Limites. Consideremos a função f(x)=2x+1 e vamos analisar o seu comportamento quando a variável x se aproxima cada vez mais de 1.

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1 Liites Noção ituitiv Cosidereos fução f() e vos lisr o u coporteto qudo vriável proi cd vez is de. o ) tede, ssuido vlores iferiores.,6,7,8,9,9,99,999,9999 f(),,,6,8,9,98,998,9998 ) tede, ssuido vlores superiores.,,,,,,,, f(),8,6,,,,,, Gráfico: f ( ) Verificos que qudo está próio de, os vlores correspodetes de f() estão próios d costte. Teos id que f() pode ssuir vlores cuj difereç pr costte é rbitrriete peque todo-, pr isso, vlores de que estej suficieteete próios de, s ão iguis. Etão dizeos que f() tede o ite qudo tede. Defiição: fução f() tede u costte L qudo tede p, qulquer que j eir pel qul el proie, todvi, ssuir o vlor p, diz- que L é o ite de f() qudo tede p. Isto é idicdo pel otção: f ( L ou f() L qudo p p )

2 O coceito de ite de fuções te grde utilidde deterição do coporteto de fuções s vizihçs de u poto for do doíio, o coporteto de fuções qudo uet uito(tede pr ifiito) ou diiui uito (tede pr eos ifiito). Coceitos do tipo ite são utilizdos frequeteete coversção e o peseto ão-teático. Por eeplo, produtividde ái teóric de u áqui ou fábric é u ite, o depeho idel (ou itte) que uc é tigido prátic, s que pode r proido rbitrriete.) Obs:.) O que iteress pr o cálculo do ite ão é o vlor que fução te o poto, s si de ode el proi. E: f() f() f ( ) Veos ssi que o vlor do ite é diferete do vlor d fução o poto.

3 .) Se dus fuções f() e ) são pre iguis, eceto pr, etão els te o eso coporteto pr o cálculo do ite o poto. ( )( ) E: f() DR-{} ) DR ) f() ` Não eiste f(). f ( ) Veos ssi que, ebor fução ão eist o poto, el te ite es poto. E: f() DR ) DR-{} g f ) poto.. ) Pode ocorrer que u fução eist o poto, s ão teh ite es E.: f() > f() f ( )

4 poto. Veos ssi que, ebor fução eist o poto, el ão te ites es Liites lteris Cosidereos fução f() do eeplo terior. f ( ) Liite à esquerd ou ite d fução f() qudo tede pel esquerd. f ( ) (ite à esquerd) f ( ) Liite à direit ou ite d fução f() qudo tede pel direit f ( ) 7 Pr que u fução teh ite u poto, os dois ites lteris deve eistir e re iguis. Eercícios: ) Pr cd u ds fuções bio, esboce u gráfico e, utilizdo idéi ituitiv de ite, clcule: f ( ) f ( ) f ( ) ) f()³, b) f(), c) f(), 8 d) f() ², < e) f(), 7 <

5 ) Utilizdo idéi ituitiv de ite, clcule: ² ² ) b) c) Liite e cotiuidde Cotiuidde de u fução Ituitivete, idéi de fução cotíu decorre d áli de u gráfico. Qudo o gráfico de u fução ão pret iterrupções (isto é, u curv que pode r trçd tirr o lápis do ppel), dizeos que el é cotíu. Se houver lgu poto e que ocorre iterrupção, dizeos que es é u poto de descotiuidde. A defiição teátic de cotiuidde evolve proprieddes de ites). Pode ocorrer que u fução teh ite u poto, eist este poto e estes vlores j iguis. Dizeos etão que fução é cotíu o poto. E: f() f() f ( ) f() fução cotíu Logo, dizeos que u fução f() é cotíu o poto e soete f ( ) f ( ) Veos ssi que pr u fução r cotíu o poto deve r stisfeits codiçoes: ) A fução deve eistir o poto, isto é, f(); ) A fução deve ter ite o poto, isto é, f (). ) Estes vlores deve r iguis. f ( ) f ( ) Se lgu ds codições ão verificr, dizeos que fução é descotíu o poto. Eeplos de fuções cotíus e R

6 ) Fuço costte f()k, k R ) f()... ) f() ) f().logo, e. ) f()() 6) f() cos() 7) f()log (>) Proprieddes, Se f() e ) são cotíus pr, etão tbé são cotíus pr. ) f()) ) f()-) ) f().) f ( ) ), ) ) Eeplos de fuções cotíus: ) h() ) h() ) h() cos ) h() Eercícios: ) Clcule os ites: ) ² b) ³ c) d) e) e e f) g) cos h) i) π / ² ²

7 ) Deterie fução é cotíu o poto ddo. ², ) F() < c) F(), > b) F(), d) F(), > ) Liites qudo vriável tede o ifiito (Liites o ifiito) e Liites ifiitos Qudo vriável ssue vlores cd vez iores dizeos que el tede is ifiito e idicos. Alogete, qudo vriável ssue vlores cd vez eores dizeos que el tede eos ifiito e idicos por. Podeos ter os guites csos de ite evolvedo ifiito. ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ) ) b ) ) 6) b 7) 8) E.: ) f() f ( ) (º.cso) f ( ) ( o. cso)

8 E. ) f()- f ( ) ( o. cso) f ( ) ( o. cso) E.) f() f ( ) ( o. cso) f ( ) ( o. cso) E.) f() DR IR-{} f ( ) ( o. cso) f ( ( o. cso) ) E.) f() f ( ) (6 o. cso) f ( ( o. cso) ) E.6) f() DR-{} f() f ( ) (6 o. cso) f ( ) ( o. cso) ( ) f (7 o. cso) ( ) f f ( (7 o. cso) )

9 E.7) f()- ( ) f (8 o. cso) ( ) f f ( (8 o. cso) ) E.8) f() DR f() f ( ) f ( ( ) f ) OBS:. qudo fir que u ite eiste, deve r etedido por isto, que o ite eiste e é fiito. Possível cofusão surge qudo, por eeplo, escreve epressão A. Etretto, isto ão sigific que A tede u úero desigdo por, s pes que A tor- rbitrriete grde, à edid que tede pr.. ão é úero! (e ão deve r cosiderdo coo tl, id que, por coviiêci, j usdo d for que u úero ri usdo, e lgus epressões.) Eercícios: Clcule os ites ) ) f ( ) X f() ) ) log ) log > 6) log 7) tg 8) 9 9) f ( ), f() log <

10 ) ) log ) OBS: ) Fução costte: k k ) Nehu fução trigooétric te ite qudo vriável tede o ifiito. Proprieddes dos ites Se f ( b e c (b e c fiitos) teos: ) ) o.) [ f ( ) )] f ( ) ± b c ± ) ± Liite de u so é igul so dos ites. o.) [ f ( ). )] f ( ). ) b c Liite de u produto é igul o produto dos ites o.) f ( ) f ( ) b g (c ) ( ) ) c Liite do quociete é igul o quociete dos ites o.) g ( ) g ( ) c [ f ( )] [ f ( )] b (b>) o.) log f ( ) log f ( ) Liite do logrito é igul o logrito do ite Eeplos: ) ( cos ) cos ) - ) (.) ). π. tg tg ) ( ) [ ( )] 6) log ( ) log ( ) log 8 π 8

11 Csos especiis: f () ) [ f ( ) b b Ideteridos - )] f () ) [ f ( ). b> b< - b> - - b< ideterido - )] f () ) f ( ) ) b b - b - C ide - C ide Ideterido Ideterido - Ideterido - Ideterido - - Ideterido E: (.log )

12 ) Se f() e )-. Clcule: ) f ( ) ) b) c) [ f ( ) )] O ite está iicilete ideterido (ehu ite é ideterido. O ite está iicilete ideterido.) [ f ( ) )] [ ] Clcule: cos ) cos ) ) )

13 Csos de ideterição ) - ) ) ) ) 6) 7) Clcule os ites ) tg ) π ) (.log ) ) ) 6) 8 ² 7) 8) 9) ) t t ³ t³ t² t ( t )( t ) 8 ³ ² 8 8² 6 Liite de fução rciol qudo tede o ifiito Fução rciol é quel ford pelo quociete de dois poliôios. O ite os etreos de u fução polioil é igul o ite de u tero de ior epoete, pois, colocdo- es tero e evidêci, todos os outros teros tede zero. Isso pode r costtdo o guite eeplo: 9 ² 9 ³ ³ ² ³ ± b b b - - b

14 ± b b... b b b b ± Pr clculr o ite de u fução rciol qudo vriável tede ifiito, bst clculr o ite do quociete dos teros de is lto gru do uerdor e deoidor. E: ) 9 7 ) ) Liites fudetis ) ) k k Eercício: Clcule os ites: ) 9 b) c) 7 d) e) tg k

15 Liite de quêci Sequêci ou sucessão é u fução e que vriável pertece o cojuto dos úeros turis, pode r fiit ou ifiit. Idic- por ( ) ode é chdo tero gerl d quêci. E: ) f()-, N->,,,7,... ) f()/, N ->,/,/,/,... ) f()()/, N ->, /, /, /,... ) f(), N ->, /, /,... Gráficos: (fordos por potos isoldos) ) ) ) f()- f()/ f()()/ (só te tido for clculr ite d quêci tededo o ifiito, qudo tede u úero, ão fz tido!) Covergêci de Sucessões Dizeos que u sucessão coverge pr u úero fio, à edid que uet, o vlor de f() proi des vlor fio. ) E: f() / coverge pr. ( ) Se edid que uet, os vlores de f() ão coverge pr ehu vlor fio. Dizeos que tl quêci diverge. Etre s sucessões divergetes, eiste quels que e que à edid que uet, os vlores de f() cogue superr qulquer vlor fido; dizeos que esss sucessoes diverge pr is ifiito. E.: f()- ( )

16 Pode ocorrer que à edid que uet, os vlores de f() cogue ficr bio de qulquer vlor fio, por eor que ele j; dizeos que esss sucessões diverge pr eos ifiito. E: f() - (-) -> (-,-,-,-7,...) ( ) Eiste sucessões que ão diverge e pr is e pr eos ifiito. E.: f()(-). -> (-,,-,,-,...) OBS:. Não clcul ite d quêci trvés de gráfico, s soete lisdo o tero gerl.. Qudo o ite d quêci é ifiito, quêci é divergete e qudo o ite d quêci é fiito, quêci é covergete. ) (iicilete ideterido) ) ( ) A quêci cujo tero gerl é é chd de quêci de Euler. (ideterido) -> 9 ->,

17 6 ->, >, >, > 6, Outros vlores: 6,97,698,6988,78,769,769.,78.,78.,7868..,788 O ite d quêci de Euler é u úero irrciol copreedido etre e desigdo pel letr e (úero de Euler). U vlor proido deste úero é e, e U úero próio o úero e foi usdo coo b de u siste de logritos pelo teático escocês Joh Npier (ou Neper) e ficou cohecido coo siste de logrito eperio. Síbolos: log, N e l N.

18 Outros ites iguis e. e e ( ) e E gerl: k R-{} k k e e k k ( k ) e k Eercício Clcule: ) b) c) d)

19 Aplicção: Juros cpitlizdos cotiuete Cosidereos u cpitl de $., plicdo juros copostos à t de % o o pelo przo de dois os. Se os juros fore cpitlizdos ulete, o otte rá M.(,)., Se os juros fore cpitlizdos estrlete u t estrl proporciol % o o, t estrl rá de %/6% o estre e o otte rá: M.(,6).6, 8 Se os juros fore cpitlizdos eslete u t esl proporciol % o o, t esl rá de %/% o ês, e o otte rá: M.(,).69, 7 Se os juros fore cpitlizdos u t diári proporciol % o o, t diári (cosiderdo u o de 6 dis) rá de %/6 o di, e o otte rá: M.(,/6) 7.7, Cd vez que diiui o przo de cpitlizção, o úero de cpitlizções (k) e u o uet de odo que t proporciol % o o es período de cpitlizção é igul %/k e o przo de plicção de os epresso de cordo co o przo de cpitlizção vle k. Coqueteete, o otte é ddo por:, M. k k Dizeos que o cpitl é cpitlizdo cotiuete, qudo o otte M é ddo por:, M k.. k k Pr clculros tl ite, podeos chr,/k de / e coqueteete rá igul k/,. Qudo k tede ifiito, tbé tede, de odo que o ite ci pode r epresso por:.(,).(,)..(,) M k.. e.7,, pois epressão etre colchetes é o ite epoecil fudetl. De u odo gerl, u cpitl C é cpitlizdo cotiuete u t proporciol u t i ul, pelo przo de os, o otte é ddo por: i. MC.e.

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