Dinâmica de um sistema de partículas

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1 Capítulo Dinâmica de um sistema de partículas. Colisões elásticas de duas partículas em duas dimensões O objetivo é aplicar os teoremas de conservação para o estudo das colisões elásticas de duas partículas. Denominam-se colisões elásticas àquelas nas quais a energia e momento são conservados. Quando duas partículas interagem o movimento de uma partícula relativa a outra é governado pela natureza da força de interação entre as partículas. Esta interação pode ser de origem eletromagnética, gravitacional ou nuclear forte e/ou fraca, por exemplo um meteoro pode ter sua trajetória alterada (espalhamento) devido a interação gravitacional, quando da passagem nas proximidades da terra, também uma partícula α pode ser espalhada por um núcleo atômico. Sabe-se que se força de interação entre duas partículas é conhecida, o problema de dois corpos é totalmente solúvel. Entretanto mesmo não se conhecendo a natureza da interação ( força de interação) entre as partículas muito pode-se aprender acerca do movimento relativo entre elas utilizando-se leis de conservação. Assim se o estado inicial do sistema (posições e velocidades iniciais) for conhecido, as leis de conservação permitem que se tenha informações sobre o estado final (posições e velocidades) do sistema. O objetivo desta seção é o de calcular as velocidades e energia cinéticas finais das partículas envolvidas no processo de colisão em termos dos parâmetros conhecidos (medidos no laboratório): velocidades iniciais, massas das partículas e ângulos de espalhamento. Devido ao grande número de parâmetros necessários para descrever este

2 CAPÍTULO. DINÂMICA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS Figura..: Referenciais de Laboratório (SLAB) e Centro de Massa (SCM) problema, define-se a notação m m massa da partícula incidente = projétil, massa da partícula alvo Para as velocidades envolvidas utiliza-se u representando as velocidades iniciais e v as velocidades finais, sendo que analogamente para a partícula (alvo) u i v i u i v i velocidades iniciais das partículas e no SLAB, velocidades finais das partículas e no SLAB. Os outros parâmetros são V ψ ζ θ velocidades iniciais das partículas e no SCM, velocidades finais das partículas e no SCM. velocidade do CM, comn relação SLAB, angulo de espalhamento de m no SLAB, angulo de espalhamento de m no SLAB, angulo de espalhamento de m no SCM. Da geometria da Fig. (..) encontra-se que

3 .. COLISÕES ELÁSTICAS DE DUAS PARTÍCULAS EM DUAS DIMENSÕES3 SLAB SCM Antes da Colisão Figura..: Antes da colisão t = t i no SLAB e SCM respectivamente r = r + V t, r = r + V t. (..) Dado que estes são vetores dependentes do tempo, somente a velocidade do SCM, V é constante, as derivadas dos vetores no instante inicial t i antes da colisão fornece u = u + V, 0 = u + V, (..) devido que a partícula m está em repouso no SLAB, sendo portanto o seu vetor constante. A derivadas dos vetores Eq. (..) em um tempo posterior t = t f fornece v = v + V, v = v + V. (..3).. Descrição qualitativa do espalhamento nos referenciais de LAB e CM. A Fig. (..) ilustra a geometria da colisão elástica antes da colisão nos sistemas de referência do laboratório (SLAB) onde a velocidade inicial do alvo (m ) u = 0 e sistema de referência do centro de massa (SCM); enquanto que a Fig. (..3) corresponde à representação após a colisão. O estado final das partículas espalhadas tanto no sistema de laboratório quanto do centro de massa, estão sumarizados de forma apropriada nos diagramas da Fig. (..4). Nesta representação estão esquematizados os estados finais do projétil (m ) devido a colisão elástica com o alvo para o caso em que V < v quando existe somente uma possível trajetória de espalhamento e V > v quando há duas possíveis trajetórias de espalhamento sendo caracterizadas pelos ângulos θ f [0, π/] e θ b [π/, π].

4 4 CAPÍTULO. DINÂMICA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS SLAB SCM Depois da Colisão Figura..3: Depois da colisão t = t f no SLAB e SCM respectivamente Figura..4: Colisão elástica de duas partículas. Estados finais do projétil (m ) devido a colisão elástica com o alvo para as duas possibilidades de valores entre a velocidade do CM e velocidade final do projétil no SCM.

5 .. COLISÕES ELÁSTICAS DE DUAS PARTÍCULAS EM DUAS DIMENSÕES5 Este diagrama tem o seguinte significado: a velocidade V do CM adicionase a velocidade final v de m. Dependendo do angulo θ em que o espalhamento acontece, todos os possíveis vetores v estão com origem em V e extremidade na circunferência de raio v. A velocidade v e o angulo de espalhamento ψ no laboratório são obtidos conectando-se a origem de V com a extremidade de v. Da figura Fig. (..4) obtêm-se que para V < v existe uma relação unívoca entre os parâmetros V e v, ou seja para cada um dos valores de V e v têm-se somente um valor do angulo θ. Note no entanto que para V > v têm-se duas possibilidades de espalhamento para os mesmos valores de V e v, as quais são v b, θ b e v f, θ f correspondendo ao espalhamento frontal e para a volta. Esta situação ocorre devido ao fato que para V > v têmse dois possíveis valores do ângulo θ f e θ b para um único ângulo ψ para o espalhamento no laboratório. Note claramente que isto acontece porque v intercepta a circunferência de raios v em dois pontos. Neste caso não existe uma relação unívoca entre os parâmetros. Quado determina-se os vetores V e v não há ambiguidade porque fica definido um único θ, porém no laboratório mede-se ψ, a direção de v que juntamente com V conduz aos dois possíveis valores de θ. A discussão anterior é qualitativa, para que se determine os valores dos parâmetros de interesse no espalhamento, velocidades e energias finais, é necessário utilizar as equação ou leis de conservação, isto será feito na próxima seção... Descrição do movimento no CM A definição de coordenadas do centro de massa fornece R = ni= m i r i ni= m i, (..4) que diferenciadas com relação ao tempo t i antes da colisão, teremos V = m M u + m M u, onde M = m + m e u =0 já que a partícula alvo está em repouso. Segue portanto que a velocidade do centro de massa no referencial do laboratório é V = m M u. (..5) Conhecida a velocidade no CM utiliza-se as equações Eq. (..,..3) para se encontrar as velocidades iniciais e finais do projétil e alvo no SCM:

6 6 CAPÍTULO. DINÂMICA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS ou seja temos u = u V = u m M u = m M u u = u V = 0 m M u = m M u u = m M u, u = m M u que podem ser utilizadas para calcularmos o momento no CM (..6) P i = m u + m u m = m M u m m M u = 0, ou seja o momento inicial do sistema no CM é nulo P i = 0. (..7) O teorema de conservação do momento fornece, para o CM, que de onde segue que P f = m v + m v = 0, v = m m v. (..8) Essa equação indica diretamente que no CM o espalhamento se dá em uma dimensão após a colisão com as partículas movendo-se em direções opostas. Como a colisão é elástica, a interação de contato e a análise do problema (espalhamento) é feita antes do espalhamento e após o espalhamento, a conservação da energia se aplica e neste caso reduzindo-se à conservação da energia cinética T i = T f, (..9) fornecendo neste caso m u + m u = m v + m v = m u + m u = m v + m v.

7 .. COLISÕES ELÁSTICAS DE DUAS PARTÍCULAS EM DUAS DIMENSÕES7 Substituindo as Eq. (..6,..8) encontra-se que ( ) m ( m M u + m m ) ( M u = m m ) v + m v = m ( ) m m (m M + m ) u m + m = m v = m m m M u = m Mv = m ou resumidamente v = m M u, e segue diretamente utilizando a Eq.(..8) que v = m M u = V = u, (..0) v = m M u = u, (..) indicando que as velocidades finais são iguais as iniciais quando o espalhamento é analisado do CM...3 Descrição do espalhamento no SLAB Para se descrever o movimento no SLAB é necessário conhecer além da relação dos módulos nos dois sistemas, também as direções. Por isto torna-se necessário encontrar equações que relacionem os ângulos nos referenciais de CM e LAB...3. O ângulo de espalhamento do projétil Para encontramos a relação entre o ângulo de espalhamento do projétil e o ângulo de espalhamento no CM utilizamos o diagrama da figura Fig. (..5) A representação esquemática na figura Fi. (..5) foi feita considerandose V < v. De fato é necessário considerar-se também as duas possibilidade do espalhamento com V > v, como esquematizado na Fig. (..4). Estas possibilidades não serão abordadas neste momento apesar que os resultados finais corresponderão à situação agora considerada. Segue da geometria da Fig. (..5) que tan ψ = v senθ v cos θ + V = senθ cos θ + V. (..) v

8 8 CAPÍTULO. DINÂMICA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS Figura..5: Relação entre ψ e θ Utilizando as Eqs. (..5,..6) obtêm-se que V v = m M u M u = m. (..3) m m Substituindo a Eq. (..3) na Eq. (..) obtêm-se a relação procurada tan ψ = senθ cos θ + m. (..4) m Desta equação destacamos dois importantes casos particulares: Primeiro m m. Neste caso segue diretamente da Eq. (..4) que tan ψ = tan θ = ψ θ. Segundo m = m. Neste caso segue diretamente da Eq. (..4) que tan ψ = senθ cos θ +. Dado que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) θ θ θ θ θ θ sen (θ) = sen cos + sen cos = sen cos, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) θ θ θ θ θ θ cos (θ) = cos cos sen sen = cos sen ) = cos ( θ.

9 .. COLISÕES ELÁSTICAS DE DUAS PARTÍCULAS EM DUAS DIMENSÕES9 segue que tan ψ = tan ( ) θ = ψ = θ. Resumindo e colecionando os resultados anteriores, têm-se que ψ θ, m m, ψ = θ, m = m. (..5) Quando a massa do projétil é muito maior que a massa do alvo, o ângulo de espalhamento do projétil no LAB é aproximadamente igual ao ângulo de espalhamento do projétil no CM, como resulta da análise da primeira das Eqs. (..5). Já a segunda dessas Eqs. indica que se a massa do projétil for igual a massa do alvo, o ângulo de espalhamento no laboratório é metade do angulo de espalhamento do projétil no CM. Dado que o valor máximo do ângulo de espalhamento no CM é de θ = π, a segunda das Eqs. (..5) indica que para m = m não há no LAB espalhamento com ângulos maiores que π/...4 Ângulo de espalhamento do alvo A expressão para a velocidade final v do alvo no SLAB também depende do ângulo de espalhamento θ do SCM. Analogamente ao procedimento utilizado na obtenção da Eq. (..4),procede-se na obtenção da relação entre o ângulo ζ e θ. Para isto considera-se a representação esquemática, Fig. (..6), com a geometria do espalhamento do alvo. Desta representação encontra-se que Estas equações fornecem v senζ = v senθ, v cos ζ = V v cos θ. tan ζ = V v senθ cos θ. Dado que pela Eq. (..0) V/v =,teremos tan ζ = senθ cos θ.

10 0 CAPÍTULO. DINÂMICA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS Figura..6: Geometria do espalhamento do alvo Devido que [ ( ) ] θ cos θ = cos ) obtêm-se que ( θ = cos ) ( θ = sen, ( ) ( ) θ θ sen (θ) = sen cos, tan ζ = cot Sendo que ( ) θ cot = cos ( ) θ sen ( ) = sen ( θ ) π θ cos ( θ π Obtêm-se desta forma a equação tan ζ = tan ( ) θ. ) = sen ( π θ cos ( π θ ) ) = tan ( π θ ). ( π θ ), (..6)

11 .. COLISÕES ELÁSTICAS DE DUAS PARTÍCULAS EM DUAS DIMENSÕES Figura..7: Espalhamento de duas partículas com massas iguais, com o alvo inicialmente em repouso da onde segue a relação entre os ângulos ζ = π θ ζ = π θ. (..7) Neste caso a relação entre os ângulos independe das massas, com isto a análise feita anteriormente não se aplica a este caso. Entretanto para partículas de massa iguais m = m obteve-se que ψ = θ/ e para este caso tem-se que ζ = π θ = π ψ = ψ + ζ = π, m = m. (..8) A Eq. (..8) indica que no espalhamento de partículas com as mesmas massas os ângulos entre os vetores velocidades finais serão retos se o alvo estiver inicialmente em repouso, como ilustrado nas Fig. (..7)...5 Cinemática das colisões elásticas Devido a não considerarmos a força existente no momento da colisão (interação entre as partículas) podemos fazer somente uma descrição da cinemática do movimento utilizando a conservação do momento e energia. A energia envolvida neste processo é somente a cinética, a qual depende do quadrado da velocidade inicial e final já que é necessário o conhecimento da energia antes e após a colisão. A energia cinética inicial do sistema no SLAB é T i = T + T = m u + 0 = T i = m u. (..9)

12 CAPÍTULO. DINÂMICA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS A energia cinética inicial no SCM, com a substituição da Eq. (..6), é Resumindo encontra-se que T i = m u + m u = m m M (m + m ) u = m M m u = m M T 0. T i = m M T 0. (..0) Esta equação indica que a energia cinética no SCM é menor, (uma fração) da energia cinética no SLAB, já que m M = m m + m <. As expressões obtidas anteriormente fornecem a energia cinética do sistema (duas partículas) inicial nos SLAB e SCM, que pelo teorema de conservação da energia, também será a energia do sistema após a colisão. Entretanto o que se mostra necessário calcular após a colisão, são as energia cinéticas finais de cada constituinte individual, por isso o próximo passo será o cálculo das energias cinéticas das partículas m e m finais no SLAB em função da energia inicial do sistema no SLAB. A energia cinética calculada no SLAB depende da velocidade do CM e da velocidade no SCM. Esta combinação será quadrática e por isto aparecerá o ângulo entre os vetores velocidade do CM e velocidades das partículas m e m no SCM, ou seja as Eqs. (..3) fornecem que v = (V + v ) = V + v + V v (..) = V + v + V v cos θ, v = (V + v ) = V + v + V v (..) = V + v + V v cos (π θ) = V + v V v cos (θ). Expressando as velocidades do CM e final da partícula m no SALB, via Eqs. (..5,..0,..), têm-se que

13 .. COLISÕES ELÁSTICAS DE DUAS PARTÍCULAS EM DUAS DIMENSÕES3 ( ) v m ( ) = M u m + M u m + M u m M u cos θ = m ( m m + m ) + cos θ u M m m = m ( m m + m ) + cos θ u M m m. Já a velocidade final de m no SLAB será que resumidamente são ( ) v m ( ) = M u m ( ) + M u m M u cos θ ( ) m = M u ( cos θ) u v = m m M ( m + m m m + cos θ ) u, (..3) v = ( ) m ( cos θ) u. (..4) M Utilizando estas equações obtêm-se imediatamente as expressões para as energias cinéticas finais das partículas projétil e alvo no SLAB: T = m m M ( m + m m m + cos θ ) T 0, (..5) ( ) m m T = ( cos θ) T 0. (..6) M As Eq. (..5,..6) fornecem as energias cinéticas finais no referencial de laboratório das partículas m e m em função de suas massas, energia cinética inicial T 0 e ângulo de espalhamento θ medido no centro de massa. Os dados experimentais são medidos no referencial do laboratório, por isso é necessário expressar estas equações em função dos ângulos ψ e ζ. Isto é mais facilmente executado através dos cálculos dos quadrados das velocidade no CM, que a inversão das Eq. (..4) e Eq. (..6) para posterior substituição nas Eq.(..5) e Eq. (..6).

14 4 CAPÍTULO. DINÂMICA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS..5. As Energias cinéticas finais das partículas em função do ângulo de laboratório Para expressarmos as energia cinéticas finais das partículas m e m em função dos ângulos do SLAB é mais simples usarmos as relações entre as velocidades finais no SCM e SLAB e isolar cujos quadrados são v = v + V, v = v +V, v = v V, v = v V, v = v + V v V cos ψ, (..7) v = v + V v V cos ζ. (..8) Utilizando a Eq. (..7) calcula-se a velocidade final do projétil (partícula m ) em função do angulo ψ. Para isto utiliza-se as Eqs. (..5,..) para reescrever a Eq. (..7) como ( ) m ( ) M u = v m ( ) + M u m v M u cos ψ. Esta é uma equação de segundo grau na incógnita v : cujas soluções são v = ( ) v m M u cos ψv + m m u M = 0, ( ) m M u cos ψ ± = m M u cos ψ ± m ( ) m M u cos ψ 4 m m u M ) 4 ( M u cos ψ m m A velocidade final do alvo (partícula m ) em função do angulo ζ. Para isto utiliza-se as Eqs. (..5,..0) para reescrever a Eq. (..8) como ( ) ( ) ( ) m M u = v m + M u m v M u cos ζ,.

15 .. RESUMO E CONSIDERAÇÕES 5 que também é uma equação de segundo grau para v : ( ) v m v M u cos ζ = 0, cujas soluções são 0, v = ( m M u ) cos ζ. Colecionando os resultados para os cálculos das velocidades v = m (m ) M u cos ψ ± sen ψ, (..9) v = m ( m M cos ζ ) u. (..30) As correspondentes energias cinéticas T e T em função dos ângulos de espalhamento medido no laboratório será ( ) m (m ) T = cos ψ ± sen ψ T 0, M T = 4m m M cos ζt 0 T T 0 = ( ) m M m (m ) cos ψ ± sen ψ m, (..3). Resumo e considerações T T 0 = 4m m M cos ζ. (..3) Apresenta-se uma compilação dos resultados anteriores e suas consequências para valores particulares de alguns parâmetros... Grandezas referidas ao SCM Coordenadas, velocidade e velocidades relativas: R = m r + m r, M

16 6 CAPÍTULO. DINÂMICA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS Figura..: Resumo da geometria, ângulos e energia cinética V = m M u, u = m M u, u = m M u Utilizando as equações anteriores, destacamos os seguintes casos particulares m m Neste caso o o CM está muito próximo de m, a velocidade de m, u, deve ser muito maior do que a velocidade de m, com relação ao CM, para que no momento da colisão os três pontos geométricos estejam no mesmo local. m = m Neste caso as relações entre as velocidades serão u = u, u = u, ou seja mesmo módulo e sentidos opostos. m m Neste caso o CM está muito próximo de m e sua velocidade relativa ao CM é muito pequena; já a velocidade de m é grande porque está se afastando do CM.... Grandezas referidas ao SLAB Resumo da geometria, ângulos e energia cinética

17 .. RESUMO E CONSIDERAÇÕES 7 T T 0 = senθ tan ψ = cos θ + m, m ζ = π θ, ( ) m cos ψ ± m sen M m ψ T T 0 = 4m m M cos ζ. m m Neste caso m /m, teremos para os ângulos que tan ψ tan θ = ψ θ; T T 0 ( ) m [ m cos ψ ± m m ζ = π θ = ζ + ψ = π ] ( ) m ( ) m =, m m como esperado já que devido a sua grande massa a partícula m será pouco espalhada e adquirirá uma pequena energia cinética, enquanto que a energia cinética de m permanecerá praticamente inalterada, mantendo praticamente o seu valor inicial. A energia cinética de m será como já observado. T T 0 = 4m m M cos ζ 4m m cos ζ, m = m Neste caso os ângulos e velocidade serão tan ψ = senθ cos θ + = tan ( ) θ = ψ = θ ; ζ = π θ = ζ + ψ = π, T = [ ] 4 cos ψ ± sen T 0 4 ψ = 4 cos ψ +, 0. Entretanto a energia cinética não é nula, por isto somente a primeira raiz é aceitável. Para T termos T T 0 = cos ζ = cos ( π ψ ) =sen ψ.

18 8 CAPÍTULO. DINÂMICA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS Este resultado indica que para ψ = 0, π a energia cinética da partícula m é igual a energia cinética inicial, T = T 0 enquanto que a energia cinética da partícula m é nula, ou seja ela permanece em repouso. Já para ψ = π/, após a colisão m torna-se estacionária e m adquire a energia cinética máxima. Note que neste caso m para e m é espalhada em um ângulo reto com a linha de visada (ou prolongamento da trajetória inicial) de m.