Construir indicadores para as mudanças nas dimensões e formas durante o processo de deformação sofrido por um sólido. Eduardo Nobre Lages CTEC/UFAL

Transcrição

1 Uiersidade Federal de Alagoas Cetro de Tecologia Crso de Egeharia Ciil Disciplia: Mecâica dos Sólidos Código: ECIV3 Professor: Edardo Nobre Lages Aálise de Deformações Maceió/AL

2 Motiação Costrir idicadores para as mdaças as dimesões e formas drate o processo de deformação sofrido por m sólido. Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL

3 Moimeto de m Corpo Cofigração iicial (ideformada) r P r r r : etor posição iicial r : etor posição fial r : etor deslocameto Cofigração fial (deformada) P r r r Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL

4 Eemplificado Algs Moimetos Traslação: Cofigração iicial (ideformada) r P r Cofigração fial (deformada) P r Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL

5 Eemplificado Algs Moimetos Rotação Fiita (em toro do eio ): Cofigração fial (deformada) cos θ si θ r θ P r r P Cofigração iicial (ideformada) si θ cos θ ( θ ) si θ θ ( cos θ ) cos si Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL

6 Eemplificado Algs Moimetos Peqea Rotação (em toro do eio ): Cofigração fial (deformada) θ << θ r θ P r r P Cofigração iicial (ideformada) θ θ θ Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL

7 Eemplificado Algs Moimetos Distorção Fiita (o plao ): Cofigração iicial (ideformada) r r P θ r P Cofigração fial (deformada) si θ cos θ si θ ( θ ) cos Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL

8 Eemplificado Algs Moimetos Peqea Distorção (o plao ): Cofigração iicial (ideformada) r P r P θ << r θ Cofigração fial (deformada) θ θ Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL

9 Deformação Liear e o Campo de Deslocameto Q med PQ P Q PQ PQ lim med PQ P P Q Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL

10 Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL Deformação Liear e o Deformação Liear e o Campo de Deslocameto Campo de Deslocameto PQ PQ P Q lim ( ) lim lim

11 Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL Deformação Liear e o Deformação Liear e o Campo de Deslocameto Campo de Deslocameto -,5 5E-7,5,,5, -,5 5E-7,5,,5, Completa Só Aial Só Trasersal L L aial tras

12 Deformação Liear e o Campo de Deslocameto Por aalogia, Regime de peqeas rotações: o comprimeto fial é tomado como a projeção do segmeto deformado a direção do segmeto iicial Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL

13 Deformação Aglar e o Campo de Deslocameto R PR PR R PR med PQR π θ lim med PQR P Q P θ PQ Q PQ PQ Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL

14 Deformação Aglar e o Campo de Deslocameto med PQR π θ θ π med PQR cosθ si si med PQR med PQR P Q P R P Q P R ( PQ, PQ, PQ ) ( PR, PR, PR ) ( ) ( ) PQ PQ PQ PQ PQ, PQ PQ PQ, PQ PR PR PR, PR PR, PR PR PR PR Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL

15 Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL Deformação Aglar e o Deformação Aglar e o Campo de Deslocameto Campo de Deslocameto med PQR lim,,,, arcsi ( ) L lim arcsi arcsi arcsi Os comprimetos Os comprimetos ideformados ideformados são adotados são adotados Os termos qadráticos são despreados Os termos qadráticos são despreados

16 Deformação Aglar e o Campo de Deslocameto Da etapa aterior tem-se arcsi Assmido-se peqeas rotações, Por aalogia, Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL

17 Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL Eperimetado Algs Eperimetado Algs Moimetos Moimetos Traslação: Deformações lieares completas

18 Eperimetado Algs Moimetos Traslação: Deformações lieares aproimadas Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL

19 Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL Eperimetado Algs Eperimetado Algs Moimetos Moimetos Traslação: Deformações aglares completas,,,, arcsi,,,, arcsi,,,, arcsi

20 Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL Eperimetado Algs Eperimetado Algs Moimetos Moimetos Traslação: Deformações aglares aproimadas

21 Eperimetado Algs Moimetos Rotação Fiita: (em toro de ) cos θ si θ si θ cos θ ( θ ) si θ θ ( cosθ ) cos si Deformações lieares completas Deformações lieares aproimadas cos θ cos θ Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL

22 Eperimetado Algs Moimetos Rotação Fiita: (em toro de ) cos θ si θ si θ cos θ ( θ ) si θ θ ( cos θ ) cos si Deformações aglares completas Deformações aglares aproimadas Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL

23 Eperimetado Algs Moimetos Peqea Rotação: (em toro de ) θ θ θ θ θ Deformações lieares completas θ Deformações lieares aproimadas Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL

24 Eperimetado Algs Moimetos Peqea Rotação: (em toro de ) θ θ θ θ Deformações aglares completas Deformações aglares aproimadas Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL

25 Eperimetado Algs Moimetos Distorção Fiita: (o plao ) si θ cos θ si θ cos ( θ ) Deformações lieares completas Deformações lieares aproimadas cos θ Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL

26 Eperimetado Algs Moimetos Distorção Fiita: (o plao ) si θ cos θ si θ cos ( θ ) Deformações aglares completas θ Deformações aglares aproimadas si θ Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL

27 Eperimetado Algs Moimetos Peqea Distorção: (o plao ) θ θ Deformações lieares completas θ Deformações lieares aproimadas Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL

28 Eperimetado Algs Moimetos Peqea Distorção: (o plao ) θ θ Deformações aglares completas arcsi Deformações aglares aproimadas θ θ θ Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL

29 O Tesor de Deformação [ ] O tesor de deformação é represetado por ma matri simétrica O tesor de deformação caracteria o estado de deformação em m poto do corpo aalisado, permitido determiar as deformações lieares e aglares para todas (ifiitas) as direções de referêcia., e Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL

30 Eqações de Compatibilidade As eqações de compatibilidade represetam m cojto de restrições para os compoetes do tesor de deformação qe garatem a cotiidade do corpo deformado, o seja, potos qe são ifiitesimalmete iihos a cofigração ideformada, assim se materão após o processo de deformação. As eqações de compatibilidade são determiadas elimiado-se os compoetes do etor deslocameto das seis eqações qe relacioam as deformações com os deslocametos. Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL

31 Eqações de Compatibilidade No estdo dos ários elemetos estrtrais empregados a egeharia (por eemplo: tirates, pilares, igas etc), as eqações de compatibilidade são atomaticamete satisfeitas ma e qe o aalista cria sposições de comportameto ciemático (em termos do campo de deslocameto). Isso acotece a formlação em deslocameto do Método dos Elemetos Fiitos, ode o campo de deslocameto é admitido cotío. Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL

32 Codições de Cotoro Esseciais As codições de cotoro esseciais correspodem a eqações de prescrição do etor de deslocameto as regiões do cotoro do sólido ode esse é preiamete cohecido, leado a r r em Γ Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL Γ

33 Deformações Lieares em Direções Arbitrárias Resgatado as relações etre os compoetes do etor de deslocameto e os compoetes de deformação liear do tesor de deformação, e podemos etrapolar a ideia e dier qe a deformação liear em ma direção qalqer é dada pela deriada do deslocameto a direção em pata em relação ao comprimeto de arco a mesma direção. P r ˆ r ˆ ˆ d ˆ ds Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL

34 Deformações Lieares em Direções Arbitrárias Da etapa aterior tem-se ˆ d ˆ ds Projetado o etor deslocameto a direção em pata ˆ ˆ r Da regra da cadeia d ds d d ds ds d ds Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL

35 Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL Deformações Lieares em Deformações Lieares em Direções Arbitrárias Direções Arbitrárias ˆ ˆ Combiado-se as epressões ateriores tem-se qe eoledo a relação deformação s. deslocameto reslta em qe se trata de ma forma qadrática forma qadrática em relação ao ersor da direção de referêcia.

36 Deformações Lieares em Direções Arbitrárias Orgaiado a forma qadrática represetatia da deformação liear ma direção arbitrária em formato matricial tem-se ˆ [ ] o simplesmete ˆ { ˆ } T [ ]{ ˆ } Similar à relação etre o tesor de tesão e a tesão ormal Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL

37 Deformações Aglares em Direções Arbitrárias Resgatado as relações etre os compoetes do etor de deslocameto e os compoetes de deformação aglar do tesor de deformação, r ˆ ˆ podemos etrapolar a ideia e dier qe a deformação aglar em relação a das direções ortogoais qaisqer é dada pela metade da soma da deriada crada do deslocameto ma direção em relação ao comprimeto de arco a otra direção e ice-ersa. P mˆ r r mˆ mˆ ˆ e mˆ ˆ S mˆ ˆ S ˆ mˆ Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL

38 Deformações Aglares em Direções Arbitrárias Da etapa aterior tem-se mˆ ˆ mˆ mˆ ˆ S mˆ ˆ S Projetado o etor deslocameto as direções em pata ˆ ˆ mˆ r mˆ m m ˆ r m Da regra da cadeia m m m Smˆ S ˆ Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL

39 Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL Deformações Aglares em Deformações Aglares em Direções Arbitrárias Direções Arbitrárias m m m m m m m m m ˆ mˆ Combiado-se as epressões ateriores tem-se qe eoledo a relação deformação s. deslocameto reslta em qe se trata de ma forma forma biliear biliear simétrica simétrica em relação aos ersores das direções de referêcia. ( ) ( ) ( ) ˆ mˆ m m m m m m m m m

40 Deformações Aglares em Direções Arbitrárias Orgaiado a forma biliear simétrica represetatia da deformação aglar as direções arbitrárias em formato matricial tem-se mˆ ˆ [ m m m ] o simplesmete mˆ ˆ { mˆ } T [ ]{ ˆ } Similar à relação etre o tesor de tesão e a tesão de cisalhameto ma direção do plao irtal de corte Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL

41 Deformações e Direções Pricipais Motiação: Qais são os alores etremos da deformação liear m determiado poto material do corpo deformado, bem como as respectias direções de referêcia ode isso ocorre? Este problema de etremiação com restrição lea a [ ]{ } { } e {} são icógitas Problema de alor pricipal estdado a sadosa Álgebra Liear Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL

42 Deformações e Direções Pricipais Problema de alor pricipal: [ ]{ } { } Solção: Três pares: 3 deformações pricipais (, e 3 ) com as respectias direções pricipais (mtamete ortogoais). Obseração: Orgaiam-se as deformações pricipais a ordem 3, com isso e 3 correspodem, respectiamete, ao maior e meor alores da deformação liear para as ifiitas direções de referêcia. Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL

43 Deformações e Direções Pricipais (Deformações lieares e aglares) (Deformações lieares) Para todo poto de m corpo, eiste sempre m sistema de referêcia (pricipal) ode só são obseradas deformações lieares. A orietação deste sistema pricipal idepede do sistema de referêcia adotado. Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL

44 Deformações e Direções Pricipais Solção do problema de alor pricipal: ([ ] [ I ]){ } { } Solção ão triial do sistema homogêeo Determiate lo da matri dos coeficietes Poliômio característico ode as raíes idepedem do sistema de referêcia adotado 3 I I I3 Obs: I, I e I 3 são deomiados iariates do tesor de deformação. Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL

45 Deformações e Direções Pricipais Solção do problema de alor pricipal (cot.): Em relação a m sistema de referêcia qalqer: I I I 3 I I I 3 Em relação ao sistema de referêcia pricipal: Obseração: sigifica determiate. Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL

46 Deformação Volmétrica e o Campo de Deslocameto PR PR R PR PQ S R P PS Q P Q S PS PS med PQRS PQ PQ lim V V P Q R S V PQRS med PQRS PQRS Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL

47 Deformação Volmétrica e o Campo de Deslocameto med PQRS V V P Q R S V PQRS PQRS med PQRS P S PS ( ) P Q P R ( ) PQ PR med PQRS PS PR PQ PS PQ PR PQ PR PS Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL

48 Deformação Volmétrica e o Campo de Deslocameto med PQRS PQ PR PS... termos qadráticos e cúbicos lim PQ PR PS I L Assmido-se o regime de peqeas deformações e rotações... termos qadráticos e cúbicos Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL

49 Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL Estado Plao de Deformação Particlariam-se as epressões gerais ateriores para estado plao de deformação, ode eiste ma orietação específica do sistema de referêcia para o qal as deformações os potos materiais associadas a m dos eios de referêcia são todas las. Assme-se aida qe as deformações ão las estão relacioadas às direções e.

50 Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL Deformações Liear e Aglar em Estado Plao de Deformação mˆ P ˆ Deformação liear: ˆ ˆ T Deformação aglar: ˆ mˆ ˆmˆ cos θ T m si θ siθ siθ cosθ As eqações de e / defiem parametricamete ma circferêcia (círclo de Mohr de deformações) para m sistema de coordeadas retaglares com de abscissa e / de ordeada, para m alor dado de.

51 Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL Círclo de Mohr em Estado Plao de Deformação R, med med e R

52 Deformações e Direções Pricipais em Estado Plao de Deformação Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL B A med R Os potos A e B são os qe apresetam deformações lieares etremas. Portato, as deformações lieares essas direções são as deomiadas deformações pricipais, dadas por R e R med med

53 Deformações e Direções Pricipais em Estado Plao de Deformação Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL med B A R med R med R Aida em relação aos potos A (,) e B (,), como a deformação aglar é la, pode-se determiar as orietações das direções pricipais de deformação si p cos p taθ p

54 Deformações e Direções Pricipais em Estado Plao de Deformação Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL Os âglos e são defiidos a partir de θ p arcta Cosiderado só âglos positios como solção, o meor dos âglos é qado for positio.

55 Edardo Nobre Lages CTEC/UFAL Deformações Aglares Etremas em Estado Plao de Deformação D C Os potos C e D estão associados a direções de alores etremos da deformação aglar, dados por mi R e ma com icliações de 45º e 35º, respectiamete, em relação ao eio pricipal, medidas o setido ati-horário. med 35º 45º med R 35º R 45º