Capítulo 1. Os Números Complexos. 1.1 Os números. Última atualização em outubro de 2012 por Sadao Massago

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1 Capítulo 1 Os Números Complexos Última atualização em outubro de 2012 por Sadao Massago 1.1 Os úmeros Números aturais: N = {1, 2, 3,...}, mas existem vários autores cosiderado N = {0, 1, 2, 3,...}. Para evitar cofusões, é recomedado dizer úmeros positivos, úmeros ão egativos, etc. sempre que possível. Os úmeros aturais são associados ao úmero de elemetos do cojuto ão vazio, deomiado de cardialidade. O cojuto N possui iitos elemetos. Ele tem operação de adição que vale o cacelameto (a + x = a + y = x = y) e multiplicação comutativa com cacelameto (ab = ba e se a 0, ax = by = x = y). Além disso, ele possui um elemeto uidade (elemeto eutro do produto). Além de ter estas operações boas, também apreseta uma ordem compatível com suas operações (a < b b a > 0) e qualquer dos seus subcojutos tem o primeiro elemeto para esta ordem. Números iteiros ão egativos: Z + = {0, 1, 2, 3,...}. No caso do cojuto dos úmeros que pode ser decomposto em positivo, egativo e zero, o sial + a parte iferior idica o positivo mais o zero (ão egativo) e o sial de meos idica o egativo mais o zero (ão positivo). Números iteiros ão egativos iclui o elemeto ulo 0 (elemeto eutro da soma). Com isso, as duas operações fudametais terão os seus elemetos eutros. Observação: O cojuto dos úmeros iteiros positivos: Z + = {1, 2, 3,...} é o cojuto dos úmeros aturais. O símbolo a parte superior do cojuto dos úmeros é usado para elimiar o zero. No caso geral, é o cojuto (subcojuto do ael) sem o divisor de zero, o que ão discutiremos aqui. Números iteiros: Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. É uma extesão dos úmeros aturais a qual operação iversa da adição é permitida. Isto melhora as operações, mas terá pequea alteração em termos de ordem. Agora, em todos subcojutos terá o primeiro elemeto. No etato, todo subcojuto limitado iferiormete cotiuará tedo o meor elemeto. Números racioais: Q = { m : m, Z, 0, a = c ad = bc}. Permite realizar b d operação iversa da multiplicação. Com isso, tato a adição como a multiplicação serão iversíveis. O cojuto com propriedade operacioal similar ao do Q é deomiado de corpo. Ele é o meor corpo cotedo os úmeros aturais. Agora, as operações caram "perfeita", mas em termos de ordem, piorou. Agora em todo subcojuto limitado iferiormete tem o meor elemeto. No etato, Q possui mesmo úmero de elemetos que N, sigicado que os elemetos de Q ou de seus subcojutos podem ser idexados usado úmeros aturais. Números reais: R. O cojuto dos úmeros racioais está "cheio de buracos", de modo que uma curva como o caso de círculo, pode atravessar a reta sem ter itersecções. Por exemplo, x 2 + y 2 = 1 e y = x ão iterceptam em Q 2 (pois sua itersecção é irracioal). 1

2 CAPÍTULO 1. OS NÚMEROS COMPLEXOS 2 Para resolver este problema, podemos esteder o Q de forma a "tampar todos os buracos", obtedo o cojuto dos úmeros reais. Ele apreseta a mesma propriedade operacioal e relação de ordem que o cojuto dos úmeros racioais, mas ão tem "buracos". Além disso, podemos fatorar qualquer poliômio em termos de fatores de grau 1 e dois, o que é melhor que os cojutos dos úmeros racioais. Em termos da cardialidade, o cojuto ão é mais eumerável, o que pode trazer complexidade extra em estudos mais avaçados. Números complexos: C = {x + iy : x, y R, i 2 = 1}. O cojuto dos úmeros reais ão permite resolver qualquer equação poliomial por poder ter poliômios com raízes complexas. Para tato, itroduziremos i = 1, obtedo o cojuto dos úmeros complexos a qual todo poliômio tem raiz. Como o preço, o cojuto dos úmeros complexos ão possui a ordem compatível com as suas operações. Outros úmeros: Exitem forma de deir produto em R 4 e R 8, deomiados de quatérios e octôios, mas perderá alguma das propriedades sobre o produto.. Isto deixa em dúvida, se aida pode ser chamado de úmeros. Observação 1.1. As medidas requer ordem compatível com as operações. A maioria das medidas tem valor o cojuto dos úmeros reais, pois tem maior facilidade operacioal e aida preserva a ordem compatível com as operações. Mas existem algumas medidas como úmero de elemetos o cojuto ito que são iteiras. 1.2 Deição e operações fudametais dos úmeros complexos O cojuto dos úmeros complexos é obtido, agregado o i tal que i 2 = 1 ao cojuto dos úmeros reais. As operações o cojuto dos úmeros complexos é uma extesão das operações dos cojutos reais de forma que seja um corpo. O estudo das propriedades do corpo faz parte da disciplia estruturas algébricas, mas veremos rapidamete as suas propriedades. Deotaremos soma de a com b por a + b e o produto de a com b por ab. K é um corpo se existem duas operações deidas, deomiadas de soma e produto satisfazedo Soma: a, b K, a + b = b + a (comutatividade). Note que é chamado de soma somete quado a operação é comutativa. a, b, c K, (a + b) + c = a + (b + c) (associativa). Note que toda soma é associativa. 0 : a + 0 = a (elemeto ulo). Note que N ão é corpo por ão ter elemeto ulo. a K, a K : a + ( a) = 0 (elemeto oposto). Note que Z + ão é corpo por em sempre ter o elemeto oposto. propriedade do produto ab K, tem-se ab = ba (comutativo). Nem todo produto é comutativo. Por exemplo, produto matricial ão é comutativo. a, b, c K, (ab)c = a(bc) (associativa). Note que todo produto decete espera-se que seja associativo. 1 K : a K, 1a = a (elemeto uidade). Nem todo produto tem elemeto uidade. Por exemplo, { N : > 1} ão tem uidade.

3 CAPÍTULO 1. OS NÚMEROS COMPLEXOS 3 a K, a 1 : aa 1 = 1 (elemeto iverso). Note que Z ão é corpo porque em sempre tem o elemeto iverso. No etato, todas outras propriedades são satisfeitas. Relação etre a soma e produto a, b, c K, tem-se que (a + b)c = ac + bc (distributiva). No cojuto que tem soma e produto, espera-se que seja distributivo (o caso do produto ão ser comutativo como cojuto dos matrizes, espera-se que o produto seja distributivo em ambos lados). Observação 1.2. Nem toda operação biária importate goza da associatividade. Por exemplo, a poteciação, a (bc ) (a b ) c o caso geral. Além disso, ele também ão é comutativo, ão tem elemeto eutro da operação (logo, ão tem elemeto iverso também). Apesar dele ão ter ehuma das propriedades desejáveis da operação biária cosiderada, a poteciação efetua uma associação etre a soma e o produto pela idetidade a b+c = a b a c para a > 0, o que tora importate. Os exemplos mais cohecidos do corpo são Q, R e C, mas também tem corpos itos como o Z p com p primos. O cojuto dos úmeros complexos é o cojuto dos úmeros reais agregados de i com i 2 = 1. Assim, um úmero complexo tem a parte dos úmeros reais e parte dos múltiplos de i. Desta forma, podemos escrever z C como sedo z = x + yi com x, y R e tal represetação é úica. Observação 1.3. Na física e a eletrôica, i é usado comumete para correte de forma que o úmero complexo 1 costuma ser deotado por j. Exemplo 1.4. Exemplo(1 + i)( 1 + i) = 1 + i i + i 2 = 1 1 = 2. Para dois úmeros complexos z = x + yi e w = x + y i,tem-se que zw = (x + yi)(x + y i) = xx + xy i + yx i + yy i 2 = (xx yy ) + (xy + yx )i. 1.3 Represetação geométrica dos úmeros complexos Como um úmero complexo z = x + yi é determiado pelo par de úmeros reais x e y, podemos associar ao poto (x, y) do plao cartesiao. Nesta represetação, o eixo X represeta a parte real e o eixo Y represeta a parte imagiária do úmero complexo (Figura 1.1). Y y x + yi x X Figura 1.1: Represetação geométrica dos úmeros complexos Dado um úmero real, a distâcia até a origem é deomiado de módulo. Da mesma forma, podemos deomiar a distâcia de um úmero complexo até a origem de módulo do úmero complexo. Pela geometria aalítica, podemos ver que o módulo de z = x + yi é dado por z = x 2 + y 2. O módulo tem a seguite propriedade. z 0 e z = 0 z = 0 zw = z w. Na matemática, costumamos deotar com um barra quado vale a igualdade ab = a b (exemplo: módulo e determiate). Quado vale a desigualdade, será deotado por duas barras (exemplo: orma). Assim, ão usar uma barra idevidamete (por exemplo, ão usar uma barra para orma).

4 CAPÍTULO 1. OS NÚMEROS COMPLEXOS 4 z + w z + w. Desigualdade triagular. Exercício 1.5. Prove as propriedades acima. Dica: Para zw = z w, prove a igualdade para quadrado deles. Para a desigualdade triagular, cosulte o livro de geometria aalítica ou álgebra liear. Para trabalhar com a divisão de forma cofortável, costumamos usar a operação deomiada de cojugados. Deição 1.6. Dado z = x + yi, deimos Rz = x é a parte real de z Iz = y é a parte imagiária de z. z = x + yi = x yi é o cojugado de z. Alguma propriedade do cojugado são z = z (cojugado do cojugado é ele mesmo) z + w = z + w. zw = z w z R Iz = 0 Rz = z+ z 2 Iz = z z 2 z z = z 2. Exercício 1.7. Prove cada uma das propriedades acima. Exercício 1.8. Mostre que z = 0 z = 0 z = z z = z para iteiro. Agora veremos como efetuar a divisão de forma elegate. Seja z = x + yi e w = x + y i e queremos calcular z. Multiplicado o cojugado de w ecima w e embaixo, teremos z = z w = z w que é produto dos úmeros complexos com a divisão de úmeros reais. w w w w 2 Exemplo i = (1+i)(1+2i) 1 2i 1 2i 2 = (1 2)+(2+1)i 1+4 = 1+3i 5 = i. Exemplo Seja x 2 + x + 1 = 0 Etão pela fórmula de Baskara, x = 1± 1 4 1± = 1 2 ± 3i 2. Teorema Se p(z) é um poliômio com coecietes reais, etão p( z) = p(z). = 1± 3 = 2 2 Demostração. Seja p(z) = a 0 + a 1 z + + a z etão p(z) = a 0 + a 1 z + + a z = a 0 + a 1 z + + a z. Como a k são úmeros reais, temos a k z k = a k z k = a k z k de modo que p(z) = a 0 + a 1 z + + a z = p( z). Corolário Se z é uma raiz do poliômio p(z) com coecietes complexas, etão z também é raiz. Demostração. Basta observar que p(z) = 0 = 0 = p(z) = p( z). Exercício Mostre que poliômio de grau impar com coecietes reais deve ter pelo meos uma raiz real. Exercício Resolva a equação 2z + z = 6 + 3i.

5 CAPÍTULO 1. OS NÚMEROS COMPLEXOS Forma trigoométrica (ou polar) dos úmeros complexos Dado um poto o plao, podemos represetar o poto pela distâcia até a origem e o âgulo que forma com o eixo X, deomiado de forma polar. Y y x + yi θ x X Figura 1.2: Represetação polar dos úmeros complexos Dado x + yi o plao complexo, temos que x = r cos θ e y = r se θ ode r = z = x 2 + y 2 é a distâcia do poto até origem. Logo, x + yi = r cos θ + r se θ que é deomiado de forma trigoométrica ou polar dos úmeros complexos. Tal represetação, cosiderado r 0 e 0 θ < 2π é úica exceto para potos de origem. A forma trigoométrica é especialmete importate para eteder o sigicado geométrico da multiplicação dos úmeros complexos. Exemplo Seja z = 1+ 3i a represetação retagular. Para trasformar em represetação em coordeadas polar, temos que r = x 2 + y 2 = = 2. Como x = r cos θ e y = r se θ, temos que y = ta θ x e logo, 3 = ta θ = θ = π. Assim, a represetação trigoométrica será 6 z = 2 ( cos π + i se ) π 6 6. Teorema Seja z 1 = r 1 (cos θ 1 +i se θ 1 ) e z 2 = r 2 (cos θ 2 +i se θ 2 ) etão z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos(θ 1 + θ 2 ) + i se(θ 1 + θ 2 )) e z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos(θ 1 θ 2 ) + i se(θ 1 θ 2 )). Demostração. Temos que z 1 z 2 = r 1 (cos θ 1 +i se θ 1 )r 2 (cos θ 2 +se θ 2 ) = r 1 r 2 (cos θ 1 +i se θ 1 )(cos θ 2 + i se θ 2 ) de modo que z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos θ 1 cos θ 2 se θ 1 se θ 2 ) + ir 1 r 2 (cos θ 1 se θ 2 + se θ 1 cos θ 2 ). Por outro lado, z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos(θ 1 + θ 2 ) + i se(θ 1 + θ 2 )) = r 1 r 2 (cos θ 1 cos θ 2 se θ 1 se θ 2 ) + ir 1 r 2 (se θ 1 cos θ 2 + cos θ 1 se θ 2 ) que são mesmos. Para a divisão, observemos que z 2 = r 2 e z 2 = r 2 (cos θ i se θ) = r 2 (cos( θ) + i se( θ)). Etão z 1 z 2 = z 1z 2 z 2 = r 1r 2 (cos(θ 1 θ 2 )+i se(θ 1 θ 2 )) = r 2 r2 2 1 r 2 (cos(θ 1 θ 2 ) + i se(θ 1 θ 2 )) Mostre que se z = r(cos θ + i se θ) etão 1 = z r 1 (cos(θ) i se(θ)) O teorema acima diz que o produto dos úmeros complexos multiplica a orma e soma os âgulos. Assim, o produto de úmeros complexos realiza uma rotação. Isto permite resolver problemas de rotação através de operações dos úmeros complexos. A rotação por âgulo θ pode ser realizado pela multiplicação por cos θ + i se θ. Em particular, a multiplicação por i realiza rotação por âgulo de π 2. Exemplo Obteha um dos quadrados ABCD com vértices A = (1, 1) e B = (2, 3). Fazedo o esboço (Figura 1.3), temos que D C A B Figura 1.3: Quadrado com um lado dado

6 CAPÍTULO 1. OS NÚMEROS COMPLEXOS 6 Outra solução seria desehar o quadrao abaixo de AB. Temos que AD = D A é AB = B A rotacioado por 90. Como úmero complexo de orma 1 e argumeto de 90 é i, temos D A = (B A)i = D = A + (B A)i. Como A = 1 + i e B = 2 + 3i, temos que D = 1 + i + (2 + 3i 1 i)i = 1 + i + (1 + 2i)i = 1 + i + i 2 = 1 + 2i. Logo, D = ( 1, 2). O lado BC é BA rotacioado por 90. etão C B = (A B)( i) = C = B (A B)i = 2 + 3i (1 + i 2 3i)i = 2 + 3i ( 1 2i)i = 2 + 3i + i 2 = 4i. Teorema 1.18 (Fórmula de De Moivre). (r(cos θ + i se θ)) = r (cos θ + i se θ) Demostração. Para = 0 ou = 1, é imediato. Para positivo, temos (r(cos θ + i se θ)) = r(cos θ + i se θ) r(cos θ + i se θ) = r }{{}} {{ r} (cos θ + i se θ) (cos θ + i se θ) = r }{{} (cos(θ) + i se(θ)). vezes vezes vezes Para < 0, temos (r(cos θ + i se θ)) 1 = com > 0 e logo, (r(cos θ + i se θ)) = (r(cos θ+se θ)) 1 = r (cos( θ)+se( θ)) r (cos(θ) + i se(θ)) Exemplo Calcule (1 + i) 100. Como 1 + i = 2(cos π + i se π) 2 2 temos que (1 + i)100 = ( 2) ( 100 cos(100 π) + i se(100 π)) = 2 50 (cos(50π) + i se(50π)) = 2 50 pois 50π é multiplo de 2π. 2 2 Para obter raiz -ésima, observemos que w = z se z = w. Se z = r(cos θ + i se θ) e w = s(cos α+i se α) etão teremos s = r e α = θ a meos de 2kπ. Como estamos represetado com s 0, temos que s = r e α = 2kπ + θ de modo que α = θ + 2kπ para k = 0, 1,..., 1, pois depois de k =, o padrão se repete. Logo, temos que Proposição r(cos θ + i se θ) = r ( cos ( θ 1. Exercício Obteha todas raizes 5a de 1 + i. + 2kπ ) + i se ( θ + 2kπ )) para k = 0, 1,..., 1.5 Forma expoecial dos úmeros complexos Para trabalhar com multiplicação e divisão (e poteciação e radiciação), a represetação expoecial é mais prática. Para tato, usaremos a Fórmula de Euler e θi = cos θ+i se θ cuja demostração é obtido facilmete da séries de potêcias (estudado o cálculo C). Assim, A forma polar pode ser escrito como sedo z = re θi. Nesta represetação, podemos usar propriedades do expoecial e obter facilmete que r 1 e θ 1i r 2 e θ 1i = r 1 r 2 e θ 1i e θ 1i = r 1 r 2 e (θ 1+θ 2 )i ( re θi) = r ( e θi) = r e θi e assim por diate. Exercício Escreva e demostre cada um dos resultados da represetação polar, a forma expoecial. 1.6 Raiz da uidade Observe que a represetação polar, está escrito como sedo produto do módulo (r = z ) com o úmero complexo de orma 1 (cos θ + i se θ). Na radiciação, a parte do módulo é a raiz positiva do módulo e toda complexidade reside a parte do úmero complexo com módulo 1. Assim, para eteder a raiz, basta estudar a raiz do úmero complexo de módulo 1. Deição w é raiz -ésima da uidade se w = 1. Algumas propriedades são

7 CAPÍTULO 1. OS NÚMEROS COMPLEXOS 7 raiz -ésima da uidade tem módulo 1. produto e quociete das raízes -ésima da uidade são raízes -ésima da uidade. iversa da raiz -ésima da uidade é raiz -ésima da uidade. potêcias iteiras da raiz -ésima da uidade são raízes -ésima da uidade. Como raiz -ésima da uidade tem módulo 1 (como exercício, justique), podemos represetar por e θi e por ter potêcia por ser 1, teremos que e θi = e 2kπi e cosequetemete, θ = 2kπ. Assim, a raiz -ésima da uidade será e 2kπ i. Deotaremos a raiz da uidade para xo, por ɛ k = e 2kπi para k = 0,..., 1. Observe que, para k, o valor se repete por seo e cosseo ser cíclico de período 2π. Assim, teremos exatamete elemetos o cojuto das raízes -ésima da uidade. Para estudar a estrutura do cojuto da raiz da uidade, precisamos ter oção do ael de iteiros módulo. Dado um iteiro xo, dizemos que dois iteiros a e b são equivaletes módulo quado a resto da divisão por coicidem. Em outras palavras, quado b a for múltiplo de. Neste caso, deotaremos por b = a mod. Nos podemos mostrar que a relação modulo é uma relação de equivalêcia, isto é, reexiva: a = a mod pois a a = 0 = 0. simétrica: b = a mod etão b a = k = a b = ( k) de modo que a = b mod. trasitiva: b = a mod e c = b mod etão b a = k e c b = l. Isto ós dá b = a+k e c = b + l = a + k + l = a + (k + l). Logo, c a = (k + l) de forma que c = a mod. Logo, podemos deir uma classe de equivalêcia modulo, para cada iteiro a por ā = {a + k : k Z} que é a classe de resto da divisão por. O iteiro x sempre pode ser escrito como sedo x = a + k com 0 a < de modo que a classe de equivalêcia sempre pode ser represetado pelo iteiro etre 0 e 1. O cojuto { 0,..., 1} de classe de equivalêcia módulo será deotado por Z. Podemos vericar que as operações ā+ b = a + b e ā b = ab estão deidas com as propriedades similares a dos iteiros com exceção de que ā b = 0 em sempre implica em ā = 0 ou b = 0. Por exemplo, para = 4, teríamos Z 4 = { 0, 1, 2, 3}. Temos que = 4 = 0 e 2 = 0 2 = 4 2 = 4 2 = 2. Note que qualquer múltiplo de é 0 em Z, podedo somar até o represetate torar ão egativo. Note que 2 2 = 2 2 = 4 = 0 de modo que o produto de dois elemetos ão ulos pode resultar o elemeto ulo. Mesmo assim, é melhor que o produto com as matrizes que, além do produto dos elemetos ão ulos pode resultar em elemeto ulo, em sempre vale a comutatividade (Z é comutativo). Um dos resultados mais importates é Teorema Z P é corpo se, e somete se, p é primo. Demostração. Como Z p valem todas propriedades do corpo exceto o elemeto iverso, basta vericar a propriedade do elemeto iverso. Iicialmete veremos que se p ão é primo, etão Z p ão é corpo. Neste caso, p = ab para algus iteiros ão egativos a e b de modo que p = ā b implicado que 0 = ā b. Obviamete, ā 0 e b 0 e se tiver ā 1, teríamos b = ā 1 0 = 0 o que é absurdo. Logo, se p ão for primo, Z p ão é corpo. Agora supoha que p é primo. Etão dado ā 0, temos que mdc(a, p) = 1. Como MDC se escreve como combiação liear dos dois úmeros (Teorema de Bézout), temos que 1 = xa + yp de modo que 1 = x ā + yp = x ā + 0 = x ā e ā tem a iversa. Com isso, também foi provado que Corolário ā Z tem iversa se, e somete se, mdc(a, ) = 1.

8 CAPÍTULO 1. OS NÚMEROS COMPLEXOS 8 Agora vamos voltar para a raiz da uidade. Dado um iteiro xo, A fução k ɛ k = e 2kπi associa uicamete os elemetos de Z com a -ésima raiz da uidade de modo que ɛ a ɛ b = ɛ a+b. (Nos podemos mostrar que ele é um homomorsmo de grupos aditivos o grupo multiplicativo, mas deixaremos isto de lado). Assim, eteder a estrutura do cojuto da raiz da uidade equivale a eteder a estrutura de Z p. Para eteder melhor tais ralações, vamos deir e estudar a raiz primitiva da uidade. Deição A raiz -ésima da uidade é dita primitiva se suas potêcias geram todas raízes -ésimas da uidade. Note que ɛ k = ɛ k (prove) e ɛ k = 1 (prove), temos que ɛ +j k e logo, as potêcias a serem cosideradas são de 0 a 1. = ɛ (+j)k = ɛ k+jk = ɛ k ɛ jk = ɛ jk Teorema Para xo, ɛ k é raiz -ésima primitiva da uidade se, e somete se, mdc.(k, ) = 1. Como ɛ k = ɛ k, suas potêcias gerar todas raízes sigica que os múltiplos dos iteiros associados geram todo Z. Assim, basta mostrar que k gera todos elemetos de Z se, e somete se, mdc(k, ) = 1. Seja k tal que mdc(k, ) = 1. Etão k é iversível. Logo, x k x de Z em Z é ijetiva (prove). todo Z. Como o cojuto Z é ito, a imagem é Z e cosequetemete, os múltiplos geram Agora supoha que os múltiplos geram Z. Etão existe x Z tal que k x = 1 implicado que k é iversível. Assim, mdc(k, ) = 1. O teorema acima permite saber se uma raiz é primitiva ou ão, sem precisar calcular suas potêcias. Exercício Obteha todas raízes 6a primitiva da uidade. Note que ω = e 2π i sempre é -ésima raiz primitiva da uidade, o que costitui os elemetos importates os estudos das radiciações dos úmeros complexos.