Aspectos Teóricos das Transformadas de Imagens

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1 Aspectos Teóricos das Trasformadas de Images WILLIAM ROBSO SCHWARTZ, HÉLIO PEDRII Uiversidade Federal do Paraá, Departameto de Iformática , Curitiba-PR, Brasil Resumo. Este trabalho aborda as pricipais trasformadas de images baseadas em trasformações de coordeadas, as quais executam uma rotação multidimesioal sobre as coordeadas de um vetor. Os coceitos dessas trasformações são apresetados, os quais ormalmete são omitidos em referêcias de processameto de images. A trasformada discreta de Fourier, amplamete utilizada em filtragem de images, descrição e classificação de objetos, tem seus coceitos e propriedades explorados. Resultados que possibilitam a criação da trasformada rápida de Fourier são descritos. Algumas trasformadas derivadas da trasformada de Fourier, como a trasformada discreta do cosseo, discreta do seo e a de Hartley são apresetadas. Itrodução Este trabalho tem como objetivo apresetar um subcojuto das trasformadas de images, que são baseadas as trasformações de coordeadas. A teoria dessas trasformações ão é facilmete ecotrada em referêcias de processameto de images, que mostram, em sua maioria, apeas seus resultados e suas aplicações. O objetivo deste trabalho é apresetar sua teoria, ecotrada a álgebra liear, e mostrar algumas de suas propriedades. As trasformações de coordeadas são um subcojuto das trasformações lieares. Seus resultados podem ser iterpretados como rotação multidimesioal das coordeadas de um vetor, portato, tem-se as mesmas iformações, mas vistas sob outro poto de vista, o que às vezes é importate para se ter uma melhor iterpretação de uma imagem. Essas trasformadas foram utilizadas iicialmete a área de processameto digital de siais, com seus casos uidimesioais (utilizado um vetor como etrada), e depois foram estedidas para o caso bidimesioal para serem utilizadas em processameto digital de images, tedo como etrada uma imagem. As images que são utilizadas estão ormalmete o domíio espacial. Quado alguma trasformação de coordeadas é aplicada, ela passa para o domíio de freqüêcia, mostrado suas variações o domíio espacial, ou seja, se a imagem apreseta variações acetuadas o domíio espacial, ela cotém compoetes com alta freqüêcia o domíio de freqüêcia. Images o domíio de freqüêcia podem facilitar a aálise de resultados em algumas aplicações. O trabalho é orgaizado como segue. A seção 2 apreseta coceitos da álgebra liear utilizados para defiição das trasformadas. A seção 3 descreve as trasformadas de images, utilizado os coceitos apresetados a seção 2. A seção 4 aborda a trasformada discreta de Fourier e apreseta suas pricipais propriedades. A seção 5 mostra algumas trasformadas que derivam da trasformada de Fourier. Fialmete, a seção 6 são descritas as coclusões obtidas a partir deste trabalho. 2 Trasformações de Coordeadas Esta seção apreseta os coceitos da álgebra liear utilizados para o desevolvimeto da teoria das trasformadas discretas de images, mostrado os resultados ecessários para defiição das trasformações de coordeadas. As provas dos teoremas apresetados esta seção são ecotradas em []. Defiição 2. (vetor) Um vetor v com compoetes é represetado como mostra a equação, v i pertece ao corpo umérico F. O vetor mostrado esta equação é chamado de vetor liha com compoetes, e v T é chamado vetor colua v = [v 0 v v 2... v ] () Defiição 2.2 (matriz) A matriz A com M lihas e coluas, deotada matriz M, é represetada como mostra a equação 2, a i,j F, i = 0,,..., M e j = 0,,..., a 0,0 a 0,... a 0, a,0 a,... a, A = (2)... a M,0 a M,... a M, Defiição 2.3 (cojugado complexo de uma matriz) Seja uma matriz A com compoetes pertecetes ao cojuto dos complexos (C). O cojugado complexo de A

2 é obtido substituido cada compoete pelo seu cojugado complexo, a matriz obtida é deotada por A. Defiição 2.4 (matriz uitária) Uma matriz quadrada U é uitária se, e somete se, U T U = I, U T é chamada de adjuta de U, ode I é a matriz idetidade. Defiição 2.5 (matriz ortogoal) Uma matriz uitária U com todos seus compoetes pertecetes aos reais é chamada de matriz ortogoal. Teorema 2. Uma matriz U é uitária se, e somete se, suas coluas (lihas) são mutuamete ortogoais uitárias, ou seja, o produto itero etre as coluas (lihas) é 0 se as coluas (lihas) são diferetes e igual a se as coluas (lihas) são iguais. Defiição 2.6 (espaço vetorial liear sobre F) Um cojuto ão vazio V (F) de vetores com compoetes pertecetes ao corpo umérico F é deomiado espaço vetorial liear sobre F, ou espaço vetorial sobre F, somete se satisfizer as seguites codições: i. cx V (F), ode c F e x V (F). ii. x + y V (F), ode x, y V (F). Defiição 2.7 (base de um espaço vetorial) O cojuto de vetores {v, v 2,..., v k } pertecetes a um espaço vetorial V (F) é chamado de base de V (F) se todo vetor w V (F) puder ser expresso uicamete como a combiação liear w = a v + a 2 v a k v k, e a, a 2,..., a k F. Uma base composta por k vetores é represetada por B {k}. Defiição 2.8 (represetação matricial de uma base) Seja B {k} uma base do espaço vetorial V (F), composta pelos vetores {v, v 2,..., v k }. A equação 3 mostra a represetação a forma matricial para base B {k}, em que os vetores v, v 2,..., v k são colocados as lihas da matriz B, k v 0 v... v v 20 v 2... v 2 B = (3)... v k0 v k... v k Teorema 2.2 Sejam duas bases B {} = {a, a 2,..., a } e B 2{} = {b, b 2,..., b } de um espaço vetorial V (F), relacioadas pela equação {a, a 2,..., a } = {b, b 2,..., b }S, e sejam os vetores u e v as coordeadas de um vetor arbitrário x V (F) em relação às bases B {} e B 2{}, respectivamete. Etão u e v são relacioados pela trasformação liear ão sigular u T = Sv T, deomiada trasformação de coordeadas. S é uma matriz de ordem, chamada de úcleo da trasformação. Como u tem as coordeadas do vetor x em relação à base B {} e v tem as coordeadas do vetor x em relação à base B 2{}, x pode ser represetado como mostrado as equações 4 e 5, equato u e v podem ser represetados como mostrado as equações 6 e 7. B e B 2 são as represetações matriciais das bases B {} e B 2{}, respectivamete. As matrizes B e B 2 admitem iversa porque são bases de V (F) x T = B u T (4) x T = B 2 v T (5) u T = B xt (6) v T = B 2 xt (7) Substituido a equação 4 a equação 7, obtém-se a equação 8, que é uma trasformação liear que expressa as coordeadas de x com relação à base B 2{} diretamete em termos das coordeadas de x com respeito à base B {}. O úcleo da trasformação, S, utilizado pelo teorema 2.2, e seu iverso são mostrados pelas equações 9 e 0, respectivamete v T = ( B 2 B ) u T (8) S = B 2 B (9) S = B B 2 (0) Desde que as bases sejam cohecidas, pode-se criar uma trasformação de coordeadas. Utiliza-se a equação 8 para trasformar as coordeadas de um vetor que estão em relação à base B {} para coordeadas desse vetor em relação à base B 2{}. A trasformação iversa de 8 pode ser implemetada, utilizado S como úcleo da trasformada, como mostra a equação u T = S v T () Defiição 2.9 (trasformação uitária) Se o úcleo da trasformação de coordeadas for uma matriz uitária, esta trasformação será deomiada trasformação uitária. Defiição 2.0 (trasformação ortogoal) Se o úcleo da trasformação de coordeadas for uma matriz ortogoal, esta trasformação será deomiada trasformação ortogoal. Teorema 2.3 Uma trasformação de coordeadas y T = Ax T matém o tamaho de todos os vetores e a ortogoalidade etre eles se, e somete se, ela for uma trasformação uitária ou ortogoal.

3 3 Trasformadas de Images Em processameto de images, o termo trasformada é utilizado para desigar classes distitas de trasformações. Este trabalho trata de uma subclasse das trasformadas, composta pelas trasformações de coordeadas, as quais são um subcojuto das trasformações lieares. As trasformações de coordeadas cosistem a rotação multidimesioal das coordeadas de um poto [2]. As trasformadas são uidimesioais (D) quado a etrada é um vetor, e bidimesioais (2D) quado a etrada é uma matriz. Em processameto de images é comum utilizar trasformadas bidimesioais. É importate ressaltar que o termo uidimesioal ou bidimesioal está relacioado com a dimesioalidade do elemeto de etrada, vetor ou matriz, o etato, a trasformação liear é executada de C C, sedo o úmero de compoetes do vetor ou da matriz. As trasformadas possuem represetação vetorial e com somatórios, como mostrado a tabela. X e x cotêm a etrada da trasformada, Y e y cotêm o seu resultado. Seus compoetes são chamados de coeficietes da trasformada. X e Y são matrizes M, x e y são vetores com compoetes. As matrizes A e B são os úcleos da trasformação. A é uma matriz e B é represetada por um cojuto composto por UV matrizes M. Uidimesioal Bidimesioal y T = Ax T Y = BX M y u = a u, x y u,v = b u,v;m, x m, =0 m=0 =0 Tabela : Represetação vetorial e com somatórios para trasformadas uidimesioais e bidimesioais. A seção 3. trata do úcleo da trasformada, deomiado a partir de agora de úcleo da trasformada. A seção 3.2 mostra a represetação dos pixels de uma imagem como coordeadas de uma base de um espaço vetorial, o que possibilita a defiição das trasformadas de images como trasformações de coordeadas. A seção 3.3 mostra as represetações das trasformadas de images. 3. úcleo da Trasformada O úcleo de uma trasformada é a matriz S ou S da trasformação de coordeadas mostrada pelas equações 9 e 0. Trasformadas são trasformações que alteram as coordeadas de um vetor em relação à base B {} para coordeadas desse vetor em relação à base B 2{} utilizado a equação 8 ou. A seguir é mostrado um exemplo de determiação do úcleo da trasformada. Exemplo 3. A trasformada discreta de Fourier (descrita a seção 4) é uma trasformação uitária de um vetor v, com compoetes, da base caôica para base B 2{}, que tem sua matriz mostrada a seguir... B 2 = ω ω 2... ω ω2 ω ω2.... ω ω 2... ω (2) ode ω u = e 2πiu/ A obteção do úcleo da trasformada de Fourier é dada pela utilização da equação 9, portato, o úcleo da trasformada uidimesioal de Fourier é A = B 2 I = B 2 (3) a seção 3.2 será mostrado que os elemetos de uma imagem (os pixels) podem ser cosiderados como coordeadas de um poto em relação à base caôica, portato, ão há a ecessidade de utilizar diretamete a equação 9 para determiação do úcleo de uma trasformada, o úcleo sempre será a matriz da base de destio ou sua iversa. O úcleo de uma trasformada uidimesioal é represetado por uma matriz A com ordem, que cotém em suas lihas os vetores a u = [a u0 a u... a u ]. Essa matriz ormalmete é represetada graficamete por plaos cartesiaos, cada plao represeta um vetor da base e cada poto é um compoete do u-ésimo vetor. A figura mostra a represetação gráfica do úcleo da trasformada discreta de cosseo (descrita a seção 5.2), para = 8. o caso bidimesioal, o úcleo é formado por um cojuto composto de UV matrizes M, ode tais matrizes podem ser represetadas por uma imagem em tos de ciza composta por U V blocos, sedo que cada bloco represeta uma matriz M. A figura 2 mostra o úcleo da DCT para = M = U = V = Defiição de Imagem Iicialmete, uma imagem será cosiderada um vetor f com T compoetes. Agora será mostrado que o elemetos do vetor f, os pixels da imagem, podem ser cosiderados como coordeadas em relação à uma base B {T } de um espaço vetorial. A base B {T } tem sua matriz defiida como mostra a equação B = (4)

4 u = 0 u = u = 2 u = 3 u = 4 u = 5 u = 6 u = 7 Figura : Represetação gráfica do úcleo da trasformada discreta do cosseo (DCT) para um vetor de etrada com 8 compoetes. Figura 2: Represetação gráfica do úcleo da trasformada discreta do cosseo (DCT) para uma matriz de etrada com ordem 8. A equação 5 mostra a combiação liear do vetor f com os vetores da base B {T }, resultado o vetor i, que represeta as coordeadas do vetor f em relação à base B {T } T i m = f B m,, m = 0,,..., T- (5) =0 Portato, uma imagem pode ser cosiderada um poto em um espaço vetorial gerado pela base B {T }, deomiada base caôica. Cada compoete do vetor i é uma coordeada desse poto em relação a um eixo da base. A trasformação de coordeadas (uitária ou ortogoal) faz a mudaça das coordeadas de uma imagem que estão em relação à base B {T } para coordeadas dessa imagem em relação à uma outra base B 2{T }, matedo as iformações e o úmero de dimesões. Desde que as images são represetadas por matrizes, a trasformação de um vetor com T = M compoetes para uma matriz J, M, pode ser feita pela decomposição de i em M vetores com compoetes. O resultado é mostrado a equação 6 i 0 i... i i i +... i 2 J =... (6) i (M ) i (M )+... i (M ) 3.3 Represetação das Trasformadas Uma trasformação de coordeadas para images pode ser escrita a forma mostrada pela equação 7, ode j m, é um compoete da matriz J, M, que cotém a imagem de etrada. a u,v;m, é o compoete do úcleo da trasformação, represetado por A, composto por um cojuto com UV matrizes M. o u,v é um compoete da matriz O, M, que cotém a imagem resultate. A trasformada iversa de 7 é mostrada a equação 8 o u,v = M O = AJ j m, = m=0 =0 M u=0 J = A O v=0 a u,v;m, j m, a u,v;m, o u,v 4 Trasformada Discreta de Fourier (DFT) (7) (8) Em processameto de images ou processameto de siais, a série discreta de Fourier é chamada de trasformada discreta de Fourier (DFT), o que pode causar alguma cofusão, pois existe a trasformada de Fourier que é diferete da série de Fourier [3], sedo que a seguda é periódica e a primeira ão. A DFT é uma trasformação de coordeadas, que resulta em compoetes pertecetes aos úmeros complexos. Cada coeficiete é obtido pela combiação liear dos

5 elemetos da etrada com o úcleo da trasformada. O resultado da trasformada de Fourier represeta exatamete um período [3]. Os compoetes complexos resultates da DFT ormalmete ão são utilizados a forma z = a + bi. É comum utilizar a fase, represetada pelo argumeto de z (equação 9) ou o espectro de Fourier, que é o módulo de z (equação 20). A fase cotém as iformações esseciais sobre a estrutura da imagem, e o espectro de Fourier mostra o que a estrutura cotém, mas sem ehuma referêcia espacial [4] b arg z = ta (9) a mod z = a 2 + b 2 (20) 4. Trasformada Uidimesioal de Fourier A trasformada uidimesioal de Fourier e sua iversa são mostradas pela equações 2 e 22, respectivamete, ode x é o vetor de etrada e y é o vetor de saída, ambos com compoetes, ode u = 0,,..., y u = x e 2πiu/ (2) x = u=0 =0 y u e 2πiu/ (22) Substituido u a equação 23, obtém-se os vetores da base para a trasformada. ota-se que o expoete de e é positivo e a equação 2 utiliza expoete egativo, isso porque é ecessário utilizar a equação 8 para obteção da equação de trasformação de coordeadas da base caôica para a ova base, deomiada base de Fourier b u = [ ] ω u ωu 2... ω u (23) ode ω u = e 2πiu/ A matriz da base de Fourier é mostrada a equação 24. B {} é realmete uma base, pois o cojuto formado pelos vetores b, b 2,..., b é ortogoal, garatido pela propriedade de ortogoalidade de seóides complexas [3] ω ω 2... ω B = ω2 ω ω ω ω 2... ω 4.2 Trasformada Bidimesioal de Fourier (24) A trasformada bidimesioal de Fourier é uma expasão da trasformada uidimesioal. As equações 25 e 26 mostram a trasformada de Fourier e sua iversa respectivamete, para uma matriz de etrada X e matriz resultate Y, ambas com ordem. A matriz Y é deomiada plao de freqüêcias, pois mapeia as variações da matriz de etrada y u,v = x m, = m=0 =0 v=0 u=0 x m, e 2πi(mu+v)/ (25) y u,v e 2πi(mu+v)/ (26) 4.3 Propriedades da Trasformada de Fourier esta seção são mostradas algumas propriedades da trasformada de Fourier, sedo estas bastate utilizadas em processameto digital de images [5, 6]. esta seção é cosiderada a trasformada para uma matriz de etrada X e matriz de saída Y, ambas com ordem e compostas pelos elemetos x m, e y u,v, respectivamete. Periodicidade A propriedade de periodicidade mostra que a trasformada de Fourier tem período, isto sigifica que y u,v = y (u+),(v+). Portato, são ecessários somete 2 coeficietes para determiar a trasformada de Fourier para uma matriz de etrada com ordem. Simetria Cojugada A propriedade de simetria cojugada mostra que a magitude da trasformada está cetrada a origem. Cosiderado o caso uidimesioal, para o espectro de Fourier plotado o plao cartesiao, as magitudes são refletidas em relação ao eixo y. Se x m, são compoetes reais, etão a trasformada de Fourier apreseta simetria cojugada, ou seja, y u,v = y( u, v). Traslação A propriedade da traslação mostra que, ao multiplicar uma matriz o domíio espacial por um expoecial, a origem do plao de freqüêcias é trasladada. O mesmo ocorre com a origem do plao espacial quado multiplica-se todos os coeficietes de Fourier por um expoecial. Essas propriedades são mostradas a seguir, F é a trasformada de Fourier aplicada sobre alguma etrada F(x m, e i2π(u0m+v0)/ ) = y (u u0),(v v 0) (27) F ( y u,v e i2π(m0u+0v)/) = x (m m0),( 0) (28) A equação 27, mostra que ao multiplicar a matriz de etrada pelo expoecial e i2π(u0m+v0)/, a origem do plao de freqüêcias é trasladada para a coordeada (u 0, v 0 ). A equação 28 mostra o mesmo resultado para a trasformada iversa que, ao multiplicar a matriz resultate

6 pelo expoecial e i2π(m0u+0v)/, a origem do plao espacial é trasladada para a coordeada (m 0, 0 ). A propriedade de simetria cojugada mostra que a trasformada de Fourier é simétrica em relação à origem, portato, a origem do plao de freqüêcias coicide com a origem da matriz de saída. Para o plao de freqüêcias começar o iício de um período, sua origem deve ser trasladada para u 0 = v 0 = /2, para isto, substitui-se /2 a equação 27, obtedo-se F(x m, ( ) m+ ). Portato, a DFT deve ser aplicada após a multiplicação de cada elemeto da matriz X por ( ) m+, facilitado a iterpretação dos resultados. A figura 3 mostra o resultado da DFT utilizado ou ão a traslação da origem. (a) (b) (c) Figura 3: Trasformada de Fourier utilizado ou ão a traslação da origem do plao de freqüêcias. (a) Imagem origial; (b) trasformada sem utilizar a traslação da origem; (c) DFT utilizado a traslação da origem. Um resultado importate da propriedade de traslação é que o espectro de Fourier é ivariate em relação à traslação, pois y u,v e i2π(um0+v0)/ = y u,v. 4.4 Coceito de Freqüêcia em Images Em siais, como a correte elétrica ou odas sooras, o coceito de freqüêcia está relacioado com as variações da oda em um determiado itervalo de tempo, quato maior for a variação do sial em um itervalo pequeo de tempo, maior será sua freqüêcia. Em processameto de images, o coceito de freqüêcia está relacioado com a variação da itesidade da fução em relação ao espaço. Se a variação da itesidade dos pixels de uma região for grade, a freqüêcia da região será alta. A iformação sobre quais freqüêcias estão presetes em uma imagem são úteis, por exemplo, para segmetação das bordas de objetos, pois regiões de bordas são compostas por variações acetuadas a itesidade dos pixels, assim, a represetação dessa imagem o domíio de freqüêcia apreseta compoetes com freqüêcias altas. freqüêcias altas freqüêcias baixas freqüêcias altas Figura 4: Plao de freqüêcias para represetação da trasformada de Fourier uidimesioal. 4.5 Iterpretação da Trasformada de Fourier A trasformada de Fourier mostra uma represetação da fução de etrada o domíio de freqüêcia, ou seja, o resultado dessa trasformada pode ser iterpretado como o mapeameto das freqüêcias presetes a etrada. Para fuções uidimesioais, as freqüêcias podem ser represetadas por um plao, como mostrado pela figura 4. Coforme ocorre o afastameto da origem acotece o aumeto da freqüêcia. Para fuções de etrada bidimesioais, a represetação da trasformada de Fourier pode ser feita através de uma superfície. Quado a fução de etrada cotém compoetes com alta freqüêcia, esta superfície apresetará elemetos distates da origem, caso cotrário, a cocetração dos elemetos será em áreas próximas à origem. 4.6 Trasformada Rápida de Fourier (FFT) A trasformada uidimesioal de Fourier que foi abordada a seção 4., ecessita de O() operações com matemática complexa para determiação de cada coeficiete de Fourier, ou seja, para determiar todos os coeficietes, são ecessárias O( 2 ) operações, se for implemetada utilizado diretamete a equação 2. Para dimiuir o esforço computacioal ecessário para o cálculo da DFT, utiliza-se um método chamado de trasformada rápida de Fourier (FFT), baseado a decomposição do úcleo da trasformada em matrizes esparsas. O lema 4. mostra como o úcleo da DFT pode ser decomposto, sua prova pode ser ecotrada em [7]. Lema 4. Seja M um iteiro positivo. Etão, o úcleo da trasformada de Fourier, deotada matriz F, com ordem 2M, pode ser fatorada como mostra a equação 29 ode p e m, F = 2 E( )P (29) def = δ(2m ), p o m, def = δ(2m + ), para P e P o, m = 0,,..., M e = 0,,..., 2M, P def = f

7 com ordem 2M, ode P e e P o são matrizes M 2M. é o úcleo da DFT para uma trasformada ( com M compoetes, portato, possui ordem M. E def I Ω ) =, I I Ω possui ordem M. A matriz Ω possui ordem M, e é defiida pela equação 30 Ω def = e πi/m e 2πi/M e (M )πi/m (30) O lema 4. mostra que o úcleo da DFT pode ser decomposto em matrizes esparsas, pois a matriz E possui somete dois elemetos diferetes de zero em cada liha ou colua, e P é uma matriz de permutação [7]. Para obteção da trasformada rápida de Fourier, as somas diretas são fatoradas recursivamete, como mostra o teorema 4.. Teorema 4. Se = 2 q, q, o úcleo da DFT, F, com ordem, pode ser decomposto, como mostra a equação 3 F = L 0L... L q P (3) ode P é a matriz defiida pelo lema 4., com ordem, e L k = cada matriz E possui ordem /2 k. 2 k vezes {}}{ E... E (32) Portato, a FFT é obtida decompodo o úcleo em várias matrizes esparsas, e os coeficietes de Fourier são calculados icremetalmete. Iicialmete, calcula-se a trasformada para poucos potos, e seus resultados são utilizados para a obteção da trasformada para potos restates, o cálculo da FFT ecessita de O( log 2 ) operações [8]. 5 Trasformadas Derivadas da DFT esta seção são mostradas trasformadas que derivam da trasformada discreta de Fourier que são utilizadas em processameto de images [9, 0, ]. 5. Trasformada Discreta de Hartley (DHT) Para o cálculo da DFT, é ecessária a criação de estruturas de dados para armazeameto da parte real e imagiária de um úmero, e a utilização de ferrametas que permitam cálculos com úmeros complexos. A satisfação dessas codições gera a ecessidade de maior espaço para armazeameto e aumeto a capacidade de processameto. Como uma alterativa, utiliza-se a trasformada de Hartley. A trasformada Hartley (DHT) é defiida para o cojuto dos úmeros reais. As equações 34 e 35 mostram a trasformada Hartley e sua iversa, para o caso bidimesioal, com a matriz de etrada X e matriz resultate Y, ambas com ordem. cas(θ) = cos(θ) + se(θ) (33) y u,v = 2πmu + 2πv 2 x m, cas (34) m=0 =0 2πmu + 2πv x m, = y u,v cas (35) u=0 v=0 O úcleo da DHT é formado pela parte real e imagiária do úcleo da DFT, e a maioria das propriedades resultates da trasformada de Fourier também é obtida a partir desta trasformada. A DHT apreseta aida duas vatages em relação à DFT: (i) o úcleo da trasformada é igual ao de sua iversa, e (ii) utiliza somete computação real [2]. 5.2 Trasformada Discreta do Cosseo (DCT) A úcleo da DCT é obtida a partir da parte real da base da trasformada de Fourier, mas para cotiuar sedo uma base sofre algumas alterações [4]. A defiição dos vetores compoetes do úcleo da trasformada uidimesioal do cosseo, para um vetor de etrada com compoetes, é mostrada pela equação 36, se u = 0 b u, = 2 π(2 + )u cos, caso cotrário 2 (36) As trasformadas uidimesioal do cosseo e sua iversa são mostradas pelas equações 38 e 39, respectivamete, para um vetor de etrada x, composto por elemetos, se α = 0 k(α) = (37) 2, caso cotrário π(2 + )u y u = k(u) x cos (38) 2 =0 π(2 + )u x = k(u)y u cos (39) 2 u=0 o caso bidimesioal, as trasformadas do cosseo e sua iversa são defiidas pelas equações 42 e 43, respecti-

8 vamete, para uma matriz de etrada com ordem, se α = 0 k(α) = (40) 2, caso cotrário π(2m + )u γ(m, u) = cos (4) 2 y u,v = k(u)k(v) x m, = u=0 v=0 m=0 =0 x m, γ(m, u)γ(, v) (42) k(u)k(v)y u,v γ(m, u)γ(, v) (43) A trasformada discreta do cosseo é real e ortogoal. A sua pricipal propriedade é a de compactar a eergia em regiões próximas da origem para dados de etrada que apresetam alta correlação [4]. 5.3 Trasformada Discreta do Seo (DST) A trasformada do seo também é derivada da trasformada de Fourier, mas seu úcleo ão é diretamete a parte imagiária da DFT, ele é alterado para que cotiue sedo uma base. O úcleo da DST uidimesioal, para um vetor de etrada com compoetes, pode ser obtido pela expasão da equação 44 2 π(u + )( + ) b u, = se (44) As trasformadas uidimesioal do seo e sua iversa são mostradas as equações 45 e 46, respectivamete, para o vetor de etrada x, composto por elemetos 2 y u = 2 x = =0 =0 π( + )(u + ) x se π( + )(u + ) y u se (45) (46) o caso bidimesioal, as trasformadas do seo e sua iversa são defiidas pelas equações 48 e 49, respectivamete, para uma matriz de etrada com ordem π(m + )(u + ) φ(m, u) = se (47) y u,v = 2 x m, = 2 m=0 =0 u=0 v=0 x m, φ(m, u)φ(, v) (48) y u,v φ(m, u)φ(, v) (49) 6 Coclusões este trabalho foram abordados coceitos da álgebra liear utilizados para a defiição das trasformadas de images. Desde que a teoria dessas trasformadas é pouco abordada em referêcias de processameto de images, procurou-se apresetar seus pricipais aspectos. Referêcias [] Fraz E. Hoh, Elemetary Matrix Algebra, The Macmilla Compay, 958. [2] William K. Pratt, Digital Image Processig, Joh Wiley & Sos, Ic., ova Iorque, Estados Uidos, 978. [3] Simo Hayki ad Barry va Vee, Siais e Sistemas, Bookma, Porto Alegre, RS, Brasil, 200. [4] Berd Jähe, Digital Image Processig, Spriger Verlag, Berlim, Alemaha, 5 a edição, [5] Guagyi Che ad Tie D. Bui, Ivariat Fourierwavelet Descriptio for Patter Recogitio, Patter Recogitio, vol. 32, pp , 999. [6] Hubert Foga, Patter Recogitio i Gray-level Images by Fourier Aalysis, Patter Recogitio Letters, vol. 7, o. 4, pp , 996. [7] Mlade V. Wickerhauser, Adapted Wavelet Aalysis from Theory to Software, IEEE Press, Piscataway, J, Estados Uidos, 994. [8] Rafael C. Gozalez ad Richard E. Woods, Digital Image Processig, Addiso-Wesley Publishig Compay, Readig, Massachusetts, Estados Uidos, 992. [9] Buh-Yu Lee, T.S. Liu, ad Log-We Chag, A ew Optimal Digital Halftoig Techique Based o the Discrete Cosie Trasform, Sigal Processig, vol. 80, pp , [0] A. Gupta ad K. R. Rao, A Fast Recursive Algorithm for the Discrete Sie Trasform, IEEE Acoustics, Speech, ad Sigal Processig, vol. 38, o. 3, pp , 990. [] O. K. Ersoy, A Comparative Review of Real ad Complex Fourier-related Trasforms, Proceedigs of the IEEE, vol. 82, o. 3, pp , 994. [2] Mig C. Yag ad Ja-Lig Wu, A ovel Iterpretatio of the Two-Dimesioal Discrete Hartley Trasform, Sigal Processig, vol. 54, pp , 996.