Seção de choque. Thereza Borello Lewin. Grupo de Espectroscopia Nuclear com Íons Leves. Departamento de Física Experimental

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1 Seção de choque Thereza Borello Lewin Grupo de Espectroscopia Nuclear com Íons Leves Departamento de Física Experimental Instituto de Física da USP - IFUSP

2 . Introdução. A Dinâmica da Colisão As relações cinemáticas encontradas anteriormente são de aplicação geral e dizem respeito a qualquer tipo de processo onde haja conservação do momento e da energia total, independente da natureza da interação. Neste capítulo, será discutida uma forma de abordagem da dinâmica utilizando o conceito de seção de choque, que será introduzido por intermédio de exemplos simples.. O Conceito de Seção de Choque Na introdução do conceito de seção de choque, o primeiro exemplo focaliza o choque num plano, como ilustrado na figura.. Sejam dois pucks (discos que deslizam sem atrito sobre um colchão de ar) de mesmas massas e raios, conforme ilustrado. Antes do choque, um deles está parado e o outro aproxima-se sem atrito sobre uma superfície plana horizontal. Tomando a reta que passa pelo centro de massa do puck incidente e tem a direção de sua velocidade, o choque ocorrerá se a distância entre essa reta e o centro de massa do outro puck, que está parado, for menor ou igual à soma dos raios dos discos. A essa distância damos o nome de parâmetro de impacto b. O ângulo entre as direções incidente e emergente é denominado ângulo de espalhamento no laboratório. Por outro lado, o disco que estava parado recua. A direção de recuo e a direção de incidência definem o ângulo ζ denominado de ângulo de recuo. A cinemática (conservação de energia e momento linear) impõe que após o choque é normal o ângulo entre as direções de espalhamento e de recuo. Todas as possibilidades de espalhamento de pucks incidentes em um puck parado estão associadas a parâmetros de impacto menores que a soma dos raios e a um comprimento de impacto total igual a duas vezes essa soma. De fato, o choque pode ocorrer tanto do lado esquerdo quanto do lado direito do centro do puck alvo. O comprimento de impacto total corresponde à seção de choque total, pois se trata de um problema de duas dimensões. No instante em que os dois pucks se chocam, a distância entre os centros de massa é R, hipotenusa de um triângulo retângulo onde um catetos é b. A distância R está na direção da força (radial) de contato entre os pucks. O ângulo ζ, como indicado na figura, é tal que b/r = sen ζ. Lembrando que ψ + ζ = π/, a direção emergente está definida. Verificando os limites de b = R sen ζ podemos fazer alguns comentários. O choque frontal corresponde ao parâmetro de impacto igual a zero e ao ângulo de recuo ζ igual a 0º, enquanto o puck incidente fica em repouso. Por outro lado, b = R corresponde a ψ = 0 enquanto o puck alvo permanece em repouso. Em qualquer dos casos, um dos Figura.- O momento da colisão dos dois pucks

3 pucks permanece em repouso e o outro continua com a mesma velocidade inicial. Diferenciando a relação b = R sen ζ, obtemos db = R cos ζ d ζ. Isso significa que, para pequenas variações de b (mantendo-as, obviamente, dentro dos limites para os quais o choque ainda ocorra), haverá uma correspondente pequena variação no ângulo de recuo ζ. Desta forma, todos os corpos (no caso, pucks) que colidirem com o puck alvo, com parâmetros de impacto compreendidos entre b e b + db, causam um recuo do puck alvo em ângulos compreendidos entre ζ e ζ + dζ, e o puck incidente é espalhado entre ψ e ψ + dψ. O comprimento de impacto diferencial correspondente leva ao conceito de seção de choque diferencial. Em continuação, passando para um exemplo menos idealizado, será tratado espacialmente o espalhamento entre dois íons. Na interação coulombiana, a força entre íons é inversamente proporcional à distância ao quadrado e a simetria do choque é axial, conforme mostra a figura.. O espalhamento pode ser caracterizado pelo ângulo azimutal do desvio entre as direções incidente e emergente e uma variação no parâmetro de impacto b está associada a uma variação no ângulo de espalhamento ψ. A seção de choque correspondente refere-se à área do anel entre b e b + db. Aqui o centro de dispersão está fixo e coincide com o alvo quando a massa deste for muito maior do que a massa do projétil. Neste caso, o ângulo de espalhamento ψ no laboratório coincide com o do centro de massa, θ. (veja figura) A seção de choque total tem a dimensão de área, pois se trata de um problema de três dimensões. Figura. - A simetria axial e o espalhamento coulombiano A seção de choque diferencial (por unidade de ângulo sólido) do espalhamento entre dois íons, em que a interação é coulombiana, é conhecida como de Rutherford e expressa por: k 4 4T sen 0,.(.)

4 onde: k é igual a Q.q / (4πεо), em que Q e q são as cargas do íon incidente e do núcleo espalhador respectivamente, e T0 é a energia cinética da partícula incidente. Todas as partículas que atravessam o anel à esquerda (antes do choque) atravessarão a área hachuriada (depois do choque). O conceito de seção de choque é amplo e se aplica ao estudo de reações nucleares. Esta pode ser medida e fisicamente é proporcional a probabilidade da reação..3 Cálculo da seção de choque Rutherford A seção de choque Rutherford caracteriza a situação em que duas partículas carregadas interagem de forma elástica. É preciso lembrar que o campo eletrostático gerado por uma carga é conservativo, tal como o gravitacional, o que permite a simplificação do problema através da descrição de uma função escalar, o potencial eletrostático..3. O Potencial Coulombiano A situação inicial a ser considerada é a de interação entre duas partículas carregadas positivamente, em que o potencial varia de acordo com, isto é, inversamente proporcional r à distância r entre os centros dos corpos. Neste caso, a energia potencial U (r) associada às partículas varia segundo a relação: K U( r), (.) r onde K é uma constante. A intensidade da força mútua entre elas é então dada por: K F( r), (.3) r du ( r) lembrando que tais grandezas relacionam-se através de: F(r) = rˆ, onde rˆ é um dr vetor unitário paralelo ao segmento que une os corpos. Inicialmente será tratado o caso de um sistema em que as massas das partículas são comparáveis. Na figura.3 está ilustrada a situação em que a partícula incidente m aproximase de m, de maior massa. Antes de sentir a presença de m, a partícula m possui velocidade apenas na direção horizontal, enquanto m encontra-se parada (velocidade nula), convencionalmente na origem do sistema de coordenadas adotado. Devido às cargas de mesmo sinal, à medida que a distância entre os centros das partículas diminui, a ação da força coulombiana torna-se mais intensa, provocando o efeito de repulsão mutua entre os corpos (relação.3). Além disso, a figura.3 apresenta a direção da velocidade V do centro de massa do sistema, paralela à velocidade da partícula incidente. O momento linear total também é horizontal (paralelo a V) e constante, durante todo o processo.

5 Figura.3: Interação coulombiana entre duas partículas. é o ângulo de desvio de m com relação ao laboratório, enquanto que é o ângulo de desvio das duas partículas com relação ao centro de massa. O é a posição em que a massa maior, neste caso m, encontra-se inicialmente em repouso até iniciar seu movimento devido à presença de m. À medida que as partículas se afastam, depois de terem se aproximado o máximo possível, a força de repulsão começa a diminuir, tendendo a zero quando a distância entre as massas tornar-se grande. Deste modo, assumem cada vez mais o caráter de partículas livres. Quando isto ocorre, ambas realizam trajetórias assintóticas retilíneas. Na prática, a maioria dos potenciais diminui muito depressa com a distância, de forma que a direção assintótica é assumida rapidamente. Fazendo referência ainda à figura.3, a linha tracejada representa a direção final da partícula m e o ângulo formado com sua direção inicial é o ângulo de espalhamento O mesmo vale para a partícula m, embora não esteja representado na ilustração. Na situação em que as partículas estão livres, o ângulo, formado pelo segmento que as separa e a direção inicial de m, é o ângulo de espalhamento no referencial do CM. Tais ângulos foram analisados na seção anterior. Caso não ocorresse interação entre as partículas, m passaria à distância b da partícula m (indicada na figura.3), seguindo uma linha reta. Esta medida é conhecida como parâmetro de impacto. O problema de dois corpos, no qual estão presentes os desvios de ambas as partículas, pode se tornar muito complicado. Porém, considerando o vetor posição relativa entre as duas massas, a situação se reduz ao problema de um único corpo, de massa (que pode ser pensado em termos de uma partícula virtual - verifique apêndice n, onde há breve exposição sobre sistemas de dois corpos). O ângulo de espalhamento desta partícula é o próprio, que coincide com o ângulo de espalhamento medido no CM, como indica a figura.3.

6 Caso o valor de m seja suficientemente grande, quando comparado a m ( m >> m ), vale a aproximação: m, em que a partícula não sofre recuo. Consequentemente o comportamento desta última é análogo ao de um centro espalhador. A figura.4 representa esta situação. Figura.4: Esquema para o espalhamento de uma partícula por um centro de forças O. Em A, a partícula se encontra muito afastada de O ( r ) e se aproxima deste com uma velocidade inicial v 0 e parâmetro de impacto b. Em B a partícula se afasta de O, tomando a direção. De maneira a relacionar o parâmetro de impacto b ao ângulo em que a partícula mm incidente é espalhada, considera-se a massa reduzida do par, dada por m m, com velocidade inicial v 0. O momento angular inicial da partícula em relação a O é então dado por: l 0 que é constante, pois se trata de uma força central. Usando a definição de momento angular: v b, (.4) r v b, (.5) dt l 0 onde r e são as coordenadas polares que determinam a posição da partícula enquanto ela está sob a ação da força coulombiana. O ângulo possui qualquer valor entre 0 (antes do ponto A) e (a partir do ponto B). Nestes extremos, a partícula se comporta livremente.

7 Para este cálculo será utilizado apenas o componente vertical da velocidade da partícula. Assim, de acordo com a segunda Lei de Newton, e utilizando a (.3), é possível escrever para a força resultante, na direção y: F y dv y K sen F sen. (.6) dt r Isolando o termo / r de.5 e substituindo em.6: dv y K sen dt v b dt. (.7) 0 Para encontrar a relação entre o parâmetro de impacto e o ângulo de espalhamento é necessário resolver a equação.7. Como dito anteriormente, 0. Além disso, é preciso saber também o componente da velocidade na direção y em A e B. Olhando novamente para a figura.4, quando a partícula está muito longe de O ( r ), v y 0. Na situação em que se encontra distante de O (partícula em B), a direção do corpo é a da reta cujo ângulo com a horizontal é, de modo que: v y vsen (.8) Como a partícula possui movimento livre antes e depois da interação com o centro de forças (quando está muito afastada dele), o único modo do momento linear se conservar corresponde ao caso em que as velocidades, inicial e final, são iguais em módulo. Assim, em B o módulo da velocidade é vo. 0 v y v 0sen Então, resolvendo a equação.7 dentro das condições de contorno ( e 0 ) e usando identidades trigonométricas pertinentes ( cot cos / sen ), chega-se numa relação entre o parâmetro de impacto e o ângulo de espalhamento no CM: K b cot (.9) É importante notar que este resultado vale para qualquer potencial que varie com / r, resultando numa dependência semelhante do parâmetro de impacto com o ângulo de espalhamento..4 O Conceito formal de Seção de Choque O resultado expresso em (.9) pode ser interpretado da seguinte maneira: na situação em que dois corpos interagem, de acordo com o potencial coulombiano, um parâmetro de impacto b é sempre relacionado a um ângulo de espalhamento, medido no sistema do centro de massa. v 0

8 Qual o procedimento a ser seguido quando, ao invés de uma única partícula incidente, existe um feixe de íons colidente com um centro espalhador? Para responder à questão, faz-se necessária a definição da seção de choque diferencial. Figura.5: Representação do espalhamento de um feixe de íons por um centro de dispersão. As partículas carregadas ficam distribuídas em certo ângulo sólido de acordo com a variação do parâmetro de impacto. A ilustração também apresenta a geometria geral do problema numa perspectiva tridimensional. Considere que o feixe de íons possui densidade superficial de fluxo I, dada pelo número de partículas que atravessam, num intervalo de tempo, uma superfície unitária normal à direção do feixe. A seção de choque diferencial ( ) é definida, por centro espalhador, como a razão entre o número de partículas espalhadas dn, em tal intervalo de tempo, e o produto do diferencial de ângulo sólido d e o fluxo I. Observe que o número de partículas dn está associado ao ângulo sólido d, pois são contadas apenas as partículas que chegarem ao detector. Assim sendo, dn I. (.0) Pelas escolhas feitas até então, em se tratando de sistemas de referência, seção de choque diferencial em relação ao centro de massa. Todavia, a definição apresentada é geral, ou seja, vale para qualquer sistema de referência. Fazendo a análise dimensional da expressão (.0), obtém-se a dimensão de área, que inclusive remete à própria nomenclatura dada à seção de choque. A interpretação física relacionada a este conceito diz respeito à probabilidade de ocorrência dos processos de interação. Ou seja, quanto maior a área associada a é a, maior é a probabilidade de algum tipo de reação ocorrer entre as partículas. Mais adiante, serão abordados outros aspectos referentes à relação entre a seção de choque e o tipo de interação envolvido no processo.

9 A figura.6 mostra que o número de partículas cujos parâmetros de impacto se encontram entre b e b db são espalhadas em ângulos compreendidos entre e. Algo importante que pode ser observado é que os projéteis mais próximos do centro espalhador (linha inferior) sofrem uma deflexão mais acentuada que os íons mais afastados (linha superior), visto que a força de interação é proporcional ao inverso do quadrado da distância. Figura.6: Ilustração bidimensional para os desvios sofridos pelos íons ao interagir com o alvo. Ainda recorrendo à figura.6, o número de partículas incidentes num dado intervalo de tempo, com parâmetros de impacto entre b e b db, é igual ao produto entre o fluxo I (vide definição) e a área da (figura.6). Rearranjando a expressão (.0), obtém-se o número de partículas espalhadas dn dentro do ângulo sólido d, por intervalo de tempo. Neste exemplo, com um único centro espalhador, a conservação da quantidade de partículas é característica do processo de deflexão, portanto é válida a igualdade entre a quantidade de íons incidentes em da e os espalhados em d. Portanto, lembrando os resultados de da e d (figura.6), a igualdade a seguir é valida: Onde a razão db / I. bdb I.. sen (.) é negativa, uma vez que a força varia de tal forma que o valor do desvio angular diminui com o aumento do parâmetro de impacto. Isolando ( ) na equação (.), obtém-se finalmente: b db. (.) sen Supondo uma terceira situação, em que um feixe de íons incidente colide, não apenas com um único, mas com vários centros espalhadores (um alvo - região com densidade

10 superficial uniforme de centros de dispersão), que tipo de análise pode ser feita a fim de obter uma relação entre b e? Os efeitos dos centros espalhadores vizinhos, quando um deles é fixado, são desprezíveis. É por esta razão que o exemplo da figura.6 pôde ser tratado como um espalhamento provocado por um único centro de dispersão. Isto porque a força coulombiana cai rapidamente com a distância, mais precisamente com o inverso de seu quadrado. Além disso, existe o efeito da blindagem dos elétrons sobre a carga do núcleo. Observe que os raios atômicos e nuclear são, respectivamente, da ordem de 0-0 m e 0-5 m..5 Relação entre os sistemas de laboratório e centro de massa Lembrando que os dados experimentais são tomados no sistema de laboratório, é necessário determinar uma relação entre a seção de choque no sistema CM ( ) e a seção de choque no sistema L ( ( ) ). O número de partículas detectadas independe do sistema de referência, assim como o fluxo I (de acordo com sua definição apresentada anteriormente). Da expressão.0, para ambos os referenciais, portanto, é válida a igualdade a seguir: dn ( ) ( ) I (.3) onde e são os ângulos de espalhamento no CM e L, respectivamente. Os diferenciais de ângulo sólido d e d correspondem, nesta ordem, ao CM e L. Pela figura.0, sen e, de forma análoga, sen. Logo,. sen ( ). sen (.4) De onde é possível escrever: ) ( sen. sen. (.5) Com a expressão.5, é possível fazer a medição da seção de choque no laboratório e conhecer o seu valor no CM, no qual os cálculos normalmente são efetuados por ser menos complicados..6 Cálculo da seção de choque coulombiana Os resultados obtidos até aqui podem ser usados para calcular a distribuição angular gerada por um potencial coulombiano. A seção de choque diferencial (com respeito ao CM) é dada por: b db. (.6) sen

11 por: Segundo a.6, para um potencial coulombiano, o parâmetro de impacto pode ser dado b k v 0 cot g k u cot g k 0 T cot g, (.7) u Onde T 0 é a energia cinética da partícula de massa reduzida e 0 u relação à : v Derivando em Substituindo.7 e.8 em.6, db k. 4 T sen (.8) 0 k 4 4T sen 0 (.9) chega-se à equação da dispersão de Rutherford. Ela mostra a distribuição angular para um espalhamento no qual só existem interações elétricas, ou seja, prediz, para o potencial coulombiano, a dependência da seção de choque diferencial com o ângulo de espalhamento, dada uma energia inicial T 0. Além disto, é possível verificar se a interação existente em um processo é elétrica apenas analisando o comportamento que a seção de choque possui com o ângulo de espalhamento no CM.

12 3 Medição experimental de seção de choque 3. Introdução Considerando as definições e discussões no capítulo, O Conceito de Seção de Choque, apresenta se neste capítulo, uma ideia simplificada acerca da medição prática da secção de choque diferencial de uma reação, como forma de ilustrar a abordagem teórica já realizada. Em um experimento real não é possível, por exemplo, aplicar diretamente as relações (.4) e (.9), que valem, respectivamente, apenas para simetrias axiais e exclusivamente para o espalhamento Rutherford. Desta forma, novas considerações devem ser feitas visando as condições experimentais específicas deste tipo de problema. 3. O espalhamento de um feixe de íons provocado por vários centros espalhadores A definição de secção de choque apresentada até então foi obtida a partir do estudo de um caso particular de interação: a coulombiana. Todavia, um dos fatores a serem considerados durante um experimento real é a possível atuação de forças nucleares, além das de natureza elétrica. Nesta abordagem, inicialmente um feixe de íons interage com um alvo em repouso (no referencial do laboratório). Este último normalmente é uma película fina com uma distribuição uniforme de núcleos (centros espalhadores). Outro fato importante a se atentar, é sobre a homogeneidade do feixe. Trata se de algo dinâmico e não tão uniforme, em alguns momentos uma área da placa é mais atingida que a outra, por isso trabalha se com um valor médio para a intensidade do feixe. É comum afirmar, neste caso, que uma das faces do alvo é iluminada pelo feixe. A figura representa esta situação. Figura : Ilustração para a situação em que um feixe de íon incide sobre um alvo de espessura x. Em destaque, a região iluminada pelas partículas carregadas. Sendo A a área indicada na figura, então o número de partículas que chega ao alvo, num intervalo de tempo de medição (τ), é: (3.) onde I é o fluxo de íons (sua definição está na seção.3.: número de partículas que atravessam, num intervalo de tempo, uma superfície unitária normal à direção do feixe). A área A não é constante em relação ao tempo durante o experimento, oscilando em torno de um valor médio. A maioria das partículas carregadas do feixe atravessa o alvo sem reagir com os núcleos em repouso. Estes íons seguem em seu trajeto até que atingem um dispositivo coletor de carga: o copo de Faraday. Através da medição da

13 corrente elétrica que chega ao copo, é possível calcular a carga total depositada num dado intervalo de tempo. Para tanto, é realizada a somatória dos sucessivos termos: (3.) onde q é a quantidade de carga que foi depositada no dispositivo por uma corrente elétrica média i, relativa a um pequeno intervalo de tempo t. O resultado da carga total do feixe de íons é obtido pela operação denominada integração da corrente, dada por: Sendo conhecida a carga q 0 das partículas do feixe, pode se calcular o número total de íons que chega ao alvo através da razão entre a carga total Q(τ), obtida através do processo de integração, e q 0. Logo, o número de partículas que atingem o alvo é escrito como: Α Α (3.3) O número de centros espalhadores (na) é contido no volume A x do alvo, onde A é a área atingida pelo feixe e x é a espessura do alvo, e relaciona se com a densidade do material e a massa m de cada centro espalhador. (3.4) (3.5) Observe que o produto ρ x caracteriza o alvo em termos de como por exemplo, que é usualmente denominado espessura do alvo no jargão. A partir da expressão acima obtém se o número de centros espalhadores, informação importante uma vez que a secção de choque deduzida no texto anterior refere se a um único centro espalhador. Seja N o número de partículas que atingem o detector no tempo τ de medida referente ao número de centros espalhadores do alvo na. Então, o número de partículas N por unidade de tempo e por centro espalhador será. Como já visto, a secção de choque diferencial referente a um único centro espalhador é dada pela expressão abaixo, onde Ω é o ângulo sólido que o detector enxerga. Ω (3.6)

14 Por fim, substituindo as expressões 3 e 5 na equação 6, obtemos: Ω (3.7) que por sua vez, resulta em: Ω (3.8) É interessante observar que a expressão acima não depende da área A do alvo onde incide o feixe, impossível de se medir, nem do intervalo de tempo τ. 3