1. CENTROS DE MASSA 1.2. CENTRO DE MASSA DE UM CORPO BI-DIMENSIONAL

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1 . CENTROS DE ASSA.. FORÇAS E CORPOS RÍGIDOS Corpo rígido é aquele que ão se deforma. As forças que actuam em corpos rígidos podem ser classificadas em dois grupos: Forças Exteriores que represetam a acção de outros corpos sobre o corpo rígido cosiderado, sedo resposáveis pelo comportameto extero do corpo. Estas podem provocar o movimeto ou assegurar a mauteção do corpo em repouso. Exemplo: Força de gravidade terrestre ou peso; Forças Iteras são as que matêm uidos os elemetos que formam o corpo rígido. Se o corpo é estruturalmete composto por diversas partes, as forças que matêm estas partes uidas são as chamadas forças iteras. Exemplo: forças em treliças e cateárias... CENTRO DE ASSA DE U CORPO BI-DIENSIONAL A atracção exercida pela Terra sobre um corpo rígido pode ser represetada por uma úica força equivalete P, que represeta um grade úmero de pequeas forças distribuídas por todo o corpo P. O poto de aplicação desta força equivalete P chama-se cetro de gravidade G ou mais geericamete cetro de massa. Em primeiro, cosidere-se uma placa horizotal, tal como é ilustrado a Fig.., a qual pode ser dividida em pequeos elemetos. As coordeadas do primeiro elemeto são desigadas ( x, ) e a força exercida pela Terra sobre esse mesmo elemeto da placa é deomiada P. Geeralizado, para elemetos P, P,..., P. Estas forças ou pesos ecotram-se orietados em direcção ao cetro da Terra, mas para efeitos práticos vamos cosiderá-los verticalmete alihados com o eixo dos zz. A resultate será uma força com a mesma direcção e com um módulo P, dado pela adição dos pesos elemetares: F... z : P = P + P + + P (.) Fig.. Cetro de assa de uma Placa. -

2 APONTAENTOS DAS AULAS PRÁTICAS DE DINÂICA CENTROS DE ASSA Para se obter as coordeadas ( x, ) do poto G, ode a resultate P deve ser aplicada, cosideramos que os mometos de P, em relação aos eixos x e são iguais à soma dos mometos correspodetes aos pesos elemetares, matematicamete dados por: x : : x. P = x. P + x. P x. P. P =. P +. P P (.) Se aumetarmos o úmero de elemetos em que a placa é dividida e em simultâeo dimiuirmos o tamaho da cada um desses elemetos, podemos aplicar o cálculo ifiitésimal/itegral e assim cosiderar o limite as seguites expressões: P =. P = = dp x. P x. dp (.). dp Estas equações defiem o peso P e as coordeadas ( x, ) do cetro de massa G da placa plaa. As mesmas equações podem também ser utilizadas para defiir o cetro de massa de uma barra situado o plao x, tal como é ilustrado a Fig... Note-se, que este caso o cetro de massa G ão se ecotra sobre a barra mas é apeas um poto o espaço ode deve ser aplicado o peso P. Fig.. Cetro de assa de uma Barra... CENTRÓIDES DE ÁREAS E DE LINHAS No caso de se cosiderar uma placa homogéea de espessura uiforme t, o módulo do peso de um elemeto P é dado por: P = γ. t. A (.4) -

3 Ode: γ = ρ. g = peso especifico [N/m ]. Aalogamete podemos expressar o módulo do peso total da placa P por: P = γ. t. A (.5) Ode: A = área total da placa [m ]. Substituido as equações (.4) e (.5) a equação (.) e dividido pela costate obtém-se: γ. t x : : x. A = x. A + x. A x. A. A =. A +. A A (.6) Se aumetarmos o úmero de elemetos em que a placa é dividida e em simultâeo dimiuirmos o tamaho da cada um desses elemetos, podemos aplicar ovamete o cálculo ifiitésimal/itegral e assim cosiderar o limite as seguites expressões: x. A =. A = x. da. da (.7) Estas equações defiem as coordeadas ( x, ) do cetro de massa de uma placa homogéea. Tal como é ilustrado a Fig.., o poto com coordeadas ( x, ) é também desigado cetróide C da área A da placa. Note-se que caso a placa ão seja homogéea as equações (.7) ão permitem calcular o cetro de massa da placa; porém permitem determiar o cetróide da área. Fig.. Cetróide de uma Área. -

4 APONTAENTOS DAS AULAS PRÁTICAS DE DINÂICA CENTROS DE ASSA O itegral xda é habitualmete desigado por mometo de ª ordem ou mometo estático da área A em relação ao eixo dos. Aalogamete, o itegral da é habitualmete desigado por mometo de ª ordem ou mometo estático da área A em relação ao eixo dos xx. Tal como se pode iferir a partir da equação (.7), se o cetróide de uma área está situado sobre um eixo coordeado, logo, o mometo estático da área em relação a este eixo é ulo. No caso de uma barra homogéea com uma secção trasversal uiforme, o peso de um elemeto da barra P é dado por: P = γ. a. L (.8) Ode: a = área da secção trasversal da barra [m ]. Tal como é ilustrado a Fig..4, o cetro de massa coicide com o cetróide C da liha L defiida pela forma da barra. As coordeadas ( x, ) do cetróide da liha L são dadas por: x. L =. L = x. dl. dl (.9) Fig..4 Cetróide de uma Liha... Teoremas de Simetria Uma área A é cosiderada simétrica em relação a um eixo B B se a todos e qualquer poto P correspoder um poto P da mesma área, de tal forma que o liha P P seja perpedicular a B B e duas partes iguais por aquele eixo (ver Fig..5). Uma liha L é cosiderada simétrica em relação a um eixo B B se esta satisfazer codições aálogas. -4

5 Fig..5 Cetróide e Simetrias de uma Figura Plaa em L. Para as figuras plaas simétricas pode euciar-se os seguites teoremas de simetria: () Quado uma área A ou uma liha L possuem um eixo de simetria B B, o cetróide da área ou da liha está situado sobre este eixo. () Se o eixo de simetria é coicidete com o eixo dos, etão a coordeada do cetróide x é zero, pois a todos os produtos elemetares x. da e x. dl da primeira liha das equações (.7) e (.9) correspoderá um produto de igual valor mas de sial cotrário. () Caso uma área ou uma liha possuam dois eixos de simetria, o cetróide da área ou da liha está localizado a itersecção dos dois eixos de simetria (ver Fig..6). Fig..6 Cetróides e Simetrias de um Triâgulo Equilátero e de uma Figura Plaa em I. Esta propriedade permite determiar facilmete o cetróide de áreas de algumas figuras plaas como seja o caso de círculos, elipses, quadrados, rectâgulos, triâgulos equiláteros, ou quaisquer outras figuras simétricas, como é o caso dos cetróides de lihas a forma de circuferêcias de círculo, perímetro de quadrado, etc. -5

6 APONTAENTOS DAS AULAS PRÁTICAS DE DINÂICA CENTROS DE ASSA.4. CENTRÓIDES DE PLACAS E DE BARRAS COPOSTAS Tal como é ilustrado a Fig..7, em determiados casos podemos dividir uma placa em rectâgulos, triâgulos ou outras formas plaas regulares cujos cetróides e áreas respectivas são bem cohecidas. A abcissa X do cetro de massa G da placa pode ser calculado a partir das várias abcissas x, x,..., dos cetros de massa das várias partes costituites, cosiderado que o mometo do peso de toda a placa em relação ao eixo dos é igual ao somatório dos mometos dos vários pesos das várias partes em relação ao mesmo eixo. A ordeada Y do cetro de massa G da placa é calculada de forma idêtica, equacioado agora os mometos em relação ao eixo dos xx. Fig..7 Cetro de assa de uma Placa Composta. Em liguagem matemática, calculamos as coordeadas ( X, Y ) do cetro de massa G de uma placa composta por elemetos a partir das seguites equações: x (.0) = 0 X = 0 Y ( P + P + P P ) = x P + x P + x P x P ( P + P + P P ) = P + P + P P No caso de se cosiderar uma placa homogéea de espessura uiforme t, o cetro de massa coicide com o cetróide da área C. Tal como é mostrado a Fig..8, podemos determiar a abcissa do cetróide da área cosiderado-se que o mometo estático (ou mometo de ª ordem) da área composta em relação ao eixo dos é igual ao somatório dos mometos das várias áreas das várias partes em relação ao mesmo eixo. Uma vez mais, a ordeada Y do cetróide C da placa é calculada de forma idêtica, equacioado agora os mometos estáticos das áreas em relação ao eixo dos xx. -6

7 Fig..8 Cetro de assa de uma Área Composta. Em liguagem matemática, calculamos as coordeadas ( X, Y ) do cetróide C de uma área composta por elemetos a partir das seguites equações: x = 0 X = 0 Y ( A + A + A A ) = x A + x A + x A x A ( A + A + A A ) = A + A + A A (.) Quado se trata do cálculo dos cetros de massa de placas ou dos cetróides de áreas compostas, subliha-se a ecessidade de ser atribuído aos mometos (das forças ou das áreas) de cada elemeto o sial (positivo ou egativo) adequado. Desigadamete, ao mometo estático de uma determiada área localizada à esquerda do eixo dos deve ser atribuído um sial egativo. Assim como, para um furo localizado á direita do eixo dos, deve ser atribuído um valor egativo para a sua massa ou área, tal como é mostrado a Fig..9. Fig..9 Cetro de assa de uma Placa Composta com um Furo..5. CÁLCULO DE CENTRÓIDES DE ÁREAS POR INTEGRAÇÃO O cálculo das coordeadas do cetróide de uma área limitada por curvas aalíticas (defiidas através de uma dada equação) é geralmete efectuado através das equações (.7). No -7

8 APONTAENTOS DAS AULAS PRÁTICAS DE DINÂICA CENTROS DE ASSA etato a técica de itegração a ser utilizada depede da forma como é defiido o elemeto da. Se o elemeto da é escolhido como sedo um pequeo quadrado de lados dx e d, a técica de itegração aplicável é a da itegração dupla em ordem a x e. Também será aplicável a itegração dupla os casos em que forem utilizadas coordeadas polares e da for agora defiido como um pequeo quadrado elemetar de lados dr e r. dθ. Por outro lado, se cosiderarmos que da é um rectâgulo estreito ou uma faixa muito fia determiamos as coordeadas da área através de uma úica itegração. Esta técica de itegração é por isso desigada como método das faixas ou fatias. Também será aplicável este segudo método ao elemeto ifiitésimal do tipo sector fio ou sector circular elemetar mostrado a Fig..0. O cetróide de um rectâgulo estreito ecotra-se o seu cetro e o cetróide de um sector fio ecotra-se à distâcia r do seu vértice. Fig..0 Cetróides e Áreas de Elemetos Ifiitésimais. As coordeadas do cetróide da área sob cosideração são obtidas igualado-se o mometo estático de toda a área, em relação a cada eixo coordeado, ao somatório (ou itegral) dos correspodetes mometos dos elemeto da. Desigado x elto e as coordeadas do elto elemeto da, podemos etão defiir as seguites equações: x = 0 xa = = 0 A = x elto elto da da -8 (.) Caso a área da figura ão seja cohecida, esta também pode ser calculada utilizado esta técica de itegração. As coordeadas elto x e elto do cetróide do elemeto de área da devem ser defiidas em fução das coordeadas de um poto localizado sobre a curva que delimita esse elemeto de área. O elemeto de área da deve também ser expresso em fução das coordeadas do poto e dos

9 seus lados ifiitésimais. Tal como é ilustrado a Fig..0, os procedimetos acima descritos foram aplicados a três tipos comus de elemetos. Refere-se que o elemeto triagular da parte (c) da figura dever ser utilizado os casos em que a equação da curva que delimita a área é apresetada em coordeadas polares. As expressões apropriadas devem ser substituídas as equações (.), e a equação da curva deve ser usada para exprimir uma das coordeadas em fução da outra. Depois a itegração reduz-se a resolver um itegral simples, o qual pode ser resolvido segudo as regras básicas do cálculo itegral. Quato ao cetróide de uma liha, defiida por uma equação algébrica, este pode ser determiado a partir das equações (.9). Depedete do tipo de equação que é utilizada para defiir a liha (ode estas expressões resultam da simples aplicação do teorema de Pitágoras), o elemeto dl deve ser substituído por uma das seguites expressões: dl = dl = dl = d + dx dx + d dr + dθ dx d dθ A equação da liha é etão utilizada para exprimir uma das coordeadas em fução da outra e a itegração pode ser resolvida também pelas regras básicas do cálculo itegral..6. TEOREAS DE PAPPUS-GULDIN Estes teoremas dizem respeito a superfícies e corpos de revolução. Ode: Superfície de revolução - é uma superfície que pode ser gerada pela rotação de uma curva plaa em toro de um eixo fixo. Por exemplo, a Fig.. verifica-se que a superfície de uma esfera pode ser obtida pela rotação de uma semi-circuferêcia ABC em toro do diâmetro AC; a superfície lateral de um coe, pela rotação de uma recta AB em toro de um eixo AC; a superfície de um toro ou ael, pela rotação de uma circuferêcia de um círculo em relação a um eixo ão-secate. Fig.. Geração de uma Superfície de Revolução. Corpo de revolução - é um corpo que pode ser gerado pela rotação de uma área plaa em toro de um eixo fixo. Por exemplo, a Fig.. verifica-se que uma esfera sólida pode ser -9

10 APONTAENTOS DAS AULAS PRÁTICAS DE DINÂICA CENTROS DE ASSA obtida pela rotação de uma semi-círculo em toro do seu eixo; um coe, pela rotação de uma área triagular; e um toro sólido, pela rotação de um círculo. Fig.. Geração de um Corpo de Revolução..6.. Teorema I Teorema das Áreas das Superfícies de Revolução: A área de uma superfície de revolução é igual ao comprimeto da geratriz multiplicado pela distâcia percorrida pelo cetróide da curva durate a geração da superfície. Prova do teorema: Cosidere-se um elemeto dl da liha L da Fig.., o qual gira em redor do eixo dos xx. A área da gerada pelo elemeto dl é igual a πdl. Deste modo, a área total gerada por L é é igual L Ode:. Portato, obtemos: A = πdl. No etato, tal como vimos a equação (.9), o itegral dl A = π L (.) π = distâcia percorrida pelo cetróide da liha L. Deve ser sublihado que a curva geratriz ão deve cruzar o eixo em toro do qual ela própria gira; pois se o fizesse, as duas secções em ambos os lados do eixo gerariam áreas de siais opostos e o teorema ão se aplicaria. -0

11 Fig.. Geração e Cetróide de uma Superfície de Revolução..6.. Teorema II Teorema das Volumes dos Corpos de Revolução: O volume de um corpo de revolução é igual à área da geratriz multiplicada pela distâcia percorrida pelo cetróide da área durate a geração do corpo. Prova do teorema: Cosidere-se um elemeto da da área A da Fig..4, o qual gira em redor do eixo dos xx. O volume dv gerado pelo elemeto da é igual a πda. Deste modo, o volume total gerado por A é V = πda. No etato, tal como vimos a equação (.7), o itegral da é igual A Ode:. Portato, obtemos: V = π A (.4) π = distâcia percorrida pelo cetróide da área A. Uma vez mais deve ser sublihado que o teorema ão se aplica aos casos em que o eixo de rotação é secate à geratriz. -

12 APONTAENTOS DAS AULAS PRÁTICAS DE DINÂICA CENTROS DE ASSA Fig..4 Geração e Cetróide de um Corpo de Revolução. Os teoremas de Pappus-Guldi oferecem um modo simples de calcular a área de superfícies de revolução e o volume de corpos de revolução. Tambérm podem ser utilzados, iversamete, para determiar o cetróide de uma curva plaa quado a área da superfície gerada pela curva é cohecida ou para determiar o cetróide de uma área plaa quado o volume do corpo gerada pela área é cohecido. -

13 .7. CENTRO DE ASSA DE U CORPO TRI-DIENSIONAL E CENTRÓIDE DE U VOLUE Tal como é mostrado a Fig..5, o cetro de massa G de um corpo tri-dimesioal é obtido dividido primeiro o corpo em pequeos elemetos e depois cosiderado que o peso total P do corpo, o qual é aplicado em G, é equivalete ao sistema de forças distribuídas P, represetativas dos pesos dos pequeos elemetos. Fig..5 Cetro de assa de um Corpo Tri-dimesioal. Escolhedo o eixo dos vertical, com setido positivo para cima, e desigado r por o vector-posição de G, deduz-se a partir do teorema da Varigo, que P é igual à soma dos pesos elemetares P e que o seu mometo em relação a O é igual à soma dos mometos dos pesos elemetares em relação a O. Itroduzido os vectores uitários i, j, k, orietados segudo os eixos dos xx,, zz, respectivamete e aplicado as regras do produto extero obtém-se: F = 0 Pj = O = 0 r ( Pj) [ ] ( Pj) = r ( Pj) (.5) Cosiderado que P é um escalar, é possível rescrever a equação (.5) a forma: rp ( j) = ( r P) ( j) (.6) A partir da equação (.6), observamos que o peso total P do corpo será equivalete ao sistema dos pesos elemetares P caso sejam satisfeitas as seguites codições: P = rp = P r P Aumetado o úmero de elemetos e reduzido em simultâeo o seu tamaho, pode ser aplicado o cálculo ifiitésimal/itegral e obtém-se o limite as seguites codições: P = rp = dp rdp (.7) -

14 APONTAENTOS DAS AULAS PRÁTICAS DE DINÂICA CENTROS DE ASSA Observamos que as relações obtidas são idepedetes da orietação do corpo. Por exemplo, se o corpo e os eixos coordeados forem rodados de tal modo que o eixo dos zz apote para cima, o vector uitário j será substituído pelo vector uitário k as equações (.5) e (.6), mas as relações (.7) permaecem ialteradas. Decompodo os vectores de posição do corpo r e de cada um dos seus elemetos r em compoetes cartesiaas, verifica-se que a seguda das equações (.7) é equivalete às seguites equações de escalares: xp = P = zp = xdp dp zdp (.8) Se o corpo for costituído por material homogéeo de peso específico γ, o valor do peso de um elemeto ifiitésimal dp pode ser expresso em fução do volume desse mesmo elemeto dv e o peso total P em fução do volume total V, sedo estes, matematicamete, dados por: dp = γdv P = γv Substituido as expressões acima a seguda das equações (.7), obtém-se: r V = rdv (.9), ou a forma escalar com coordeadas cartesiaas: xv = V = zv = xdv dv zdv O poto de coordeadas ( x, z) -4 (.0), é ormalmete desigado cetróide do volume V do corpo. Se o corpo for ão-homogéeo as equações (.0) já ão podem ser aplicadas para determiar o cetro de massa do corpo; o etato, estas cotiuam a permitir defiir o cetróide do volume ocupado pelo corpo. O itegral xdv é cohecido como o mometo estático ou mometo de primeira ordem do volume em relação ao plao z. Aalogamete, os itegrais dv e zdv defiem os mometos estáticos ou mometo de primeira ordem do volume em relação ao plao zx e x, respectivamete. A partir das equações (.0), verifica-se que se o cetróide de um volume está localizado um plao coordeado, o mometo em relação a esse plao é ulo. De forma idêtica à secção.., um volume é cosiderado simétrico em relação a um dado plao se a todo os potos P do volume correspoderem potos P do mesmo volume tal que o segmeto P P seja perpedicular ao referido plao e o volume seja dividido em duas partes iguais por este plao. Naturalmete, o plao é desigado plao de simetria do volume e quado um dado volume V possui um plao de simetria, o seu cetróide tem de estar localizado sobre este plao. Quado o volume tem dois plaos de simetria, o seu cetróide deve estar localizado sobre a recta

15 de itersecção dos dois plaos de simetria. Fialmete, quado o volume possui três plaos de simetria, que se iterceptam um poto perfeitamete defiido, este poto de itersecção é coicidete com o cetróide do volume. Estas propriedades da simetria permitem determiar de forma simples e imediata o cetróide de esferas, elipsóides, cubos, paralelepípedos, etc.. Os cetróides de volumes ão-simétricos ou de volumes que possuam somete um ou dois plaos de simetria serão determiados pelo método de itegração, o qual se ecotra descrito o secção.9. Deve sublihar-se que, em geral, o cetróide de uma superfície de revolução ão coicide com o cetróide da sua área da secção trasversal. Por exemplo, o cetróide de uma calote esférica é diferete do cetróide de uma área semi-circular e o cetróide de um coe é diferete do cetróide de um triâgulo..8. CORPOS COPOSTOS Se um corpo pode ser dividido em diversos outros corpos que possuem formas regulares e bem cohecidas, o seu cetro de massa G pode ser determiado igualado-se o mometo do seu C peso total em relação a O à soma dos mometos dos pesos dos corpos compoetes em relação a esse mesmo poto. Procededo de igual modo ao da secção.7, obtêm-se etão as seguites equações, que defiem as coordeadas ( X C, Y C, Z C ) do cetro de massa G. C X Y Z P = P = P = xp P zp (.) Se o corpo for costituído por material homogéeo, o seu cetro de massa coicide com o cetróide de volume e podemos utilizar as seguites equações: X Y Z V = V = V = xv V zv (.).9. CÁLCULO DE CENTRÓIDES DE VOLUES POR INTEGRAÇÃO O cetróide de um volume limitado por superfícies, que podem ser defiidas por uma dada expressão aalítica, pode ser obtido por aplicação dos itegrais das equações (.0). Se o elemeto de volume dv escolhido é igual a um cubo elemetar com lados dx, d e dz, o cálculo de cada um dos itegrais requer uma itegração tripla em ordem a x, e z. Cotudo, a maior parte dos casos é possível determiar as coordeadas do cetróide do volume por itegração dupla caso dv seja escolhido como sedo igual ao volume de uma faixa ou fatia estreita, tal como é ilustrado a Fig

16 APONTAENTOS DAS AULAS PRÁTICAS DE DINÂICA CENTROS DE ASSA Fig..6 Cálculo do Cetróide de um Volume por Itegração Dupla. As coordeadas do cetróide são etão obtidas a partir das seguites equações: xv = V = zv = x z elto elto elto dv dv dv (.) Note-se, que deve também ser substituído o volume dv e as coordeadas elto x, elto e elto z pelas expressões idicadas a Fig..6. Utilizado uma dada equação da superfície para exprimir z em fução de x e, a itegração reduz-se a uma itegração dupla em ordem a x e. -6

17 Caso o volume cosiderado teha dois plaos de simetria, o seu cetróide tem de estar localizado sobre a recta de itersecção destes plaos. Escolhedo o eixo dos xx ao logo desta liha, temos que = z = 0 e a úica coordeada que ecessita de ser determiada é x. Este cálculo será realizado com maior rapidez se dividirmos o volume dado em faixas paralelas ao plao z. No caso particular de um corpo de revolução, estas faixas são circulares e o seu volume dv é mostrado a Fig..7. Fialmete, podemos determiar o cetróide do corpo x com uma úica itegração em ordem a x, exprimido o raio r em fiução de x e substituido x elto e dv a primeira das equações (.). Fig..7 Cálculo do Cetróide de um Corpo de Revolução. -7