Halliday & Resnick Fundamentos de Física

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1 Halliday & Resnick Fundamentos de Física Mecânica Volume 1

2 O GEN Grupo Editorial Nacional reúne as editoras Guanabara Koogan, Santos, Roca, AC Farmacêutica, LTC, Forense, Método, EPU, Atlas e Forense Universitária O GEN-IO GEN Informação Online é o repositório de material suplementar dos livros dessas editoras

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4 Capítulo 9 Centro de Massa e Momento Linear

6 9-1 Centro de Massa Objetivos do Aprendizado 9.01 Dada a posição de várias partículas em um eixo ou plano, determinar a posição do centro de massa Determinar a posição do centro de massa de um objeto usando princípios de simetria No caso de um objeto bidimensional ou tridimensional com uma distribuição homogênea de massa, determinar a posição do centro de massa (a) dividindo mentalmente o objeto em figuras geométricas simples, (b) substituindo essas figuras por partículas e (c) calculando o centro de massa dessas partículas.

7 9-1 Centro de Massa O movimento de objetos que giram pode ser complicado (pense em um taco de beisebol) Entretanto, existe um ponto especial em qualquer objeto para o qual o movimento é simples O centro de massa do taco descreve uma parábola igual à de uma partícula Todos os outros pontos do taco giram em torno desse ponto Figura 9-1

8 9-1 Centro de Massa Definição de centro de massa (CM): No caso de duas partículas separadas por uma distância d, tomando a origem na posição da partícula 1: Eq. (9-1) Tomando a origem em um ponto arbitrário: Eq. (9-2)

9 9-1 Centro de Massa A posição do centro de massa não depende do sistema de coordenadas escolhido O centro de massa é uma propriedade das partículas e não das coordenadas Figura 9-2

10 9-1 Centro de Massa No caso de muitas partículas, podemos generalizar a equação e escrever em que M = m 1 + m m n. Eq. (9-4) Em três dimensões, calculamos o centro de massa separadamente para cada eixo: Eq. (9-5)

11 9-1 Centro de Massa Mais concisamente, podemos escrever: Eq. (9-8) No caso de corpos maciços, podemos tomar o limite de uma soma infinita de partículas infinitamente pequenas, ou seja, calcular uma integral! Calculando separadamente o centro de massa para cada coordenada, escrevemos Eq. (9-9)

12 9-1 Centro de Massa Vamos considerar apenas objetos de massa específica, ρ, uniforme, para os quais Nesse caso, temos: Eq. (9-10) Eq. (9-11) Podemos dispensar uma ou mais das integrais se o objeto apresentar algum tipo de simetria

13 9-1 Centro de Massa O centro de massa está no ponto de simetria (se existir) Está na reta ou no plano de simetria (se existir) Não precisa estar no objeto (pense em uma rosquinha) Respostas: (a) na origem (b) em Q4, na reta y = x (c) no eixo y (d) na origem (e) em Q3, na reta y = x (f) na origem

14 9-1 Centro de Massa Exemplo Subtração o o o o o Pede-se: determinar o CM de um disco no qual está faltando um disco menor: Determine o CM de cada disco Determine o CM dos dois CMs, considerando negativa a massa do disco menor Na figura, CM C é o centro de massa da placa composta CM P é o centro de massa da placa composta com o Disco S removido Figura 9-4

15 9-2 A Segunda Lei para um Sistema de Partículas

16 9-2 A Segunda Lei para um Sistema de Partículas 9.04 Aplicar a segunda lei de Newton a um sistema de partículas, relacionando a força resultante (das forças que agem sobre as partículas) à aceleração do centro de massa do sistema Aplicar as equações de aceleração constante ao movimento das partículas de um sistema e ao movimento do centro de massa do sistema. Objetivos do Aprendizado 9.06 Dadas a massa e a velocidade das partículas, calcular a velocidade do centro de massa de um sistema Dadas a massa e a aceleração das partículas, calcular a aceleração do centro de massa de um sistema Dada a posição do centro de massa em função do tempo, calcular a velocidade do centro de massa de um sistema.

17 9.09 Dada a velocidade do centro de massa em função do tempo, calcular a aceleração do centro de massa de um sistema Calcular a variação de velocidade de um centro de massa integrando a função aceleração do centro de massa em relação ao tempo Calcular o deslocamento de um centro de massa integrando a função velocidade do centro de massa em relação ao tempo No caso em que as partículas de um sistema de duas partículas se movem e o centro de massa permanece em repouso, determinar a relação entre os deslocamentos e a relação entre as velocidades das duas partículas.

18 9-2 A Segunda Lei para um Sistema de Partículas O movimento do centro de massa não é afetado por forças internas ao sistema (colisões de bolas de bilhar) Movimento do centro de massa de um sistema: Eq. (9-14) Observações: 1. F res é a soma das forças externas 2. M é a massa total do sistema 3. a CM é a aceleração do centro de massa Eq. (9-15)

19 9-2 A Segunda Lei para um Sistema de Partículas Exemplos Usando a equação do movimento do CM: o Colisão de bolas: as forças são internas e, portanto, F = 0 e a = 0 o o Bola de tênis: a = g e, portanto, a trajetória é balística Explosão de fogos de artifício: como as forças da explosão são internas, o centro de massa dos fragmentos descreve uma trajetória balística, caso a resistência do ar possa ser desprezada. Figura 9-5

20 9-2 A Segunda Lei para um Sistema de Partículas Resposta: O sistema é constituído por Frederico, Eduardo e a vara. Como todas as forças são internas, o centro de massa não se move. Como o centro de massa está na origem, os patinadores se encontrarão na origem nos três casos! (Naturalmente, a origem está mais próxima de Frederico do que de Eduardo.)

22 Objetivos do Aprendizado 9.13 Saber que o momento é uma grandeza vetorial e que, portanto, possui um módulo e uma orientação e pode ser representado por meio de componentes Saber que o momento linear de uma partícula é igual ao produto da massa pela velocidade da partícula Calcular a variação do momento de uma partícula a partir da variação de velocidade da partícula Aplicar a relação entre o momento de uma partícula e a força (resultante) que age sobre a partícula Calcular o momento de um sistema de partículas como o produto da massa total pela velocidade do centro de massa Usar a relação entre o momento do centro de massa de um sistema e a força resultante que age sobre o sistema.

23 9-3 Momento Linear O momento linear é definido por meio da equação O momento Eq. (9-22) o o tem a mesma direção que a velocidade só pode ser mudado por uma força externa Segunda lei de Newton, em termos do momento: Eq. (9-23)

24 9-3 Momento Linear Respostas: (a) 1, 3, 2 e 4 (b) na região 3 Podemos somar os momentos das partículas de um sistema para obter: Eq. (9-25)

25 9-3 Momento Linear A segunda lei de Newton para um sistema de partículas pode ser escrita na forma Eq. (9-27) A aplicação de uma força externa a um sistema produz uma variação do momento linear Na ausência de uma força externa, o momento linear total de um sistema de partículas não pode variar

26 9-4 Colisão e Impulso

27 9-4 Colisão e Impulso 9.19 Saber que o impulso é uma grandeza vetorial e, portanto, tem um módulo e uma orientação Usar a relação entre o impulso e a variação de momento Usar a relação entre o impulso, a força média e a duração do impulso Usar as equações de aceleração constante para relacionar o impulso à força média. Objetivos do Aprendizado 9.23 Dada a equação de uma força em função do tempo, calcular o impulso integrando a função Dada a curva de uma força em função do tempo, calcular o impulso por integração gráfica Em uma série contínua de colisões de projéteis com um alvo, calcular a força média que age sobre o alvo a partir da taxa mássica das colisões e da variação de velocidade dos projéteis.

28 9-4 Colisão e Impulso O momento de uma partícula pode variar em uma colisão Definimos o impulso J a que um corpo é submetido durante uma colisão por meio da equação: Eq. (9-30) Isso significa que o impulso aplicado é igual à variação do momento do objeto durante a colisão: Eq. (9-31) Essa equação, como outras equações vetoriais, pode ser escrita na forma de componentes

29 9-4 Colisão e Impulso Dados F méd e t, temos: Eq. (9-35) Como estamos integrando, precisamos conhecer apenas a área sob a curva da força Figura 9-9 Resposta: (a) mantém (b) mantém (c) diminui

30 9-4 Colisão e Impulso Se cada projétil de uma salva de n projéteis sofre uma variação de momento Δp, Eq. (9-36) A força média é: Figura 9-10 Eq. (9-37) Se as partículas param, Eq. (9-38) Se as partículas ricocheteiam com a mesma velocidade escalar, Eq. (9-39)

31 9-4 Colisão e Impulso Como o produto nm é a massa total para n colisões, podemos escrever: Eq. (9-40) Respostas: (a) nula (b) positiva (c) o sentido positivo do eixo y (a força é normal)

32 9-5 Conservação do Momento Linear

33 9-5 Conservação do Momento Linear Objetivos do Aprendizado 9.26 No caso de um sistema isolado de partículas, usar a lei de conservação do momento linear para relacionar o momento inicial das partículas ao momento em um instante posterior Saber que, mesmo que um sistema não seja isolado, a lei de conservação do momento linear pode ser aplicada à componente do momento na direção de um eixo, contanto que não haja uma componente de uma força externa na direção desse eixo.

34 9-5 Conservação do Momento Linear Quando o impulso é zero, temos: o que significa que Eq. (9-42) É a chamada lei de conservação do momento linear Dependendo das componentes da força resultante externa, é possível aplicar o seguinte princípio: 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

35 9-5 Conservação do Momento Linear Forças internas podem mudar os momentos de partes do sistema, mas não podem mudar o momento linear do sistema como um todo Não confunda momento e energia Respostas: (a) zero (b) não (c) o sentido negativo do eixo x

36 9-6 Momento e Energia Cinética em Colisões

37 9-6 Momento e Energia Cinética em Colisões 9.28 Saber a diferença entre colisões elásticas, colisões inelásticas e colisões totalmente inelásticas Saber que, em uma colisão unidimensional, os objetos se movem na mesma linha reta antes e depois da colisão. Objetivos do Aprendizado 9.30 Aplicar a lei de conservação do momento linear a uma colisão unidimensional em um sistema isolado para relacionar os momentos dos objetos antes e depois da colisão Saber que, em um sistema isolado, o momento e a velocidade do centro de massa não são afetados por colisões entre objetos do sistema.

38 9-6 Momento e Energia Cinética em Colisões Tipos de colisões: Colisões elásticas: o o o A energia cinética total é constante É uma aproximação razoável em muitas situações Na prática, uma parte da energia cinética, mesmo que pequena, é sempre convertida em outras formas de energia Colisões inelásticas: uma parte considerável da energia cinética é convertida em outras formas de energia Colisões totalmente inelásticas: o o Os objetos permanecem unidos após a colisão A conversão de energia cinética para outras formas de energia é a maior possível

39 9-6 Momento e Energia Cinética em Colisões Em uma dimensão: Colisão inelástica Eq. (9-51) Colisão totalmente inelástica, com o alvo em repouso: Eq. (9-52) Figura 9-14 Figura 9-15

40 9-6 Momento e Energia Cinética em Colisões A velocidade do centro de massa não muda: Eq. (9-56) A Fig mostra vários estágios de uma colisão totalmente inelástica Figura 9-16

41 9-6 Momento e Energia Cinética em Colisões Respostas: (a) 10 kg m/s (b) 14 kg m/s (c) 6 kg m/s

42 9-7 Colisões Elásticas em Uma Dimensão

43 9-7 Colisões Elásticas em Uma Dimensão Objetivos do Aprendizado 9.32 No caso de colisões elásticas de dois corpos em uma dimensão, aplicar as leis de conservação da energia e do momento para relacionar os valores iniciais e finais da velocidade dos corpos No caso de um projétil que colide com um alvo estacionário, analisar o movimento resultante para três casos possíveis: massas iguais, massa do alvo muito maior que a massa do projétil e massa do projétil muito maior que a massa do alvo.

44 9-7 Colisões Elásticas em Uma Dimensão A energia cinética total é conservada em colisões elásticas No caso de um alvo estacionário, temos: Eq. (9-63) Eq. (9-64) Figura 9-18

45 9-7 Colisões Elásticas em Uma Dimensão Depois de algumas transformações algébricas, obtemos: Eq. (9-67) Resultados Eq. (9-68) o o o Alvo pesado, v 1f = v 1i, v 2f = 0: o primeiro objeto ricocheteia com a mesma velocidade escalar Massas iguais, v 1f = 0, v 2f = v 1i : o primeiro objeto para Projétil pesado, v 1f = v 1i, v 2f = 2v 1i : o primeiro objeto continua com a mesma velocidade e o segundo objeto é arremessado com uma velocidade duas vezes maior

46 9-7 Colisões Elásticas em Uma DImensão Se o alvo também está se movendo, temos: Eq. (9-75) Eq. (9-76) Figura 9-19 Respostas: (a) 4 kg m/s (b) 8 kg m/s (c) 3 J

47 9-8 Colisões em Duas Dimensões

48 9-8 Colisões em Duas Dimensões Objetivos do Aprendizado 9.34 No caso de uma colisão bidimensional em um sistema isolado, aplicar a lei de conservação do momento a dois eixos de um sistema de coordenadas para relacionar as componentes do momento antes da colisão às componentes em relação ao mesmo eixo depois da colisão No caso de uma colisão elástica em um sistema isolado, (a) aplicar a lei de conservação do momento a dois eixos para relacionar as componentes do momento antes da colisão às componentes em relação ao mesmo eixo depois da colisão e (b) usar o princípio de conservação da energia cinética para relacionar as energias cinéticas antes e depois da colisão.

49 9-8 Colisões em Duas Dimensões Aplicar a lei de conservação do momento aos dois eixos Aplicar a lei de conservação da energia para colisões elásticas Exemplo Para um alvo estacionário (Fig. 9-21): o Eixo x: Figura 9-21 Eq. (9-79) o Eixo y: Eq. (9-80) o Energia: Eq. (9-81)

50 9-8 Colisões em Duas Dimensões Essas três equações têm sete incógnitas, já que v 2i = 0. Se conhecermos quatro dessas incógnitas, poderemos calcular as outras três. Respostas: (a) 2 kg m/s (b) 3 kg m/s

52 Objetivos do Aprendizado 9.36 Usar a primeira equação do foguete para relacionar a taxa de perda de massa de um foguete, a velocidade dos produtos da combustão em relação ao foguete, a massa do foguete e a aceleração do foguete Usar a segunda equação do foguete para relacionar a variação da velocidade do foguete à velocidade relativa dos produtos da combustão e à massa final do foguete No caso de um sistema em movimento que sofre uma variação de massa a uma taxa constante, relacionar essa taxa à variação do momento.

53 9-9 Sistemas de Massa Variável: Um Foguete Foguete e produtos da combustão formam um sistema isolado Conservação do momento: P i = P f o que nos dá Podemos simplificar usando a velocidade relativa: Eq. (9-83) Eq. (9-84) Figura 9-22

54 9-9 Sistemas de Massa Variável: Um Foguete Primeira equação do foguete: Eq. (9-87) R é a taxa mássica de consumo de combustível O lado esquerdo da equação é o empuxo, T Segunda equação do foguete: Eq. (9-88)

55 9 Resumo

56 9 Resumo Momento Linear e 2 a Lei de Newton Definição de momento linear: 2 a Lei de Newton: Eq. (9-25) Eq. (9-27) Conservação do Momento Linear Colisão e Impulso Definição de impulso: O impulso faz variar o momento linear Eq. (9-30) Colisão Inelástica em 1D O momento é conservado nessa direção Eq. (9-42) Eq. (9-51)

57 9 Resumo Movimento do Centro de Massa Não é afetado por colisões e outras forças internas Colisões Elásticas em Uma Dimensão A energia cinética é conservada Eq. (9-67) Colisões em Duas Dimensões Podemos aplicar a lei de conservação do momento a cada componente Eq. (9-68) Sistemas de Massa Variável Eq. (9-87) A energia cinética é conservada em colisões elásticas Eq. (9-88)