s + A x β (A) (B) (C) Aplicado o operador 0 a codição iicial, te-se : (5..a) ( 0) 0 s s (5..b) 0 ( ) 0 (5..c) Ode o tero A é dado por : 0 ( ) u y 4. Solução do Sistea de Equações Difereciais Ordiário O sistea diferecial ordiário acoplado Eqs. 5.. a-c, ão possui solução aalítica. Poré, da aálise do coportaeto da atriz A, observa-se que co a elevação do uero de Biot os teros diagoais tora-se doiates. Assi, ua solução aproxiada pode ser obtida desprezado-se os teros ão diagoais a Eq. 5..a. Co o decréscio do úero de Biot a iportâcia dos teros ão diagoais cresce, e ão cosiderá-los provoca o aueto do erro a solução aproxiada. Co estas cosiderações o sistea de equações será aproxiado por: s A x β + (6..a) ( 0) T s 0 (6..b) O sistea de equações difereciais, ordiário desacoplado, Eqs. 6.a-b, te coo solução: s 0 ( β + s) x Exp( ) A (7) 4. Recuperação do Potecial Origial Para a recuperação do potecial origial, iicialete substitui-se a Eq. 7 a Eq. 3..b, equação da Iversa, obtedo-se: ( β + s) x Exp( ) A t y) 0 s (8) Observado-se que o potecial origial é dado pela iversão da Trasforada Clássica de aplace da Eq. 8. Aplicase este procedieto ateático, o que pode ser efetivaete siplificado pelo eprego de u prograa de coputador que execute a aipulação sibólica, obtedo-se: 5

6 y, A t 0 β x x Exp( ) U ( t A A (9) Esta equação é a solução aalítica aproxiada do sistea de equações difereciais do problea, Eqs...a-f, ode ( ) o tero A é dado por: u y, e t é o uero de teros o soatório. 5. Resultados e Discussão 0 Co o ituito de avaliar, a presete solução é testada através da covergêcia. Os resultados são ostrados a Tab., que represeta a covergêcia da solução aalítica aproxiada para diferetes posições ao logo da liha cetral do duto para o istate t5. Observa-se que, para x 0., co dois teros a série é atigida a covergêcia co 4 casas deciais. Próxio a etrada do duto, o poto x 0. 0, co 5 teros a série a covergêcia é atigida, tabé co 4 casas deciais. Para os outros potos da tabela, tero é suficiete para a covergêcia requerida ser atigida. A distribuição da teperatura para etrada do duto adotada os cálculos será a apresetada por i (990), T(y)-y, etretato, outras codições de etrada pode ser ipleetadas a presete solução. Tabela. Covergêcia da teperatura ao logo da liha cetral, para : Bi0 5, T(y)-y,t5, y0, c. ) x/t tero teros 3 teros 5 teros 7 teros 9 teros a Tab. observa-se ua rápida covergêcia dos valores apresetados pela solução aproxiada, o que idica que a solução aalítica apreseta facilidade a estiativa de parâetros de iteresse prático para o problea aqui estudado. Segudo Mikhailov & Özisik (984) c idica u fluido ewtoiao. A Tab. apreseta ua estiativa da teperatura para a liha cetral do caal para ua faixa de valores do parâetro c. Segudo Mikhailov & Özisik (984) c/3 idica u fluido pseudoplastico e c3 idica u fluido dilatate, todos os cálculos fora efetuados co ove teros as series. A Tab. ostra a ifluêcia do parâetro c os valores da teperatura ao logo da liha cetral, ostrado que quato aior este úero, eor a troca térica ao logo do caal. Tabela. Teperatura ao logo da liha cetral para: Bi 0 5, T(y )-y,t5, t9, y0. X / c /

7 A Tab. 3 apreseta ua estiativa da teperatura para a liha cetral do caal para ua faixa de valores do 5 uero de Biot, são utilizados valores crescetes para o úero de Biot. Para Bi 0 observa-se da Eq...e que a codição de cotoro tora-se de teperatura prescrita, ou de prieiro tipo, Mikhailov & Özisik (984). Todos os cálculos fora efetuados co ove teros as series. Observa-se que co o acréscio do uero de Biot aueta a troca térica ao logo do caal, até o liite atigido co a teperatura prescrita. O estudo da ifluêcia do uero de Biot é estedido a Tab. 4 para o fluido ewtoiao e a Tab. 5 para o fluido dilatate. Tabela 3. Teperatura ao logo da liha cetral para: c/3, T(y )-y, t5, t9, y0. X / Bi A Tab. 4 apreseta ua estiativa da teperatura para a liha cetral do caal para ua faixa de valores do uero de Biot, todos os cálculos fora efetuados co ove teros as series. Tabela 4. Teperatura ao logo da liha cetral para: c, T(y )-y, t5, t9, y0. X / Bi

8 A Tab. 5 apreseta ua estiativa da teperatura para a liha cetral do caal para ua faixa de valores do uero de Biot, todos os cálculos fora efetuados co ove teros as series. Tabela 5. Teperatura ao logo da liha cetral para: c3, T(y )-y, t4.996, t9, y0. X / Bi A Tab. 6 apreseta ua estiativa da teperatura para a liha cetral do caal para ua faixa de valores do tepo, todos os cálculos fora efetuados co ove teros as series. Tabela 6. Teperatura ao logo da liha cetral para: Bi0 5, c/3, T(y )-y, t9, y0. X / t A Tab. 7 apreseta ua estiativa da teperatura para a liha cetral do caal para ua faixa de valores do tepo, todos os cálculos fora efetuados co ove teros as series. 8

9 Tabela 7. Teperatura ao logo da liha cetral para: Bi0 5, c3, T(y )-y, t9, y0. X / t Coclusão O procedieto aqui desevolvido ostrou ser útil o estudo da covecção forçada trasiete de fluido ãoewtoiao, e u caal de placas plaas paralelas subetido a ua teperatura de etrada e degrau, o que idica a validade deste efoque a avaliação de parâetros de iteresse pratico, tedo e vista, a facilidade apresetada pela solução fial, represetada por ua equação aalítica. 7. Referêcias Bibliográficas Boyce, W.E. e Dipria, R.C., Equações Difereciais Eleetares e Probleas de Valor de Cotoro, Editora Guaabara, Rio de Jaeiro, 988. Cavalcate, F.F., Covecção Forçada Trasiete Itera co Etrada Periódica: Solução Via Trasforada Itegral, Dissertação de Mestrado, Uiversidade Federal da Paraíba, Brasil, Agosto 000. Cheroto, S., Aalysis of Ustea Forced Covectio i Chaels by Itegral Trasfor Techique, Doctor Thesis, Uiversity of Miai, Coral Gables, F, USA, July 998. Cotta, R. M.; Itegral Trasfors i Coputatioal Heat ad Fluid Flow, CRC Press, Boca Rato, F, EUA, 993. Cotta, R.M, & Gerk, J.E.V; "Mixed Fiite-Differece/Itegral Trasfor Approach for Parabolic-hyperbolic Probles i Trasiet Forced Covectio", u. Heat Trasfer, Vol. 5, pp , 994. Godi, R.R., Covecção Forçada Trasiete Itera co Difusão Axial Solução Via Tras foração Itegral, Tese, UFRJ/COPPE, Rio de Jaeiro, Brasil, 997. i, W,, Experietal ad Theoretical Ivestigatio of Ustea Forced Covectio i Ducts, Ph. D. Dissertatio, Uiversity of Miai, Coral Gables, F, USA, 990. Mikhailov, M. D. & Özisik, M..; Uified Aalysis ad Solutios of Heat ad Mass Diffusio ; Joh Wiley, ew ork, 984. Satos, J.C., Aálise Teórica de Covecção Forçada aiar Trasiete co Etrada Térica Periódica, Dissertação de Mestrado, Uiversidade Federal da Paraíba, João Pessoa, PB, Brasil, Agosto 00. Veroese, J.P., Aálise de Covecção Forçada Trasiete e Caais de Placas Plaas de Fluidos ão-ewtoiaos Usado o Modelo ei de Potecia, Dissertação de Mestrado, Uiversidade Federal da Paraíba, João Pessoa, PB, Brasil, Agosto 00. 9

10 APPROXIMATE AATIC SOUTIO FOR FORCED COVECTIO AMIAR OF O-EWTOIA FUID FOR PARABOIC- HIPERBOIC PROBEMS Jacques Cesar dos Satos (*) aboratório de Eergia Solar(ES) da UFPB, Cidade Uiversitária -Capus I, , João Pessoa/PB e-ail: Jea Pierre Veroese (*), e-ail: Carlos A. Cabral dos Satos (*), e-ail: Roberg Rodrigues Godi (*), e-ail: Abstract: A aproxiate aalytic solutio, of low coputatioal cost, to the trasiet forced covectio of o-ewtoia fluid i parallel plates chaels is preseted. The Expasio i Eigefuctios Techique is used to fid the aalytic solutio for a copletely developed flow ad i theral developet, with step chage i ilet teperature ad covectio i the walls. The developed coputacioal code allows a fast aalysis for the proble, i all doiio, for differet ties. Key Words: Aalytic, Covectio, Expasio i Eigefuctios, o-ewtoia. 0