Resolução do problema de atribuição de células a centrais de telefonia celular através de um método baseado no beam search

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1 Resolução do problea de atribuição de células a cetrais de telefoia celular através de u étodo baseado o bea search Cassilda Maria Ribeiro (UNESP) cassilda@feg.uesp.br Rodolfo Florece Teieira Jr. (UNESP) rodolfo@feb.uesp.br Aíbal Tavares Azevedo(UNESP)aibal@feg.uesp.br Resuo: Este trabalho resolve o problea de alocação de ateas as cetrais de telefoia celular. A técica utilizada para a solução do problea é u étodo heurístico baseado o étodo de Bea Search. É feita tabé ua coparação co a heurística de Merchat e Segupta. Os resultados apresetados atesta a capacidade da técica da heurística do tipo Bea Search e coseguir soluções elhores que a abordage apresetada por Merchat e Segupta, e u tepo coputacioal adequado. Palavras-chave: Problea de Atribuição, Bea Search, Telefoia Celular.. Itrodução Nas últias décadas as telecouicações tivera u crescieto prodigioso e sua preseça se torou obrigatória a sociedade odera. O fato das pessoas estare sepre e ovieto, associado à ecessidade de couicação etre elas, a qualquer oeto e e qualquer lugar, fez co que se desevolvesse o coceito de obilidade e couicações. Este ovo coceito propiciou o surgieto de u dos equipaetos ais etraordiários e populares de todos os tepos: o telefoe celular. A deada crescete dos usuários (assiates) do telefoe celular acirrou a copetição etre as operadoras do serviço, fazedo co que a busca por ua rede de telefoia celular cada vez ais eficiete e co capacidade de ateder essa deada, fosse iprescidível. É por esta razão que o problea de atribuição de ateas às cetrais de telefoia celular é tão iportate.. Defiições e Coceitos Ua rede de couicação pessoal (RCP) é ua rede se fio que itegra diferetes serviços tais coo: voz, vídeo, correio eletrôico, etc., e é acessível a partir de u terial úico. Esses diferetes serviços são oferecidos por regiões, chaadas de zoa de cobertura, que são divididas e pequeas áreas geográficas, chaadas de células. A célula é etão, a uidade básica do sistea de telefoia celular típica e é a resposável por ateder (cobrir) u certo úero de assiates. E cada célula eiste ua atea (uitas vezes aqui chaada de estação básica) que é a resposável por fazer a couicação etre os assiates que pertece à esa célula. Alé disso, cada célula está coectada a ua cetral de telefoia óvel, tabé chaada de cetral de coutação, que é a resposável por fazer as ligações etre os assiates de duas células diferetes. O forato geográfico de cada célula é u heágoo. Assi o cojuto de todas as células de ua dada região fora algo parecido co ua coléia de abelhas. A diesão desse heágoo varia de acordo co o úero de assiates por uidade de superfície (, 2, 4, 8, 6, 32 Quilôetros). Cada cetral de coutação te capacidade de coutar u deteriado úero de assiates. Assi várias células pode ser coectadas a ua esa cetral, bastado para

2 isso que se respeite à capacidade áia da esa. Cotudo, ua célula ão deve estar coectada a duas ou ais cetrais de coutação ao eso tepo. Relebrado que, o teto apresetado a seguir, as palavras estação básica e atea, represeta eataete a esa coisa. Do eso odo que cetral de telefoia óvel é a esa coisa que cetral de coutação A Figura ostra, por eeplo, u cojuto de células de ua deteriada operadora para ua deteriada região. Neste eeplo os assiates das células A e B estão coectados à cetral telefôica de coutação e os assiates das células C e D estão coectados a cetral telefôica de coutação 2. Cetral Telefôica de Coutação A D D C Cetral Telefôica de Coutação 2 B FIGURA Divisão do sistea de telefoia celular e células. Para fazer a couicação etre os assiates da rede de telefoia óvel, as ateas utiliza caais de radio e para evitar iterferêcias, duas células adjacetes deve utilizar grupos diferetes de caais de rádios. Quado u usuário e couicação se ove de ua célula para outra, a estação básica (atea) da ova célula te a resposabilidade de ater a couicação deste usuário. Para isso a estação básica deve alocar a este usuário u ovo caal de rádio. A trasferêcia de couicação de ua estação básica para outra é chaada (e iglês) de hadoff. O ecaiso que evolve a trasferêcia de u usuário etre duas estações básicas (células) ocorre quado o ível do sial recebido pelo usuário fica uito fraco. Eiste dois tipos de hadoff. No eeplo da figura, quado o usuário se ove da célula A para a B, o hadoff é chaado de siples porque as duas células estão coectadas à esa cetral telefôica de coutação, e o custo iduzido para se fazer à trasferêcia de A para B ão é elevado. Por outro lado, quado o usuário se ove da célula A para a célula D, o hadoff é dito ser copleo. O custo iduzido para se fazer esta trasferêcia é alto, pois as duas cetrais de coutação ( e 2) deve estar ativas durate o processo de hadoff e a base de dados cotedo iforações sobre os assiates deve ser atualizada. 2. O Problea de Atribuição de Células a Cetrais Ua das tarefas ais iportates o plaejaeto de redes de telefoia celular óvel é a atribuição de células a cetrais telefôicas de coutação de odo ótio, isto é, ecotrar ua atribuição de células a cetrais que respeite certas restrições e iiize o custo total de operação. Na iiização do custo total de operação, dois fatores deve ser cosiderados. O prieiro deles é o custo da ligação etre os assiates das células e a cetral de coutação a qual elas estão coectadas (custo de cabeaeto). Este custo depede da distâcia etre a célula e sua cetral. O segudo fator é o custo gerado pelo hadoff etre células. Neste trabalho, etede-se por atribuição de células às cetrais, a deteriação de qual cetral de coutação será a resposável pela couicação dos assiates de ua célula co as deais células do sistea de telefoia óvel. Coo esta couicação utiliza a atea eistete e cada célula, uitas vezes fala-se e atribuição de ateas às cetrais de coutação o lugar de se falar e atribuição de células às cetrais. 2

3 O problea de se atribuir células a cetrais ua rede de telefoia celular é u problea NP copleto. Sabe-se portato que ão eiste u étodo eato capaz de ecotrar a solução ótia deste problea e tepo polioial. A úica aeira de se garatir que a solução de u problea NP-Copleto é ótia é fazedo ua busca eaustiva as soluções. Para se fazer ua busca eaustiva esse problea, seria ecessário eaiar todo o espaço de soluções possíveis, o que é iviável devido ao úero eore dessas soluções. Por eeplo, para ua rede co 50 células e 4 cetrais telefôicas de coutação; rede esta cosiderada de taaho édio; o uero de soluções possiveis é (4 50 ). E para se ecotrar a solução ótia seria etão, ecessário eaiar todas essas soluções afi de ecotrar a eor delas. Se for utilizado u coputador capaz de eaiar ua solução a cada s, seria ecessários 6, aos para eaiar todas as soluções possíveis. Logo, é coveiete a utilização de étodos heurísticos para se ecotrar a solução. 2. Forulação ateática Ates de apresetar a forulação ateática do problea, deve-se esclarecer que este trabalho cosiderou-se que os custos de cabeaeto e hadoff serão oferecidos pela operadora e, portato eles etra coo dados do problea. Ua descrição ais copleta sobre o cálculo do hadoff pode ser vista e (YACOUB, 993; ALONSO et al, 992). O problea de atribuição de células a cetrais de coutação tal coo foi descrito por Merchat e Segupta (MERCHANT e SENGUPTA, 995) se forula coo a seguir: Seja células que deve ser atribuídas a cetrais de coutação. É assuido que a localização das células e das cetrais é fia e cohecida. Seja H e H respectivaete os custos por uidade de tepo dos hadoffs siples e copleo que ocorre etre as células i e j ( i, j =, L, ). É Assuido que os custos de hadoffs são cohecidos e proporcioais à freqüêcia de hadoffs que ocorre etre as células i e j. Seja Cik o custo de cabeaeto por uidade de tepo etre a célula i e a cetral de coutação k ( i =, L, ; k =, L, ). Seja λ i o úero de chaadas que a célula i faz por uidade de tepo e seja M k a capacidade da cetral k de efetuar chaadas. O objetivo, deste problea, cosiste e atribuir cada célula a ua cetral de odo a iiizar o custo total por uidade de tepo. Este custo copreede o custo do hadoff por uidade de tepo ais o custo de cabeaeto etre as células e as cetrais. A otiização deste problea deve ser feita de odo que a capacidade áia de cada cetral ão seja violada e que cada célula seja atribuída a ua úica cetral. se a célula i for atribuída a cetral k Seja ik a variável defiida coo: ik = 0 caso cotrário. A restrição de que cada célula deve ser atribuída a ua úica cetral, pode ser epressa por: ik = para i =, L, () k = A restrição de capacidade das cetrais de coutação de efetuare chaadas pode ser escrita coo: λ i ik M k para k =, L, (2) i= 3

4 O custo total de cabeaeto é dado por:. C ik i= k = Para se represetar os custos de hadoff, Merchat e Segupta criara as seguites variáveis adicioais: z = para i, j =, L, e k =, L,. (3) k ik jk Observe a equação (3) acia que z k = se as células i e j são coectadas a esa cetral de coutação k e z = 0 caso cotrário. Deste odo, defiiu-se: y k = k = z k para i, j =, L,. Observe agora que y = se as células i e j são coectadas à esa cetral de coutação e y = 0 se elas estão coectadas a cetrais distitas. O custo total da rede é dado pela soa dos custos de cabeaeto ais os custos de hadoff, e pode ser escrito coo: Cik ik + H y + i= k = i= j= i= j= H ik ( y ) Segudo Hedilble (HEDIBLE e PIERRE, 2000), o custo do hadoff siples H pode ser cosiderado irrelevate quado coparado ao custo do hadoff copleo H. Fazedo-se etão: h = H H, substituido-a e (5) e descosiderado a parte costate, a fução objetivo a ser iiizada tora-se: C + ik ik i= k = i= j= h ( y ) Deste odo o problea a ser resolvido cosiste e iiizar a fução objetivo (6) sujeito as restrições () até (4) Observe que o problea de alocação de células às cetrais, tal coo forulado possui variáveis iteiras e restrições ão lieares. Merchad e Segupta covertera este problea e u problea de Prograação Liear Iteira substituido as restrições (3) por u cojuto de restrições lieares e a seguir o resolvera usado o solver CPLEX para Prograação Liear Iteira Mista. Eles tabé fizera ua coparação etre a solução obtida co o solver e co a heurística (MS) que eles criara. Segudo os próprios autores, os resultados obtidos co o solver fora ruis para os probleas co ais de 35 células e 2 cetrais porque a liearização aueta sigificativaete a diesão do problea. Na coparação etre o CPLEX e a heurística, esta últia foi ais rápida e 00% dos casos e coseguiu resolver probleas co 00 células e 2 cetrais e poucos segudos. Neste artigo é proposto u algorito baseado o étodo de Bea Search (LOWERRE, 976) que resolve o problea de atribuição se fazer a liearização. Para tato, fez-se ua ligeira odificação a forulação do problea de odo a eliiar as variáveis z k e y do cojuto de restrições. Na equação (4) a variável z k foi substituída de odo a se obter a equação y k = objetivo, obtedo assi o problea (7). = ik jk. Esta equação, por sua vez foi substituída a fução (6) (4) (5) 4

5 Miiizar C ik = para i =, L k= sujeito a λ i ik M k para k =, L, i= ik = 0 ou para i =, L, e k =, L, + ik ik i= k= i= j= i= j= k = h Observe que o problea (7) é u Problea de Atribuição Quadrático co restrições de capacidade e variáveis zero/u. Este problea é NP - Copleto e, portato uito difícil de ser resolvido. A elhor aeira de resolvê-lo é usado heurísticas. 3. O Algorito proposto Na literatura eiste diversos tipos de heurísticas para resolver o Problea de Atribuição de Células as Cetrais. As chaadas eta-heurísticas são as ais utilizadas, veja, por eeplo, (ABUAMARA M. H. et al 2006; BATTACHARYA et al, 999; DIANATI et al; HOUETO e PIERRE, 2002; QUINTERO e PIERRE, 2002; QUINTERO e PIERRE, 2003). Outros autores desevolvera heurísticas do tipo Eueração Iplícita, etre eles: (MERCHANT e SENGUPTA, 995; LI, J et al,997; SAHA et al, 2000). (MENON e GUPTA 2004) fizera ua heurística ista que utiliza técicas de Prograação Liear e Siulated Aeealig; e (SALOMÃO, 2005) resolveu este problea utilizado Técicas de Prograação Liear co Geração de Coluas. Aqui é apresetada ua heurística baseada o Bea Search para resolver o Problea de Atribuição. O Bea Search é u étodo heurístico para resolver probleas de Otiização Cobiatória. Pode-se dizer que ele é ua adaptação do étodo de Brach ad Boud ode soete os ós ais proissores de cada ível da árvore de decisões (atribuições) são guardados a eória para sere visitados, equato que os deais ós são descartados peraeteete. Coo ua grade parte dos ós, da árvore de atribuições, é descartada, isto é, soete algus poucos ós são selecioados para sere aalisados, o tepo de eecução do étodo é polioial co o taaho do problea. E resuo pode-se dizer que o Bea Search é ua técica de busca e árvore que a cada ível da árvore, aalisa u úero fio de ós e, por coseguite u úero fio de soluções. O úero de ós aalisados a cada ível é chaado de largura da busca e é deotado por β. O Bea Search foi usado pela prieira vez pela couidade de Iteligêcia Artificial para tratar probleas de recohecieto de fala (LOWERRE, 976). Desde etão, te aparecido a literatura várias aplicações deste étodo e probleas de seqüêciaeto da produção (OW e SMITH, 988; SABUNCUOGLU e BAYIZ, 999). 3. O Algorito proposto Ates de apresetar o algorito proposto será utilizado u eeplo para ostrar coo seria a árvore de decisões (atribuições) se fosse eueradas todas as soluções possíveis. Seja = 4, o úero de células (ateas) que deve ser atribuídas a = 2 cetrais de coutação. Cada célula (atea) A i te capacidade de realizar u úero fio de chaadas λ i por uidade de tepo. Assi o úero de chaadas cobertas pela atea A é λ, e λ 2 é o h ik jk (7) 5

6 úero de chaadas cobertas pela atea A 2 e assi por diate. Essas chaadas serão realizadas pela cetral de coutação C j, se a célula A i estiver coectada à cetral C j. Cada ua dessas cetrais te ua capacidade M j, de efetuar chaadas. Etão M é a capacidade da cetral C, M 2 é a capacidade da cetral C 2 e assi sucessivaete. Cada célula só pode estar coectada a ua úica cetral. A variável é, ode = sigifica que a célula i está coectada a cetral j e = 0 caso cotrário. A Figura 2 apreseta ua represetação do problea e grafo bipartido. FIGURA 2 - Represetação do problea de atribuição através de u grafo bipartido. As Tabelas, 2, 3 e 4 apreseta as iforações sobre custo de cabeaeto, custo de hadoff, úero de chaadas de cada atea e capacidade das cetrais, para o problea da Figura 2. Este eeplo será utilizado para ilustrar o fucioaeto do Bea Search. TABELA - custo de cabeaeto C TABELA 2- custo de hadoff h. Atea Cetral Cetral 2 Atea Árvore co Todas as Soluções Possíveis TABELA 3 -úero de chaadas λ i para cada atea. No. Atea chaadas TABELA 4 capacidade M j de cada cetral Cetral Capacidade A eueração de todas as soluções possíveis pode ser represetada através de ua árvore de decisões. Mas para fazer esta represetação é ecessário estabelecer as seguites defiições: (D.) A árvore possui íveis e o ível k é atribuída a k-ésia Atea a ua Cetral. (D.2) Os ós da árvore associados ao ível são chaados de ó seete. (D.3) A árvore possui íveis e ua solução copleta, isto é a atribuição de todas as Ateas a ua Cetral, só é obtida ao se defiir as atribuições até o ível. (D.4) A cada ível k, ao se realizar a atribuição da k-ésia Atea a ua cetral, são cotabilizados dois custos: custo fio de cabeaeto e custo de hadoff cosiderado todas as k- atribuições ateriores. A Figura 3 ostra coo é a árvore co todas as soluções possíveis para esse problea. Os úeros das cetrais estão represetados detro do ó e o úero da atea está represetado ao lado pela letra A, por eeplo, A represeta a atea. Os ós de cada ível da árvore represeta ua atribuição. Coeça-se a árvore fiado ua cetral, por eeplo, a cetral C e atribuido a ela ua célula, por eeplo, A. Assi, o ó, do ível N, sigifica que a célula A foi atribuída a cetral C, isto é, =. A está atribuição iicial foi dado o oe de ó seete. Ua vez feita a atribuição do ó seete segue-se fazedo as deais atribuições, sepre levado e cota as atribuições que já fora feitas os ós 6

7 ateriores. Note que o úero de ós seetes é igual ao úero de cetrais, logo vão ser criadas árvores, ua para cada cetral. FIGURA 3 - Soluções factíveis para ó seete C (árvore da esquerda) e C2 (árvore da direita). Na Figura 3, e cada ó, tabé estão apresetados, os custos fios de cabeaeto e custos de hadoff relativa às atribuições efetuadas até aquele ó. Os ós arcados co ua cruz forece ua atribuição ifactível e por esta razão eles são autoaticaete eliiados do processo. É iportate frisar que o úero total de soluções é de = 2 4 = 6, as detre estas soluções apeas 6 era factíveis, justificado a aplicação de u procedieto de busca e árvore. Observe que a atribuição de ua atea às cetrais realizada e cada ível forece apeas u custo de hadoff parcial. O custo total de hadoff só será cohecido quado todas as ateas fore atribuídas a cetrais. Por eeplo, o ível é feita a atribuição da atea A a cada ua das cetrais (ós seetes) e ão é possível cotabilizar ehu custo de hadoff, pois ão se sabe aida as atribuições das deais ateas. No ível 2 é feita a atribuição da atea A 2 a cada ua das cetrais, e co isto já se pode cotabilizar o custo de hadoff de acordo co alocação das ateas A e A 2 às cetrais. No ível 3, ao se realizar a atribuição da atea 3 pode-se cotabilizar o custo de hadoff etre a atea A 3 co A e A 2. Portato, ua solução só será copleta quado se chega ao últio ível da árvore, isto é ao últio ó. O úero de íveis da árvore é igual ao coprieto da esa que por sua vez, é igual ao úero de ateas. Deste odo o rao da árvore cotedo os ós A C, A 2 C, A 3 C 2, e A 4 C 2 idica que fora feitas as seguites atribuições: =, 2 =, 32 =, 42 = Árvore Obtida co o Algorito Proposto O algorito proposto ão gera todos os ós da árvore coo foi feito o eeplo e por esta razão ão é feita ua eueração copleta de todas as soluções factíveis. Isso evita o crescieto epoecial da árvore. Etão eiste alguas regras para se gerar os ós. Essas regras visa tabé, a ipedir a criação de soluções ifactíveis. E cada ó da árvore serão arazeadas as seguites iforações: () Idetificação da Cetral; (2) Idetificação da Atea (célula); (3) Soa dos custos de hadoff, desde o ó raiz; (4) Capacidade restate da cetral que ele represeta. É subtraído da capacidade da cetral a quatidade de chaadas referete as deadas das ateas que já fora alocadas a ela. (5) Custo do ó: represeta o custo parcial da solução, pois ele copreede o custo total de cabeaeto ais o custo de hadoff, cosiderado as atribuições feitas até àquele ó; O prieiro critério para se criar ou ão u ó o ível k, é verificar a capacidade reaescete de ua cetral. Portato, u ó só será criado o ível k se o úero de chaadas λ i cobertas pela célula (atea) A i é eor que a capacidade reaescete da cetral C j (deoiada M Etão, se (k ) j = M j eos a capacidade utilizada desta cetral até o ível k). (k ) M j < λ i,, todos os raos que se origia deste ó ão vão eistir, pois a célula i 7

8 ão poderá ser atribuída a cetral j. Depois de passar pelo critério da capacidade da cetral, o ó só peraecerá a árvore de solução se ele passar pelo critério da largura da busca β. Por eeplo, se a largura de busca escolhida pelo usuário for β =2, a cada ível, só vão peraecer a árvore, os ós que gerare as duas eores soluções calculadas pela técica do algorito guloso. Assi, de cada ó (para β =2) só sairão dois raos, e serão aqueles que gerara as soluções gulosas de eor custo. O algorito utilizado para se gerar a árvore é o seguite: 0) Iicialete o algorito ecotra-se o ível de solução zero, pois as atribuições coeçarão a sere feitas agora. ) A seguir faz-se ível = e coeça ser criados os ós deste ível. Será etão criado u ó para cada cetral (ó seete) e para cada u desses ós é atribuída ua célula (atea) do vetor de células, levado-se e cota a capacidade da cetral. A seguir, calcula-se os custos de cabeaeto e hadoff de cada u desses ós. 2) A seguir faça ível = ível + e crie os ós do próio ível levado-se e cota a capacidade reaescete da cetral. 3) Para cada ó criado o ível k, faz-se: Arazear a idetificação da cetral e da atea; Arazear o custo de hadoff do ó seete até o ó criado; Arazear o custo do ó, isto é, o custo de cabeaeto (custo liear) ais o custo do hadoff do ó seete até o ó criado; Arazear a capacidade reaescete de todas as cetrais; Observe aqui que a partir do oeto que ua célula é atribuída a ua cetral, reduz-se da capacidade desta cetral a capacidade cosuida pela célula alocada a ela e atualiza-se a capacidade reaescete da esa. 4) Neste passo é feito ua busca e profudidade a árvore, ido até ao últio ível da esa. A busca e profudidade é feita do seguite odo: Se o ível k atual é eor que o úero de ateas etão para cada ó criado o passo 2 e cosiderado-se os custos calculados até etão, ache ua solução gulosa para o problea, partido deste ó. Obteçao da Solução Gulosa A partir do ó e questão faça ua arborescêcia co o objetivo de se calcular o custo copleto desta solução. Etão, escolha para fazer parte desta solução gulosa o ó do próio ível que perite ua atribuição factível e teha eor custo parcial. Este procedieto deve ser repetido até o últio ível da árvore ser atigido. Observe que o úero de soluções gulosas calculadas o passo 4 é igual ao úero de ós que fora criados o passo 2. Essas soluções gulosas vão servir para se escolher detre os ós que fora criados o passo 2 aqueles que vão peraecer a árvore. Essa escolha é feita da seguite fora: Ordear os ós criados o passo 2 (ível k), e orde crescete, de acordo co o resultado do custo da solução gulosa que eles gerara. Etre os ós do passo 2 (ível k) escolha para peraecer a árvore os β ós que gerara as soluções gulosas de eor custo, ode β é a largura da busca. Cortar os deais os ós do ível k, isto é: Se largura de busca é β=2, só vão cotiuar a fazer parte da árvore os dois ós que gerara as duas soluções gulosas de eor custo. Ecluir do cojuto de soluções gulosas aquelas que fora obtidas pelos ós que peraecera a árvore; 5) Verifique se o ível da árvore de decisões é igual ao úero de ateas, Se si, o 8

9 algorito teria, pois já se chegou ao fial da árvore. Seão, volte ao passo 2. Observe que, o cálculo da solução gulosa do passo 4, três valores são calculados e cada ó: A capacidade reaescete a cetral j depois da atribuição da atea A 2 ; O custo parcial liear, isto é o custo de se ligar a atea A i a cetral C j ; O custo parcial do hadoff, isto é o custo do hadoff do ó seete até o ó atual. No algorito proposto, soete após descer até o últio ível da árvore é que se terá o custo copleto de u rao, isto é, o custo total da solução aquele rao; pois o custo total da solução é dado pelo custo liear ais o custo de hadoff, e este últio só pode ser obtido ao se realizar as atribuições de todas as células. O valor do custo total para u rao da árvore ecotrado a solução gulosa, é usado coo liitate superior (corte) para se gerar ou ão os deais ós da árvore, o passo 2. Este liitate superior deve ser atualizado à edida que for ecotrado u rao co custo eor. Co isto, tê-se dois critérios de corte para se gerar ou ão os ós da árvore. O prieiro deles é a capacidade das cetrais e o segudo é o custo total dos raos obtido pela solução gulosa. As figuras 4 (a)-(f), apreseta a resolução detalhada do Eeplo da Seção 3. pelo algorito apresetado. No eeplo é cosiderada largura de busca β =2. Os passos a sere seguidos para se resolver o eeplo são: (i) Costruir os ós do Nível, sedo u ó para cada cetral (Passo do algorito). Os custos de cabeaeto e hadoff são iguais à zero (veja tabelas de custos e 2). (ii) Criar os ós do Nível 2. São criados 4 ós, pois a partir da atribuição feita o ível, eiste 4 atribuições possíveis para a atea 2 a saber: A 2 C, A 2 C 2 a árvore da esquerda e A 2 C 2, A 2 C a árvore da direita. Esta situação esta descrita a figura 4(a) e correspode aos Passos 2 e 3 do Bea Search. Coo a largura da busca é dois, soete dois desses ós vão peraecer a árvore. (iii) Para escolher quais ós do Nível 2 vão peraecer é realizada ua busca e profudidade, até o ultio ível, para cada ua das 4 alocações parciais do ível 2. Esta busca escolhe os ós co atribuições factíveis e co eor custo de cabeaeto ais hadoff. Tal situação esta descrita a figura 4 (b) e correspode ao passo 4 do algorito proposto. A figura 4(c) ostra quais fora os ós escolhidos para ficar a árvore. (iv) A seguir é feita ua arborescêcia dos ós do ível 3 (passo 2 e 3) e depois ua busca e profudidade a partir desses ós (figura 4(d)), para se escolher quais ós do ível 3 vão peraecer a árvore (passo 4). A figura 4(e) ostra os ós escolhidos do ível 3. A figura 4(f) ostra a arborescêcia (passo 2 e 3) dos ós da figura 4(e) e a ova solução gulosa (passo 4). Obtê-se assi duas soluções fiais: A C, A 2 C 2, A 3 C, A 4 C 2 co custo de 28 e A C 2, A 2 C, A 3 C 2, A 4 C co custo de 36. Adota-se etão a solução de eor custo etre as duas. (a) (b) 9

10 (c) (d) 4. Testes Coputacioais (e) (f) FIGURA 4 - Passos da eecução do Bea Search para o Pequeo Eeplo. Fora realizados algus testes coputacioais co ituito de se fazer coparações etre o algorito aqui proposto e o étodo de (MERCHANT e SENGUPTA, 995). Fora rodadas 40 istâcias co diesões variadas. Coeçou-se co probleas de taaho cosiderado pequeo (5 ateas e 2 cetrais), até probleas de taaho cosiderado grade (200 ateas e 5 cetrais). A Tabela 5 ostra os valores de fução objetivo obtido co a heurística de Merchat e Segupta (MS), e co o Bea Search (BS) aqui proposto, para cada ua das istâcias rodadas. Na prieira colua está o úero da istâcia, a seguir está o úero de células e cetrais da istâcia, e depois a Fução Objetivo obtida co cada u dos étodos. No (BS) utilizou-se largura de busca etre 2 e 0, as a largura de busca ão deve ser eor que o uero de cetrais, para que ão seja descartadas ehu ó seete. E todas as soluções obtidas o tepo coputacioal ão ultrapassou 50 segudos. A Tabela 5 ostra que o Bea Search obteve resultados iguais ou elhores que os obtidos co a heurística de Merchat e Segupta e ce por ceto dos casos. No caso da istâcia co 60 ateas e 5 cetrais por eeplo, a F.O obtida pelo (BS) é 5,73% eor que a obtida co a (MS). Isto se deve a ua elhor distribuição física das alocações. No (BS) as células estão elhor agrupadas e toro das cetrais que o (MS), isto pode ser visto as figuras 5(a) e 5(b) que apreseta a distribuição física das alocações obtidas co cada ua das heurísticas. Nestas figuras, cada célula coté o úero da cetral para o qual ela foi alocada. Observe tabé que a localização física de cada cetral está arcada co ua pequea torre e ua seta idicado qual é cetral que está aquela região. Observe etão que a alocação das ateas obtida co o (BS) está ais be agrupada e volta das cetrais que a alocação obtida co a Heurística do (MS). Veja, por eeplo, a Figura 5(a), que eiste ua célula alocada à cetral 2 que está be o eio das células alocadas a Cetral 5. 0

11 TABELA 5 - Resultados obtidos co os étodos do Bea Search, Merchat e Segupta e Geração de Coluas Istâcia Células/ Cetrais F.O B. S F.O MS Istâcia Células/ Cetrais 5/2 30,9 30,9 2 00/2 736,03 736,03 2 5/3 24,62 24, /3 383,43 383,43 3 5/4 00,46 00, /4 445,06 467,8 4 5/5 03,89 03, /5 459,35 864, /2 328,28 328, /2 294,48 294, /3 345,53 345, /3 2076,00 245, /4 285,99 303, /4 2957,34 37, /5 243,72 246, /5 942, ,5 9 45/2 940,62 6, /2 4007, , /3 554,72 584, /3 3228,2 3960,65 45/4 507,57 640, /4 2759,6 3024, /5 426,95 497, /5 345, , /2 92,9 92, /2 522,58 522, /3 707,70 856, /3 5457, , /4 728,66 750, /4 326, , /5 693,06 823, /5 2504, , /2 537,67 537, /2 5782, , /3 995,4 995, /3 437, , /4 430, , /4 4394, , /5 96,9 063, /5 3769, ,23 A heurística do MS foi ipleetada e Matlab 7.0., Widows XP. O BS foi ipleetado ua iterface desevolvida por (TEIXEIRA JR., 2005) que utilizou Borlad Delphi 7.0, gerado u sistea eecutável o sistea operacioal "Microsoft Widows". Abos fora eecutados u Petiu 4 co clock de 2 GHz e eória Ra de Gb. Nas duas heurísticas, os tepos coputacioais, e segudos, ão ultrapassara três casas deciais. F.O B. S F.O MS FIGURA 5 (a) Alocações co o MS para 65 Atea e 5 Cetrais. FIGURA 5 (b) Alocações co o BS para 65 Ateas e 5 Cetrais. 5. Coclusões E quase todas as istâcias testadas o étodo de BS obteve elhores resultados que o étodo de MS. Quado o BS ão obteve elhoria, ele obteve o eso valor. Para a istâcia co 00 ateas e 5 cetrais, por eeplo, a elhoria foi de 2, 7 %. O dois étodos, BS e MS ão ecessita de ua solução iicial e toda solução ecotrada é factível. A vatage do BS é que ele ão gera todos os raos da árvore, pois ates de u rao ser gerado é verificado se este rao coté soluções ifactíveis e se for este o caso o rao ão é gerado. Pode-se dizer que o BS é u procedieto ais geeral que a heurística MS devido a sua busca e profudidade (solução gulosa). É a busca e

12 profudidade que perite que o BS ecotre soluções elhores que a heurística MS, pois esta ultia privilegia a capacidade das cetrais o oeto de escolher as atribuições e o BS utiliza o custo da solução gulosa, se, cotudo esquecer das capacidades. Outra vatage do BS é que ele pode ser facilete ipleetado e paralelo. Para tato, deve-se colocar u processador para trabalhar e cada árvore gerada pelo ó seete, (ível ). Cada processador vai etão buscar a elhor solução de cada ua dessas árvores. A vatage da ipleetação e paralelo é que cada ua dessas árvores pode ser trabalhadas de odo totalete idepedete, ão ecessitado de ehua couicação etre processadores durate todo o processo. Ua vez teriada a busca e cada ua dessas árvores, faz-se ua coparação etre todas as soluções ecotradas para etão escolher a elhor delas. Referêcias ALONSO, E., MEIER-HELLSTERN, S., POLLINI, G.P. Ifluece of Cell Geoetry o Hadover ad Registratio Rates i Cellular ad Uiversal Persoal, Telecouicatios Networks, 8 th ITC Specialist Seiar o Uiversal Couicatio, Geova, Italy, 992. ABUAMARA, M. H., SAIT, S. M., SUBHAN, A. A Heuristics Based Approach for Cellular Mobile Network Plaig, The Iteratioal Wireless Couicatios ad Mobile Coputig Coferece (IWCMC06), July, Vacouver, Caada, BATTACHARYA, P. S., SAHA, D., MUKHERJEE, A. Heuristic for assiget of cells to switches i a PCSN: a coparative study. Proceedigs of IEEE It. Cof. O Persoal Wireless Co., pp , 999. DIANATI, M., NAIK, S., SHEN, X., KARRAY, F. A Geetic Algorith Approach for Cell to Switch Assiget i Cellular Mobile Networks, Proc Caadia Workshop o Ifor. Theory, pp , Waterloo, Otario, Caada, May 8-2, HEDIBLE, C., PIERRE, S. Geetic algorith for the assiget of cells to switches i persoal couicatio etworks, Caadia Cof. o Electrical ad Coputer Egieerig, vol. 2, 2000, pp , HOUETO, F., PIERRE, S. Assigig cells to switches i cellular obile etworks usig taboo search, IEEE Trasactios o Systes, Ma ad Cyberetics, Part B, vol. 32,. 3, Ju., pp , LI, J., KAMEDA, H., ITOH, H. Optial Assiget of Cells i PCS Networks, Persoal ad Ubiquitous Coputig, Spriger Lodo, Vol, N. 3 pp , 997. LOWERRE, B. T. The HARPY Speech Recogitio Syste, PhD. thesis, Caregie-Mello Uiversity, USA, 976. MENON, S., GUPTA, R. Assigig cells to switches i cellular etworks by icorporatig a pricig echais ito siulated aealig, IEEE Trasactios o Systes, Ma ad Cyberetics, Part B, vol. 34,., pp , MERCHANT,A., SENGUPTA, B. Assiget of cells to switches i PCS etworks, IEEE/ACM Tras. Networkig, vol. 3, pp ,995. QUINTERO, A., PIERRE, S. A eetic algorith for assigig cell to switches i cellular obile etworks, IEEE Couicatios Letters, vol. 6,., pp , QUINTERO, A.; PIERRE S. Assigig cells to switches i cellular obile etworks: a coparative study, Coputer Couicatios, vol. 26,. 9, p , SABUNCUOGLU, I., BAYIZ, M. Job Shop Schedulig with bea Search, Europea Joural of Operatioal Research, vol. 8, pp ,999. SAHA, D., MUKHERJEE, A., BATTACHARYA, P.S. A siple heuristic for assiget of cells to switches i a PCS etwork, Wireless Persoal Couicatios vol. 2,. 3, pp , SALOMÃO, N.A. Métodos de Geração de Coluas para Probleas de Atribuição, Tese de Doutorado e Coputação Aplicada, INPE, São José dos Capos, SP, TEIXEIRA JR, R.F. Sistea de Apoio a Decisão para a Prograação da Produção e Fudições de Mercado, Tese de Doutorado e Egeharia de Produção, UFSCAR, São Carlos-SP, YACOUB, M. D. Foudatio of Mobile Radio Egieerig. Boca Rato, FL:CR Press,