Objectivos da Aula: Ser Capaz de proceder à Construção de Mohr para estados planos. Comparar os resultados Analíticos com os Resultados Gráficos.

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1 Sumário e Objectivos Sumário: Perpedicularidade das esões Pricipais. Elipsóide de Lamé. esões Octaédricas. Caso Particular do Estado Plao de esão. esões Pricipais Secudárias. Circuferêcia ou Circulo de Mohr. Objectivos da Aula: Ser Capaz de proceder à Costrução de Mohr para estados plaos. Comparar os resultados Aalíticos com os Resultados Gráficos. 007/008 Mecâica dos Sólidos ª Aula

2 Helicóptero 007/008 Mecâica dos Sólidos ª Aula

3 007/008 Mecâica dos Sólidos ª Aula

4 Estrutura de um veículo Automóvel 007/008 Mecâica dos Sólidos ª Aula 4

5 Propagação de Fedas 007/008 Mecâica dos Sólidos ª Aula 5

6 Perpedicularidade das esões Pricipais Admita-se que o sistema de eixos Oxyz é tal que uma das direcções (por exemplo o eixo dos zz) é coicidete com uma das direcções pricipais, por exemplo,.nestas codições as tesões tageciais, são ulas e o sistema de equações que permite o cálculo das direcções pricipais é tal que xx xy 0 l yx yy 0 m zz [ zz ] Equação característica xx xy xy yy 0 007/008 Mecâica dos Sólidos ª Aula 6

7 xx xy xy yy [ zz ] 0 Soluções da Equação Característica A equação é verificada se for zz ou zz 0 0 com com No º caso a direcção pricipal correspodete é lm0 e No º caso tem de ser 0, as outras tesões pricipais, pertecem ao plao xy que é perpedicular a z xx xx xy xy e xy 0 yy xy 0 yy 007/008 Mecâica dos Sólidos ª Aula 7

8 007/008 Mecâica dos Sólidos ª Aula 8 Elipsóide de Lamé No caso de se escolher um sistema de eixos coicidete com as direcções pricipais, o tesor das tesões toma a forma Numa faceta cuja ormal tem cosseos directores, {l,m,}, as compoetes do vector tesão,, são m l ou m l

9 007/008 Mecâica dos Sólidos ª Aula 9 Elipsóide de Lamé edo em cota que m l + + m l e que Obtém-se + + Que correspode à Equação de um Elipsóide o espaço, o Elipsóide de Lamé e,

10 esões Octaédricas Cosidere-se que as tesões estão represetadas o sistema de eixos pricipais, existem oito plaos cujas ormais são igualmete icliadas em relação ás direcções pricipais e que cotém as facetas do octaedro represetado a figura. As facetas deste octaedro têm cosseos directores iguais em valor absoluto, o referecial cartesiao coicidete com os eixos pricipais. As tesões ormais que actuam as faces deste octaedro são as chamadas esões Octaédricas. x z y 007/008 Mecâica dos Sólidos ª Aula 0

11 esões Octaédricas Os cosseos directores das ormais às facetas são iguais etre si e verificam a igualdade l + m + l ± m ± ± As equações de Cauchy que permitem o cálculo do tesor das tesões cohecido o versor da ormal coduzem às tesões seguites as facetas do Octaedro x l ± y m ± z ± 007/008 Mecâica dos Sólidos ª Aula

12 esões Octaédricas x l ± y m ± A compoete ormal da tesão, pode ser calculada cosiderado o produto do trasposto do vector pelo versor da ormal à faceta, ou seja l + m + l + m oct x y z z A compoete tagecial da tesão as facetas do octaedro pode ser calculada cosiderado a equação oct oct oct I ± 007/008 Mecâica dos Sólidos ª Aula

13 007/008 Mecâica dos Sólidos ª Aula m l z y x ± ± ± I m l m l z y x oct oct oct oct ( ) ( ) ( ) I I 9 9 I I I 9 I m l oct oct esões Octaédricas

14 Estado Plao de esão y θ y D C A yy B F E xy xx x y xx xy y 90º x x x x y θ x yy θ x (a) (b) 007/008 Mecâica dos Sólidos ª Aula 4

15 Estado Plao de esão As esões o Sistema de Eixos Ox y são + cosθ cosθ x x xx + yy + xyseθ yy xx x y seθ+ xycosθ + xx yy xx yy y y cosθ xyseθ + xx + yy x x y y 007/008 Mecâica dos Sólidos ª Aula 5

16 esões Pricipais-Estado Plao de esão d x x dθ ta gθ se se 0 xx yy θ+ xy θ p xy ( xx yy) / ( ) + xx yy ± + xx yy max x x xy mi 007/008 Mecâica dos Sólidos ª Aula 6

17 esões Pricipais Secudárias um plao Cosidere-se um sistema de eixos ortogoal Oxyz e determiem-se as equações de trasformação para as compoetes x x, yý, z z, relativamete a um ovo sistema de eixos coordeados Oxý z obtidos a partir dos primeiros por rotação θ em relação ao eixo dos zz. x x ( xx + yy) + ( xx yy)cosθ+ xyseθ yy xx x y seθ+ xycosθ + xx yy xx yy y y cosθ xyseθ x OO θ x zz y 007/008 Mecâica dos Sólidos ª Aula 7

18 esões Pricipais Secudárias Da equação que forece a tesão de corte ou tagecial se se cosiderar esta tesão ula obtém-se o âgulo θp que é tal que: tgθ p xy ( ) xx yy edo em cota que tgθ p tg(θ p +π) pode dizer-se que existem duas direcções Ox e Oy mutuamete ortogoais que satisfazem a codição de ser xy 0. Para estas duas direcções é fácil verificar que x x / θ0 e y y / θ0.as direcções assim defiidas dizem-se direcções pricipais secudárias. 007/008 Mecâica dos Sólidos ª Aula 8

19 esões Pricipais Secudárias As esões ormais correspodetes, esões Pricipais Secudárias são: + xx yy + + xx yy xy + xx yy + xx yy xy 007/008 Mecâica dos Sólidos ª Aula 9

20 Circulo de Mohr para o Estado Plao de esão xx + yy xx yy x x + cosθ+ xyseθ yy xx x y seθ+ xycosθ Estas Equações Podem ser Escritas com a Forma + xx yy xx yy x x cosθ+ xyseθ xx yy x y seθ+ xycosθ Elevado ao quadrado as duas expressões, adicioado e simplificado, obtém-se: xx+ yy xx yy x x + x y + xy 007/008 Mecâica dos Sólidos ª Aula 0

21 Circulo de Mohr para o Estado Plao de esão Uma vez que as tesões o sistema de eixos Oxy são cohecidas e as tesões o sistema de eixos Ox y são descohecidas e variáveis, a equação aterior é equivalete à equação de um circulo o plao,. xx+ yy xx yy x x + x y + xy ode ou ( ) a x y b a b OC x x + xx + yy xx yy xy R + 007/008 Mecâica dos Sólidos ª Aula

22 Circulo de Mohr para o Estado Plao de esão G A( xx, xy A ) a b OC xx + yy xx yy xy R + O E B( yy, xy xx + yy a OC ) B C xx θ p yy + xy F 007/008 Mecâica dos Sólidos ª Aula

23 Mudaça de Eixos usado a Costrução de Mohr y y yy xy x xx x x x y xx θ x O C A θ B ( x x, x y ) θp α xy xx + yy 007/008 Mecâica dos Sólidos ª Aula

24 Círculos de Mohr D 007/008 Mecâica dos Sólidos ª Aula 4

25 sedo esão Normal + x + + x y z y + () z esões Normal uma Faceta com ormal x y z esão () x + y + z () As equações (),(),() costituem um sistema de equações por solução do qual se pode determiar as compoetes de x y z 007/008 Mecâica dos Sólidos ª Aula 5

26 x y z + t ( + ) + ( )( ) + t ( + ) + ( )( ) + t ( + ) + ( )( ) Compoetes de ormal à faceta Cosidere-se a ª equação, passado o deomiador para o º membro e adicioado a ambos os membros da equação 4 ( +), obtém-se [ ( + )] + t com ( ) + ( )( ) x R R 4 + Procededo de igual modo com as outras duas equações, obtém-se R R + [ ( + )] + t com ( ) ( )( ) y 4 [ ( + )] + t com ( ) + ( )( ) z R R /008 Mecâica dos Sólidos ª Aula 6

27 Círculos de Mohr 007/008 Mecâica dos Sólidos ª Aula 7

28 007/008 Mecâica dos Sólidos ª Aula 8 Valores Limites dos Raios [ ] ) ( R ) ( + [ ] ) ( R ) ( + [ ] + ) ( R ) (

29 Problemas Propostos - Círculo de Mohr ) Cosidere um estado de tesão plao cujas compoetes das tesões são: ij a)desehe um elemeto de dimesões ifiitesimais, dx e dy e represete as tesões a actuarem o elemeto. b)desehe o círculo de Mohr correspodete ao estado de tesão referido. c)idique o círculo de Mohr os potos A e B que correspodem ao estado de tesão que se obtém as direcções x e y que fazem 40º o setido dos poteiros do relógio com o sistema de eixos iicial. d)determie o tesor das tesões o sistema de eixos Ox y e) Determie as tesões pricipais. 007/008 Mecâica dos Sólidos ª Aula 9

30 racção simples corte puro e) Problemas Propostos - Circulo de Mohr ) Desehe os círculos de Mohr para os estados de tesão seguites: a) b) 0MPa c) 00MPa d) racção em duas direcções 007/008 Mecâica dos Sólidos ª Aula 0

31 Problemas Propostos - Circulo de Mohr ) Cosidere o estado de tesão seguite: a) Determie as esões Pricipais b) Desehe os círculos de Mohr c) Determie as tesões tageciais máximas 007/008 Mecâica dos Sólidos ª Aula

32 Problemas Propostos - Circulo de Mohr. Cosidere o Estado Plao de tesão e um poto do sólido cosidere que o tesor das tesões é 50 0 MPa 0 80 (.0) a) Determie o tesor das tesões o poto, um sistema de eixos que se obtém rodado de 0º, em toro do eixo dos zz o setido cotrário ao dos poteiros do relógio, o sistema de eixos iicial. (.0) b) Determie as esões Pricipais e a tesão de corte máxima. Utilize a Costrução de Mohr 007/008 Mecâica dos Sólidos ª Aula

33 Problemas Propostos - Circulo de Mohr(4) 4. O campo de esões um corpo sólido elástico, homogéeo e isotrópico é defiido pelas seguites compoetes: ( ) 0 z y, 00 z e 00 y yy xy xy xz zx As restates compoetes do esor das esões são ulas. a) Mostre que tal campo de esões está ecessariamete associado a um campo de forças de Volume uiforme e paralelo ao eixo dos yy. 007/008 Mecâica dos Sólidos ª Aula

34 Problemas Propostos - Circulo de Mohr(4 cot) b) Determie as esões pricipais os potos A(0, /, - /) e B(0,- /, /), e as respectivas direcções. c) Desehe os círculos de Mohr correspodetes ao estado de esão o poto C (0, /, /). d) À volta do poto B, desehe um paralelepípedo elemetar de faces paralelas aos plaos cartesiaos e, sobre cada uma das faces represete as tesões correspodetes. 007/008 Mecâica dos Sólidos ª Aula 4