APLICAÇÃO DO PROBLEMA DO CAIXEIRO VIAJANTE NA OTIMIZAÇÃO DE ROTEIROS

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1 APLICAÇÃO DO PROBLEMA DO CAIXEIRO VIAJANTE NA OTIMIZAÇÃO DE ROTEIROS Ferado Soares Gomes Taufer (FURG) Elaie Correa Pereira (FURG) Este artigo apreseta uma forma de otimizar problemas reais que possam ser modelados como o Problema do Caieiro Viajate (PCV) clássico. Para ilustrar o PCV, trabalhou-se com um problema que foi deomiado como Problema da empresa de Logíística, que cosiste em ecotrar o roteiro ótimo para a realização de etregas de mercadorias em cidades do Rio Grade do Sul. Cosiderou-se que o roteiro ótimo correspoderia ao camiho de meor distâcia etre as cidades a serem visitadas, de forma que o camihão resposável pela etrega dos materiais sairia de uma cidade, cidade ode a empresa possui sua sede, percorreria todas as demais localidades a fim de realizar a etrega dos materiais, sem passar mais de uma vez a mesma cidade. Após retoraria à cidade de ode partiu, ou seja, cidade ode a empresa possui a sua sede. Optou-se por realizar a otimização do problema através do programa computacioal Ecel, utilizado a ferrameta cotida o mesmo, deomiada Solver. A melhor rota obtida foi aalisada e cosiderada um bom resultado em relação a solução iicial. Palavras-chaves: Programação Matemática, Otimização, Problema do Caieiro Viajate,Modelagem Matemática

2 1. Itrodução Os Problemas de Otimização Combiatória se caracterizam pela preseça de uma fução objetivo (de maimização ou miimização) a ser otimizada sujeita a um cojuto de restrições. O Problema do Caieiro Viajate (PCV), o Problema da Mochila, Problema de Roteameto de Veículos, e Programação de Horários são eemplos desses problemas. O Problema do Caieiro Viajate tem sido muito utilizado o eperimeto de diversos métodos de otimização por ser, pricipalmete, um problema de fácil descrição e compreesão, mas de grade dificuldade de solução, uma vez que é NP-Árduo (KARP, 1975). Atualmete o mudo ecotra-se em costate mudaça, a velocidade das iformações ocorre de uma maeira muito rápida, fazedo com que cada miuto faça a difereça. Desse modo, pesquisadores vem aprimorado ovas ferrametas para aproveitar esse tempo e, utilizado a modelagem matemática a descrição de problemas de otimização combiatória reais, buscado melhorias o que cosidera ão satisfatório. Neste artigo são empregadas técicas de modelagem matemática e de otimização a resolução do problema do cosultor, modelado como um PCV, para o qual se obteve a solução ótima, usado um software de resolução adequado ao problema. 2. Problema do Caieiro Viajate De acordo com Goldbarg e Lua (2000) o Problema do Caieiro Viajate (PCV), em iglês chamado de travellig salesma problem (TSP), é um dos mais otórios e tradicioais problemas de programação matemática. É um problema de roteameto que lida a maioria das vezes com passeios sobre potos de demada. Esses potos podem ser represetados por cidades, postos de trabalho, depósitos, etc. Willia Rowa Hamilto,o, em 1857, propôs um jogo chamado Aroud the World. O objetivo do jogo era ecotrar um roteiro, através dos vértices do dodecaedro, que iiciasse e termiasse em uma mesma cidade, sem uca repetir uma visita. Associado o jogo de Hamilto a um grafo G = (N, E) ode N = {1,..,} é o cojuto de ós e E = {1,...,m} é o cojuto de arestas de G, e, c, custos associados com cada aresta ligado os vértices i e j, o problema cosiste em localizar o meor ciclo hamiltoiao do grafo G. Os ós do grafo são, referetes a cidades e, o objetivo é visitar todas as cidades passado apeas uma vez por cada cidade, retorado ao poto de origem. Este percurso deve ser feito de forma a miimizar a distâcia total percorrida. Para uma melhor compreesão do problema, apreseta-se um eemplo trabalhado em Caieiro (20011) Supoha que o caieiro viajate teha de visitar cidades diferetes, iiciado e ecerrado sua viagem a primeira cidade. Cosidere, também, que a ordem com que as cidades serão visitadas ão importa e que de cada uma delas pode-se ir diretamete a qualquer outra. Eemplificado o caso, ode é cosiderado o úmero de cidades seja igual a 4: se tivermos quatro cidades deomiadas cidade A, cidade B, cidade C e cidade D, uma possível rota que o caieiro poderia cosiderar seria: sair da cidade A e etão ir para a cidade B, após ir para a cidade C, estado a cidade C ir para a cidade D e etão volte para a cidade A. Outras alterativas possíveis seriam: ABDCA, ACBDA, ACDBA, ADBCA, ADCBA. Uma forma de resolver tais problemas seria simplesmete eumerar todas as soluções possíveis, como o eemplo aterior, e determiar aquela de meor custo. Nesse caso, seriam determiadas todas as rotas possíveis e, com o auilio do computador, poderia ser realizado o 2

3 cálculo do comprimeto de cada rota e verificada qual seria a meor rota obtida. Ao serem cosideradas todas as rotas eistetes, é possível afirmar que se está reduzido um problema de otimização a um problema de eumeração. Dessa forma, para se ecotrar o úmero total de rotas possíveis para o caso de cidades, basta utilizar o raciocíio combiatório simples e clássico. Se o úmero total de cidades a serem visitadas é, ode a primeira cidade é fia, percebe-se que o úmero total de escolhas possíveis é ( 1)( 2)... 1, e utilizado a otação fatorial tem-se ( 1)! camihos possíveis de ser percorridos. Na maioria dos problemas, esse método tora-se impraticável, pois eiste um elevado úmero de soluções possíveis, este caso o tempo de processameto poderia levar vários dias ou até vários aos. 3. Caracterização do problema Supoha que uma empresa de logística, com sede o muicípio de Passo Fudo ecessita realizar a etrega de materiais para ove localidades do estado do Rio Grade do Sul. Essa empresa de logística possui somete um camihão para realizar as etregas. Após realizar a etrega o camihão deverá retorar a cidade ode a empresa possui sede. Assim, o problema cosiste em defiir um roteiro de viagem, que iicie e fialize o muicípio de Passo Fudo, com o ituito de percorrer, através do camiho mais curto, as outras ove cidades ode as etregas deverão ser feitas. As cidades escolhidas foram: 1. Passo Fudo, 2. Porto Alegre, 3. Caela, 4. Gramado, 5. Beto Goçalves, 6. Rio Grade, 7.Pelotas, 8. São Miguel das Missões, 9. Cambará do Sul, 10.Três Coroas, coforme Figura 1. Figura 1: Imagem do RS com a localização das cidades Cosiderado o grafo G(N, A), ode N é o cojuto de ós de G, que represetam as 10 cidades e A o cojuto dos arcos de G, que correspode à ligação eistete etre duas cidades, coforme a Figura 2, os arcos são os roteiros de meor distâcia etre as cidades cosideradas. Os custos dos arcos são cosiderados as distâcias míimas eistetes etre as cidades foram obtidas pelo Google Maps. 3

4 3.1 Formulação matemática Figura 2 Grafo do problema Para o PCV eistem diversas formulações matemáticas. No presete artigo será utilizada a formulação de Datzig, Fulkerso e Johso, presete em Goldbarg e Lua (2000) visto que a mesma é frequetemete utilizada a literatura, pois apreseta modos peculiares para a caracterização do problema e, também, por ser de fácil compreesão. Sedo G(N, A) o grafo do problema, represetado a Figura 2, o modelo é dado por: Miimizar z Sujeito a : Ode: i 1 j 1i 1 i, j S j 1 c 1 1 {0,1} S 1 j N i N S N i, j N c : Custo de ir da cidade i a cidade j (distâcia). 1, se arco ( i, j) A, ou seja, for escolhido o camiho da cidade i até a cidade j para itegrar a solução. 0, caso cotrário; S : é um subgrafo de G. S : úmeros de vértices do subgrafo S. (1) (2) (3) (4) 4

5 Observa-se que essa formulação, retorar para a mesma. ii ão eiste, visto que ão tem setido sair de cidade e As restrições idicadas em (1), determiam que o fluo de chegada em cada cidade j deve ser 1. As restrições idicadas por (2) determiam que o fluo de saída de cada cidade j deve ser 1. As restrições idicadas por (3) impõe a elimiação de circuitos pré-hamiltoiaos, ou seja, evitam subciclos. As restrições idicadas por (4) determiam que as variáveis sejam biárias, ou seja, podem assumir apeas os valores 0 ou Métodos de resolução Optou-se por realizar a otimização do problema através do Solver do Ecel, devido à facilidade de iserção do modelo matemático, que represeta o problema em questão, seguido os passos citados por Lachtermacher (2007). Iicialmete foi ecessário costruir uma matriz de variáveis e uma matriz de custos, ode esta cotida as distâcias míimas etre as cidades. A estratégia de resolução cosiste em iserir apeas as restrições do modelo idicadas por (1), (2) e (4) para a eecução do programa. Apos a eecução do programa, verifica-se a solução obtida a eistêcia de subciclos. Caso eistam, é iserida o modelo, a restrição (3), especificamete para desfazer os subciclos ecotrados e o programa é eecutado ovamete. Esse procedimeto repete-se até que a solução ecotrada ão coteha subciclos, o que correspoderá à solução ótima para o problema em questão. Precisa-se de uma solução iicial para eecutar o programa, ou seja, é ecessário atribuir as variáveis, valores tais que idiquem uma solução viável qualquer. Nesse caso, escolheu-se uma solução arbitrária viável, ou seja, o camiho que ue todos os ós de maeira cosecutiva, obtedo um custo total de 2607 km. A seguir ecotra-se de maeira resumida os passos para a otimização do problema do turista através do Solver. Abaio eemplo da iserção da matriz de custos e matriz das variáveis. Figura 3: Iserção da matriz de custos e da matriz de variáveis A fução objetivo é dada pelo comado SOMARPRODUTO, como pode ser observado a Figura 4. 5

6 Figura 4: Iserção da Fução Objetivo Abaio se ecotra a iserção das restrições dos fluos de etrada e saída. Figura 5: Iserção das restrições os fluos de etrada e saída 4. Resultados Figura6: Iserção de restrições o solver para evitar subciclos Houve a ocorrêcia de subciclos hamiltoiaos até a seta otimização realizada pelo Solver. O programa ecotrou como roteiro ótimo as cidades represetadas pelos ós As cidades a serem percorridas para a realização das etregas pelo camihão são as seguites: Passo Fudo - São Miguel das Missões - Pelotas - Rio Grade - Porto Alegre - Três Coroas - Gramado - Caela - Cambará do Sul - Beto Goçalves - Passo Fudo. Este roteiro, correspode ao trajeto de meor distâcia para percorrer as 10 cidades, sem passar duas vezes pela mesma cidade, que iicia e termia em Passo Fudo. Aalisado a distâcia a ser percorrida com a solução lógica de , ode a fução objetivo era de 2607 km, em relação a solução ótima ecotrada, houve uma redução de 871,10 km, ou seja,uma redução de cerca de 33,41% a distâcia total a ser percorrida. Essa redução comprova que o Solver ecotrou um camiho melhor do que aquele que, o iício, parecia o mais lógico a percorrer. 5. Cosiderações fiais Na resolução de problemas reais do cotidiao, a preseça da matemática é otável. Bem como, a utilização de técicas adequadas, como ferrametas auiliares, apreseta-se como uma maeira útil e eficiete de descrever feômeos, para se compreeder o que ão está de acordo com a ormalidade, ou seja, fora do esperado. 6

7 Este trabalho possibilita perceber que a Matemática possui uma vasta aplicação em diversas áreas do cohecimeto e que tudo se ecotra iterligado. Ao resolver o problema proposto foi possível perceber que as ferrametas computacioais dispoíveis, são esseciais a resolução de problemas reais para a obteção do roteiro ótimo, torado o processo de otimização mais rápido e fácil. Nesse setido, cabe ressaltar que caso a procura da solução otimizada fosse realizada maualmete seria muito difícil e demorada, sedo em algus casos até impossível, quado observada a compleidade de resolução do Problema do Caieiro Viajate. Para se ecotrar qual seria o meor roteiro para a realização das etregas pela empresa de logística as 9 cidades do Rio Grade do Sul, foi ecessária a utilização do Solver do Ecel, com o qual foi possível otimizar o problema em questão. A facilidade da resolução do PCV pelo Solver do Ecel está o fato de que as restrições relativas aos subciclos hamiltoiaos, que ão podem eistir de acordo com a formulação apresetada, são iseridas de acordo com os resultados das otimizações realizadas. Para o problema em questão, o modelo matemático completo, relativo ao PCV, teria em toro de 1024 restrições, o total. Porém, observa-se que de acordo com a otimização realizada foram iseridas apeas 133 restrições o modelo o que facilitou muito a otimização do problema. Também é importate salietar que houve uma redução de aproimadamete 33,41 % a distâcia total a ser percorrida, em relação ao roteiro lógico iicial cosiderado. Referêcias ANDRADE, Eduardo Leopoldio de. Itrodução à pesquisa operacioal: métodos e modelos para aálise de decisões. 3. ed. Rio de Jaeiro: LTC, CAIXEIRO. Dispoível em < >. Acesso em 11 abr GOLDBARG, Marco César; LUNA, Herique Pacca L. Otimização combiatória e programação liear: modelos e algoritmos. Rio de Jaeiro. Campus, LACHTERMACHER, Gerso. Pesquisa Operacioal a tomada de decisões: Modelagem em Ecel.3.ed. Rio de Jaeiro: Elsevier,2007. KARP, R. M. O the Computatioal Compleity of Combiatorial Problems, Networks 5, 45-68, BODIN, L. e GOLDEN, B. e ASSAD, A. e BALL, M. Routig ad schedulig of vehicles ad crews. The State of the Art.Computers ad Operatios Research, 10(2), ,