Interação e acoplamento modal na análise de cascas cilíndricas

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1 Iteração e acoplaeto odal a aálise de cascas cilídricas ourival Júio Foseca Dias,a, Frederico Martis Alves da Silva,b Uiversidade Federal de Goiás, , Brasil a ljfdias@otail.co, b silvafa@eec.ufg.br PAAVRAS-CHAVE: Casca cilídica, acoplaeto odal, caio pós-crítico, iteração odal. ITRODUÇÃO Eiste diversas aplicações de cascas cilídricas e a egearia civil, essas aplicações são otadas, por eeplo, e coberturas, reservatórios e silos. Apesar de ter ua fora geoétrica siples, ua casca cilídrica pode apresetar u copleo coportaeto ão-liear, quado subetida a ua ecitação etera. Devido aos avaços teóri e uéri, a diâica ão-liear de cascas te apresetado otáveis progressos. Ua das priicipais otivações para o estudo do coportaeto estático e diâico destas estruturas é a grade difereça ecotrada etre os resultados teóri e eperietais alé dos frequetes acidetes reportados a literatura. As equações diferecias que descreve os sisteas físi reais são ão-lieares e aproiações para torá-las lieares são couetes utilizadas, pois se pretede que a estrutura trabale e u regie liear. Para sisteas estruturais esbeltos coo cascas cilídricas, essa aproiação pode ser etreaete grosseira e os feôeos ão-lieares associados à vibração das cascas se tora difícies de sere avaliados. esse setido é ecessário o desevolvieto de odelos ateáti que seja siultaeaete precisos (correto acoplaeto odal e de baia diesão (pequeo úero de graus de liberdade e que perite ua aálise paraétrica detalada do coportaeto local e global das estruturas esbeltas. Particularete, as abodages ais cous são o uso de odos orais ão-lieares (Saw e Pierre, 99, o étodo das forças orais (ayfe, 99, a decoposição de Karue-oève (Sirovic, 987a, b, c e técicas de pertubação (Goçalves e Batista, 988; Goçalves e Del Prado, 00, 005, Goçalves et al O feôeo de acoplaeto odal é outro tópico iportate de estudo a teoria da estabilidade de estruturas. Ebora eista uitos trabalos publicados sobre acoplaeto odal a preseça de cargas estáticas, sua ifluêcia o coportaeto diâico te sido objeto de pou estudos. o estudo da istabilidade estática e diâica de sisteas estruturais sepre ouve ua Orietado Orietador Revisado pelo orietador

2 êfase a procura de odelos de baia diesão capazes de represetar ao eos de fora qualitativa o coportaeto do sistea. Esta busca é particularete iportate a aálise de sisteas diâi ão-lieares. a aálise de cascas cilídricas esta busca levou à criação de vários odelos aproiados, que por sua vez gerara ua série de respostas qualitativaete e quatitativaete distitas, o que te causado diversos debates quato à aeira de se odelar o problea. Ao cotrário das vigas e placas que apreseta frequêcias aturais be espaçadas, as cascas cilídricas pode apresetar frequêcias próias, ou eso iguais, para odos de vibração distitos. Essa proiidade tora-se aida aior quado se cosidera u carregaeto estático copressivo. Isto faz co que aja eso para ível baio de carregaeto diâico, ua superposição das regiões de istabilidade paraétrica. Quado se cosidera o efeito de ãoliearidade, á etão a possibilidade de iteração etre os odos ão-lieares, o que pode causar udaças sigificativas as froteiras de istabilidade e os diagraas de bifurcação (Goçalves e Del Prado, 00, 005. este trabalo, te-se coo objetivo deduzir ua solução odal para os deslocaetos trasversais da casca cilídrica utilizado a técica de pertubação. A solução odal ecotrada deve cosiderar tato o acoplaeto odal etre os odos ão-lieares quato a iteração odal etre os dois odos de vibração ais próios. FORMUAÇÃO DO PROBEMA Cascas cilídricas são defiidas coo eleetos estruturais cuja distâcia etre qualquer poto itero da esa e a superfície édia da casca é pequea se coparada co as outras diesões que defie esta estrutura. Para este trabalo, a casca será cosiderada coo ua estrutura circular perfeita costituída de aterial elástico, oogêeo e isotrópico, cujas diesões serão defiidas coo raio a, coprieto e espessura, e tedo coo propriedades físicas u ódulo de elasticidade E, coeficiete de Poisso ν e desidade ρ. a Figura estão represetadas as diesões que defie a casca cilídrica assi coo o capo de deslocaetos u, v e w, que represeta os respectivos deslocaetos as direções aial,, circuferecial,, e trasversal, z, da casca cilídrica.

3 Figura. Parâetros geoétri, sisteade coordeadas e capo de deslocaeto da casca cilídrica Para a deteriação das equações de equilíbrio e de copatibilidade da casca cilídrica, essecias o estudo dos feôeos de acoplaeto e iteração odal, são ecessários iicialete a defiição de u capo de deforações e udaças de curvatura. o presete trabalo será utilizada a teoria ão-liear de Doell para cascas abatidas, que defie o capo de deforações e udaças de curvatura através das seguites equações: =u, w, ν, w = w a a, γ u, = a w, w, ν, a w, κ = w, κ = ode, e a κ w, = ( a γ correspode as deforações específicas da superfície édia. κ, κ e κ correspode as udaças de curvatura da superfície édia da casca. As deforações específicas e u poto qualquer da casca pode ser escritas e fução das deforações específicas e das udaças de curvatura da superfície édia: zκ = = z z κ γ = γ κ ( ode, e γ correspode as deforações édias e u poto qualquer, que são válidas para o itervalo -/< z </. Através da ei de Hooke geeralizada é possível obter as equações referetes a tesão

4 édia e u poto qualquer ao logo da espessura da casca, que a partir das deforações édias descritas a equação (, defie σ, σ e τ, coo apresetado as equações abaio: E σ = ( ν ν σ E ν ( ν = τ = E γ ( ν ( ode σ e σ represeta, respectivaete, a tesão oral a direção aial e circuferecial, e τ correspode a tesão cisalate o plao - que atua a casca cilídrica. das seguites itegrais: A partir da equação ( é possível deteriar os esforços de ebraa, obtidos a partir = σ dz = σ dz = τ dz ( ode, e são as resultates dos esforços de ebraa. seguites itegrais: Aida, através da equação (, é possível defiir os esforços de fleão, através das M = σ z dz M = σ z dz M = τ z dz (5 ode M, M e M represeta os esforços de fleão da casca. Resolvedo as itegrais epressas as equações ( e (5, os resultados para os esforços de ebraa e de fleão são dados por: C( = C ( C( = ν ν = ν M = D ( κ νκ M = D ( κ νκ M = ( ν κ D (6 ode C = E /(-ν represeta a rigidez de ebraa e D = E /[(-ν ] a rigidez de fleão da casca cilídrica. Ao realizar o soatório das forças e dos oetos a casca para u eleeto

5 ifitesial a cofiguração deforada, é possível obter as equações de equilíbrio ão-liear da casca. As equações obtidas por esta operação são apresetadas a seguir (Brus e Alrot, 975: a a,, =,, = 0 0 (7a (7b D w w, w,, = 0 w (7c a a a ode w = w, w, w,. a a A partir da fução de Airy, é possível deostrar coo varia os esforços de ebraa ao logo da casca cilídrica, essas fuções são defiidas a partir das seguites equações: = = a f, f, a f, = (8 copatibiladade: Segudo a teoria da elasticidade, é possível obter a seguite equação de, a γ a,, = 0 (9 A fução de Airy, aliada a equação de copatibilidade, são fudaetais a solução do sistea de equações ão-lieares de equilíbrio da casca dadas e (7, pois a fução de Airy atede autoaticaete as equações (7a e (7b. E u prieiro oeto, as deforações específicas apresetadas a equação ( são substituídas a equação de copatibilidade, dada pela equação (9, obtedo-se a seguite equação: a (0 a a a a γ,,, = w, w, w, w, E seguida, os esforços de ebraa represetados a equação (6, serão substituídos por suas respectivas fuções de Airy, o que peritirá a obteção de ovas equações de deforação, que serão iseridas a equação geral de copatibildade (9, obtedo etão a seguite equação:

6 a, a f,, γ, = f f,, a E a a ( represetada abaio: Igualado a equação (0 e (, obté-se etão a equação de copatibilidade da casca, f E a ( w w w aw = 0,,,, ( Fialete, é possível reescrever equação ão-liear de equilíbrio (7c, após a substituição da fução de tesão de Airy, coo: D w af ( f w f w f w = 0,,,,,,, ( RESUTADOS A equação ão-liear de equilíbrio da casca assi coo a equação de copatibilidade represetadas, respectivaete, pelas equações ( e ( são utilizadas a deteriação dos feôeos de acoplaeto e iteração odal da casca cilídrica.. Acoplaeto odal Para o estudo do acoplaeto odal será feita ua aálise ão-liear estática. A casca cilídrica aalisada ecotra-se apoiada as etreidades, ode as suas codições de cotoro serão devidaete atedidas. Essa casca será etão cosiderada co as seguites propriedades geoétricas e físicas: a = 0,, = 0,, = 0,00, E = 0 GPa e ν = 0,. De acordo co o étodo da perturbação é possível deteriar soluções odais para o deslocaeto trasversal da casca cilídrica apoiada, dada por (Goçalves et al., 008:

7 w = ij i=,,5 j=,, 5 α = 0,, β = 0 ( 6β ( β ( i α ( ( 6β ( α 6 β se j ( 6 β ( 6β ( β ( 6β Esse étodo cosiste basicaete e u soatório ifiito. ogo são escolidas três soluções distitas, dadas pelas equações (5, (6 e (7, ode o úero de graus-de-liberdade (G.D.. do sistea aueta a partir do aueto o úero de odos a equação (. w = se ( (5 ( w = se 0 (6 w = 0 se ( ( (7 ode, e correspode respectivaete as odas circufereciais e sei-odas logitudiais ao logo da casca cilídrica sedo o cojuto (, deoiado coo odo de flabage ou de vibração a depeder da aálise que pode ser estática ou diâica, respectivaete. As soluções odais apresetadas obedece corretaete as codições de cotoro de ua casca cilídrica siplesete apoiada, a saber: w w w ( 0, = 0 (, = 0, ( 0, = 0 (, = 0 w, (8

8 Iicialete, a casca será subetida a ua deteriada carga aial P aplicada as etreidades da casca, = 0 e =. a Tabela segue os valores das cargas críticas co seus respectivos odos de flabage. Tabela. Valores das cargas críticas e odos de flabage da casca cilídrica P/P crit(,5,00 5,000 6,79 A partir da Tabela verificou-se que a eor carga crítica ocorre para o odo (,5, logo os valores ostrados fora oralizados co relação ao P crit(,5. A carga crítica correspode ao istate a qual a casca estará a iiêcia de sofrer flabage. A seguir deteria-se o caio pós-crítico da casca cilídrica que correspode a represetação do coportaeto da casca após atigir a carga crítica. A Figura correspode ao caio pós-crítico para o odo (,5 para cada ua das soluções odais..5 G.D.. G.D.. G.D.. P/P CR(, Figura. Caio pós-crítico da casca cilídrica para o odo de flabage (,5 Ao aalisar a Figura é possível otar que o aueto o úero de G.D.. proporcioa a obteção de diferetes caios pós-crítico. Quado te-se G.D. (equação (5 ão é possível obter o real coportaeto da casca cilídrica, pois após atigir a carga crítica a esa gaa rigidez, auetado a capacidade de carga. Sedo assi, é feito o acréscio do úero de G.D.. para que a avaliação desse coportaeto seja ais próio do real. ogo, é possível

9 verificar que para G.D.. (equação (6 e G.D. (equação (7 á ua perda de rigidez a casca, evideciado pela perda da capacidade de carga, correspodedo assi ao coportaeto real sofrido pela esa. A cocavidade da curva sofre alteração quado á ua udaça de G.D.. para G.D.., sedo essa alteração eplicada pelo acréscio de u tero assiétrico,, a solução odal. E sítese, esse feôeo correspode ao acopaleto odal etre os teros das soluções (5, (6 e (7.. Iteração odal O estudo do feôeo de iteração odal é feito a partir de ua aálise ão-liear diâica, atedo a casca apoiada as etreidades. Para isto, a equação de equilíbrio deve ser odificada, sedo igualada ao tero de iércia cofore a equação abaio: ( f w f w f w ρ a w& D w af (9,,,,,,, = Ao ater os parâetros físi e geoétri estabelecidos a aálise ão-liear estática, foi possível deteriar a frequêcia atural (ω o e os odos de vibração da casca. a Tabela, segue esses valores ecotrados para os odos (,5 e (,6. Para a obteção dessas frequêcias aturais da casca cilídrica a aplitude odal é substituída por ua fução arôica do tipo (ω 0 t. E seguida, deverá ser feita a substituição destes pâraetros a equação de equilíbrio (9 liearizada jutaete co a equação (5. Tabela. Valores da frequêcia atural e carga crítica para = 0, ω o (rad/s P crit (k 5 65, ,8 005 ota-se a partir da tabela que os valores de ω o e P crit são diferetes para os diferetes odos de vibração apresetados. Para a avaliação do feôeo de iteração odal o objetivo é ecotrar ua geoetria que foreça a esa frequêcia atural e a esa carga crítica para odos distitos, logo será defiido u ovo parâetro de coprieto, *. Etão, para se cegar ao ovo parâetro de coprieto, *, que descreva a situação desejada, iicialete deverá ser atidos todos os parâetros físi e geoétri utilizados para

10 o estudo do acoplaeto odal, ecetuado-se. E u prieiro oeto para o odo (,5, até-se e ω o coo icógitas. Adiate, será feita ovaete a substuição dos parâetros físi e geoétrico a equação de equilíbrio (9, poré para o odo (,6, atedo-se tabé e ω o coo icógitas. Coo o objetivo é obter u que garata u eso ω o e P crit para odos distitos, iguala-se abas as equações obtidas, ecotrado-se u ovo igual a 0,6, que será deoiado coo *. A Tabela descreve os valores de ω o e P crit ecotrados a partir da subtituição de * etão obtido: Tabela. Valores da frequêcia atural e carga crítica para * = 0,6 ω o (rad/s P crit (k 5 799,0 679, ,0 679,5 A Tabela ostra que a partir da alteração da geoetria, foi possível obter ua esa frequêcia atural e ua esa carga crítica, para dois odos de vibração distitos. A udaça o valor do *, tabé gera ua odificação o caio pós-crítico, as Figuras e ostra o caio pós-crítico para as soluções odais apresetadas as equações (5 e (6, respectivaete:.8. P/P CR.6 (,6 (, Figura. Caio pós-crítico para G.D. co *.

11 ..5 P/P CR..05 (,6 (, Figura. Caio pós-crítico para G.D. co *. 0 A Figura ostra que G.D. ão é capaz de deostrar o real coportaeto da casca, ostrado que eiste u gao de rigidez, devido ao aueto da capacidade de carga, logo é feito o acréscio o úero de teros, obtedo assi u resultado próio do real para G.D.., represetado a Figura, ode é possível otar a perda de rigidez sofrida pela casca e abos os odos de vibração apresetados. Essa aálise iicial realizada tabé correspode ao acoplaeto odal, pois apesar de utilizar de ua ova geoetria, o coportaeto das soluções de (5 e (6 foi atido. Após a alteração a geoetria da casca, obtedo-se *, é possível deteriar a iteração odal etre dois odos de vibração, que para o presete trabalo, ocorrerá para os odos (, 5 e (, 6, para isso serão obtidas ovas soluções odais, através do étodo da perturbação (Goçalves et al., 008, que garata a iteração destes odos e ua úica solução. As soluções odais utilizadas são: w = se 0 ( ˆ se ( (0

12 ( ( ( ( ( [ ] ( [ ] se w = ˆ ˆ se ( ( ( ( [ ] ( [ ] ( ( ( [ ] ( [ ] se w = se se ˆ se ( Coo a iteração odal será realizada etre os odos de vibração (,5 e (,6, os valores de, e serão, respectivaete, iguais a, 5 e 6. as soluções odais (0, ( e ( as codições de cotoro apresetadas a equação (8 são atedidas e os parâetros físi e geoétri serão atidos, aplicado esse caso o * obtido. A partir das ovas soluções odais, serão obtidos ovos caios pós-crítico, que deostrarão o coportaeto de ua casca cilídrica diate da iteração dos odos de vibração (,5 e (,6. Esses caios pós-crítico estão represetados pela Figura 5.

13 .6. P/P CR Figura 5. Caio pós-crítico para as soluções odais (0, ( e (, cosiderado a iteração odal. A Figura 5 ostra os diferetes caios pós-crítico, obtidos a partir das diferetes soluções odais, aalisados para o feôeo de iteração odal. A curva apresetada e preto, represeta a solução odal (0, que eso possuido G.D.. ão é capaz de represetar o real coportaeto da casca cilídrica, idicado u aueto de rigidez da casca cilídrica devido ao aueto a capacidade de carga. Isto se deve ao fato de que dois dos três odos presetes a solução odal (0 são odos fudaetais de flabage, e ˆ. Essa represetação, distate do real, se dá devido a baia iteração realizada etre os odos de vibração (,5 e (,6. Aida a Figura 5, a curva e verde represeta a solução odal ( co 7 G.D.., este caio pós crítico ota-se ua perda de rigidez a casca cilídrica e fução da perda da capacidade de carga. Essa curva apreseta ua fala devido a istabilidade do étodo uérico utilizado a solução do sistea de equações (ewto-rapso. Já a curva e verelo, referete a solução odal ( co 9 G.D.., o caio pós crítico represeta de fora correta o coportaeto da casca cilídrica copriida, da esa aeira que a solução odal (. E sítese, esse feôeo correspode a iteração odal etre os odos de vibração (,5 e (,6. COCUSÃO este trabalo estuda-se os feôeos de acoplaeto odal e iteração odal e cascas cilídricas. Iicialete são obtidas as equações de equilíbrio e de copatibilidade da casca cilídrica a partir da teoria ão-liear de Doell para cascas abatidas. Para o estudo do acoplaeto odal presete e ua casca cilídrica aialete copriida eprega-se diversas soluções odais, que são deteriadas a partir do étodo da pertubação. A partir dos caios pós-críti

14 obtidos observa-se que a cosideração de diferetes odos leva a coportaetos distitos, idicado o acoplaeto odal. Já a para a iteração odal, foi obtida ua geoetria para a casca cilídrica que apresetasse dois odos de vibração e/ou de flabage distitos co a esa carga crítica e a esa frequêcia atural. As soluções odais que descreve os deslocaetos trasversais para o estudo da iteração odal deve levar e cosideração essa iteração odal. Os caios pós-criti obtidos a aálise da iteração odal descreve o coportaeto ãoliear esperado para cascas cilídricas, poré co ua topologia distita quado á apeas a cosideração do acoplaeto odal. REFERÊCIAS BRUSH, D. O., AMROTH, B. O. Bucklig of bars, plates ad sells. McGraw-Hill, Ic., ew York, 975. GOÇAVES, P. B.; BATISTA, R. C. o-liear vibratio aalysis of fluid-filled cylidrical sells. Joural of Soud ad Vibratio, vol. 7, p. -, 988. GOÇAVES, P. B.; DE PRADO, Z. J. G.. Effect of o-liear odal iteractio o te dyaic istability of aially ecited cylidrical sells. Coputers ad Structures, vol. 8, p. 6-6, 00. GOÇAVES, P. B.; DE PRADO, Z. J. G.. ow-diesioal Galerki odels for oliear vibratio ad istability aalysis of cylidrical sells. oliear Dyaics, eterlads, v,. -, p. 9-5, 005. GOÇAVES, P. B.; SIVA, F. M. A., DE PRADO, Z. J. G.. ow-diesioal odels for te oliear vibratio aalysis of cylidrical sells based o a perturbatio procedure ad proper ortogoal decopositio. Joural of Soud ad Vibratio, vol. 5, p. 6-66, 008. AYFEH, A. H., Metod of oral Fors. Jo Wiley & Sos, Ic., ew York, 99. SHAW, S. W., PIERRE, C., oral odes for oliear vibratory systes. Joural of Soud ad Vibratio, vol. 6, p. 85-, 99. SIROVICH,., Turbulece ad te dyaics of coeret structures part I: coeret structures. Quarterly of Applied Mateatics, vol. 5, p , 987a. SIROVICH,., Turbulece ad te dyaics of coeret structures part II: syetries ad trasforatios. Quarterly of Applied Mateatics, vol. 5, p , 987b. SIROVICH,., Turbulece ad te dyaics of coeret structures part III: dyaics ad scalig. Quarterly of Applied Mateatics, vol. 5, p , 987c.