Dispersão de um pacote de ondas livres

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1 Dispersão de u pacote de ondas livres Nos cursos introdutórios de ecânica quântica há sepre o problea da dispersão do pacote de ondas gaussiano para partícula livre, quando evolui segundo a equação de Schrödinger. Noralente, esse problea é abordado de fora uito superficial e rapidaente, pois requer uito trabalho algébrico para poder ser resolvido copletaente. Nesta postage vou apresentar todas as passagens do cálculo para o caso unidiensional. Minha intenção é que este aterial sirva de referência a você, estudante de ecânica quântica, eso quando for trabalhar e probleas correlatos ais avançados, coo é o caso da teoria de espalhaento, cujos livros-texto noralente faze uso dos resultados que aqui apresento, as apenas en passant. Seja u pacote de ondas gaussiano unidiensional, noralizado, dado por ψ p π / exp p p p, na representação de oentu. Para você conferir que a noralização da Eq. está correta, aplique o resultado da postage Integral da gaussiana à integral do quadrado do ódulo de ψ p : dp ψ p dp p exp π p p. Note que é ua constante e, portanto, não uda seu valor no integrando, confore a variável p vai sendo integrada. Você prontaente encontrará que o valor da integral na Eq. é igual a u. Coo exercío adicional, você pode verificar que o valor esperado do oentu, segundo a função de onda da Eq., é dado por: dp ψ p p. 3 A incerteza do oentu, de acordo co a função de onda definida pela Eq., tabé é facilente verificada coo sendo dada por: p p p dp p ψ p. Você pode estar se perguntando por que razão coecei co u pacote na representação de oentu. Coo é típico da teoria de colisões, ua partícula é preparada para atingir u alvo co u dado oentu inicial. Só que, coo tudo na vida, a preparação não é perfeita e, após esse processo,

2 a partícula acaba tendo u valor esperado de oentu,, co ua incerteza p. Para siplificar, aproxiaos esse estado inicial co ua gaussiana, e analogia ao Teorea Central do Liite. Tipicaente, e estatística, deonstraos que a édia aritética de ua longa sequência de valores de ua variável aleatória se distribui quase sepre coo ua gaussiana, eso que a particular distribuição da variável não seja gaussiana. Digo, quase sepre, porque a distribuição de probabilidade da variável aleatória deve ter todos os seus oentos finitos para o teorea valer. Veja, por exeplo, inha postage O teorea central do liite de distribuições probabilísticas. No entanto, dependendo do processo de preparação da partícula, o pacote de ondas não é, necessariaente, gaussiano. Ua vez dito isto, para siplificar vaos tratar o caso gaussiano, que é o elhor possível, pois é o pacote de ondas de ínia incerteza, coo pode ser visto, por exeplo, no link: u dia ainda faço essa conta explicitante aqui no Nerdyard. Outro exercício uito instrutivo para você fazer é ostrar que a transforada de Fourier da Eq. é dada por: ˆ + dp exp i pq ψ p π p exp i q q q, 5 onde q p. 6 Veja que a Eq. 6 é a relação de incerteza entre p e q para pacotes gaussianos, quando a igualdade vale. Veja tabé que os ebros da Eq. 5 não estão noralizados. Co a noralização de abos os ebros da Eq. 5 obteos: ψ q exp i q π / q exp q q, 7 onde usaos a Eq. 6 e definios a função de onda na representação da posição coo é usual: ψ q ˆ + π dp exp i pq ψ p. 8 Note a presença, na Eq. 7, da exponencial exp i q/, ultiplicando a gaussiana. Caso a partícula fosse preparada co valor esperado de oentu nulo, isto é, 0, esse fator exponencial não apareceria. Note que esse fator não é constante, pois a variável q, conjugada a p, aparece no arguento da exponencial. Outro fato digno de nota sobre o estado representado pela Eq. 8 é que não é u auto-estado da hailtoniana de partícula livre, coo podeos facilente

3 verificar. Para isso, basta toar a hailtoniana seguinte: H 0 P, 9 onde P é o operador oentu, e aplicá-la à esquerda do ket ψ, cuja projeção no ket q dá função de onda da Eq. 8, isto é, Então: q ψ ψ q. 0 H 0 ψ P ψ. Só para recordar você das sutilezas notacionais, P é o operador e p é seu autovalor no estado p. Olhando a Eq. 8, veos que a função de onda ψq é dada e teros de ua superposição linear das funções de onda plana: q p π exp isto é, podeos reescrever a Eq. 8 coo: ψ q i pq, dp q p ψ p, 3 usando a Eq.. Mas, segundo a Eq. 0, a Eq. 3 tabé pode ser rearranjada assi: q ψ q dp ψ p p. Coo a Eq. deve ser válida para todos os bras q, segue dessa equação que: ψ dp ψ p p. 5 Logo, substituindo a Eq. 5 na Eq. resulta e: H 0 ψ P dp ψ p p dp ψ p P p dp ψ p p p, 6 já que os kets p são auto-estados do operador P. Veja que os núeros p que aparecera no integrando da Eq. 6 não pode ser fatorados para a 3

4 esquerda do sinal de integração, no segundo ebro dessa equação. Portanto, não é possível escrever H 0 ψ coo ua constante ultiplicando o estado ψ, provando que este não é u auto-estado de H 0. Passeos agora à evolução teporal do estado ψ. Sabeos que o operador evolução é dado por: U t, t 0 exp i t t 0 H 0. 7 Então, aplicando o operador da Eq. 7 no estado da Eq. 5, ve: ψ t U t, t 0 ψ dp ψ p U t, t 0 p dp ψ p exp i t t 0 H 0 p. 8 Mas, você certaente se lebra que: exp i t t 0 H 0 p n0 n0 i t t 0 n! n! onde utilizaos a Eq. 9 e o fato de que cuja iteração repetida resulta e: i t t 0 P p p p, 0 P n p p n p. n H n 0 p n p n p, 9 A Eq. 9 pode ser reescrita e teros de ua exponencial, ao invés de u soatório, e, assi: exp i t t 0 H 0 p exp i t t 0 p p. A substituição da Eq. de volta na Eq. 8 fornece: ψ t dp ψ p exp i t t 0 p p. 3 Note que t 0 é o instante e que a evolução teporal, a partir do estado ψ, coeça. Para siplificar a notação, vaos definir a variável τ, dada por: τ t t 0.

5 A função de onda coo função do tepo é dada e teros das Eqs., 3 e coo: ˆ + ψ q, t q ψ t dp ψ p exp i τp π + ipq. 5 Substituindo a Eq. na Eq. 5 resulta na transforada de Fourier que precisaos calcular: ˆ + p ψ q, t π 3/ dp exp p p i τp + ipq. 6 Veja agora o arguento da função exponencial da Eq. 6: isto é, p p i τp + ipq p p i τp + ipq p p + p p p i τp + ipq, p + i τ p + p + i q p p, ou seja, p p i τp + ipq αp + βp p, 7 onde, para siplificar, definios as constantes coplexas: e α β p + i τ 8 p + i q. 9 Podeos ainda copletar o quadrado do segundo ebro da Eq. 7: p p i τp + ipq α p βα p p α p β α β α p, 5

6 isto é, p p i τp + ipq α p β + β α α p. 30 Colocando a Eq. 30 de volta na Eq. 6 ve: exp β α ψ q, t p π 3/ p dp exp α p β. 3 α O resultado da integral da Eq. 3 é análogo ao da integral real da postage Integral da gaussiana e, portanto, ficaos co: β ψ q, t π / exp α p α p. 3 Podeos explicitar as quantidades α e β no arguento da exponencial da Eq. 3 utilizando as Eqs. 8 e 9: β α p p p p + i q + i τ + i q p p p p + i τ + i τ. 33 Agora vaos ultiplicar o nuerador e o denoinador do quociente obtido na Eq. 33 pelo coplexo conjugado do denoinador, para obter: β α p + i q p p i τ 6 p + τ + τ p 6 p. 3 Estaos anipulando essas equações para fazer co que o resultado final, para o pacote de ondas, seja expresso coo é usual nos livros-texto, isto é, coo ua gaussiana que se desloca co velocidade /, ultiplicada por ua onda plana que se desloca co velocidade /. Enfi, co vistas a chegar nessa resposta convencional, vaos ultiplicar o nuerador e o denoinador da Eq. 3 por p, obtendo: β α p + iq p i p τ + p τ p τ p. 35 6

7 Efetuando alguas operações algébricas, é possível siplificar u pouco o nuerador da Eq. 35: β α + i q q i p τ p p p τ p + p τ p i q q + i q q i p τ p p p τ isto é: β α p i q p q i τ q τq p + τ + p τ p, + τq + i p τq τ, + p τ p + i p τq + τ p p + i q i τ p p, ou seja: β α p q τ + i p τq + i p q i τ p + τ p p q τ + i p τq + i p q τ + τ p p + τ i τ p q τ + i p q τ + i p τq + i τ i τ p p, + τ p p ou ainda: β α p q τ + i p τ q + i p + τ p p q τ q τ i p τ i p τ τq + τ + i p + τ p p q τ 7

8 q τ i p τ i τ p + τ p p + i p q τ q τ. 36 Finalente, a Eq. 36 pode ser siplificada para ficar na fora que procurávaos encontrar: β α q τ i p τ + i q τ p + τ p p q τ i p τ + i q τ τ p p Substituindo a Eq. 37 de volta na Eq. 3 fornece: { } exp i q τ q τ ψ q, t exp π / p + i τ p i p τ + τ p p + τ p p, 38 onde tabé usaos a Eq. 8 e τ t t 0, coo definido na Eq.. Só para verificar, veja que quando toaos t t 0 na Eq. 38, obteos novaente a Eq. 7, coo deveria ser. Toeos agora o ódulo ao quadrado da Eq. 38: ψ q, t Integrando a Eq. 39 dá: π / + tt0 p p dq ψ q, t π exp + tt0 p p q tt0 + tt0 p p π / p + tt0 p, 0 ostrando que está noralizada, tabé coo deveria ser. O pacote dependente do tepo se alarga, pois podeos ver que a incerteza associada co a variável q, coo função do tepo, é dada por: q t p + t t 0 p q + t t 0 p, 8. 39

9 onde usaos a Eq. 6. A distribuição gaussiana da Eq. 39 se propaga no sentido positivo de q, co velocidade de grupo dada por / supondo que > 0. Já a função de onda da Eq. 38 te u fator que é ua onda plana que se propaga co a velocidade de fase dada por /, confore já havíaos adiantado acia. Note tabé, na Eq., que a incerteza da variável q, ou posição, é ínia para t t 0, sendo que o pacote se dispersa tanto para t > t 0, coo para t < t 0. É relevante tabé encionar que o efeito do alargaento para tepos anteriores ao instante de preparação, t 0, é se significado, pois não havia pacote então. 9