2 OPERAÇÕES E REPRESENTAÇÃO BÁSICAS EM 2D

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1 2 OPERAÇÕES E REPRESENTAÇÃO BÁSICAS EM 2D Neste capítulo abordaremos os aspectos pricipais em um sistema gráfico 2D: Trasformações 2D e o Sistema de Coordeadas Homogêeo Como Modelamos as Traformações de Objetos do Mudo Real em Computação Gráfica? Tato a represetação bidimesioal de um mudo como a represetação 3- ou -dimesioal, eistem em computação gráfica 3 trasformações geométricas primitivas, que podem ser combiadas para se obter o comportameto de um objeto o mudo em que está modelado: traslação, escaloameto e rotação. Veremos primeiramete estas trasformações para o caso 2D 35

2 Operações e Represetação Básicas em 2D 2.1. TRANSLAÇÃO 2D Potos o Plao podem ser trasladados a ovas posições através da adição de quatidades de traslação às coordeadas de todos os seus potos. Para mover um poto P(,) a distâcia e direção defiida pelo vetor (D,D), podemos escrever: = + D; = + D. Figura Traslação do poto P e de um triâgulo pela matriz de traslação T = [3 3]. T = [3 3] P = (4,4) T = [3 3] (4,4) (4,5) 2.2. ESCALONA- MENTO 2D P = (1,1) Em otação matricial: P = [ ], P = [ ], T = [D D] Dessa forma reescrevedo de forma vetorial: [ ] = [ ] + [D D] ou P = P + T (1,1) (1,2) para todo P do objeto a ser trasladado. Potos o Plao podem ser escaloados (esticados) por fatores de escala S e S através de multiplicação: =. S, =. S. Ode o ovo poto é resultado da multiplicação do poto pela escala. 36 A.v.Wageheim e H.M. Wager

3 Rotação 2D Figura Eemplo1: Na figura o poto (6,6) foi escaloado em 1/2 em X e 1/3 em Y S(0,5, 0,3333) P (3,2) No eemplo da figura 2.14 os valores de foram escaloados em 2 (S) equato foi escaloado em 1 (S). Observe o resultado a seguir: Figura Escaloameto com S=2 es =1 P (6,6) s s = 2 = 1 É possível realizar esta operação utilizado matrizes, ficado assim: Defiido S como a matriz S S 0 0 S pode-se escrever a operação desta forma: = S 0 0 S Potos o Plao podem ser rotacioados ao redor da origem por um âgulo q através da fórmula: 2.3. ROTAÇÃO 2D Computação Gráfica 37

4 Operações e Represetação Básicas em 2D =. cos (q) -. se (q), =. se (q) +. cos (q) Eemplo: Na figura 2.15 rotacioamos o poto (6,1) em 30 graus em toro de (0,0). Figura Rotação de 30 graus em toro da origem. P (4.7, 3.9) 30 o P (6,1) Sedo: = r cos q e = r si q Figura Relações trigoométricas etre os vetores iicial e fial do poto rotacioado r θ Θ P (4.7, 3.9) r P (6,1) rcos(θ + Θ) r cos Θ 38 A.v.Wageheim e H.M. Wager

5 Sistemas de Coordeadas Homogêeos Vemos que: = r cos (q + Q) = r cos Q cos q - r se Q se q = r se (q + Q) = r cos Q se q + r si Q cos q (Eq.2) substituido Eq.1 em Eq.2, obtemos etão: =. cos (q) -. se (q), =. se (q) +. cos (q) Figura Rotação é sempre em toro da origem Até o mometo foram vistas fórmulas que descrevem casos especiais para as trasformações que queremos realizar. Pode-se represetar uma classe de objetos em um espaço -dimesioal sem a utilização de costates eplícitas SISTEMAS DE COORDENA- DAS HOMO- GÊNEOS Isto é chamado de represetação em coordeadas homogêeas. Os sistemas de coordeadas homogêeas agilizam muito o cálculo das trasformações, permitido represetar tudo da mesma forma. A idéia geral é a de que todo problema em um espaço -dimesioal possui pelo meos um equivalete em um espaço (+1)-dimesioal. A obteção de um resultado o espaço (+1)-dimesioal é muitas vezes muito mais fácil do que em um espaço -dimesioal. Os resultados são etão projetados de volta ao espaço -dimesioal. Computação Gráfica 39

6 Operações e Represetação Básicas em 2D A represetação em coordeadas homogêeas de um poto em um espaço -dimesioal é a represetação deste poto em um espaço (+1)-dimesioal. A represetação de um poto P(,) em um sistema de coordeadas homogêeo é: P(W., W., W) = P(X, Y, W) para qualquer W <> 0 W é chamado de fator de escala e = X/W e = Y/W. Nós sempre utilizaremos W = 1 e a divisão acima é desecessária. Pode-se imagiar um sistema de coordeadas homogêeo 2D como posicioar o plao a posição W do eio z de um sistema 3D qualquer. Assim pode-se represetar qualquer operação geométrica como uma matriz 33. Desta forma pode-se realizar toda operação geométrica sobre um poto como uma multiplicação de matrizes, ode uma é o poto e a outra a matriz de trasformação. 1 = 1 ad0 be0 c f 1 (EQ. 2.3) Os parâmetros da matriz podem ser ajustados de forma a que represete as três operações: Traslação: 1 = (EQ. 2.4) D D 1 S 0 0 Escaloameto: 1 = 1 0 S 0 (EQ. 2.5) A.v.Wageheim e H.M. Wager

7 Rotação em toro de um poto arbitrário cosθ siθ 0 Rotação: 1 = 1 siθ cosθ 0 (EQ. 2.6) Esta defiição permite a cocateação de operações de uma forma muito eficiete. Como qualquer seqüêcia de operações lieares é sempre uma operação liear, podemos epressar qualquer seqüêcia de operações geométricas como uma úica matriz, resultate da multiplicação das matrizes represetado cada uma das operações. Através disto pode-se calcular uma úica matriz, que será utilizada para trasformar todos os potos do objeto. Eemplo: Escaloameto dos potos de um objeto pelo poto S = S = 2 seguido de uma traslação pelo vetor D = 10 e D = 0 : 1 = (EQ. 2.7) 1 = (EQ. 2.8) 1 = (EQ. 2.9) 1 = (EQ. 2.10) Isto é muito importate a rotação. Caso seja ecessário rotacioar um objeto em toro de um poto qualquer (por e. seu próprio cetro, que é a forma mais ituitiva de se rotacioar algum poto ou objeto): 2.5. ROTAÇÃO EM TORNO DE UM PONTO ARBITRÁRIO Computação Gráfica 41

8 Operações e Represetação Básicas em 2D é ecessário trasladar o poto sobre o qual será efetuada a rotação para a origem; efetuar o processo de rotacioameto; trasladar de volta à posição origial; A figura a seguir demostra graficamete o processo. Figura Rotação 2D em tooro de um poto arbitrário A B C 1 = 1 Qual poto arbitrário escolher? D Para isso pode-se calcular uma úica matriz de rotação cocateada, como apresetada a seguir: D D 1 cosθ siθ 0 siθ cosθ D D 1 (EQ. 2.11) Quado realizamos uma rotação de um objeto que temos me ossa mão ou quado imagiamo um objeto o espaço rodado, tipicamete realizamos esta rotação em toro de uma aproimação do cetro do objeto. Isto é a forma mais atural de se rodar um objeto, pois o objeto parece rodar em toro de si mesmo. Para podermos rodar um objeto em toro de si mesmo em 2D ecessitamos determiar o cetro geométrico objeto. É este cetro geométri que vamos utilizar como poto arbitrário para realizar a rotação atural do objeto. 42 A.v.Wageheim e H.M. Wager

9 Escaloameto Natural Se utilizamos a matriz de escaloameto pura e simplesmete, ão teremos um efeito atural, pois o escloameto será realizado em relação à origem, sigificado que o objeto, depededo de sua distâcia da origem, vai se deslocar e ão apeas ichar ou ecolher. Para que o efeito seja coseguido, precisamos usar como referêcia para o escaloameto o cetro do objeto e trasladar este cetro até a origem. Para isso é ecessário determiar o cetro do objeto (que você tem de fazer também para a rotação) e depois trasladar o objeto de forma a que o cetro esteja a origem e aí sim, você pode aplicar a operação de escaloameto. A seqüêcia de trasformações para se obter um escaloameto atural está represetada a figura 2.19 em (c,d,e), ode, depois de determiar o cetro C, primeiro trasladamos por C -1 (c), depois escaloamos em toro da origem (d) e por fim trasladamos por C ESCALONA- MENTO NATURAL Figura Escaloameto com utilização do cetro do objeto como referêcia. Em (a) vemos o efeito de se aplicar a matriz de escaloameto baseada o vetor [2 2] a um triâgulo. Em (b) vemos o efeito de ichar que parece mais atural e que ós gotaríamos de obter. A seqüêcia (c,d,e) mostra como obter este efeito. (a) (b) (c) (d) (e) C C Computação Gráfica 43

10 Operações e Represetação Básicas em 2D Para tato, você precisa também aqui criar uma matriz de trasformação composta, da mesma forma como teve de fazer para a rotação arbitrária, represetada a (EQ. 2.11). Neste caso a matriz vai ter a seguite aparêcia: 1 = C C 1 S S C C 1 (EQ. 2.12) Ode [C, C] é o cetro do objeto. Como calcular este cetro você verá adiate. Sugerimos que, ao implemetar, você crie um método geérico para calcular o cetro geométrico de qualquer objeto, iclusive com vistas a mais tarde etedê-lo para 3D, para que você possa de forma elegate utilizar este cálculo tato o preparo da matriz de rotação geérica como o preparo da matriz de escaloameto geérica DETERMI- NANDO O CENTRO DO OBJETO Para determiar o cetro do objeto, podemos utilizar a fórmula para o cálculo do cetro de uma distribuição de amostras ou de cálculo do cetro de massa da física. A fórmula geral, dada pela física, é bastate simples e represeta a média das coordeadas (,) dos cetros de massa das partículas que compõem um objeto poderadas pela sua massa idividual: C i = 1 m i i = 1 m i i i = 1 = C = (EQ. 2.13) No caso de uma distribuição de potos em uma amostra de dados ou de um polígoo represetado pelos seus vértices, cosideramos que todos os potos ou vértices possuem massa igual e uitária. Esta fórmula pode etão ser simplificada, resultado a fórmula do cetro geométrico de uma distribuição de potos: m i i = 1 m i i 44 A.v.Wageheim e H.M. Wager

11 Refleão C i = 1 (EQ. 2.14) Utilize esta fórmula com os vértices de seu objeto como dados de etrada. Mais tarde, quado você for trabalhar em 3D, você vai precisar esteder esta fórmula para o eio z também REFLEXÃO A operação para realizar a refleão em toro do eio X é dada por: i = C = 1 = 1 i = 1 o resultado obtido pode ser observado a figura a seguir i (EQ. 2.15) Figura Refleão em X P1 P2 P3 P2 P3 P1 A operação para realizar a refleão em toro do eio Y é dada por: 1 = (EQ. 2.16) a figura 2.21 a seguir ilustra o resultado: Computação Gráfica 45

12 Operações e Represetação Básicas em 2D Figura Refleão em Y P2 P3 P1 P1 P2 P3 Realização da refleão através da origem é dada por: 1 = (EQ. 2.17) o resultado pode ser observado pela figura 2.22 a seguir. Figura Refleão a origem P2 P3 P1 P1 P3 P2 46 A.v.Wageheim e H.M. Wager

13 Eercício 1.2: Trasformações em 2D 2.9. EXERCÍCIO 1.2: TRANS- FORMAÇÕES EM 2D Neste eercício você vai epadir o seu SGI - Sistema Gráfico Iterativo para suportar as 3 trasformações básicas e a rotação arbitrária em 2D. Para tato você vai criar uma rotia de trasformação geérica, que aceita uma matriz de trasformação em coordeadas homogêeas e um objeto qualquer para ser trasformado e devolve este objeto após a aplicação da matriz. Esta rotia ada mais é do que uma forma etremamete simples de se impemetar um egie gráfico. Para alimetar esta rotia você deve criar um cojuto de rotias de preparo da matriz de trasformação, que serão específicas para cada traformação. Para poder aplicar uma trasformação sobre um determiado objeto do mudo, você deve permitir ao usuário que selecioe um dos objetos de seu mudo a lista de objetos, escolha a trasformação que deseja aplicar e etre com os dados para esta trasformação em uma iterface para isso. Figura SGI com traformações 2D. Cortesia de Bria Schmitz Tai Computação Gráfica 47

14 Operações e Represetação Básicas em 2D Alterativamete você pode implemetar a iteração com os objetos através do mouse: permita ao usuário usar o botão direito do mouse para abrir um meu de coteto que permite aplicar uma trasformação ao objeto sob o mouse. Em 2D isso é muito fácil de se implemetar. Mais tarde, quado estivermos trabalhado em 3D, você verá que ecessita de um algoritmo de buffer de profudidade para saber qual é o objeto mais próimo ao mouse a tela. Na Figura vemos a iterface de um SGI mostrado a jaela para etrada de dados de trasformações sobre o objeto da lista que foi selecioado. Observe que a jaela possui uma lista ao lado, ode são icluídas todasas trasformações que se deseja realizar. A matriz de trasformação resultate somete é calculada depois de o usuário etrar com todas as trasformações que deseja. Como realizar a as trasfromações? Resta a questão de como deverão ser implemetadas as trasformações. O que ós desejamos que seja implemetado são cico trasformações úteis ao usuário de um SGI: traslação escaloameto atural em toro do cetro do objeto 3 rotações: rotação arbitrária, rotação do objeto em toro de seu cetro e sobre a origem. Na traslação você simplesmete calcula a matriz o sistema de coordeadas homogêeo e aplica. Para o escaloameto e para a rotação você vai precisar determiar o cetro geométrico ou cetro de massa do objeto a ser escaloado ou rotacioado. No caso da rotação ós já discutimos a razão para tato: a rotação arbitrária que os parece atural, é aquela ode um objeto roda em toro de seu cetro. No caso do escaloameto temos a mesma situação: o escaloameto somete parece atural se o objeto parece ecolher ou ichar. 48 A.v.Wageheim e H.M. Wager