Para um sistema de massa m e velocidade v (muito menor que a velocidade da luz), a energia cinética pode ser calculada pela seguinte expressão:

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1 3 Energia e Trabalho As leis de Newton resolvem de forma completa os problemas da mecânica. Porém, é preciso conhecer em detalhes a natureza das forças que estão atuando sobre um determinado sistema para poder compreende o estado de movimento de um dado sistema. Contudo, está não é uma tarefa muito fácil, principalmente, do ponto de vista matemático. O que será explorado neste capítulo é uma maneira alternativa de estudar a dinâmica de um sistema físico conhecendo-se apenas o seu estado de movimento ou repouso. 3.1 Energia Energia é um conceito amplo e abstrato e informa diretamente o estado do sistema físico de interesse. Trata-se de uma grandeza escalar que de certa forma quantifica a condição de um sistema. A grande motivação para estudar a energia de um determinado sistema é que se esta grandeza for cuidadosamente determinada, é possível fazer previsões para os resultados de vários experimentos. A energia pode se manifestar de diversas formas, por exemplo, a energia térmica de um sistema de muitas partículas, um gás por exemplo, fornece uma medida do grau de agitação dessas partículas. Quando um sistema é posto em movimento, pode ser associado a ele uma energia de movimento que é conhecida como energia cinética. Um objeto colocado a uma determinada altitude do solo possui uma energia eminente de movimento que é conhecida como energia potencial. Baseado nestes exemplos enunciados acima, é possível compreender porque o conceito de energia é tão amplo. Neste curso, estaremos interessados, principalmente, na energia associada ao movimento e ao repouso de sistemas físico, isto é, a energia cinética de movimento e energia potencial. A energia cinética que denotaremos por K informa diretamente o estado de movimento de um sistema, quanto mais rápido estiver se movendo um objeto, maior será a energia cinética a ele associado. Quando o sistema estiver em repouso, a energia cinética do mesmo será nula. Para um sistema de massa m e velocidade v (muito menor que a velocidade da luz), a energia cinética pode ser calculada pela seguinte expressão: K = 1 2 mv2. (3.1) Observe, na Equação 3.1, que a energia cinética é proporcional a massa do sistema e 7

2 proporcional ao quadrado da velocidade com que o sistema está se movendo. Fazendo análise dimensional da Equação 3.1 pode-se encontrar a unidade da energia cinética que é a mesma unidade para qualquer tipo de energia. Ou seja: [K] = [m] [ v 2]. (3.2) Por exemplo, no sistema internacional de unidades, tem-se: Problema resolvido [K] = kg m2 = J (Joule). (3.3) s2 Dois veículos estão separado por uma distância d. Esses veículos são colocados em movimento para choque-se um com o outro. Se cada veículo tem um peso P e imagine que a aceleração que eles desenvolvam seja constante a. Qual é a energia cinética do sistema imediatamente antes da colisão. Resposta: Lembrando que a energia cinética é dada por: K = 1 2 mv2, precisamos encontra a massa m e o quadrado da velocidade v. Usando a equação de Torricelli, podemos encontrar v 2, logo v 2 = v a S. Como os veículos saem do repouso v 0 = 0. Neste caso, como os veículos estão viajando em direção opostas com a mesma aceleração, a distância de deslocamento S = d/2, então: v 2 = 2 a d 2 = a d. A massa de cada veículo pode ser determinada dividindo-se o peso P pela aceleração da gravidade g. Portanto, 8

3 m = P g. A energia cinética total será exatamente a soma algébrica da energia de cada um dos veículos. Usando os resultado acima podemos calcular: ( ) ( ) 1 1 P K total = 2 2 mv2 = 2 2 g a d = P a d g. 3.2 Trabalho Quando um sistema aumenta sua velocidade devido à aplicação de uma força, este aumenta também sua energia cinética. Da mesma maneira, se a velocidade de um sistema for reduzida devido a aplicação de uma força, a energia cinética deste sistema diminui. Analisando essas variações pode-se dizer que a força ou transferiu energia para ou sistema (primeiro caso) ou recebeu energia do sistema (segundo caso). Esta transferência de energia por meio de uma força é chamada de trabalho que será denotado por W. Quando o sistema recebe energia, o trabalho é positivo e quando a energia é retirada do sistema, o trabalho é negativo. O trabalho é uma grandeza escalar que tem mesma dimensão de energia, ou seja, a unidade no S.I. é o Joule (J). Matematicamente, o trabalho pode ser expresso por: W = c F d l. (3.4) É importante destacar na Equação 3.4 que o trabalho será o resultado do produto escalar entre a força resultante que atua sobre o sistema ( F ) e o deslocamento deste sistema. Portanto, caso a força seja aplicada perpendicularmente ao sistema, o trabalho resultante será nulo. Para um caso simples de um um objeto se deslocando num movimento retilíneo sobre à ação de uma força uniforme F, o trabalho pode ser calculado como o produto escalar desta força pelo vetor deslocamento x, ou seja: W = F x = F x cos θ, (3.5) em que θ é o ângulo entre os vetores F e x. 9

4 Quando diversas forças atuam sobre sobre um sistema de forma independentes, o trabalho resultante é a soma dos trabalhos efetuados separadamente, i.e., W total = W 1 + W 2 + W 3 + = F 1 x 1 + F 2 x 2 + F 3 x 3 + (3.6) Por outro lado, se várias forças estiverem atuando sobre um mesmo objeto, o deslocamento do objeto será o mesmo para todas as forças, logo W total ( = W 1 + W 2 + W 3 + = F 1 x + F 2 x + F 3 x + = = F3 + F 3 + F ) 3 + x = F resultante x (3.7) Problema resolvido A Figura 3.1 mostra dois espiões industriais arrastando um cofre de massa 225 kg a partir do repouso e, assim, produzindo um deslocamento d de módulo 8,5 m em direção a um caminhão. O empurrão F 1 do espião 001 tem um módulo de 12,0 N e faz um ângulo de 30,0 o para baixo com a horizontal. O puxão F 2 do espião 002 tem um módulo de 10,0 N e faz um ângulo de 40,0 o para cima com a horizontal. Os módulos e as orientações das forças não variam quando o cofre se desloca e o atrito entre o cofre e o piso pode ser desprezado. Figura (a) Qual é o trabalho realizado pelas forças F 1 e F 2 sobre o cofre durante o deslocamento d? 10

5 (b) Qual é o trabalho realizado pela força gravitacional e pela força normal durante o deslocamento do cofre? Questão extraída do livro do Halliday vol 1. 8 a Ed. pág Respostas (a) O primeiro passo é montar o diagrama de forças que estão atuando sobre o cofre como é ilustrado na Figura 3.2. Figura O trabalho total será igual ao trabalho realizado pelo espião 001 mais o trabalho realizado pelo espião 002, ou seja, W = W 1 + W 2. Desta maneira, W 1 = F 1 d = F 1 d cos θ 1 = 12, 0 N 8, 50 m cos 30 o = 88, 33 J e W 2 = F 2 d = F 2 d cos θ 2 = 10, 0 N 8, 50m cos 40 o = 65, 11 J. Portanto, o trabalho total será: W = W 1 + W 2 = 88, 33 J + 65, 11 J = 153, 4 J. 11

6 (b) Olhando para o diagrama de blocos é possível perceber que o ângulo entre o deslocamento e as forças normal e peso é de 90 o em cada caso, logo, W = F N d = F N d cos 90 o = 0 e W = F g d = F g d cos 90 o = 0. Ou seja, nem a força peso e nem a força normal realizaram trabalho sobre o cofre durante este deslocamento. 3.3 Trabalho e Energia Cinética Vamos considerar um caso em que uma força constante atue sobre um sistema produzindo uma variação do seu estado de movimento. Pela segunda lei de Newton, temos que: F = m a. (3.8) Se o sistema sofre um deslocamento d, o trabalho total será: W = F d = m a d. (3.9) Seja o movimento numa direção qualquer, neste caso, vamos adotar a direção ˆx. Assim, a Equação 3.9 fica: W total = F x x = ma x x. (3.10) Se a força é constante, a aceleração é constante e podemos relacionar a distância percorrida pelo sistema com as velocidade inicial v 0 e final v f pela equação de Torricelli, matematicamente: v 2 f = v a x x a x x = v2 f v2 0 2, (3.11) desta maneira o trabalho toal fica: 12

7 ( v 2 f v 2 ) 0 W total = m = mv2 f 1 2 mv2 0. (3.12) Usando a Equação 3.1, a Equação 3.12 fica: W total = K f K 0 = K, (3.13) em palavras, o trabalho total de um sistema é igual à variação da energia cinética deste sistema. Este resultado é conhecido como teorema do trabalho e energia cinética. Embora, a demostração foi feita para o caso de uma força constante, veremos que este resultado também é válido quando a força que atua sobre o sistema é variável. Este teorema é valido para trabalhos tanto positivo quanto negativos. Se o trabalho resultante for positivo, a energia cinética do sistema aumenta por uma quantidade igual ao trabalho realizado sobre o sistema. Se o trabalho for negativo, a energia cinética do sistema diminui por uma quantidade igual ao trabalho realizado pelo sistema. De uma maneira mais geral, o teorema do trabalho e energia cinética é uma forma de enunciar a conservação de energia do sistema pois, a energia cinética do sistema depois que o trabalho foi realizado é igual a energia cinética antes do trabalho ser realizado mais o trabalho que foi realizado Problema resolvido Utilizando os dados do problema anterior, calcule a velocidade final do cofre sabendo que o mesmo partiu do repouso. Resposta Utilizando o teorema do trabalho e energia cinética, podemos escrever: W total = K f K 0 = 1 2 mv2 f 1 2 mv2 0 Como a velocidade inicial do cofre é nula, pode-se extrair a velocidade final da seguinte forma: v f = 2Wtotal m = 2 153, 4 J 225 kg = 1, 17 m/s. 13

8 3.4 Trabalho realizado por uma força gravitacional Considere um objeto movendo-se conforme ilustra a Figura 3.3. A força gravitacional F g aponta sempre para baixo como pode ser visto na figura. Sabendo que a força gravitacional é dada por: F g = m g, (3.14) em que g é o vetor aceleração da gravidade, pode-se calcular o trabalho da força gravitacional sobre um sistema qualquer pela seguinte expressão: W g = mgd cos θ. (3.15) Figura Um objeto de massa m movendo no campo gravitacional g Quando o sistema estiver se movendo verticalmente para cima (sentido oposto ao da força gravitacional), o trabalho será W g = mgd cos 180 o = mgd (3.16) e quando o sistema estiver se movendo verticalmente para baixo (no mesma sentido da força gravitacional), o trabalho será 14

9 W g = mgd cos 0 = mgd. (3.17) Isto que dizer que quando um sistema move-se na mesma direção que a força gravitacional, sua energia cinética aumenta e, consequentemente, quando o movimento for antiparalelo à força gravitacional, ocorrerá uma diminuição da energia cinética que tenderá a se anular. A energia gasta para elevar e abaixar um sistema pode ser calculada da mesma forma. Utilizando o teorema do trabalho-energia cinética (Equação 3.13) pode-se escrever que a variação de energia cinética é dada por K = K f K 0 = W a + W g, (3.18) neste caso, W a é o trabalho devido à força aplicada para elevar ou abaixar o sistema. Neste processo, o sistema parte de um estado de repouso para um estado final de repouso, logo 0 = W a + W g W a = W g, (3.19) observe que este resultado é também válido para casos em que a energia cinética final e inicial sejam iguais. Desta forma, o trabalho realizado para elevar ou abaixar um sistema na vertical pode ser escrito por W a = mgd cos θ, (3.20) que é justamente o simétrico do trabalho realizado pela força gravitacional Problema resolvido Um caixote de queijo de 15 km, inicialmente em repouso, percorre uma distância d=5,70 m, puxado por um cado em uma rampa sem atrito até uma altura h de 2,50 m, parando em seguida. (a) Qual é o trabalho realizado pela força gravitacional Fg subida? sobre o caixote durante a (b) Qual o trabalho realizado sobre o caixote pela força exercida pelo cabo durante a subida? 15

10 Questão extraída do livro do Halliday vol 1. 8 a Ed. pág Respostas (a) O primeiro passo é desenhar o diagrama de forças para o caixote como pode ser visto na Figura 3.4. Figura Na esquerda, o esquema do caixote sobre o plano inclinado e na direita o diagrama de forças para este sistema. Sabemos que o trabalho realizado pela força gravitacional pode ser escrito por W g = mgd cos φ. Olhando para a Figura 3.4 podemos perceber que ( π ) cos φ = cos 2 + θ = cos π 2 cos θ sin π sin θ = sin θ. 2 Por análise geométrica, pode-se escrever que sin θ = h d. Desta maneira, o trabalho realizado pela força gravitacional pode ser escrita por W g = mgd sin θ, 16

11 usando o resultado acima, pode-se ainda escrever que: W g = mgh = (15 kg)(9, 8 m/s)(2, 5 m) = 368 J. (b) Usando o teorema do trabalho e energia cinética, pode-se escrever que K = W T + W g + W N. O trabalho devido à força normal é nulo e a variação de energia cinética também porque o sistema permanecerá em repouso depois do deslocamento. Assim, 0 = W T + W g + 0 W T = W g = 368 J. 3.5 Trabalho realizado por uma força variável Para simplificar a análise matemática, será considerado inicialmente um caso de um sistema movendo-se em uma direção apenas. O gráfico da Figura 3.5 ilustra o comportamento da força F (x) em função do deslocamento no eixo x. Note que trata-se de uma força variável. Figura Se dividirmos em pequenas fatias a área em baixo da figura, nestes pequenos intervalos, a força não varia muito rapidamente, então podemos escolher uma força média para representar esta pequena parte do deslocamento. A Figura 3.6 ilustra este processo. 17

12 Figura Desta forma, o trabalho W j associado a uma força F j,md que atua no sistema quando o mesmo está se deslocando no intervalo x será W j = F j,md x. (3.21) Agora se quisermos um valor aproximado do trabalho realizado pela força variável F para mover o sistema de x i até x f somamos as contribuições de todos os incrementos, ou seja, W = Σ W j = ΣF j,md x. (3.22) Agora podemos diminuir a espessura de cada incremente de modo a fazer com que a área resultante da soma das pequenas áreas de todos os incrementos desenhado entre x i e x f se aproxime da área real abaixo da curva como pode ser visto na Figura 3.7. Figura

13 Podemos diminuir ainda mais o incremento x de modo que o mesmo tenda a zero, i.e., W = lim x 0 ΣF j,md x, (3.23) este é exatamente a definição de integral e o resultado será exatamente a área procurada abaixo da curva da força F (x) como é ilustrado na Figura 3.8. Figura De uma forma mais geral, o trabalho pode ser calculado por: W = xf x i F (x)dx. (3.24) Se conhecermos com precisão a função F (x), podemos então calcular o trabalho realizado por esta força. Porém, do ponto de vista prático, conhecer com exatidão a forma matemática da força não é trivial. Além disso, dependendo da natureza da força, o cálculo da integral 3.24 também não é complicado. Quando isto acontece, a melhor alternativa para resolver os problemas é utilizar métodos numéricos para estimar a trabalho do sistema. Seja um sistema sujeito à ação de uma força tridimensional F = F xˆx+f y ŷ +F z ẑ. Fazendo este sistema se mover de um deslocamento incremental de d r = dxˆx+dyŷ+dzẑ. O trabalho realizado para este sistema sair do ponto r i = (x i, y i, z i ) para o ponto r f = (x f, y f, z f ) pode ser calculado por W = rf xf yf zf F r = F x dx + F y dy + F z dz. (3.25) r i x i y i z i 19

14 Caso a força F tenha apenas uma componente, a Equação 3.25 resume-se a Equação Problema resolvido A força F = 3x 2ˆx + 4ŷ age sobre uma partícula movimentando-a da posição r i = (2, 3) para a posição r f = (3, 0). Quando trabalho é realizado sobre a partícula? O que acontece com sua energia cinética? (Todas as unidades estão no S.I.) Respostas O trabalho pode ser calculado por W = rf xf yf zf F r = F x dx + F y dy + F z dz. r i x i y i z i Neste caso, F tem componentes apenas nas direções ˆx e ŷ, sendo assim, a equação se reduz a W = Resolvendo a integral acima tem-se xf x i F x dx + yf y i F y dy. W = 3 2 3x 2 dx dy = [ x 3] [4y]0 3 = 7 J. A força transfere 7 J de energia para a partícula fazendo com que a energia cinética da mesma aumente. 3.6 Teorema do trabalho-energia cinética com uma força variável Seja uma partícula movendo-se na direção ˆx sob à ação de uma força variável F (x) qualquer. O trabalho realizado para mover esta partícula de uma posição x i até uma posição x f pode ser expresso por W = xf x i F (x)dx. (3.26) Pela segunda lei de Newton podemos reescrever o seguinte termo por: 20

15 Pela regra da cadeia podemos escrever que F (x)dx = madx = m dv dx. (3.27) dt Substituindo a Equação 3.28 na Equação 3.27, temos dv dt = dv dx dx dt = dv dx v. (3.28) F (x)dx = madx = m dv vdx = mvdv. (3.29) dx Substituindo agora a Equação 3.29 na Equação 3.27, temos W = v i v f mvdv = 1 2 mv2 f 1 2 mv2 i, (3.30) que é justamente a variação da energia cinética, ou seja W = K f K i = K, (3.31) é o teorema do trabalho-energia cinética deduzindo para uma caso de uma força arbitrária qualquer e variável atuando sobre o sistema. 3.7 Trabalho realizado por uma força de mola Um sistema constituído por uma massa que sofre à ação de uma força através de uma mola pode ser utilizado como modelo para vários problemas da física que envolvem situações de equilíbrio estável. Portanto, a compreensão deste sistema é muito importante para estudos de sistemas mais complexos. Além disso este tipo de sistema envolve uma força que não é constante. A força que atua sobre este sistema obedece a chamada lei de Hooke. Esta lei diz que a força que atua sobre o sistema é proporcional ao deslocamento sofrido pela massa que está presa a mola. Quando mais esticada estiver a mola, maior será a força e quanto mais comprimida estiver a mola, maior será a força. De uma maneira geral, a lei de Hooke pode ser expressa por: F = k d, (3.32) 21

16 note que a força atua sempre no sentido oposto do deslocamento. A constante k é conhecida como constante de mola e é uma medida da rigidez da mola. Para calcular o trabalho realizado por uma força de mola, basta substituir a lei de Hooke (Equação 3.37) na Equação 3.26, isto nos dá W = xf x i kxdx = 1 2 kx2 i 1 2 kx2 f. (3.33) Chamando x i = 0 e x f = x, a Equação 3.39 fica simplesmente W = 1 2 kx2. (3.34) Note que o trabalho realizado pela força de mola pode ser positivo ou negativo dependendo da posição final da mola. Para calcularmos o trabalho realizado por uma força aplicada ao sistema, utilizamos o teorema do trabalho-energia cinética. Se ao aplicar uma forma sobre um sistema de uma massa presa a uma mola, houver um deslocamento desse sistema e de tal maneira que a posição inicial seja de repouso e a posição final também seja de repouso, o teorema do trabalho-energia cinética nos diz que K = k f K i = W a + W s, (3.35) logo, W a = W s. (3.36) Se um bloco que está preso a uma mola estiver em repouso antes e depois de uma força ser aplicada deslocando-o, o trabalho realizado pela força aplicada W a será igual a menos o trabalho realizado sobre ele pela força de mola W s. 3.8 Potência Potência é definida como sendo a taxa de realização de um determinado trabalho. Em outras palavras, a potência dá informação sobre o tempo gasta para desenvolver um determinado trabalho. A potência P média de um sistema pode ser calculada matematicamente por: 22

17 P = W t. (3.37) A potência instantânea pode ser obtida tomando-se o limite em que t 0 que pode ser expresso por: P = dw dt, (3.38) a unidade de potência no S.I. é J s = W (Watt). A partir da eq3.33 podemos encontrar uma expressão para a potência que é: P = dw dt = F cos θdx dt = F cos θ dx dt = F v cos φ = F v. (3.39) 3.9 Lista de exercícios A lista de exercícios foi retirada do Haliday vol. 8 a edição. Os problemas são os seguintes: Capítulo 07: Problemas 3; 5; 12; 13; 14; 15; 19; 20; 21; 22; 29; 33; 36; 37; 42; 47; 48; 49;

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